湖北省武汉市黄陂区部分学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试卷

这是一份湖北省武汉市黄陂区部分学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试卷，共14页。
（答题时间：120分钟 满分120分）
一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3
2．（3分）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）估计×（2﹣）的值应在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
5．（3分）下列条件中，a、b、c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝1：2：3D．a＝3，b＝4，c＝5
6．（3分）1．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（ ）

A．2a﹣3B．﹣1C．1D．3﹣2a
7．（3分）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若AC＝5km，BC＝12km，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．2kmB．4kmC．10kmD．14km

第7题图 第8题图 第9题图
8．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
9．（3分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（ ）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α
10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∠BCD＝30°，BC＝2，AC＝，则CD的长为（ ）
A．4B．2C．5D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）比较下列两个数的大小： ．（用“＞”或“＜”号填空）
13．（3分）如图，从大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 ．

第13题图 第14题图 第16题图
14．（3分）小华在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米．则这棵树的高度MN为 ．
15．（3分）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，m是大于1的奇数，则b＝ （用含m的式子表示）．
16．（3分）如图四边形中，∠B＝∠C＝90°，E是BC边上一点，△ADE是等边三角形，若，＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）
17．（8分）计算：
（1）； （2）．
18．（8分）先化简，再求值：x+y2﹣（x2﹣5x），其中．
19．（8分）如图四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
20．（8分）如图，学校高17m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？

21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中按下列步骤完成画图．
①画出△ABC的高CD；②画△ACD的角平分线AE；③画点D关于AC的对称点D'；
（2）如图2，P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且PM＝PN，画出线段MN．

22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）AB＝ ；
（2）求斜边AC上的高线长；
（3）①当P在BC上时，CP的长为 ，
t的取值范围是 ；（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的平分线上，求t的值．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，
（1）求证：CF＝BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．
24．（12分）如图（1），四边形OBCD正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，4）．
（1）直接写出点C的坐标是 ；
（2）如图（2），点F为线段BC的中点，点E在线段OB上，若∠EDF＝∠CDF，求点E的坐标；
（3）如图（3），动点E，F分别在边OB，CD上，将正方形OBCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边OD上（点M不与点O，D重合），点C落在点N处，设OM＝x，四边形BEFC的面积为S，请求出S与x的关系式．
数学答案
一．选择题
二．填空题
10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC＝，则CD的长为（ ）
A．4B．2C．5D．
解答：解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90度，得到△ADE，连接CE，过点E作EF⊥CD延长线于点F，
根据旋转可知：AE＝AC＝，ED＝BC＝2，∠ABC＝∠ADE，
根据四边形ABCD的内角和＝360°，
∴∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，
∵∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，
∴∠ABC+∠ADC＝240°，
∴∠ADE+∠ADC＝240°，
∴∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
在Rt△EDF中，DE＝2，
∴DF＝1，EF＝，
在Rt△AEC中，CE＝AC＝2
∴CF＝＝＝5，
∴CD＝CF﹣DF＝5﹣1＝4．
故选：A．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是BC边上一点，△ADE是等边三角形，若，＝ ．
解答：解：如图：作∠BAM＝∠CDN＝30°，交CB的延长线于点，交BC的延长线于点N，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABM＝∠DCN＝90°，
∴∠M＝90°﹣∠BAM＝60°，∠N＝90°﹣∠CDN＝60°，
∴∠MAE+∠AEM＝180°﹣∠M＝120°，
∵△AED是等边三角形，
∴∠AED＝60°，AE＝DE，
∴∠AEM+∠DEN＝180°﹣∠AED＝120°，
∴∠MAE＝∠DEN，
∵∠M＝∠N＝60°，
∴△AME≌△END（AAS），
∴AM＝EN，ME＝DN，
∵，∴设AB＝n，CD＝m，
在Rt△AMB中，BM＝＝n，AM＝＝n，
∴AM＝EN＝n，
在Rt△DCN中，CN＝＝m，
DN＝＝m，
∴ME＝DN＝m，
∴CE＝EN﹣CN＝n﹣m，BE＝EM﹣BM＝m﹣n，
∴＝＝＝，
三．解答题（共9小题）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
解答：解：（1）原式＝3﹣6+4
＝；
（2）原式＝3﹣2+
＝1+2．
18．（8分）先化简，再求值：x+y2﹣（x2﹣5x），其中．
解答：解：原式＝2x+﹣x+5
＝x+6，
当x＝，y＝4时，原式＝+6＝+6＝．
19．（8分）如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
解答：解：∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AC＝＝5，
又∵CD＝12，AD＝13，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×5×12＝36．
故四边形ABCD的面积是36．
20．（8分）如图，学校高17m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？
解答：解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E，
由题意得：AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m），CE＝AB+AC﹣BE＝17+5﹣2＝20（m），
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝20（m），
设DD′＝x m，则D′E＝（20﹣x）m，
在Rt△CED′中，由勾股定理得：D′E2+CE2＝CD′2，即（20﹣x）2+202＝252，解得：x＝5，
答：工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处．
21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中按下列步骤完成画图．
①画出△ABC的高CD；②画△ACD的角平分线AE；③画点D关于AC的对称点D'；
（2）如图2，P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且PM＝PN，画出线段MN．
解答：
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）AB＝ 8 ；
（2）求斜边AC上的高线长；
（3）①当P在BC上时，CP的长为 3t﹣17 ，t的取值范围是 ；（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 ．
解答：解：（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，
∴．
（2）如图所示，过点B作 BD⊥AC 于点D，
∴，
即 ，
∴斜边AC上的高线长为 ．
（3）①∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 A﹣C﹣B﹣A 运动，AC＝17，
∴当P在 BC上时，CP＝3t﹣AC＝3t﹣17．
∵，即 ，∴．故答案为：3t﹣17，；
②当点P在∠BCA 的角平分线上时，过点P作 PE⊥AC 于E，如图所示，
∵CP平分∠BCA，∠B＝90°，PE⊥AC，
∴PB＝PE．
又∵PC＝PC，
∴Rt△BCP≌Rt△ECP（HL）．
∴EC＝BC＝15，则 AE＝AC﹣CE＝17﹣15＝2．
由（2）易知 AP＝40﹣3t，BP＝3t﹣32，
∴PE＝3t﹣32．
在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2 即 （40﹣3t）2＝22+（3t﹣32）2，
解得 ．
∴点P在∠BAC 的平分线上时，．
故答案为：．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，
（1）求证：CF＝BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．
解答：证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，
∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，
在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；
（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，
∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG（SAS），∴∠CAG＝∠CBE，
∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，
∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，
∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；
（3）如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，
∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，
EM＝，
设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，
∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，
∵∠ACH＝45°，
∴2x+x＝45，
x＝15，
∴∠ACF＝∠GAC＝30°，
在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，
AM＝＝3，
∴M是AG的中点，
∴AE＝EG＝2，
∴BE＝BG+EG＝6+2，
在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，
∴CE＝BE＝3+，
∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．
24．（12分）如图（1），四边形OBCD正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，4）．
（1）直接写出点C的坐标是 （4，4） ；
（2）如图（2），点F为线段BC的中点，点E在线段OB上，若∠EDF＝∠CDF，求点E的坐标；
（3）如图（3），动点E，F分别在边OB，CD上，将正方形OBCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边OD上（点M不与点O，D重合），点C落在点N处，设OM＝x，四边形BEFC的面积为S，请求出S与x的关系式．
解答：解：（1）∵四边形OBCD是正方形，O（0，0），D（0，4），
∴OB＝BC＝CD＝OD＝4，BC⊥x轴，
∴C（4，4），故答案为：（4，4）；
（2）如图，过点F作FG⊥DE于点G，连接EF，
∵四边形OBCD是正方形，O（0，0），D（0，4），
∴OB＝BC＝CD＝OD＝4，∠C＝∠OBC＝∠BOD＝90°，
∵FG⊥DE，∴∠DGF＝∠C＝90°，
在△DGF和△DCF中，，
∴△DGF≌△DCF（AAS），
∴GD＝CD＝4，GF＝CF，
∵点F为线段BC的中点，∴BF＝CF＝BC＝×4＝2，∴GF＝BF＝2，
在Rt△EFG和Rt△EFB中，，
∴Rt△EFG≌Rt△EFB（HL），∴GE＝BE，
设OE＝a（a＞0），则GE＝BE＝OB﹣OE＝4﹣a，
∴DE＝GD+GE＝4+4﹣a＝8﹣a，
在Rt△DOE中，根据勾股定理得，OE2+OD2＝DE2，
即a2+42＝（8﹣a）2，
解得a＝3，
∴OE＝3，
∵点E在x轴的正半轴上，
∴E（3，0）；
（3）如图，分别连接BM、MF、BF，
∵EF是折痕，
∴EF垂直平分BM，
∴ME＝BE，MF＝BF，
设ME＝BE＝m，CF＝n，且m＞0，n＞0，
则OE＝OB﹣BE＝4﹣m，DF＝CD﹣CF＝4﹣n，
∵OM＝x，点B的对应点M始终落在边OD上（M不与点O，D重合），
∴DM＝OD﹣OM＝4﹣x（0＜x＜4），
在Rt△MOE中，根据勾股定理得，OM2+OE2＝ME2，
即x2+（4﹣m）2＝m2，
解得m＝，
在Rt△DMF和Rt△CBF中，BF2＝BC2+CF2，
∵MF＝BF，
∴DM2+DF2＝BC2+CF2，
∴（4﹣x）2+（4﹣n）2＝42+n2，
解得n＝，
即CF＝n＝，
∵S＝S四边形BEFC＝（CF+BE）•BC，
∴S＝（+）×4＝x2﹣2x+8，
即S和x的关系式为：S＝x2﹣2x+8（0＜x＜4）．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
B
C
A
B
C
C
A
7