2024年江苏省海安高级中学、宿迁中学高考数学模拟试卷-普通用卷

这是一份2024年江苏省海安高级中学、宿迁中学高考数学模拟试卷-普通用卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z1=1−2i，z2=a+2i(其中i为虚数单位，a∈R).若z1⋅z2是纯虚数，则a=( )
A. −4B. −1C. 1D. 4
2.直线xtanπ5+y−2=0的倾斜角为( )
A. π5B. 3π10C. 7π10D. 4π5
3.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5=5，a1+S11=46，则a3⋅a10是{an}中的( )
A. 第28项B. 第29项C. 第30项D. 第32项
5.在△ABC中，已知∠B=30∘，c=2，则“b= 2”是“∠C=45∘”成立的条件.( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
6.已知双曲线C：x24−y2=1，直线l：x−y+1=0.双曲线C上的点P到直线l的距离最小，则点P的横坐标为( )
A. 2 33B. 4 33C. −2 33D. −4 33
7.若命题：“∃a，b∈R，使得a−csb≤b−csa”为假命题，则a，b的大小关系为( )
A. abC. a≤bD. a≥b
8.设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为( )
A. 22−1B. −12C. − 22D. −1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为( )
A. 方差B. 平均数C. 中位数D. 众数
10.已知不等式(ax+3)(x2−b)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值可以为( )
A. −4B. −2C. 0D. 8
11.直线l与抛物线C：x2=2py(p>0)相交于A，B两点，过A，B两点分别作该抛物线的切线，与直线y=−p均交于点P，则下列选项正确的是( )
A. 直线l过定点(0,p)
B. A，B两点的纵坐标之和的最小值为2p
C. 存在某一条直线l，使得∠APB为直角
D. 设点Q(0,2p)在直线l上的射影为H，则直线FH斜率的取值范围是(−∞,− 3]∪[ 3,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合M={x|x2−5x+6≤0},N={x|csx<−12}，则M∩N=______.
13.已知函f(x)= x,014.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=2，E，F分别是棱AB，A1D1的中点，则平面CEF截该长方体所得的截面为______边形，截面面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC=λAB，且向量PC与BD夹角的余弦值为 1515.
(1)求实数λ的值；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知向量m=(csx,−sinx)，n=(csx,sinx−2 3csx)，x∈R.设f(x)=m⋅n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，若f(∠BAC)=1，AB=2，BC= 6，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD长.
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F2作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，且△AF1F2的周长是4+2 3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当AB=32DE时，求△ODE的面积.
18.(本小题17分)
设函数f(x)=(x−a)lnx−x+a，a∈R.
(1)若a=0，求函数f(x)的单调区间；
(2)若−2e2(3)求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的x∈(t,t+a)，f(x)19.(本小题17分)
“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B、C两类，抽到较易的B类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有A的卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为止.求该顾客取到写有B卡片的概率.
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到n条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同)，最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前k(1≤k①若n=4，k=2，求P；
②当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k+1k+1+⋯+1n−1=lnnk)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z1=1−2i，z2=a+2i，
则z1⋅z2=(1−2i)(a+2i)=a+4+(2−2a)i，
z1⋅z2是纯虚数，
则a+4=02−2a≠0，解得a=−4.
故选：A.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：直线xtanπ5+y−2=0可化为y=−xtanπ5+2，
所以斜率为k=−tanπ5=tan(π−π5)=tan4π5，
所以该直线的倾斜角为4π5.
故选：D.
根据直线方程求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角．
本题考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题，是基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种.
故选C.
4.【答案】C
【解析】解：等差数列{an}中，a5=a1+4d=5，a1+S11=12a1+55d=46，
解得，d=−2，a1=13，
所以an=13−2(n−1)=15−2n，
则a3⋅a10=9×(−5)=−45，
令15−2n=−45，
则n=30，
故是数列{an}的第30项．
故选：C.
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∠B=30∘，c=2，b= 2，
则sinC=csinBb=2×12 2= 22，
C∈(0,π)，
则C=45∘或135∘，
故“b= 2”是“∠C=45∘”成立的必要不充分条件．
故选：B.
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：设与直线l平行，与双曲线C相切的直线方程为x−y+m=0，
联立x−y+m=0x24−y2=1，消去x整理得3x2+8mx+4m2+4=0，
Δ=64m2−12(4m2+4)=0，
解得m=± 3，
由图可得m= 3时，符合题意，
所以3x2+8 3x+16=0，
解得x=−4 33，
即双曲线C上的点P到直线l的距离最小，则点P的横坐标为−4 33.
故选：D.
设与直线l平行，与双曲线C相切的直线方程为x−y+m=0，与双曲线方程联立，由Δ=0，可得m的值，由图象确定m的取值，从而解方程可得所求值．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：若命题：“∃a，b∈R，使得a−csb≤b−csa”为假命题，则∀a，b∈R，使得a−csb>b−csa，
即a+csa>b+csb恒成立，
令f(x)=x+csx，x∈R，
则f′(x)=1−sinx≥0，即f(x)在R上单调递增，
由f(a)>f(b)，可得a>b.
故选：B.
由题意得，∀a，b∈R，使得a−csb>b−csa，即a+csa>b+csb恒成立，构造函数f(x)=x+csx，x∈R，结合导数判断函数的单调性，利用单调性即可判断．
本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用，还考查了导数与单调性关系在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵a2+b22≥(a+b2)2，
∴a+b≥− 2(a2+b2)≥− 2c，a+b+c≥− 2c+c=( c− 22)2−12≥−12，
当且仅当a=b=−12，c=12时取等号．
∴(a+b+c)min=−12.
故选：B.
由已知结合基本不等式及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：平均数、中位数、众数和方差，它们从不同的角度反映了数据的数字特征，
平均数、中位数和众数都反映了总体数据集中趋势，方差反映的是总体数据的离散程度．
故选：BCD.
根据数据数字特征的性质求解．
本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：画出y=ax+3与y=x2−b在(0,+∞)上的图象如图所示时，
不等式(ax+3)(x2−b)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立，
由ax+3=0得x=−3a，x2−b=0得x=± b(负值舍去)，
此时b>0a<0−3a= b，结合a，b∈Z得a=−1，b=9或a=−3，b=1，
所以a+b=8或−2.
故选：BD.
结合y=ax+3与y=x2−b在(0,+∞)上的图象判断即可．
本题考查不等式的解法和性质，数形结合思想的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由题意，直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=kx+m，
联立方程组y=kx+mx2=2py，可得x2−2pkx−2pm=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则Δ=(−2pk)2+4×2pm>0，
且x1+x2=2pk，x1x2=−2pm，
对于A中，由抛物线x2=2py，可得y=12px2，则y′=xp，
所以在点A的切线方程为y−y1=x1p(x−x1)，即y−x122p=x1p(x−x1)，即y=x1px−x122p，
同理可得：在点B处的切线方程为y=x2px−x222p，
联立方程组y=x1px−x122py=x2px−x222p，解得y=x1x22p=−2pm2p=−m，
又因为过A，B两点的切线与直线y=−p均交于点P，所以−m=−p，
即m=p，所以直线l的方程为y=kx+p，恒过定点(0,p)，所以A正确；
对于B中，由y1+y2=kx1+p+kx2+p=2p(k2+1)≥2p，当且仅当k=0时，等号成立，
即A，B两点的纵坐标之和的最小值为2p，所以B正确；
对于C中，假设存在某一条直线l，使得∠APB为直角，即kPB⋅kPA=−1，
可得x1p⋅x2p=−1，即x1x2=−p2，又因为x1x2=−2p2，(此时矛盾)，
所以不存在直线l，使得∠APB为直角，所以C不正确；
对于D中，因为直线y=kx+p，所以kQH=−1k，
则直线QH的方程为y=−1kx+2p，联立方程组y=kx+py=−1kx+2p，
解得x=kpk2+1,y=(2k2+1)pk2+1，即H(kpk2+1,(2k2+1)pk2+1)，
又由F(0,p2)，所以FH的斜率为kFH=(2k2+1)pk2+1−p2kpk2+1=3k2+12k=12(3k+1k)，
当k>0时，3k+1k≥2 3k×1k=2 3，当且仅当k= 33时，等号成立；
当k<0时，3k+1k≤−2 3k×1k=−2 3，当且仅当k=− 33时，等号成立，
所以kFH≤− 3或kFH≥ 3，即直线FH的斜率为(−∞,− 3]∪[ 3,+∞)，所以D正确．
故选：ABD.
设直线l的方程为y=kx+m，联立方程组，求得x1+x2=2pk，x1x2=−2pm，根据题意，求得y′=xp，得出在点A和B处的切线方程，联立方程组求得y=−m，得到m=p，可判定A正确；由y1+y2=2p(k2+1)，可判定B正确；由kPB⋅kPA=−1，得到x1x2=−p2，可判定C不正确；求得直线QH的方程为y=−1kx+2p，联立方程组求得H的坐标，结合斜率公式和基本不等式，可判定D正确．
本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于难题．
12.【答案】{x|2π3【解析】解：由题意可得M={x|x2−5x+6≤0}={x|2≤x≤3}，
又csx<−12，解得2π3+2kπ即N={x|2π3+2kπ当k=0时，N={x|2π3当k<0时，M∩N=⌀，当k>0时，M∩N=⌀，
所以M∩N={x|2π3故答案为：{x|2π3先求出集合M和集合N，再求两者的交集．
本题考查集合的交集，属于基础题．
13.【答案】6
【解析】解：∵f(x)= x,0∴当0当a≥1时，2(a−1)=2(a+1−1)，无解．
综上：a=14，
∴f(1a)=f(4)=2(4−1)=6.
故答案为：6.
当0本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
14.【答案】五 11 176
【解析】解：过F作EC的平行线，交D1C1于M，交A1B1于P，连接PE，交A1A于N，连接FN，NE，
则直线FM与直线EC共面，且点N∈PE，P∈MF，E∈EC，
则点N也在直线FM与直线EC确定的面上，
所以可得五边形ECMFN为平面CEF截该长方体所得的截面，
如图：H为A1B1的中点，G为D1C1的中点，明显有CE//C1H//A1G，
所以FM//A1G，所以M为D1C1靠近D1的四等分点；
又D1M//A1P，且F为A1D1的中点，所以D1M=PA1，
又AE//A1P，所以A1NNA=PA1AE=D1MAE=12，
即N为A1A靠近A1的三等分点，所以FM= 1+1= 2，
MC= 32+22= 13，FC= 1+42+22= 21，FN= 1+(23)2= 133，
NE= (43)2+22=2 133，EC= 22+22=2 2，EF= 22+22+1=3，
cs∠FMC=2+13−212× 2× 13=−3 26，cs∠EFC=9+21−82×3× 2=113 21，cs∠NFE=139+9−4×1392× 133×3=73 13，
所以sin∠FMC= 1−(3 26)2= 17 26，sin∠EFC= 1−(113 21)2=2 173 21，sin∠NFE= 1−(73 13)2=2 173 13，
所以截面面积为S△FMC+SΔEFC+SΔNFE
=12× 2× 13× 17 26+12×3× 21×2 173 21+12× 133×3×2 173 13=11 176.
故答案为：五；11 176.
利用面面平行的性质以及基本事实，可得截面为五边形，根据截面面积为S△FMC+SΔEFC+SΔNFE，分别求解相加即可．
本题考查了正方体的截面问题，也考查了推理与运算能力，是难题．
15.【答案】解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)；
由DC=λAB，可得C(λ,2,0).
(1)PC=(λ,2,−2)，BD=(−1,2,0)，向量PC与BD夹角的余弦值为 1515.
可得 1515=−λ+4 λ2+8⋅ 1+4，解得λ=10(舍去)或λ=2.
实数λ的值为2.；
(2)PC=(2,2,−2)，PD=(0,2,−2)，平面PCD的法向量n=(x,y,z).
则n⋅PC=0且n⋅PD=0，即x+y−z=0，y−z=0，∴x=0，
不妨令y=z=1，则平面PCD的法向量n=(0,1,1).
又PB=(1,0,−2).
故cs=n⋅PB|n||PB|=− 105.
直线PB与平面PCD所成角的正弦值为： 105.
【解析】本题考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角，直线和平面所成角的方法，能求空间点的坐标，向量坐标的数乘运算，向量夹角余弦的坐标公式，理解平面法向量的概念，弄清直线和平面所成角，与直线的方向向量和法向量所成角的关系．
(1)根据已知条件即可建立坐标系：以A为坐标原点，分别以边AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点P，A，B，C，D点的坐标，利用向量PC与BD夹角的余弦值为求出λ的值；
(2)求出平面PCD的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
16.【答案】解：(1)f(x)=cs2x−sinx(sinx−2 3csx)=cs2x−sin2x+2 3sinxcsx= 3sin2x+cs2x=2( 32sin2x+12cs2x)=2sin(2x+π6)，
令2kπ−π2<2x+π6<2kπ+π2，k∈Z，则kπ−π3所以函数的单调增区间为(kπ−π3,kπ+π6)，k∈Z；
(2)由题意得：2sin(2∠BAC+π6)=1，
因为0<∠BAC<π，所以π6<2∠BAC+π6<13π6，即2∠BAC+π6=5π6，所以∠BAC=π3，
在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC，
即6=4+AC2−2AC，解得AC= 3+1，
因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以S△BAD+S△CAD=S△ABC，
所以12AB⋅AD⋅sinπ6+12AC⋅AD⋅sinπ6=12AC⋅AB⋅sinπ3，
所以12AD+ 3+14AD= 3( 3+1)2，解得AD=2.
【解析】(1)由平面向量数量积的运算和三角恒等变换化简后结合正弦函数的单调性即可求得；
(2)由题可得∠BAC=π3，再由余弦定理求出AC，再由等面积法建立方程求解即可．
本题考查平面向量的数量积运算，三角函数的值域，正余弦定理的应用和三角形的面积公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为e= 32，知ca= 32，
所以c= 32a.
因为△AF1F2的周长是4+2 3，所以2a+2c=4+2 3，
所以a=2，c= 3，故b2=a2−c2=1，
所以椭圆C的方程为：x24+y2=1；
(2)分析知直线的斜率存在，且不为0，设1的方程为：x=my+ 3，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
与椭匮方程联立x24+y2=1x=my+ 3，整理可得：(4+m2)y2+2 3my−1=0，
可得y1+y2=−2 3m4+m2，y1y2=−14+m2，
所以写出|AB|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2⋅ 12m2(4+m2)2−4⋅−14+m2=4(1+m2)4+m2，
由题意同理可得|DE|=4[1+(−1m)2]4+(−1m)2=4(1+m2)1+4m2，
因为|AB|=32|DE|，
所以4(1+m2)4+m2=32×4(1+m2)1+4m2，
解得m2=2，所以|DE|=43，
所以直线l2的方程为y=± 2(x− 3)，
所以O到直线l2的距离d= 6 (± 2)2+12= 2，
故S△ODE=12× 2×43=2 23.
【解析】(1)由椭圆的离心率可得a，c的关系，再由△AF1F2的周长可得a，c的关系，进而求出a，c的值，再求出b的值，求出椭圆的方程；
(2)设直线l1的方程，与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|的表达式，由题意可得|DE|的表达式，由题意可得参数的值，即求出直线l2的方程，再求出原点O到直线l2的距离d，代入三角形的面积公式，可得△ODE的面积．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=xlnx−x，f′(x)=lnx，
令f′(x)=0，x=1，列表分析
故f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞).
(2)f(x)=(x−a)lnx−x+a，f′(x)=lnx−ax=xlnx−ax，其中x>0，
令g(x)=xlnx−a，分析g(x)的零点情况．g′(x)=lnx+1，令g′(x)=0，x=1e，
列表分析：
g(x)min=g(1e)=−1e−a，
而f′(1e)=ln1e−ae=−1−ae，f′(e−2)=−2−ae2=−(2+ae2)，f′(e2)=2−ae2=1e2(2e2−a)，
若−2e20，
因此f′(x)在(e−2,e2)有一个零点，f(x)在(e−2,e2)内有一个极值点．
(3)猜想：x∈(1,1+a)，f(x)证明如下：
由(2)得g(x)在(1e,+∞)上单调递增，且g(1)=−a<0，g(1+a)=(1+a)ln(1+a)−a.
因为当x>1时，lnx>1−1x(*)，所以g(1+a)>(1+a)(1−1a+1)−a=0.
故g(x)在(1,1+a)上存在唯一的零点，设为x0.由
知，x∈(1,1+a)，f(x)又f(1+a)=ln(1+a)−1，而x>1时，lnx所以f(1+a)<(a+1)−1−1=a−1=f(1).
即x∈(1,1+a)，f(x)所以对任意的正数a，都存在实数t=1，使对任意的x∈(t,t+a)，使 f(x)补充证明(*)：
令F(x)=lnx+1x−1，x≥1.F′(x)=1x−1x2=x−1x2≥0，
所以F(x)在[1,+∞)上单调递增．
所以x>1时，F(x)>F(1)=0，即lnx>1−1x.
补充证明(**)
令G(x)=lnx−x+1，x≥1.G′(x)=1x−1≤0，
所以G(x)在[1,+∞)上单调递减．
所以x>1时，G(x)【解析】(1)求解f′(x)=lnx，利用f′(x)>0，f′(x)<0，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间．
(2)f′(x)=lnx−ax，其中x>0，再次构造函数令g(x)=xlnx−a，分析g(x)的零点情况．g′(x)=lnx+1，令g′(x)=0，x=1e，列表分析得出g(x)单调性，判断g(x)min=g(1e)=−1e−a，由−2e2≤a<0，可判断f′(x)的零点个数，即可判断f(x)的极值点个数．
(3)先猜想x∈(1,1+a)，f(x)本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题，考查了不等式与导数的结合，难度较大．
19.【答案】解：(1)8张完全相同的卡片，3张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，由抽取规则可知，
该顾客取到写有B卡片的概率为P=38+38×37+38×27×36+38×27×16×35=35；
(2)①这4条灯谜的位置从第1条到第4条排序，有A44=24种情况，
要摘到最适合的灯谜，有以下两种情况：
最适合的灯谜是第3条，其他的灯谜随意在哪个位置，有A33=6种情况，
最适合的灯谜是最后1条，第二适合的灯㴹是第1条或第2条，其他的灯㴹随意在哪个位置，有2A22=4种情况，
故所求概率为P=6+424=512；
②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，事件Bj表示最适合的灯谜在灯谜中排在第j条，
因为最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，所以P(Bj)=1n，
以给定所在位置的序号作为条件，P(A)=j=1nP(A|Bj)P(Bj)=1nj=1nP(A|Bj)，
当1≤j≤k时，最适合的灯㴹在前k条灯㴹之中，不会被摘到，此时P(A|Bj)=0，
当k+1≤j≤n时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前j−1条灯谜中的最适合的一条在前k条灯谜中时，此时P(A|Bj)=kj−1，
由全概率公式知P(A)=1nj=k+1nkj−1=knj=kn−11j=knlnnk，
令函数g(x)=xnlnnx(x>0),g′(x)=1nlnnx−1n，
令g′(x)=0，则x=ne，
当x∈(0,ne)时，g′(x)>0，当x∈(ne,n)时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,ne)上单调递增，在(ne,n)上单调递减，
所以g(x)max=g(ne)=1e，
所以当k=ne时，P(A)=knlnnk取得最大值，最大值为1e，此时t=1e，
即P的最大值为1e，此时t的值为1e.
【解析】(1)由分类加法原理和分步乘法原理求解；
(2)①由题意可知，要摘到最适合他的灯谜，有两种情况，最适合他的灯谜是第3条和最适合他的灯谜是最后1条，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果；
②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，根据条件概率和全概率公式求出P(A)，再用导数求出最值即可．
本题考查了概率和导数的综合应用，属于难题．x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
单调递增
x
(0,1e)
1e
(1e,+∞)
g′(x)
-
0
+
g(x)
单调递减
单调递增
x
(1,x0)
x0
(x0,1+a)
f′(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
单调递增