湖南省邵阳市隆回县2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省邵阳市隆回县2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列实数中小于的数是( )
A. B. C. D.
2. 如图，直线，是截线，的度数是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列图形中一定是轴对称图形的是( )
A. 梯形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 平行四边形
4. 隆回县将大力实施“三高四新”战略，加快建设“三宜三融三区”现代化新隆回；到年，全县地区生产总值将突破亿元，亿用科学记数法可以表示为( )
A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 在中，已知，，则这个三角形是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
7. 一组数据，，，，，，的众数和中位数分别是( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
8. 若，则下列比例式中不正确的是( )
A. B. C. D.
9. 下列说法正确的是( )
A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 直径所对的圆周角是直角
C. 内错角相等D. 相等的角是对顶角
10. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 分解因式： ．
12. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
13. 一个多边形的内角和是它外角和的倍，则它的边数是____．
14. 已知菱形的两条对角线长分别为和，那么菱形的面积为______ ．
15. 如图，在中，圆心角，那么圆周角 ______ ．
16. 如图，中，、分别在、上，，，，，则 ______ ．
17. 已知，那么 ______ ．
18. 观察下列数据：，，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
先化简，再在、、、中选择一个合适的的值代入求值．
21. 本小题分
如图，已知为的直径，为的切线，交于点，的延长线交于点．
求证：；
若，求的长和的半径．
22. 本小题分
某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵元，用元购买甲种物品的件数恰好与用元购买乙种物品的件数相同．
求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这件物品，需筹集资金多少元？
23. 本小题分
某校为了解九年级男生“坐位体前屈”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试满分分，成绩均记为整数分，并按测试成绩单位：分分成四类：类，类，类，类绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：

请求出本次一共抽取了多少学生，并补全条形统计图．
请求出类和类所占的百分比并求扇形统计图中类所对的圆心角的度数．
若该校九年级男生有名，估计该校九年级男生“坐位体前屈”项目成绩为类的有多少名？
24. 本小题分
如图，大海中某灯塔周围海里范围内有暗礁，一艘海轮在点处观察灯塔在北偏东方向，该海轮向正东方向航行海里到达点处，这时观察灯塔恰好在北偏东方向如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由参考数据：
25. 本小题分
已知正方形，为射线上的一点，以为边作正方形，使点在线段的延长线上，连接、．
如图，若点在线段的延长线上，求证：；
若点在线段上．
如图，连接，当为的中点时，判断的形状，并说明理由；
如图，设，，当平分时，求：的值．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，过点作轴，交抛物线于点，交轴于点．
求此抛物线对应的函数表达式及点的坐标；
若抛物线上存在点，使得的面积为，求出点的坐标；
连接、、、，在坐标平面内，求使得与相似边与边对应的点的坐标．
答案和解析
1.
解析：解：，
小于的数是：；
故选：．
根据负数小于，即可得出结果．
本题考查实数比较大小．熟练掌握负数小于，是解题的关键．
2.
解析：解：，
．
故选：．
根据两直线平行，内错角相等，即可得出结论．
本题考查平行线的性质．熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键．
3.
解析：解：、不一定是，故错误；
B、不一定是，故错误；
C、是轴对称图形，对称轴是等腰三角形的底边所在的直线，故正确；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选：．
如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，依据定义即可作出判断．
本题主要考查了轴对称图形的定义，确定轴对称图形的关键的正确确定图形的对称轴．
4.
解析：解：亿；
故选：．
根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，，为整数是解题的关键．
5.
解析：解：，时，无意义，故此项不符合题意；
B.，故此项不符合题意；
C.，故此项符合题意；
D.，故此项不符合题意．
故选：．
根据公式：、，，，进行逐一计算判断即可．
本题考查了零指数幂、同底数幂的乘、除法公式，完全平方公式，掌握公式是解题的关键．
6.
解析：解：，，
，
所以三角形是一个直角三角形．
故选：．
三角形的内角和是度，利用度减去已知的两个角的度数即可求出第三个角的度数，即可判断三角形的种类．
本题考查了直角三角形的特征及三角形内角和的应用．
7.
解析：解：把这组数据从小到大排列：，，，，，，，
出现了次，出现的次数最多，则众数是；
最中间的数是，
则这组数据的中位数是．
故选D．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8.
解析：解：、由得，，故本选项错误；
B、由得，，故本选项错误；
C、由得，，故本选项正确；
D、由得，，故本选项错误．
故选：．
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，需熟记．
9.
解析：解：、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，不符合题意；
B、直径所对的圆周角是直角，说法正确，符合题意；
C、两直线平行，内错角才相等，故原说法错误，不符合题意；
D、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如：同角的余角相等，故原说法错误，不符合题意．
故选：．
根据圆周角定理，内错角和对顶角的定义，进行判断即可．
本题考查圆周角定理，内错角和对顶角．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10.
解析：解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，

抛物线与轴交点在轴下方，
，
直线经过第一，三，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
11.
解析：
本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：
．
故答案为：．
12.
解析：
此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式的有意义的条件得出的取值范围，进而得出答案．
解：由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
13.
解析：
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
根据多边形的内角和公式以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
解：设这个多边形的边数是，
根据题意得，，
解得．
答：这个多边形的边数是．
故答案为：．
14.
解析：解：四边形是菱形，
．
．
故答案为：．
直接根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半进行计算即可．
本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积公式是解题的关键．
15.
解析：解：圆心角，
．
故答案为：．
根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解．
本题考查的是了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16.
解析：解：，，
，
：：，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
由，推出∽，可得，由此即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
17.
解析：解：，
，，
解得：，，
故．
故答案为：．
直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出，的值进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
18.
解析：解：由规律可知，第个数是负数，分母为，分子为，
所以第个数为，
故答案为：．
将数据改写为：，，，，，看出规律：第奇数个数是负数，偶数个数是正数，第几个数分母就是几，分子是分母的平方加，由规律可写出第个数．
本题考查数字规律问题，将原数据进行改写，找出符号和数字的规律是关键．
19.解：


．
解析：原式分别根据负整数指数幂，零指数幂、绝对值的代数意义以及特殊角三角函数值代简各项后再进行加减即可．
本题主要考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，绝对值以及特殊角三角函数值，正确掌握相关知识是解答本题的关键．
20.解：



，
要使分式有意义，必须且，
所以不能为，，，
取，
当时，原式．
解析：先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的减法法则进行计算，根据分式有意义的条件求出不能为，，，取，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21.解：为的直径，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
．
，，
∽，
，
，
，
，
，
设的半径为，
则，
在中，，
，
解得，
的半径为．
解析：根据直径所对的圆周角是直角可得，推得，根据切线的性质可得，推得，根据等边对等角可得，即可求得；
根据相似三角形的判定和性质可得，根据，，即可求得，设的半径为，根据勾股定理可得，即可求得．
本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
22.解：设每件乙种物品价格是元，则每件甲种物品价格元．
根据题意得，，
解得：．
经检验，是原方程的解，也符合题意，
所以元，
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是元、元；
设甲种物品件数为件，则乙种物品件数为件，
根据题意得，，
解得，
即甲种物品件数为件，则乙种物品件数为件，此时需筹集资金：
元．
答：需筹集资金元．
解析：设每件乙种物品价格是元，则每件甲种物品价格元，根据用元购买甲种物品的件数恰好与用元购买乙种物品的件数相同，列出方程进行求解即可；
甲种物品件数为件，根据题意，列出一元一次方程，进行求解即可．
本题考查分式方程和一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
23.解：由题意可得，
抽取的学生数为：人，
类的人数为：人
补全的统计图如下图所示，

类占抽取样本的百分比为：，
类占抽取样本的百分比为：，
扇形统计图中类所对的圆心角是：，
估计该校九年级男生“坐位体前屈”项目成绩为类的有名．
解析：类的有人，占调查人数的，可求出调查人数，用总人数减去其它类别的人数，求出类的人数，从而补全条形统计图；
分别求出、两类所占的百分比，进而求出类所对应的圆心角的度数；
用九年级男生的总人数乘以类所占的百分比即可．
此题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量之间的关系是正确解答的关键．
24.解：没有触礁的危险．理由如下：
作于，如图：

由题可知：，，，
设海里，在中，
，
为等腰直角三角形，
海里，
在中，
，
，即，
解得：，
故，
，
海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．
解析：作于，设，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，根据正切的定义可得，求解即可得到的值，即可判断．
本题考查了解直角三角形方位角，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
25.解：四边形和四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
是直角三角形，
理由：
为的中点，
，
又，
，
，
又，
，即是直角三角形；
平分，，
，，
，
，即，
解得，；
作于，
，
，又，
，，，
，
，
，
．
：：．
解析：根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质解答；
根据，得到，代入、的值计算求出：．
本题考查的是正方形的性质、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握相关的性质定理和判定定理、正确作出辅助线是解题的关键．
26.解：把，代入得：，解得
故抛物线的函数表达式为，
轴，
设．
，解得：或，
，
；
设边上的高为，
，
，
，点即为抛物线上到的距离为的点，
的纵坐标为或，令，
解得：，，
，，令，
解得：，
，，，
综上所述：点的坐标为：，，，；
，，，，
，，，
，，
如图，
当∽时，，，
，
过作轴于，
，
在中，，
，，
同理可得；
如图，
当∽时，，，
，
过作轴，过作轴的平行线交于，
，
，
，
，，
，同理，
综上所述：使得与相似边与边对应的点的坐标是，，，．
解析：把，代入求得抛物线的函数表达式为，由于轴，设于是得到方程，即可得到结论；
设边上的高为，根据已知条件得到，点即为抛物线上到的距离为的点，于是得到的纵坐标为或，令，或令，解方程即可得到结论；
解直角三角形得到，，，，如图，当∽时，求得，过作轴于，根据三角函数的定义得到，，于是得到结果；如图，根据相似三角形的性质得到，过作轴，过作轴的平行线交于，解直角三角形得到，于是得到结论．
本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．