河南省洛阳市西工区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 若 有意义，则x可以是下面的哪个值（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零且分母不为零的条件是解题的关键．根据被开方数不小于零且分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得且．
则只有0符合．
故选：A
2. 下列二次根式中，能与 进行合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．与不能合并，故本选项不符合题意，
B．与不能合并，故本选项不符合题意，
C．与能合并，故本选项符合题意，
D．与不能合并，故本选项不符合题意，
故选：C．
3. 已知中，、、分别是、、的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
【详解】解：A、，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
B、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、，，
，
为直角三角形，故此选项不符合题意；
、，，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：B
解：．正确，不符合题意；
设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：B
4. 已知平行四边形中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
5. 如图，菱形中，， ，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质，可知，，，从而在中，，所以，再根据勾股定理求得，即得答案．
【详解】四边形是菱形，
，， ，
，
，
，
．
故选C．
6. 计算的结果估计在（ ）
A. 与之间B. 与之间C. 与之间D. 与之间
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，先对二次根式进行运算，再利用夹逼法对化简后的结果进行估算即可求解，掌握二次根式的运算法则和夹逼法是解题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴的结果估计在与之间，
故选：．
7. 如图，在中，，是边上的高，垂足为，点在边上，连接，为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A. 3B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据 “三线合一”得到，根据三角形中位线定理计算得到即可．
【详解】解：，
．
，，
，
，
是的中位线，
．
．
．
．
故选：．
8. 学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（ ）
A. 12 米B. 10 米C. 6 米D. 15米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】设旗杆米，则米，根据勾股定理可得，
，
，
解得．
故选：A
9. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接、，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由是等边三角形，四边形是正方形，可得，，，，，可得，，所以，由，可得的度数．
【详解】解：是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．
10. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形．已知为较长直角边，问，当正方形的面积是小正方形面积的倍时，两条直角边与的数量关系是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理；设，．则正方形ABCD的面积，根据正方形的面积是小正方形面积的倍，得出，即可求解．
【详解】解：由题意可知，
∵正方形的面积是小正方形面积的倍，
∴
∴
∴
即
故选：C．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 实数在数轴上的位置如图所示，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】由a在数轴上对应点的位置可得：1 ＜a＜2，从而得到：a-1＞0，a-2＜0，再利用绝对值和二次根式的意义化简即可．
【详解】由题意得：1＜a＜2，
∴a-1＞0，a-2＜0，
∴
故答案为： 1．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，二次根式的化简，同时考查了利用数轴比较数的大小，去括号，整式的加减运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为_____．

【答案】225
【解析】
【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
【详解】正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，
则AC2+BC2＝225，
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225．
故答案为225．
【点睛】本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
13. 依次连接菱形各边中点所得到的四边形是 ________．
【答案】矩形
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，平行线性质等知识点的运用，主要考查学生能否正确运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中．连接、交于，根据三角形的中位线定理推出，，得出四边形是平行四边形，根据菱形性质推出，推出，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、交于，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，，
四边形平行四边形，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
平行四边形是矩形，
故答案为：矩形．
14. 从4 地出发前往B地由于被一座山隔开而导致公路无法直达，需绕道C地，这大大影响了A、B两地居民的日常生活，现在国家决定投资从A地修建一条隧道(如图中虚线所示)穿过山直达 B地． 现在测得公路长42千米，长50千米，的中点 D、的中点E 之间距离长20千米．A、B间直达公路通车后，通行距离将比原来绕道 C 地缩短了_______ 千米．
【答案】52
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线的应用．熟练掌握三角形中位线性质，线段的和差，是解决问题的关键．
根据三角形中位线性质求出的长，由线段的和差即得．
【详解】∵的中点为D，的中点为E，，
∴,
∵，，
∴．
∴A、B间直达公路通车后，通行距离将比原来绕道 C 地缩短了52千米．
故答案为：52．
15. 如图，在平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q 也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为_________．
【答案】3或9##9或3
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，一元一次方程的应用，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．先由平行四边形的性质得出，再根据平行四边形的判定得出要以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则，分两种情况讨论，分别表示出，列出对应的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
若要以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则，
当时，，
∵，
∴，
∴，解得；
当时，，
∴，解得；
综上，t的值为3或9，
故答案为：3或9．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
【小问1详解】
解：原式=
=
=
【小问2详解】
解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
17. 如图，中，、、分别是边、、的中点，是边上的高，连接、，猜想、的数量关系并说明理由．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据三角形中位线定理得到，等量代换证明结论．
【详解】解：，
理由如下：是边上的高，
，
是的中点，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
．
18. 学校教学楼边有一块草坪如图所示，学校现在为了扩大学生课间的活动区域，需要给草坪铺上地砖，后勤师傅经过市场调研得知铺砖的费用为300元平方米．张老师得知此事后，决定带领学生协助后勤师傅完成此项工作，经过测量得知：米，米，米，米，且．请同学们与张老师一起计算一下此次学校总计花费多少元．
【答案】总花费10800元
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接，如图，
，
，
米，米，
米，
米，米，
，
∴，
为直角三角形，
这块草坪的面积（平方米），
（元，
答：此次学校总计花费10800元．
19. 已知：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（1）画线段且使，连接；
（2）线段的长为__________，的长为 __________，点A到线段的距离为__________；
（3）为 __________三角形，四边形的面积为 __________．
【答案】（1）见解析 （2），，2
（3）直角，10
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定和性质：
（1）利用网格特点画出即可；
（2）利用勾股定理计算长，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，利用面积法求点A到线段的距离；
（3）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，利用平行四边形面积公式计算四边形的面积．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
解：，，
四边形是平行四边形，
由格点知，，
，
，即，
是直角三角形，
设点A到线段距离为h，则，
，
即点A到线段的距离为2，
故答案为：，，2；
【小问3详解】
解：，即，
是直角三角形，
由（2）知四边形是平行四边形，点A到线段的距离，
四边形的面积为：，
故答案为：直角，10．
20. 如图，中，、、分别在边、、上，且，，延长到，使，求证：和互相平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键；由，，可得四边形是平行四边形，进而可得，由可得，进而可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得证．
【详解】连接，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴和互相平分．
21. 小芳同学在学习完平行四边形这一章后，遇到这样一个问题：在矩形中， E 为边 上一点，F 为边上一点， 且、之间的距离为6，则的长是多少？
小芳同学思考后，提出了这样的解题思路：
解：如图，过点E做 垂足为 H．
则由题意得 _______．
………
请你在横线上写出的长，并补全解题过程求出的长．
【答案】6，，见解析
【解析】
【分析】根据、之间的距离为6，可得，先证明，即有，进而可证明四边形为菱形，设，则，在中，由勾股定理得， ，问题随之得解．
【详解】∵、之间的距离为6，
∴，
故答案为：6，
∵ 四边形为矩形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为菱形，
∴设，则，
∴在中，由勾股定理得，
，即 ，
解得 ，即 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，灵活证明四边形为菱形，是解答本题的关键．
22. （）填空（只填写符号：，，）
当，时， ；
当时， ；
当时， ；
当时，
（）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；
（）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？
【答案】（）；；；；（），证明见解析；（）．
【解析】
【分析】（）把各组的值分别代入和中计算，即可判断它们的大小关系；
（）由，利用完全平方公式展开，变形后即可得到 ；
（）设长方形的长宽分别为，则，利用()中的结论得到，则，进而可确定镜框周长的最小值；
本题考查了二次根式非负性的应用，掌握二次根式的非负性是解题的关键．
【详解】解：（）当时，，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
故答案为：；；；；
（）．
证明：∵，
∴，
∴；
（）设长方形的长为，宽是，则，
∵，
∴，
∴，
即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是．
23. 综合与实践课上，刘老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，
（2）迁移探究
爱动脑的小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点在上时， ；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断的度数，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）①；②，见详解
（3）或
【解析】
【分析】（1）连接，由于折叠，，垂直平分，所以，即是等边三角形，可得的度数；
（2）①由于折叠，，所以，，，而四边形是正方形，则，，可得，，由，可证，则，因为，可得的度数；②：同①可求的度数；
（3）分两种情况讨论，当点Q在点F下方时：根据折叠以及正方形的性质设，则，，，对运用勾股定理得，；当点Q在点F上方时：同上可得方程，解方程求解即可．
【小问1详解】
解：连接，
，
由于折叠，，垂直平分，
，
∴是等边三角形，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①四边形是正方形，
，，
由于折叠，，
，，，
，，
，
∴，
，
，
∴，
，
故答案为：；
②四边形是正方形，
，，
由于折叠，，
，，，
，，
，
∴，
后同①可求；
【小问3详解】
当点Q在点F下方时，如图：
由于折叠，，
，
，，
设，则，，，
由勾股定理得，，
解得：，
；
当点Q在点F上方时，如图：
，
，，，
，，
，
设，则，
由勾股定理得，，
解得：，
，
综上，或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．