人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程课时练习

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列一元二次方程解应用题的一般步骤
列方程解应用题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题.
列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题一样，也可归纳为：审、设、列、解、检、答.
【注意】
（1）一般情况下，题中问什么就设什么，即直接设所求的量为未知数，这种设元的方法叫直接设元法；如果直接设元列方程比较困难或列出的方程比较复杂，此时可以设其他相关的量为未知数，把问题中所求的量用含未知数的代数式表示，这种设元的方法叫间接设元法.某些问题中，为了便于列方程，还可以设辅助未知数.
（2）利用方程解应用题的关键是找出等量关系.分析等量关系时，要抓住关键词，联想基本关系式，删除实际背景的文字描述，呈现数学化的形式，列出方程.
常见实际问题的数量关系及表示方法
二、练习
1.如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是，根据题意可列方程为( )
A.B.
C.D.
2.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A.B.
C.D.
3.某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
4.2021年是中国共产党成立100周年，某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动.学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友图，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有931人参与了传递活动，则方程列为( )
A.B.
C.D.
5.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是( )
A.B.
C.D.
6.在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张图片如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为( )
A.B.
C.D.
7.某班拟开展“坚持阅读，打卡30天”活动，原计划打卡30次，打卡表格设计为5行6列.为了让学生能养成更好的阅读习惯，老师决定打卡次数再增加26次，同时为了美观，打卡表格要求增加的行数和列数相同.设增加了x行，根据题意，所列方程正确的是( )
A.B.
C.D.
8.电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映.某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为( )
A.B.
C.D.
9.疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第一周的订单数是5万件，第三周的订单数为7.2万件，如果设平均每周订单数的增长率为x，根据题意列方程为__________.
10.某地区加大教育投入，2021年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2023年，教育经费投入为2420万元，则该地区教育经费投入年平均增长率为_________.
11.《九章算术》 “勾股” 章有一题: “今有二人同所立. 甲行率七, 乙行率三. 乙东行, 甲南行十步而邪东北与乙 会. 问甲乙行各几何. ”大意是:已知甲、乙两人同时从同一地点出发, 甲、乙的速度比为. 乙一直向东 走, 甲先向南走 10 步后, 又沿北偏东方向走了一段后与乙相遇. 那么相遇时, 甲、乙各走了多远? 设甲走 了 步后与乙相遇, 根据题意, 可列方程为________
12.为积极响应国家“双减”政策，鼓励教师积极参与课后服务工作，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次.
（1）如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）如果按照(1)中的增长率，预计第四批公益课受益学生数将达到多少万人次?
答案以及解析
1.答案：B
解析：剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据题意，得.故选B.
2.答案：C
解析：第一次降价后，该种商品每件售价为元，第二次降价后，该种商品每件售价为元，故.
3.答案： D
解析：设这个百分数为x，根据题意得出：
，故选D．
4.答案：C
解析：由题意，得，故选C.
5.答案：A
解析：由题意得
，故选A.
6.答案：C
解析：由题意得，故选C.
7.答案：D
解析：增加了x行，且增加的行数和列数相同，
增加后的打卡表格有行、列.
依题意得：.故选D.
8.答案：D
解析：第一天票房为2，第二天票房为，第三天票房为，
故根据题意列方程式为：，
化简得：.故选D.
9.答案：
解析：设平均每周订单数的增长率为x，根据题意得.
10.答案：10%
解析：设年平均增长率为x，由题意可得：，
解得，或(不合题意舍去).
所以2021年到2023年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
11.答案：
解析：根据题意可得.
12.（1）答案：这个增长率为10%
解析：设这个增长率为x，依题意得：，
解得，(不合题意，舍去)，
经检验，符合题意，
答：这个增长率为10%.
（2）答案：预计第四批公益课受益学生数将达到2.662万人次
解析：(万人次)，
答：预计第四批公益课受益学生数将达到2.662万人次.
步骤
内容摘要
注意事项
①审
审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系.
等量关系往往体现在关键词句中.
②设
设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法.
一般要带单位.
③列
用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程.
方程两边单位要统一.
④解
根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值.
一般不必写出解方程的过程.
⑤检
检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义.
一般两个根中只有一个符合实际意义.
⑥答
写出实际问题的答案.
注意带上单位.
常见问题
公式
注意
平均增长率（降低率）问题
为起始量，为终止量，为增长（或降低）的次数，平均增长率公式：（为平均增长率）；平均降低率公式：（为平均降低率）.
传播问题、复息存款问题的本质与平均增长率问题相同.在传播问题中，为传染数，在复息存款问题中，利率相当于增长率.
几何图形面积问题
涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长公式.
图形问题常将数量关系隐含在图形中，审题时需要结合图形分析，当所涉及的图形是不规则图形时，需割补成规则图形或用“求补”（即“总体-多余”）的方法来处理.
存款利息问题
本息和=本金+利息；
利息=本金×利率×期数.
如果存在利息税，利息的计算要扣除交税的部分，本算法是“单息存款”的算法.“复息”即“利滚利”的算法同增长率.
数字问题
（1）两位数=十位上的数字×10+个位上的数字
（2）三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字.
用数位上的数字乘以它的计数单位，就可以将这个数表示出来.审题时一定要注意数与数字之间的联合与区别.
商品销售问题
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在理解的基础上记忆公式，针对实际问题理清各个量之间的关系.