湖南省长沙市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，下列关于不等式的命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
2．按下图方式摆放餐桌和椅子：则把6张桌子摆放在一起，可坐（ ）
A．36人B．26人C．24人D．16人
3．由于国家出台对房屋的限购令，我市某地的房屋价格原价为8400元/米，通过连续两次降价后，售价变为6000元/米，下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列关于不等式的命题正确的是（ ）
A．如果，，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
5．如图所示，在象棋盘上，若“帅”位于点，“象”位于点，则“炮”位于点（ ）
A．B．C．D．
6．如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，菱形的边在x轴上，边交y轴于点D，点B的横坐标为1，，点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．12B．C．15D．
8．如图，的内接四边形中，，，的度数之比是，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，在正方形中，，点P为上动点，点Q在的延长线上，且，相交于点E，当点P从点A运动到点B时，点E运动的路线长度为 ．
10．某校学生“数学素养”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩为“一般”（80分以下）的学生有 人．
11．现有颗外观和大小都完全相同的小球，已知颗球的质量相等，另外一颗球的质量略大一些．小颖想用一架托盘天平称出这颗质量较大的球．她思考后发现最少称次就一定能找出这颗球，则的值等于 ．

12．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B处．将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点N所对应的数为17，当的三等分点移动到点A时，点M所对应的数为6，则木棒的长度为 ．
13．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为x，则可列方程 ．
14．在平面直角坐标系中，直线（是常数，且）的图象经过定点 ．
15．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，若对于，都有，则m的取值范围为 ．
16．如图，在中，点D是边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，设，．
（1）当，，时，的长是 ；
（2）当，时，与的面积之比是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人．
(1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率．
(2)如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月~9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？
19．西安某校计划购买A，B两种树木共100棵，进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木3棵，B种树木4棵，共需470元，购买A种树木5棵，B种树木2棵，共需410元．
(1)求A，B两种树木每棵各多少元？
(2)布局需要，决定再次购进A，B两种树木共50棵，恰逢该供应商对两种树木的售价进行调价，A种树木售价比第一次购买时提高了8%，B种树木按第一次购买时售价的9折出售．如果这所学校此次购买A，B两种树木的总费用不超过3260元，那么该校最多可购买多少B种树木？
20．某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了_______名学生；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率．
21．如图，长方形在平面直角坐标系中，其中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，
(1)当秒时，求的面积；
(2)当的面积等于时，求点坐标．
(3)当为等腰三角形时，求x的值．
22．某兴趣小组用一套尺子进行如下探究活动：如图1所示，将一把直尺l水平摆放，将含的三角尺ABC的直角顶点B固定在直尺l上，将含的三角尺的较短边靠在直尺l上（两个三角尺都在直尺l的同侧），三角尺沿直尺l从左向右平移的过程中边与边，边所形成的夹角分别记为，探究α，β满足的数量关系．

(1)①如图2，当三角尺的边落在直尺l上时， ， ；
②如图3，当三角尺的边时， ， ；
根据以上两种特殊情况中的大小，猜想满足的数量关系： ；
(2)三角尺的位置发生改变时（点B仍固定在直尺l上，两个三角尺都在直尺l的同侧），判断（1）中的猜想是否仍然成立？并说明理由．
23．在平面直角坐标系中，对于半径为的和点，给出如下定义：若，则称为的“近外点”．

(1)当的半径为2时，点中，的“近外点”是___________；
(2)若点是的“近外点”，求的半径的取值范围；
(3)当的半径为2时，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上存在的“近外点”，直接写出的取值范围．
24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动点不与点和点重合，设运动时间为秒，过点作轴垂线交轴于点，交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过点作轴垂线交轴于点，连接交于点，当时，求的值；
(3)如图，连接交于点，当是等腰三角形时，求出的值．
参考答案：
1．B
解析：解：∵，
∴，
∴最接近的是点N
故选：B．
2．D
解析：解：1张桌子坐：人；
2张桌子坐：人；
3张桌子坐：人；
⋯
n张桌子坐：人；
当时，人，
故选：D
3．D
解析：解：设连续两次降价，
．
故选：D．
4．D
解析：解：A、如果，，那么的大小关系不确定，该选项是错误的；
B、如果，且，那么，故该选项是错误的；
C、如果，且，那么，故该选项是错误的；
D、如果，那么，故该选项是正确的；
故选：D
5．D
解析：解：如图所示：“炮”位于点．
故选：D．
6．B
解析：解：关于，的方程组可化为：
故一次函数的图像与的图像的交点坐标即为方程组的解，
将代入得：，
∴
故关于，的方程组的解是
故选：B
7．B
解析：解：过点B作于点E，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点B的横坐标为1，，
∴，
∴，
∴，
设菱形的边长为a，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴ ．
故选：B．
8．C
解析：解：设为，则为，为，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故选：C．
9．
解析：解：当点P在点A处时，如图，
，
，
，
当点P运动到点B时，如图，
，
所以点E运动的路线，如图，
，
过E作，交于点F，即，
∵四边形为正方形，
，
在中， ，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
解得：，
，，
在中，
．
故答案为：．
10．60
解析：解：由直方图可得，
成绩为“一般”（80分以下）的学生有：（人），
故答案为：60．
11．2
解析：解：把颗小球任意分成三份，每份颗．先把其中任意两份分别放在天平的两边．
如果平衡，就把剩下的一份中的任意两颗分别放在天平的两边，若平衡，说明剩下的小球即为质量较大的，若不平衡，哪边重哪边就是那颗质量较大的；
如果不平衡，哪边重哪边那份就有质量较大的小球，从这一份中任取颗分别放在天平的两边，若平衡，没往天平上放的那一颗质量较大，若不平衡，哪边重哪边就是那颗质量较大的．
∴至少要称次，才能保证找出那颗质量较大的小球．
故答案为：．
12．6或
解析：解：设，
由题意可知，，
①当的左三等分点移动到点A时，此时，
点对应的数为17，点对应的数为6，
，
解得：，
；
②当的右三等分点移动到点A时，此时，
点对应的数为17，点对应的数为6，
，
解得：，
；
综上可知，木棒的长度为6或，
故答案为：6或．
13．
解析：解：设人数为x，根据题意得：
，
故答案为：．
14．
解析：解：，
则当时，不论取何值，总有，
∴直线必经过点，
故答案为：．
15．/
解析：∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∵，，
∴离对称轴更近，
∴，的中点在对称轴左侧，
∴，
∴，
故答案为：．
16． 5
解析：解：（1）当，，时；
得，，；
设，则；
由题意可得；
∴在中，由勾股定理可得；
；
即；
解得：
故；
（2）当，时；
∵；
∴；
又∵；
；
∴；
由题意可得；
∴；
∴
∵；
∴；
∴；
∴设，，；
则
∴；
∴
∴；
整理得：；
解得：（不符合题意，舍去）；
；
∴，；
∴；
故与的面积之比是：．
17．
解析：解：原式
．
18．(1)
(2)能达到50万人
解析：（1）解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为，依题意，得：
，
解得：（舍去）；
答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为．
（2）解：8月份接待游客人数：（万人）
9月份接待游客人数：（万人）
第三季度接待游客总人数为：（万人）
答：第三季度（7月～9月）该馆接待游客总量能达到50万人．
19．(1)A种树木每棵50元，B两种树木每棵80元；
(2)31棵．
解析：（1）解：设A种树木每棵需要x元，B种树木每棵需要y元，由题意可得：
由可得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
答：A种树木每棵需要50元，B种树木每棵需要80元；
（2）解：设购进B种树木m棵，则A种树木为棵，由题意可得：，
解得：，
∴该校最多可以购进B种树木31棵．
答：该校最多可以购进B种树木31棵．
20．(1)200
(2)统计图见解析
(3)树状图见解析，概率为
解析：（1）此次共调查的学生有：（名）；
（2）足球的人数有：（名），补全统计图如图：
（3）设“羽毛球”“篮球”“足球”分别为A、B、C，根据题意画树状图如图：
共有9种等可能的情况，其中他俩选择相同项目的有3种，
则P（他俩选择相同项目）．
21．(1)
(2)或
(3)6或5或
解析：（1）解：∵，，
∴，，
∵四边形是长方形，
∴，，
当秒时，，
∴的面积为；
（2）解：分三种情况讨论，
①如图，

当P在上时，，
∵的面积等于，
∴，
解得，
∴P点坐标为；
②当P在上时，，如图，

∵点E是中点，
∴
∵的面积等于，
∴，
∴，
解得（不符合题意，舍去）；
③当P在上时，，如图，

∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为
综上可知，当的面积等于，P点坐标为或；
（3）解：由勾股定理，得，
①当时，
连接，
则，
∴P和A重合，
∴；
②当时，此时点P在上，
∴，
③当时，
过E作于H
则，，
∴，
∴，
解得，
综上，当为等腰三角形时，x的值为6或5或．
22．(1)①；②；
(2)当三角尺的位置发生改变时，仍有，理由见解析．
解析：（1）解：①由题意可知：,,
∵，
∴
故答案为：；
②如图：延长相较于
由题意可得：,
∵
∴,
∴,即；
∵,.
∴；
猜测：满足的数量关系：．
故答案为：．

（2）解：当三角尺的位置发生改变时，仍有，理由如下：
①当时，
如图，设边与边交于点G，平移三角尺沿直尺l从左向右平移得到三角尺，边交边于点.
由图可知，边与边所形成的夹角，边与边所形成的夹角即为边与边所形成的夹角，.
在三角尺沿直尺l从左向右平移的过程中，

∵，
∴.
过点B作的平行线,
∵,
∴， 即.
∵,
∴,
∴, 即，
∵,
∴.
②当时，由①知，
过点B作EF的平行线，

∵,
∴.………………
∵,
∴,
∴.
综上，当三角尺的位置发生改变时，仍有．
23．(1)B，C
(2)
(3)或
解析：（1）∵的半径为2时，“近外点”的线段长m满足，
∵点
∴
∴的“近外点”是B，C．
故答案为：B，C．
（2）∵点是的“近外点”，
∴，，
解得．
（3）当M在x轴的负半轴时，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
∴，
∵的半径为2时，
∴的 “近外点”的线段长m满足，
当时，点M是的 “近外点”，
此时；
过点O作于点G，
当时，点G是的 “近外点”，
∵，
∴，
∴，
此时；
故b的取值范围；

当M在x轴的正半轴时，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
∴，
∵的半径为2时，
∴的 “近外点”的线段长m满足，
当时，点M是的 “近外点”，
此时；
过点O作于点G，
当时，点G是的 “近外点”，
∵，
∴，
∴，
此时；
故b的取值范围；
故b的范围是或．
24．(1)
(2)的值为
(3)当是等腰三角形时，或
解析：（1）直线中，当时，
，
当时，解得：
，
抛物线经过，两点
∴，
解得：；
∴抛物线解析式为；
（2），，，，
，
，
轴于点，
，
中，
，

点在抛物线上
，
，
轴于点
，
四边形是矩形
，
，
，
，
，
，
解得：点不与点重合，故舍去
的值为；
（3），，
，
，
①若，则
，即轴，与题意矛盾
②若，则
，
，
时，解得：，，
，
∵由(2)得，，，
∴，
∴，
解得：， (，舍去)

③若，则，
如图，记与轴交点为，过点作轴于点，
，
，
，，设直线解析式为

解得： ，
直线：
，
，
，解得：，
，
，，
∴，
∴
解得：
综上所述，当是等腰三角形时，或．
题号
一
二
三
总分
得分