人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法练习题

这是一份人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法练习题，共29页。试卷主要包含了 根的判别式，利用公式法解一元二次方程的过程等内容，欢迎下载使用。

知识点一：根的判别式：
1. 根的判别式：
一般地，在一元二次方程中，我们把 叫做一元二次方程的跟的判别式．用符号“”表示，即 ．一元二次方程根的情况与的具体关系如下：
① 方程有两个不相等的实数根．
② 方程有两个相等的实数根．
③ 方程没有实数根．
【类型一：判断根的情况】
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
3．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）．
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
4．关于x的方程的根的情况 （ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．不能确定．
【类型一：根据根的情况求字母的取值范围】
5．关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1且a≠0B．a＜1且a≠0C．a＜1D．a＞﹣1
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
8．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0B．k≥0且k≠2C．k≥D．k≥且k≠2
知识点一：求根公式：
1. 求根公式：
当时，一元二次方程方程的实数很可写为，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
①当时，一元二次方程的两个跟可以分别写为： ， ．
②当时，一元二次方程的两个跟可以写为： ．
2.利用公式法解一元二次方程的过程：
步骤一：将一元二次方程化成一般形式．并确定出的值．
步骤二：计算 的值确定根的情况．
步骤三：若方程有根，利用求根公式求解．
【类型一：系数判断】
9．用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（ ）
A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4﹣8D．3，4，8
10．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【类型二：求根公式的熟悉】
11．以x＝为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0
12．用公式法解方程，正确的是( )
A．B．C．D．
13．用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是 ．
【类型三：利用公式法解方程】
14．用公式法解下列方程：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
知识点一：根与系数的关系：
从公式法可知，一元二次方程若有解，则求根公式分别为： 和．分别把两个式子相加和相乘即可得出根与系数的关系．
1. 根与系数的关系：若一元二次方程的两根分别是，则 ， ．
特别提醒：一元二次方程的两根分别是，则满足：
，
2. 变形公式：
① ；（利用完全平方式转换）
② ；（提公因式）
③ ；（分式通分运算）
④ ；（分式通分运算与完全平方公式）
⑤；（整式乘法运算）
⑥ ．
【类型一：求根与系数的基本式子】
15．方程的两根为，则等于（ ）
A．4B．－4C．3D．－3
16．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．2D．3
17．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝ ．
18．已知，，且，则 ．
【类型二：求根与系数的推广式子】
19．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5B．10C．11D．13
20．若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根．则x12x2+x1x22值为（ ）
A．4B．2C．4D．3
21．已知，是一元二次方程的两根，则 ．
22．已知实数满足 ，且，则的值是 ．
23．设、是一元二次方程方程的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【类型三：利用两个根满足的方程转化求式子】
24．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ．
25．设，是一元二次方程的两个根，则 ．
26．已知，是方程的两个实数根，则的值是( )
A．2023B．2021C．2020D．2019
27．设x1，x2是一元二次方程x2＋x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22＋20等于（ ）
A．1B．5C．11D．13
28．设m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，则m3+2020n﹣2019＝ ．
【类型二：利用根与系数的关系求字母的值】
29．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则m的值是 ．
30．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则的值等于（ ）
A．B．C．或D．
31．已知关于的方程的两个实数根的平方和7，则 ．
32．关于的方程的两个实数根互为相反数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
33．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
一．选择题（共10小题）
34．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+3＝0B．x2+2x+1＝0C．x2﹣2＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
35．关于的一元二次方程（为实数）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
36．已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2B．―2，―1，3C．―2，3，1D．―2，3，―1
38．方程的根是（ ）
A．B．C．D．
39．用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4时，b2-4ac的值为（ ）
A．52B．32C．20D．-12
40．已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
41．关于x的方程（a﹣1）x2+2ax+a﹣1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．一定是一个一元二次方程
B．a＝﹣1时，方程的两根x1和x2满足x1+x2＝﹣1
C．a＝3时，方程的两根x1和x2满足x1•x2＝1
D．a＝1时，方程无实数根
42．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，则b的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣5D．5
43．已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根，且这个直角三角形的斜边长是3，则k的值是（ ）
A．8B．﹣8C．8或﹣8D．4或﹣4
二．填空题（共6小题）
44．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15，可求得代数式的值为 ．
45．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
46．关于x的一元二次方程x2﹣10x＋m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为 ．
47．已知代数式与代数式的值互为相反数，则 ．
48．已知，是方程的两个实数根，则的值等于 ．
49．已知x1 ， x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a= ．
三．解答题（共4小题）
50．解一元二次方程
(1)x2﹣x﹣4＝0；
(2)（2x＋3）（x﹣6）＝16
51．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
52．已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值．
53．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0．
(1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长 ．
参考答案：
1．D
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可得．
【详解】A、方程的根的判别式为，则方程有两个相等的实数根，此项不符题意；
B、方程的根的判别式为，则方程没有实数根，此项不符题意；
C、方程的根的判别式为，则方程没有实数根，此项不符题意；
D、方程的根的判别式为，则方程有两个不相等的实数根，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
2．A
【分析】根据根的判别式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
△＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣1）
＝49+8
＝57＞0，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3．C
【分析】根据新运算得到x2﹣x+1＝0，再计算判别式的值，然后根据判别式确定方程根的情况．
【详解】解：∵，
∴，即x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，解题关键是利用定义运算把方程转化为一元二次方程．
4．C
【详解】∵△=b2−4ac=4m2−4(−m−1)=4m2+4m+4=(4m2+4m+1)+3=(2m+1)2+3>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选C.
5．A
【分析】根据一元二次方程的定义，由方程有两个不相等的实数根，得到一元二次方程根的判别式大于0，求出a的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=（-2）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞-1且a≠0．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
6．D
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-2≠0且Δ=（-2）2-4（k-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得k-2≠0且Δ=（-2）2-4（k-2）＞0，
解得：k0可得结果.
【详解】解：∵两实根互为相反数
∴x1+x2=k2-4=0
∴k=±2
又∵=(k2-4)2-4(k+1)>0
∴舍去k=2
∴k=-2
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，根判别式．
33．（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得代入可解出的取值范围；
（2）由韦达定理可知，列出等式，可得出的值．
试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤；
(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
∴k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.
34．A
【分析】分别计算出每个方程中的判别式的值，从而得出答案．
【详解】解：A．方程x2+x+3＝0中△＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，此方程无实数根；
B．方程x2+2x+1＝0中△＝22﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根；
C．方程x2﹣2＝0中△＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，此方程有两个不相等的实数根；
D．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根；
故选A．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
35．A
【分析】根据根的判别式△=b2-4ac的符号可得答案．
【详解】方程的判别式为△=k2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，
故选：A
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键．
36．C
【分析】根据一元二次方程的定义和结合根的判别式即可得出．
【详解】根据题意得且，
解得且．
故选：C．
【点睛】此题考查一元二次方程的参数与根的关系，根据根的情况求参数，难度一般．
37．D
【分析】先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案．
【详解】∵，
∴，
则a =-2，b =3，c =-1,
故选： D ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
38．D
【分析】观察原方程，可用公式法求解.
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.
39．C
【详解】解：∵（x+2）2=6（x+2）﹣4，∴x2﹣2x﹣4=0，∴a=1，b=﹣2，c=﹣4，∴b2﹣4ac=4+16=20．故选C．
点睛：此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式．
40．D
【详解】解：先整理得：，
A：，所以方程有两个不相等的实数根，所以A选项的结论正确，不符合题意；
B：因为是一元二次方程的实数根，则成立，所以B选项的结论正确，不符合题意；
C：由一元二次方程根与系数关系可知，，所以C选项的结论正确，不符合题意；
D：由一元二次方程根与系数关系可知，所以D选项的结论错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和韦达定理的运用，关键是严格按照公式及已知系数计算，判断各项．
41．C
【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系逐一判断可得答案．
【详解】解：A．当a＝1时，此方程为2x＝0，是一元一次方程，此选项错误，不符合题意；
B．当a＝﹣1时，方程为﹣2x2﹣2x﹣2＝0，即x2+x+1＝0，此时△＝﹣3＜0，此方程无解，故此选项错误，不符合题意；
C．a＝3时，方程为2x2+6x+2＝0，即x2+3x+1＝0，方程的两根x1和x2满足x1•x2＝1，故此选项正确，符合题意；
D．a＝1时，方程为2x＝0，此方程有一个实数根，为x＝0，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系．
42．A
【分析】根据根与系数的关系得到，即可代入求出答案．
【详解】解：由题意得：，
∵x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，
∴，
∴b=-3，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的公式，熟记公式是解题的关键．
43．C
【详解】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根，
∴a+b=﹣，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=﹣7=9，
∴k=±8，
故选C.
44．
【分析】先把、、的值代入，再化简二次根式，然后约分即可．
【详解】解：，，．
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
45．m≤3且m≠2
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故答案为 m≤3且m≠2．
【点睛】此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知一元二次方程有实数根可得△≥0．
46．24或25##25或24
【分析】分6为底边和6为腰两种情况分类讨论即可确定m的值．
【详解】解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
【点睛】本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
47．或．
【分析】根据代数式与代数式的值互为相反数列方程求解即可，
【详解】解：∵7x（x+5）+10与代数式9x-9的值互为相反数，
∴，
解得x1=，x2=
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
48．10
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得出x1+x2=−6，x1⋅x2=3，再代入所求代数式，变形化简即可．
【详解】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，
∴x1+x2=−6，x1⋅x2=3．
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、求代数式的值．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
49．
【详解】∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，解得：.
点睛：（1）若关于的一元二次方程的两根分别是，则：；（2）当时，.
50．(1)x1＝2+2，x2＝2﹣2
(2)x1＝，x2＝
【分析】（1）先二次项系数化为1，再利用公式法求解即可；
（2）先整理为一般式，再利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：（1）整理，得：﹣4x﹣16＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣16，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣16）＝80＞0，
则，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；
（2）解：整理为一般式，得：2﹣9x﹣34＝0，
∵a＝2，b＝﹣9，c＝﹣34，
∴Δ＝（﹣9）2﹣4×2×（﹣34）＝353＞0，
则
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
51．（1）见解析；（2）1
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式即可；
（2）解方程，根据题意列出不等式，求不等式的正整数解即可．
【详解】解：（1）关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0中，，
方程总有两个实数根；
（2）
解得
方程有一个实数根为负数，
解得
m是正整数
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以是知识是解题的关键．
52．（1）；（2）．
【分析】（1）根据判别式即可求出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：（1）由题意可知：△，
，
∴；
（2）由题意可知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：，或；
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴，
【点睛】本题考查根与系数，熟悉相关性质是解题的关键．
53．(1)证明见解析； (2)5+
【分析】（1）方程为一元二次方程，计算出根的判别式，由此即可得出结论；
（2）根据勾股定理可以解得，算出的周长.
【详解】（1）方程为一元二次方程，
∴一元二次方程有两个实数根.
即：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根．
（2）由题意：
在中，

(不合题意，舍去)
的周长
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.