人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题一8第九章不等式与不等式组重难点检测卷(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题一8第九章不等式与不等式组重难点检测卷(原卷版+解析)，共31页。

本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知两个有理数a和b，满足的关系是，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C．D．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ）
A．六折B．七折C．七点五折D．八折
4．（2023·河南驻马店·校考二模）不等式组的正整数解的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）定义新运算“⊕”如下：当时，，当时，，若，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
6．（2023春·七年级课时练习）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·七年级课时练习）已知x，y，m满足，且y为正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·七年级单元测试）某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：①若，则不等式组的解集为；②若，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a的取值范围为；④若不等式组只有两个整数解，则a的值可以为．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
9．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）数轴上的点，，表示的数分别为，，，其中，，且，是中点，线段上仅有个表示整数的点．若，则整数不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，则是正数；⑤若，且，则，其中正确的说法有 个．
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋·山东青岛·八年级校考期中）适合于的所有的整数和为______．
12．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）已知点在第三象限，则m的取值范围是______．
13．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知，y为正数，则m的取值范围是________
14．（2023春·八年级课时练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＞5，则a的取值范围是_______．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）对于任意实数p、q，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是______．
16．（2022秋·重庆潼南·八年级校联考期中）某公司定点到“好客超市”采购A、B两种饮料，8月份采购24件A饮料和32件B饮料共花费了3480元，9月份采购32件A饮料和24件B饮料共花费3240元，10月份该超市A饮料和B饮料中有部分因为保质期临近而打六折促销，公司根据实际需要购买了原价或打折的A饮料和B饮料，共花了2850元，其中打折的A饮料件数是10月份购买所有A饮料和B饮料总件数的，该公司10月份一共购买了A、B饮料___________ 件．
17．（2022秋·北京·七年级景山学校校考期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为___________；若点的坐标为，对于任意的正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为___________．
18．（2023春·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考阶段练习）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，记为m的各个数位上的数字之和．例如：，，是“天平数”，；，，不是“天平数”．求出______；已知M，N均为“天平数”，其中，（，，，x，b，y是整数），，（，，，，a，b，c，d是整数），若，求出满足条件的M的最大值______．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）（1）解不等式；
（2）解不等式组．
20．（2023春·山东菏泽·八年级校联考阶段练习）一次数学竞赛中，共有20道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分；80分以上（含80分）可以获奖，问若要获奖，至少要答对几道题？
21．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）仔细观察下面的解法，请回答为问题.
解方程：
解：，
，
，
．
(1)上面的解法错误有________处；
(2)请写出正确的解方程步骤；
(3)若关于的方程的解为，原方程的解为，若为非负数，求的取值范围．
22．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）先阅读下列例题，再按要求完成下列问题．例：解不等式．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①，或②，解不等式组①，得解不等式组②得，所以的解集为或．
(1)仿照上述方法解关于x的不等式；；
任务二：
(2)直接写出不等式的解集是___________．
23．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，．
(1)求常数，的值；
(2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围．
24．（2023春·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每台的价格，年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)求a，b的值；
(2)计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少．
25．（2022春·福建福州·七年级校联考期末）在平面直角坐标系中，，，且满足
(1)若没有平方根，判断点位于第几象限，并说明理由；
(2)若为直线上一点，且的最小值为3，求点的坐标；
(3)已知坐标系内有两点，，为线段上一点，将点平移至点．若点在线段上，记的最小值为，最大值为，当时，请判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试讨论的取值范围．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，6），C（c，3），a，b，c满足．
(1)若a＝2，求三角形ABC的面积；
(2)将线段BC向右平移m个单位，使平移后的三角形ABC的面积小于3，求m的取值范围；
(3)若点D（a+6，6），连接AD，将线段BC向右平移n个单位，若线段BC与线段AD有公共点，请直接写出n的取值范围．
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
年载客量（万人/年）
60
100
2022-2023学年七年级数学下册重难点提升精讲精练《人教版》
第九章 不等式与不等式组 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知两个有理数a和b，满足的关系是，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可求解．
【详解】解：A、∵，
∴，故该选项错误，不符合题意；
B、∵，
∴，故该选项错误，不符合题意；
C、∵，
∴，故该选项正确，符合题意；
D、∵，
∴，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质：性质1、不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不发生改变；性质2、不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不发生改变；性质3、不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向要发生改变．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先解不等式得到不等式的解集，然后再在数轴上表示不等式的解集即可．
【详解】解：两边同时除以得：，
∴原不等式的解集为：．
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“画图时，小于向左拐，大于向右拐”以及不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，是解本题的关键．
3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ）
A．六折B．七折C．七点五折D．八折
【答案】C
【分析】设该商品打x折销售，利用利润=售价-进价，结合利润不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小值即可进行解答．
【详解】解：设该商品打x折销售，
，
解得：，
∴最多可打七点五折，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
4．（2023·河南驻马店·校考二模）不等式组的正整数解的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】分别求两个不等式的解集，然后可得不等式组的解集，最后判断正整数解的个数即可．
【详解】解：，
解得，，
，
解得，，
∴不等式组的解集为，其中正整数解为1，2共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解．解题的关键在于正确的解不等式组．
5．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）定义新运算“⊕”如下：当时，，当时，，若，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】分当，即时，当，即时两种情况，根据新定义求解即可．
【详解】解：∵当时， ，当时，，
∴当，即时，
∵⊕，
∴
解得：，
∴；
当，即时，
∵⊕，
∴
解得：，
∴，
综上，或，
故选：C．
【点睛】本题考查新定义，解一元一次不等式，理解新定义和掌握解一元一次不等式是解题的关键，注意分类思想的运用．
6．（2023春·七年级课时练习）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案．
【详解】解：由，
解得：，
由的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，
得：或，
解得：或，
∵不等式组有解，
∴，
解得：，
综上分析可知，，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性质，逆向应用是本题的特点．
7．（2023春·七年级课时练习）已知x，y，m满足，且y为正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】解：，
，，
，，
为正数，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．（2023春·七年级单元测试）某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：①若，则不等式组的解集为；②若，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a的取值范围为；④若不等式组只有两个整数解，则a的值可以为．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】根据解不等式组的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，找到参数的取值范围解决问题．
【详解】解：①时，x比小的大，比大的小，取中间，即解集为，故①正确；
②时，x比小的小，比大的大，无处取解，即无解，故②正确；
③要使不等式组无解，则要求x比小的小，比大的大，即a要小于3，当时，仍然无解，故a的取值范围为，故③错误；
④要使不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为，则a的值可以为，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式组的含参问题，解决本题的关键是熟记解不等式组的口诀，注意临界值是否取等．
9．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）数轴上的点，，表示的数分别为，，，其中，，且，是中点，线段上仅有个表示整数的点．若，则整数不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据有理数乘法运算法则，异号得负，得出；由得，即；根据中点的定义，确定点表示的数为；由线段上仅有个表示整数的点，确定这两个整数点为和，点在和之间，则，，在和之间，则，然后利用不等式的性质，先确定的范围，然后再确定的范围，进而确定的范围，也就是的范围，最后确定的范围，从而确定整数不可能选项．
【详解】解：∵，，且，
∴，且，即，
∵是中点，
∴，点表示的数为，
∴，
∵线段上仅有个表示整数的点．，
∴线段上除了没有其他表示整数的点，线段上有个表示整数的点和，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且为整数，
∴，
∴不可能是．
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴的点的对应关系，其中涉及到有理数的乘法运算法则，绝对值的含义，利用不等式的性质确定字母的范围，中点的定义．能够根据题目的每个条件分别得出相应的结论，然后综合分析是解决本题的关键．
10．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，则是正数；⑤若，且，则，其中正确的说法有 个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】①除0外，互为相反数的商为，可作判断；
②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与都为负数，即小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；
③由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断；
④由绝对值大于绝对值，分情况讨论，即可作出判断；
⑤先根据，得，由和有理数乘法法则可得，，分情况可作判断．
【详解】解：①若，且，互为相反数，则，本选项正确；
②若，则与同号，由，则，，则，本选项正确；
③，即，
，即，本选项错误；
④若，
当，时，可得，即，，所以为正数；
当，时，，，所以为正数；
当，时，，，所以为正数；
当，时，，，所以为正数，
本选项正确；
⑤，
，
，
，，
当时，，
，不符合题意；
所以，，
，
则，
本选项正确；
则其中正确的有4个，是①②④⑤．
故选：．
【点睛】本题考查了相反数，不等式的性质，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋·山东青岛·八年级校考期中）适合于的所有的整数和为______．
【答案】
【分析】根据无理数估算，可知，即，从而可知适合于的所有的整数有，从而求和即可得到答案．
【详解】解：，
，即，
适合于的所有的整数有，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查无理数估算，涉及有理数加法运算法则，根据条件得到满足条件的整数是解决问题的关键．
12．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）已知点在第三象限，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据第三象限内点的坐标的特征列不等式组求出m的范围即可.
【详解】∵点在第三象限，
由①得，
由②得，
∴m的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征及一元一次不等式组.熟练掌握平面直角坐标系中各个象限内点的特征及一元一次不等式组的解法是解题的关键.
13．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知，y为正数，则m的取值范围是________
【答案】
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x的值，进而利用y的取值范围得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵y为正数，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了偶次方的性质以及绝对值的性质，求不等式的解集，根据y的取值范围得出关于m的不等式是解题关键．
14．（2023春·八年级课时练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＞5，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】将两根方程相加可得，根据得出关于a的不等式，解之可得答案．
【详解】解：将两个方程相加可得，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）对于任意实数p、q，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有3个整数解，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．
16．（2022秋·重庆潼南·八年级校联考期中）某公司定点到“好客超市”采购A、B两种饮料，8月份采购24件A饮料和32件B饮料共花费了3480元，9月份采购32件A饮料和24件B饮料共花费3240元，10月份该超市A饮料和B饮料中有部分因为保质期临近而打六折促销，公司根据实际需要购买了原价或打折的A饮料和B饮料，共花了2850元，其中打折的A饮料件数是10月份购买所有A饮料和B饮料总件数的，该公司10月份一共购买了A、B饮料___________ 件．
【答案】60
【分析】设1件A饮料x元，1件B饮料y元，由题意得出方程组，得出1件A饮料45元，1件B饮料75元，再设A饮料和B饮料总件数为a件，则打折的A饮料件数为件，设原价B饮料为b件，则打折的B饮料与原价A饮料共有件，由题意列出方程，求出正整数解，进而求解即可．
【详解】解：设1件A饮料x元，1件B饮料y元，
由题意得：，
解得：，
即1件A饮料45元，1件B饮料75元，
设A饮料和B饮料总件数为a件，则打折的A饮料件数为件，
打折的A饮料价格为：（元），打折的B饮料价格为：（元），
即打折的B饮料价格与A饮料原价相同，
设原价B饮料为b件，则打折的B饮料与原价A饮料共有件，
此时，
即，
由题意得：，
整理得：，
∵a、b均为正整数，
∴或或，
∵，
∴，
∴公司10月份一共购买了A、B饮料60件，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，列出二元一次方程．
17．（2022秋·北京·七年级景山学校校考期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为___________；若点的坐标为，对于任意的正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为___________．
【答案】
【分析】按照题目所给的“伴随点”的定义直接写出的坐标即可；若，按照“伴随点”定义写出，发现每4个点重复出现，然后根据条件列出不等式组，求出应满足的条件即可．
【详解】解：点叫做点的伴随点，点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，点的坐标为，
，
故答案为：；
点的坐标为，
故每四个点的坐标重复出现，
又点均在轴上方，
，
解得；
故答案为：．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标、一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关的知识和正确理解“伴随点”的定义是解答此题的关键．
18．（2023春·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考阶段练习）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，记为m的各个数位上的数字之和．例如：，，是“天平数”，；，，不是“天平数”．求出______；已知M，N均为“天平数”，其中，（，，，x，b，y是整数），，（，，，，a，b，c，d是整数），若，求出满足条件的M的最大值______．
【答案】 14 8329
【分析】根据为m的各个数位上的数字之和求出，由新定义与已知条件列出方程，再求出符合条件的、、的值即可．
【详解】解：；
，是“天平数”，
，（，，，，，是整数），
，
，
，（，，，，a，b，c，d是整数），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
①，
可得，，为奇数且，
，
，
，
，
的值为2424；
②，
可得，，为偶数且，
，
，
，
或或，
的值为4729或6529或8329，
综上所述，的值为2424或4729或6529或8329，则符合条件的M的最大值为8329，
故答案为：14，8329．
【点睛】本题考查了新定义，不定方程的解，关键是正确理解新定义，根据题意列出方程．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）（1）解不等式；
（2）解不等式组．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）移项，系数化为1即可求出不等式的解集；
（2）分别解不等式，根据同大取大得到解集．
【详解】解：（1），
移项，得，
系数化为1，得；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
【点睛】此题考查了求一元一次不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
20．（2023春·山东菏泽·八年级校联考阶段练习）一次数学竞赛中，共有20道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分；80分以上（含80分）可以获奖，问若要获奖，至少要答对几道题？
【答案】至少要答对15题
【分析】设答对题，那么答错或者不答的有题，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：设答对题，那么答错或者不答的有题，
由题意得：，
解得：，
答：至少要答对15题．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，理解题意，列出不等式是解题的关键．
21．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）仔细观察下面的解法，请回答为问题.
解方程：
解：，
，
，
．
(1)上面的解法错误有________处；
(2)请写出正确的解方程步骤；
(3)若关于的方程的解为，原方程的解为，若为非负数，求的取值范围．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”即可判断错误之处；
（2）根据解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”重新计算即可；
（3）根据解一元一次方程的步骤用含a的式子表示出方程的解为，结合题意即得出关于a的一元一次不等式，解出a的解集即可．
【详解】（1）按原步骤解答则：
，应为，
最后的解应为．
∴上面的解法错误有2处．
故答案为：2；
（2）解：
去分母，得：
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（3）解：由题意可知．
解方程，
去分母，得：
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
∴．
∵为非负数，
∴
解得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次方程和不等式的步骤是解题关键．
22．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）先阅读下列例题，再按要求完成下列问题．例：解不等式．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①，或②，解不等式组①，得解不等式组②得，所以的解集为或．
(1)仿照上述方法解关于x的不等式；；
任务二：
(2)直接写出不等式的解集是___________．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）仿照材料，先把不等式转化为关于x的不等式组，然后通过解不等式组即可；
（2）仿照材料，先把不等式转化为关于x的不等式组，然后通过解不等式组即可．
【详解】（1）解：由得①，或②，
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：，
∴不等式的解集为或．
（2）解：由不等式，得①，或②，
解不等式组①，得：，
不等式组②无解，
∴不等式的解集为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解不等式组．解题的关键是理解题目中给出的材料，得出相应的不等式组．
23．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，．
(1)求常数，的值；
(2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据新定义的运算得出二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据新定义运算得出不等式组，然后求解得出，再由题意求解即可．
【详解】（1）由题意得，
解得，；
（2）由题意得，
解得．
∵要使恰有2个整数解，
∴，
解得．
【点睛】题目主要考查对新定义运算的理解，二元一次方程组的解法，不等式组的解法，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
24．（2023春·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每台的价格，年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)求a，b的值；
(2)计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少．
【答案】(1)a的值为100，b的值为150
(2)购买A型公交车8辆，B型公交车2辆
【分析】（1）根据“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列方程组求解可得；
（2）设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆，根据“总费用不超过1200万元、年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组求解m值，最后求出各方案的总费用进行对比即可．
【详解】（1）依题意得：，
解得：，
∴a的值为100，b的值为150；
（2）总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，理由如下：
设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆，
依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，8．
当时，，购买总费用为（万元）；
当时，，购买总费用为（万元）；
当时，，购买总费用为（万元）．
∴总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
【点睛】考查二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找到题目中的等量关系或者不等关系是解题的关键．
25．（2022春·福建福州·七年级校联考期末）在平面直角坐标系中，，，且满足
(1)若没有平方根，判断点位于第几象限，并说明理由；
(2)若为直线上一点，且的最小值为3，求点的坐标；
(3)已知坐标系内有两点，，为线段上一点，将点平移至点．若点在线段上，记的最小值为，最大值为，当时，请判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试讨论的取值范围．
【答案】(1)点在第二象限，理由见解析
(2)点的坐标是或
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据a没有平方根即可判断出a的符号从而可以确定a所在的象限；
（2）先根据所给条件求出b=a，从而得到轴．进而推出当时，最小，此时点在轴上，，得到或，据此求解即可；
（3）由（2）得，，，，且，从而推出，进而推出k=4，再由，或，推出，据此求解即可．
（1）
解：∵没有平方根，
∴，
∴，
∴点在第二象限．
（2）
∵
∴
∴．
∵，
∴轴．
∵点在直线上，且的最小值为3，
∴当时，最小，
此时点在轴上，，
∴或，
即点的坐标是或．
（3）
解：．
证明如下：由（2）得，，
，，且，
∴轴，轴，
∴．
点在点左侧，点在点左侧．
∵点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，且点在线段上，点在线段上，
∴，
∵，或，
∴，或，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平方根，坐标与图形，不等式组的应用，点的平移，三元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，6），C（c，3），a，b，c满足．
(1)若a＝2，求三角形ABC的面积；
(2)将线段BC向右平移m个单位，使平移后的三角形ABC的面积小于3，求m的取值范围；
(3)若点D（a+6，6），连接AD，将线段BC向右平移n个单位，若线段BC与线段AD有公共点，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)6
(2)或
(3)
【分析】（1）解方程组得出B（a，6），C（a-2，3），根据a＝2，求出B（2，6），C（0，3），判断出ABy轴，进而用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）延长BC交x轴于H，根据平移得出点H的坐标，再分两种情况，得出△AEF的面积，再用平移后的三角形ABC的面积小于3，即可得出结论；
（3）先表示出点B，C平移后对应的点P，Q坐标，最后用点P，Q分别落在线段AD上，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵a，b，c满足
∴
∴B（a，6），C（a-2，3），
当a=2时，B（2，6），C（0，3），A（2，0），如图，
∴ABy轴，
∴，
∴三角形ABC的面积为6；
（2）如图2，延长BC交x轴于H，
∵B（a，6），C（a-2，3），
∴点B向下平移3个单位，再左平移2到点C，
∴点C向下平移3个单位，再向左平移2个单位到点H，
∴H（a-4，0）
∵A（a，0），B（a，6），C（a-2，3），
∴线段BC向右平移m个单位得到EF，
∴E（a+m，6），F（a-2+m，3），
当点F在点G左边时，
=（m+a-a+4）×6-3m-（m+a-a+4）×3
=3（m+4）-3m-（m+4）
=-m+6，
∵线段BC向右平移m个单位到达EF处，使三角形ABC的面积小于3，
∴0＜-m+6＜3，
∴2＜m＜4，
当点F在点G右边时，
=3m+（m+a-a+4）×3-（m+a-a+4）×6
=3m+（m+4）-3（m+4）
=m-6，
∵线段BC向右平移m个单位，使三角形ABC的面积小于3，
∴0＜m-6＜3，
∴4＜m＜6，
综上所述：m的取值范围是2＜m＜4或4＜m＜6；
（3）如图3，B（a，6），C（a-2，3），
将线段BC向右平移n个单位得到线段PQ，
∴P（a+n，6），Q（a-2+n，3），
∵A（a，0），D（a+6，6），
∴点A向上平移6个单位，再向右平移6个单位到点D，
∴点A每向上平移一个单位，再向右移动一个单位得到的点必在线段AD上，
当线段BC平移到端点C和线段AD相交时，
即：点Q在线段AD上，此时点A向上平移3个单位，再先右平移3个单位得到点Q（a+3，3），
∴a-2+n=a+3，
∴n=5，
当线段BC平移到端点B和线段AD相交时，
即：点P在线段AD上，此时点A向上平移6个单位，再先右平移6个单位得到点P（a+6，6），此时点P与点D重合，
∴a+n=a+6，
∴n=6，
∵线段BC与线段AD有公共点，
∴5≤n≤6，
故答案为：5≤n≤6．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，解方程组的方法，解不等式，找出分界点是解本题的关键．
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
年载客量（万人/年）
60
100