2024年上海市静安区中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列实数中，不是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四个选项中所表示的的取值范围与图中表示的的取值范围相同的是（ ）
A. 满足的
B. 代数式中的
C. 的三边长分别为和
D. 到所表示点的距离不大于的点所表示的
3. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 下列函数中，当时，随增大而增大是（ ）
A. B.
C. D.
5. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 取一切实数D.
6. 某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（ ）
A. ①正确、②错误B. ①错误、②正确C. ①、②正确D. ①、②都错误
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 9的平方根是_________．
8. 分解因式：______．
9 方程的解是_____．
10. 已知直线不经过第四象限，则的取值范围是______．
11. 从分别标有1至10（十个自然数）的十张（除数字外其他完全相同）卡片中任意抽取一张，恰好为素数的概率是______．
12. 二元一次方程的正整数解为 ______．
13. 化简：______．
14. 为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为_____人．
15. 已知：中，，平分，，，的余弦值为______．
16. 已知为半径为1的上两点，在线段上，，若，则关于的数量关系式为______．
17. 如图，平行四边形的顶点在双曲线上，，，与轴交于点，若与四边形的面积比为，则的值为______．

18. 折纸能够制作广泛的几何图形，解决数学问题．下面是解决某个数学问题的折纸过程：（1）长方形纸片沿某直线折叠，使点与点重合，折痕交于点；（2）展开后，沿过点的直线折叠，使点落在边上点处．连结，用量角器测得，则长方形纸片中的值为______．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
20. 解方程组：．
21. 已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）点的坐标；
（3）的余弦值．
22. 如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于图2所示的曲边三角形，其中等边的边长为，分别以为圆心，为半径作，为的中心．
（1）若为上任意一点，则的最小值为______，最大值为______．
（2）转子沿圆转动时，始终保持与相切，的半径为，的半径为，当圆心在线段的延长线上时，求两点间的距离的平方．
23. 已知：如图，四边形的对角线相交于点，，；
（1）求证：．
（2）过点作交延长线于点，延长、交于点，分别取中点，联结，求证：平分．
24. 己知直角坐标平面中，为原点，抛物线经过点、，点为抛物线顶点．
（1）当时，求抛物线解析式及顶点坐标．
（2）若点在直线上，且，求抛物线的解析式．
（3）联结交于点，当为等腰三角形时，求的值．
25. 已知：四边形中，，，分别为中点，相交于点．
（1）如图，如果，求证：．
（2）当，时，求的长；
（3）当为直角三角形时，线段与之间有怎样的数量关系？并说明理由．