2024年江西省吉安市青原区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 下列各数中，最大的是（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数大小的比较方法进行比较即可．
【详解】解：∵-2<<0<1，
∴最大的是1，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数大小的比较，正数大于零，零大于负数，对于两个负数而言，绝对值大的反而小．
2. 从年全国教育工作会议上了解到，我国高校目前有博士研究生万人，成为高校科研的生力军．将万用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了大数的科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则．
【详解】解：万，
，
故选：C．
3. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握该定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】A、是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查单项式除单项式，根据单项式除单项式运算法则求解即可．
【详解】原式
故选：B．
5. 如图，，点，分别在，上，平分．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可求得的度数．
【详解】解：∵，平分，
，
，
∵，
，
故选：A．
6. 如图，在中，，，，点在边上，，要求的长，以下作辅助线的方法不恰当的是（ ）
A. 过点作B. 过点作
C. 过点作D. 过点作
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，
首先求出，然后利用勾股定理求出，得到，然后分别根据相似三角形的性质和勾股定理逐项求解判断即可．
【详解】∵在中，，，，
∴，
∴
∵
∴
A．如图所示，过点作，
∴
∴
∴
∴，即
解得，
∴
∴，可以求出的长，故A不符合题意；
B．如图所示，过点作，
∵，和的长度都不知道，
∴无法利用勾股定理求解，且没有相似三角形，故也无法利用相似三角形的性质求解，
∴作辅助线的方法不恰当，符合题意；
C．如图所示，过点作
∵，
∴
∴
∴
∴，可以求出的长，故C不符合题意；
D．如图所示，过点作
∴
∴
∴
∴，即
解得，
∴
∴，可以求出的长，故D不符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 单项式的次数是_________．
【答案】3
【解析】
【详解】解：单项式的次数是2+1=3．
故答案为3．
8. 分解因式：4x2–1=_______________．
【答案】（2x+1）（2x–1）
【解析】
分析】利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：原式=（2x+1）（2x－1）．
故答案为：（2x+1）（2x–1）．
【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
9. 如图，在中，，点，分别在边，上，，则的度数为______．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题主要考查等边对等角，三角形外角的性质等知识，根据等边对等角可得出，再根据平角的意义求出，最后根据外角的性质得出
【详解】解：∵，
∴
∵且
∴
∴
故答案为：
10. 古希腊数学家毕达哥拉斯发现：数量为的圆点，可以排成三角形，如图所示，我们把这样的数称为“三角形数”．根据图中点的数量规律，第n个“三角形数”可表示为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查数字的变化规律问题，根据数列得出第n个数为是解题的关键．
【详解】解：根据所给的数据发现：第1个三角形数是1，
第2个三角形数是，
第3个三角形数是，…，
第n个三角形数，
∴第n个三角形数为．
故答案为：．
11. 小明步行上学，用的速度走完了前一半路程，若他在整个路程中的平均速度是，则他走完另一半路程的平均速度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，先求出总时间，再运用总路程除以总时间等于整个过程的平均数，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：设总路程为，他走完另一半路程的平均速度为
∵用的速度走完了前一半路程
∴前一半路程的时间是，前一半路程的时间是
总时间为
∴
解得
经检验：是原分式方程的解
故答案为：
12. 如图，在矩形中，为的中点，点在下方矩形的边上．当为直角三角形，且为直角顶点时，的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．若是直角三角形，有三种情况：①当点在上时，②当点在上时，分别求解即可．
详解】如图，
当点在上时，为的中点，
．
当点在上时，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
设，则，
由，得，
解得．
或．
综上，的长为或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解不等式：．
（2）如图，在菱形中，点，在对角线上，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次不等式，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，
（1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）首先根据菱形的性质得到，，然后证明出，进而得到．
【详解】（1）解：
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
解得；
（2）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
．
．
14. 如图，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作的平分线；
（2）在图2中，分别在，上取点，，作，，使．
【答案】（1）详见解析 （2）详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，
（1）如解图所示，射线即为所求；
（2）如解图所示，点E，F即为所求；
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决此题的关键．
【小问1详解】
如图所示，过A，D作射线， 即为所求
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴平分，
∴射线即为所求；
【小问2详解】
如图所示，延长交于点
由（1）知：，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴点E，F即为所求．
15. 解方程组，下面是两同学的解答过程：
小春：
解：将方程变形为．
小冬：
解：将方程两边同乘2，得到，再与另一个方程相加，得到．
（1）小春解法的依据是______，运用的方法是______；小冬解法的依据是______，运用的方法是______．（填序号）
①等式的性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法．
（2）请选择你认为更简捷的解法，完成解答过程．
【答案】（1）①，④；②，⑤
（2）解答过程见详解
【解析】
【分析】本题考查了等式性质、代入法和加减法消元解二元一次方程组．
（1）利用等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程；
（2）用代入法消元解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：小春的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法；小东的解法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法；
故答案为：① ④；② ⑤
小问2详解】
将方程两边同乘2，
得到，
再与另一个方程相加，
得，
解得．
将代入方程，
得，
原方程组的解为．
16. 桌上放着四瓶外观无差别的矿泉水，其中有一瓶过了保质期．
（1）小明从中随机取一瓶，取到未过保质期的矿泉水的概率为______，他取到牛奶是______（填“随机”“不可能”“必然”）事件；
（2）若小明和小慧从中各取一瓶，求所取的两瓶都未过保质期的概率．
【答案】（1），不可能
（2）
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类和求概率，掌握事件的分类和求概率的方法是解题关键．
（1）利用概率公式直接求概率即可；利用随机事件、不可能事件和必然事件的概念确定事件分类；
（2）画出树状图，利用树状图求等可能事件的概率．
【小问1详解】
解：总共瓶，未过保质期的有瓶，
则小明从中随机取一瓶，取到未过保质期的矿泉水的概率为；
瓶中没有牛奶，
则他取到牛奶是不可能事件，
故答案为：，不可能．
【小问2详解】
将四瓶矿泉水记为，，，，其中未过保质期，过了保质期．
㮛据题意，画出如下树状图：
由树状图可以得出，所有可能出现的结果共有12种，且这些结果出现的可能性相等，其中所取的两瓶都未过保质期的结果有6种，
所以（两瓶都未过保质期）．
17. 如图，在正方形中，边在轴上，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标和的长．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质及已知，求得正方形的边长，则可求得点D的坐标，由点D在反比例函数图像上，即可求得k的值，从而确定函数解析式；
（2）由（1）中所求，可得长度，即点F的横坐标，从而求得点F的纵坐标，最后求出的长．
【小问1详解】
解：在正方形中，，
，．
由勾股定理得，
．
，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，即反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：，
，即点的横坐标为7．
由反比例函数的解析式，得点的纵坐标为．
点的坐标为．
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为了丰富学生课外活动，提高学生的综合素质，八年级某班购买了20套课外阅读书和10套体育运动器材，共花费了7200元，其中每套器材的价格比每套书多240元．
（1）求每套阅读书和每套运动器材的价格；
（2）一段时间后，发现阅读书和器材不够；若使用剩余班费1040元，并要求至少购买2套阅读书，则最多可购买多少套运动器材？
【答案】（1）每套阅读书160元，每套运动器材400元
（2）最多可购买1套运动器材
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键．
（1）设每套阅读书和每套运动器材的价格分别为元、元，根据购买了20套课外阅读书和10套体育运动器材，共花费了7200元，其中每套器材的价格比每套书多240元，列出方程组进行求解即可；
（2）设可购买套运动器材，根据题意，列出一元一次不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设每套阅读书和每套运动器材的价格分别为元、元．
根据题意，得解得
答：每套阅读书160元，每套运动器材400元．
【小问2详解】
设可购买套运动器材．
根据题意，得．解得．
答：最多可购买1套运动器材．
19. 课本再现
（1）如图1，是的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
知识应用
（2）如图2，，，三点均在上，的延长线交于点，若的直径为8，，，求的长．

【答案】（1）直径所对的圆周角是，证明见解析，（2）
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
（1）连接．由得．再由即可得出结论；
（2）延长交于点，连接．可得．可证得，从而得出．再证，可得，求得，再求解即可．
【详解】解：（1）直径所对的圆周角是．
证明：如图，连接．

，
．
，
．
∴直径所对的圆周角是
（2）如图，延长交于点，连接．

．
的直径为8，
．
，
．
，即．
，
在中，．
由，
得．
，即．
．
．
20. 图1是某政府机构办公楼前的标牌，将其外形抽象为图2，已知垂直于水平地面，，，，，．
（1）求证：．
（2）若，求标牌的高度（即点到地面的距离）．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，四边形内角和．解题的关键是把所给的所有线段都整理到直角三角形或矩形中．
（1）延长交水平地面于点．利用平行线性质得到，再结合四边形内角和，以及等量代换，即可证明；
（2）过点分别向，作垂线，，垂足分别为，．利用四边形内角和得到，利用解直角三角形得到，，由题易知四边形为矩形，得到，再根据标牌的高度为求解，即可解题．
【小问1详解】
证明：如图，延长交水平地面于点．
，，
，即．
， ，
在四边形中，，
在四边形中，，
．
【小问2详解】
解：如图，过点分别向，作垂线，，垂足分别为，．
，
．
，，，
，．
与都垂直于地面，．
四边形为矩形，
，
即标牌的高度为．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 为了全面提升中小学生体质健康水平，某市开展了儿童青少年“正脊行动”．该市人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查，根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表

（1）求所抽取的学生总人数；
（2）求扇形统计图中，“重度侧弯”所在扇形的圆心角的度数；
（3）该校共有学生人，请估计脊柱侧弯程度为中度和重度的学生总人数；
（4）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．
【答案】（1）人
（2）
（3）该校学生中脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数约为．
（4）该校学生中脊柱侧弯人数占比为，说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重，建议学校要每天组织学生做护脊操等
【解析】
【分析】（）根据类检测人数及被百分数即可解答；
（）根据扇形统计图的百分数即可解答；
（）根据扇形统计图可知脊柱侧弯程度为中度和重度的学生所占百分比．
【小问1详解】
解：∵类检测人数为人，类所占百分数为，
∴（人）．
∴所抽取的学生总人数为人；
【小问2详解】
解：∵类的人数为人，
∴类所占百分数为，
∴，
∴ “重度侧弯”所在扇形的圆心角的度数为．
【小问3详解】
解：∵由扇形图可知：脊柱侧弯程度为中度和重度的学生所占百分比，
∴（人），
∴该校学生中脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数约为．
【小问4详解】
解：该校学生中脊柱侧弯人数占比为，说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重，建议学校要每天组织学生做护脊操等．
【点睛】本题考查了扇形统计图及数据整理的相关知识点，掌握扇形统计图的相关运算是解题的关键．
22. 如图，在和中，，且．连接，．
（1）求证：．
（2）在图2中，点，，在同一直线上，且点在上，若，求的值（用含，的代数式表示）．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等：
（1）只需要证明．即可证明．
（2）先根据对边对等角和三角形内角和定理得到．则．再证明．得到．则，据此可得答案．
小问1详解】
证明：，
．
，
．
．
【小问2详解】
解：在图2中，点，，在同一直线上，
，
．
．
，
．
，即．
．
．
．
六、（本大题共12分）
23. 如图1，在矩形中，为的中点，点沿折线运动，以为边作正方形，设点运动的路线为，在运动过程中正方形的面积为．
初步感知：
（1）当点在上运动时，若，则______；关于函数关系式为______．
（2）当点在上运动时，经探究发现，是关于的二次函数，请求出关于的函数解析式．
延伸探究：
（3）图2为点在运动过程中关于的函数关系图象，请结合图象信息解决如下问题：
①当点运动到的延长线过点时，______，______；若图象上点和点的横坐标分别为和，根据点的运动过程可知，当时，点的坐标为______．
②点在上运动的过程中，是否存在点的两个位置，（均为整数），使得对应的，满足？如果存在，求出，的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）3，；（2）；（3）①4或6，8或20；，②存在，
【解析】
【分析】本题考查点的运动和画函数图象，相似三角形的判定和性质，勾股定理，能利用分类讨论是解题的关键．
（1）根据正方形的面积公式得到函数关系式，代入自变量的值即可解题；
（2）利用勾股定理解题即可；
（3）①利用得到，进而得到方程解题即可；
②运用分类讨论，利用方程解题即可．
【详解】解：（1）当点在上运动时，，
当时，，
故答案为：3，；
（2）当点在上时，即当时，
．
．
，
当时，关于的函数解析式为．
（3）①解：如图，当运动到的延长线过点时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或，
当时，；
当时，；
由图可知，点的横坐标为，
又∵，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：4或6；8或20；；
②当点在上运动时，．
①当时，．
．
解方程，得（负值舍去），
不是整数，
这种情况不存在．
②当时，．
．
解方程，得（负值舍去）．
，符合题意．
③当时，．
，
解方程，得（负值舍去）．
不是整数，
这种情况不存在．
④当时，．
．
解方程，得（负值舍去）．
，且不是整数，舍去．
综上所述，当时，．类别
检查结果
人数
正常
轻度侧弯
▲
中度侧弯
重度侧弯
▲