2024年新高考数学冲刺-椭圆中6种常考基础题型（原卷版+解析版）

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考点二：椭圆中有关三角形的周长问题

图一 图二
如图一所示：的周长为
如图一所示：的周长为
考点三：椭圆上一点的有关最值
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为，距离的最小值为．
考点四：椭圆的离心率
椭圆的离心率，
考点五：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
考点六：中点弦问题（点差法）
中点弦问题：若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
【题型目录】
题型一：椭圆的定义有关题型
题型二：椭圆的标准方程
题型三：椭圆的离心率
题型四：椭圆中焦点三角形面积
题型五：椭圆中中点弦问题
题型六：椭圆中的最值问题
【典型例题】
题型一：椭圆的定义有关题型
【例1】已知△ABC的周长为10，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵△ABC的周长为10，顶点，，
∴，，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，∵，∴，
又因为三点构成三角形，
∴椭圆的方程是.
故选：A．
【例2】如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）．
A．不存在B．椭圆C．线段D．双曲线
【答案】B
【解析】表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆，故选：B
【例3】设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因，所以，所以
【例4】、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】如图，直线与直线相交于点N，由于PM是的平分线，且PM⊥，
所以三角形是等腰三角形，所以，点M为中点，因为O为的中点，
所以OM是三角形的中位线，所以，其中，
因，所以，所以，所以选
【例5】已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（ ）
A．10 B．15C．20D．25
【答案】C
【解析】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，则为的中点，为的中点，所以，同理，所以
【例6】方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方程x2＋ky2＝2可变形为：，表示焦点在x轴上的椭圆，则有：，
解得.易知当时，，当时未必有，所以是的充分但不必要条件.故选B.
【例7】点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆：，得：，
当点在椭圆上时，周长最大，为，
当点在轴上时，去最小值，为，
又因点为椭圆内部的动点，
所以周长的取值范围为.
故选：C.
【例8】椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（ ）
A．7倍 B．6倍C．5倍D．4倍
【答案】C
【解析】由题意知：，所以，因，所以，所以
【题型专练】
1.已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A．（x≠0）B．（x≠0）
C．（x≠0）D．（x≠0）
【答案】B
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，
∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4∴b2＝20，
∴椭圆的方程是故选B．
2.焦点在x轴上的椭圆 焦距为8，两个焦点为，弦AB过点，则的周长为（ ）
A．20B．28C．D．
【答案】D
【解析】由题意知 ，因为，所以，解得，所以的周长为，故选：D
3.（2021新高考1卷） 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9D. 6
【答案】C
【解析】因，所以
4.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．
【详解】
解：由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
5.设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由中位线定理以及椭圆方程得出，再由椭圆的定义得出，再求的值.
【详解】
由椭圆的定义可知，，由中位线定理可知，，将代入中，解得，即，，故
故选：C
6.已知曲线
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
【答案】AD
【解析】由题意得：，所以当，则，所以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当时，曲线为，所以表示圆，半径为，当时，曲线为，所以，所以表示两条直线，故选：AD
7.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设线段的中点为，连接、，利用圆的几何性质可得出，求得，利用椭圆的定义可求得，可判断出的形状，即可得解.
【详解】
在椭圆中，，，，
设线段的中点为，连接、，则为圆的一条直径，则，
因为为的中点，则，则，
所以，为等边三角形，由图可知，直线的倾斜角为.
故选：C.
8.在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.
【详解】
由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，
所以，，
由正弦定理边角关系知：.
故选：A
9.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．
10.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设线段的中点为，连接、，利用圆的几何性质可得出，求得，利用椭圆的定义可求得，可判断出的形状，即可得解.
【详解】
在椭圆中，，，，
设线段的中点为，连接、，则为圆的一条直径，则，
因为为的中点，则，则，
所以，为等边三角形，由图可知，直线的倾斜角为.
故选：C.
11．已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不妨设椭圆左焦点为，右焦点为，
因为的中点为，的中点为，所以，
又由，可得.故选：B.
12.已知椭圆C：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【解析】由椭圆知：a=3，
由椭圆的定义得：，
所以，
又因为，
所以，
故选：A
题型二：椭圆的标准方程
【例1】已知椭圆：右焦点为，其上下顶点分别为，，点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由椭圆的几何性质可知上下顶点坐标，再由向量数量积可得，即可得到答案.
【详解】根据题意可知，，；
所以，，
又，所以，可得
在椭圆中，，又，所以
即椭圆的标准方程为.
故选：D.
【例2】已知椭圆C：，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为，，的面积为，焦距为2，过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，则的周长是（ ）
A．B．8C．D．16
【答案】B
【分析】先根据的面积为，焦距为2，求得椭圆方程为，然后根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解.
【详解】因为的面积为，焦距为2，所以，
所以，故椭圆方程为，
假设为椭圆C的上顶点，因为两个焦点为，，
所以，，故,
所以为等边三角形，又因为过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，
所以，,
由椭圆的定义可知：，
，
所以的周长为
，
故选：.
【例3】如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，由可得，可求得，由椭圆的定义可求得，利用之间的关系可求得，即可得到答案
【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，
因为，所以，
所以，
由椭圆的定义可得，则，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为，
故选：D
【例4】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用待定系数法求椭圆的标准方程.
【详解】可设椭圆的方程为，
由题意可得：，解得：，
所以椭圆的方程为.
故选：C
【例5】过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答.
【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，
则有，两式相减得：，
而，且，即有，
又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，
所以椭圆的方程为.
故选：A
【例6】已知分别是椭圆的左､右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于C，D两点，的周长为8，且直线，的斜率之积为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由△的周长为8，可得，解得．设，，可得，由于直线，的斜率之积为，可得，代入化简可得．即可得出．
【详解】解：△的周长为8，，解得．
设，，则，
直线，的斜率之积为，，，
化为，可得．
椭圆的标准方程为：．
故选：C
【例7】已知椭圆C的焦点为，，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知可设，则，得，在中求得，从而可求解．
【详解】如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
所以，则.
得，所以，又，得
故C的方程为
故选：A
【题型专练】
1．已知、是椭圆C：的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，且.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题干条件得到，为的中点，作出辅助线，利用相似得到，即，结合直角三角形的性质得到，求出，得到椭圆方程.
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，
所以为的中点，
又因为，所以，
过点O作OM⊥AB于点M，则，
根据，可得，所以，
因为A为上顶点，所以
根据双曲线定义可知：，所以，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：，即，
所以，故，
所以椭圆方程为：
故选：D
2．已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由离心率的值，可得的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由及余弦定理可得的值，进而求出的面积，再由，可得的值，进而求出椭圆的方程．
【详解】由离心率，得，即．
因为的内切圆的面积为，设内切圆的半径为，所以，解得，
由椭圆的定义可知，
在中，，由余弦定理得，
即，
∴，
∴，可得，
所以，
而，
所以可得，解得，，
由，得，
所以该椭圆的方程为．
故选：A．
3．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先设，，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.
【详解】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．
故选：C
4．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：构造并利用，从而求出，得出椭圆C的标准方程；方法二：若椭圆的标准方程为，则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的线段为椭圆的通径，其长为，并利用，求出，从而得出椭圆C的标准方程.
【详解】方法一：由题意，设椭圆C的标准方程连接，如图所示．
由题意，得，．在中，①．
又②．由①②，得a＝2，所以，所以椭圆C的标准方程为．
方法二：由题意，设椭圆C的标准方程为，则，即，又，所以a＝2或（舍去），所以，，
故椭圆C的标准方程为．
故选：C.
5．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】待定系数法去求椭圆C的方程
【详解】由椭圆方程可知，由四边形OMAN是正方形可知，
又点M在椭圆C上，则有，解得，
又椭圆C的右焦点为，则，
结合椭圆中，解得，，则椭圆C的方程为.
故选：A
6．已知椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，若为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求得焦点，也即求得，然后利用点差法求得，从而求得，也即求得椭圆的方程.
【详解】直线过点，所以，
设，
由两式相减并化简得，
即，
所以，
所以椭圆的方程为.
故选：B
7．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，根据椭圆的定义及余弦定理可得的关系，根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及，即可求得的值，进而可得的标准方程.
【详解】由椭圆的定义可知，又，所以，.又，，所以，所以，.又椭圆的面积为12π，所以，解得，，.
故选：C.
8．已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先利用周长为求得值，得到M，N坐标，再设点，利用直线AM与AN的斜率之积构建关系，结合满足已知方程，解得，即得结果.
【详解】由△AF1B的周长为，可知，解得，则，
设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得，即 ①．
又，所以 ②，
由①②解得，所以椭圆C的标准方程为．
故选：D．
9．已知椭圆C的焦点为，，过的直线交于C与A，B，若，，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件利用椭圆定义及余弦定理列出方程求出即可得解.
【详解】依题意，设椭圆方程为，
由椭圆定义知，，因，，则，解得，
于是得，，，显然点A在y轴上，如图，
在中，，，在中，，
由余弦定理得，即，解得，，
所以椭圆C的方程为.
故选：B
题型三：椭圆的离心率
【例1】已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．﹣1B．﹣1C．D．
【答案】B
【分析】由为等边三角形，及椭圆的对称性可得：，又，可得，利用椭圆的定义可得：，即可得出．
【详解】由为等边三角形，及椭圆的对称性可得：，
又，
∴，
∴，可得．
故选：B．
【例2】已知椭圆C：的左焦点为，直线与C交于点M，N.若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由椭圆的对称性可知：四边形为平行四边形，结合椭圆的定义并在中利用余弦定理求出关于的值，进而可求出离心率.
【详解】设椭圆C的右焦点为，如图，连接，
因为为的中点，所以四边形为平行四边形，
所以，，由椭圆的定义可得：，
又因为，所以，
又因为，所以，
在中，由余弦定理可得：，
也即，因为，所以，所以椭圆的离心率，
故选：.
【例3】已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两点关于直线对称点的特征可求得，并得到中点坐标；利用点差法可构造等式求得，根据椭圆离心率可求得结果.
【详解】关于直线对称，，
又中点纵坐标为，中点横坐标为；
设，，则，
两式作差得：，即，
；
又，，，解得：，
椭圆的离心率.
故选：A.
【例4】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与构建出关于a、b、c的齐次方程，根据离心率公式即可解得.
【详解】设，，，过点做倾斜角为的直线，
直线方程为：，联立方程，可得
根据韦达定理：，
因为，即，所以
所以
即，所以，联立，可得
故选：D.
【例5】设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点利用两点间距离公式及点与椭圆的位置关系求出关于的函数关系式，利用函数思想求得a，b，c的不等关系，从而得出离心率的取值范围.
【详解】解：由题意知，设，则， ，
，
上任意一点都满足，，
当时，取得最大值，
①当，即时，
，即，符合题意；
此时，即，
又，
，
②当，即时，
化简得，，显然该不等式不成立，
综上所述，离心率的取值范围，
故选：C.
【例6】是椭圆的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出点的坐标，根据内切圆半径公式表示出，然后再根据两个三角形的面积关系求出.
【详解】设椭圆方程为：
如图，设三角形的周长为，
由椭圆的定义可得
，
又，解之：
故选：B
【例7】用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：
①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．②③C．①②D．①③
【答案】C
【分析】根据切线长定理可以证明椭圆上任意一点到 的距离之和为定值，即是焦点再运用勾股定理证明短轴长，最后构造三角形，运用三角函数表示离心率即可.
【详解】如图：
在椭圆上任意一点P作平行于 的直线，与球 交于F点，与球 交于E点，
则 ， 是过点P作球 的两条公切线， ，同理 ，
，是定值，所以 是椭圆的焦点；①正确；
由以上的推导可知： ， ，
平面 ， 是直角三角形， ，即 ， ，②正确；
就是平面 与轴线的夹角 ，在 中，椭圆的离心率 ，
由余弦函数的性质可知当锐角 变大时， 变小，③错误；
故选：C.
【例8】国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程为（），分别列出过和的切线方程，联立切线和内层椭圆，由分别转化出的表达式，结合可求与关系式，齐次化可求离心率.
【详解】解：设内层椭圆方程为（），因为内、外层椭圆离心率相同，
所以外层椭圆方程可设成（），
设切线方程为，与联立得，
，
由，则，
设切线方程为，
同理可求得，
所以，，
所以，因此.
故选：C.
【题型专练】
1．直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对称关系和垂直关系可知四边形为矩形，结合直线倾斜角大小可确定，由此利用表示出，结合椭圆定义可构造齐次方程求得离心率.
【详解】
记椭圆的左焦点为，
由对称性可知：四边形为平行四边形，，
；
，，四边形为矩形，，
又，，又，，
，，，
椭圆的离心率.
故选：C.
2．设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义求出，然后在中利用余弦定理即可求解.
【详解】由椭圆的定义可知：，因为，
所以，在中，由余弦定理可得：