沪科版七年级数学下册专题9.3分式方程【十大题型】(原卷版+解析)

这是一份沪科版七年级数学下册专题9.3分式方程【十大题型】(原卷版+解析)，共37页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc654" 【题型1 解分式方程的一般方法】 PAGEREF _Tc654 \h 1
\l "_Tc4759" 【题型2 换元法解分式方程】 PAGEREF _Tc4759 \h 2
\l "_Tc28244" 【题型3 裂项法解分式方程】 PAGEREF _Tc28244 \h 3
\l "_Tc2691" 【题型4 根据分式方程的解求值】 PAGEREF _Tc2691 \h 4
\l "_Tc28399" 【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】 PAGEREF _Tc28399 \h 4
\l "_Tc308" 【题型6 已知分式方程有增根求参数】 PAGEREF _Tc308 \h 5
\l "_Tc3194" 【题型7 已知分式方程有整数解求参数】 PAGEREF _Tc3194 \h 5
\l "_Tc25173" 【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】 PAGEREF _Tc25173 \h 6
\l "_Tc32752" 【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】 PAGEREF _Tc32752 \h 6
\l "_Tc30474" 【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】 PAGEREF _Tc30474 \h 8
【知识点1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
【题型1 解分式方程的一般方法】
【例1】（2023·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1x−2+3=4x−2的解是_________.
【变式1-1】（2023·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：
(1)2xx+2−xx−1=1；
(2)1x+3−23−x=12x2−9．
【变式1-2】（2023·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x=________时，分式x−8x−7与分式17−x互为相反数．
【变式1-3】（2023·上海·上外附中七年级期末）解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3
【知识点2 换元法解分式方程】
换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系
例解方程：
另（x－y）=u，则原方程转换为：
方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。
【题型2 换元法解分式方程】
【例2】（2023·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y−4y=0的解，
∴当y＝2时，x−1x=2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x=13．
经检验：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=13．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程x−1x+xx−1=52中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1＝0．
【变式2-1】（2023·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程x2+1x−x3x2+1+1=0，如果设x2+1x=y，那么原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．3y2+3y−1=0B．3y2−3y−1=0
C．3y2−y+1=0D．3y2−y−1=0
【变式2-2】（2023·上海·八年级课时练习）如果16x2−8x+1=0，那么4x的值是（ ）
A．1B．-1C．±1D．4
【变式2-3】（2023·上海·九年级专题练习）解方程组：1x+12x−y=3 3x−12x−y=1 ．
【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】
解题技巧：裂项相消法：
【题型3 裂项法解分式方程】
【例3】（2023·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律：
11×2=11–12；12×3=12–13；13×4=13–14；……
解答下面的问题：
(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将1n(n+1)写成上面式子形式；
(2)说明你（1）中式子的正确性；
(3)直接写出11×2+12×3+13×4+ … +12021×2022的结果；
(4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整数）的分式方程：11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+1(2n−1)(2n+1)=n+1002n+202．
【变式3-1】（2023·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14,14×5=14−15，…，回答问题：若1(x+1)×(x+2)+1(x+2)×(x+3)+1(x+3)×(x+4)+…+1(x+99)×(x+100)＝1x+100，则x的值为 _____．
【变式3-2】（2023·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：
16=12×3=12−13,112=13×4=13−14,120=14×5=14−
(1)由此可推断：142=___；
(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___；
(3)仿照以上方法解方程：3(x−1)(x−4)=1x-1
【变式3-3】（2023·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察下列算式：
16=12×3=12−13
112=13×4=13−14
120=14×5=14−15
……
(1)填空：142＝ ＝ ；
(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律： ．
(3)请用（2）中的规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+9)(x+10)=1(x+10)．
【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
【题型4 根据分式方程的解求值】
【例4】（2023·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程2axa−x=83的解为x=1，则a等于（ ）
A．−1B．1C．4D．8
【变式4-1】（2023·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程3x−1=x+axx−1的增根是x=1，则字母a的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【变式4-2】（2023·北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程2x−mx−3=3的解，则m的值为________．
【变式4-3】（2023·全国·八年级专题练习）若关于x的方程axx+1+3x+1+3x=2有增根x=−1，则2a−3的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】
【例5】（2023·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程1−axx−2+2=12−x有解，则a的取值范围是________．
【变式5-1】（2023·湖南·八年级单元测试）若关于x的分式方程1x−2+x+mx2−4=3x+2无解，则m的值为( )
A．-6B．-10C．0或-6D．-6或-10
【变式5-2】（2023·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x的分式方程xx−2+2m2−x=3m无解，则m的值是（ ）
A．1或13B．1或3C．13D．1
【变式5-3】（2023·重庆·二模）若关于x的不等式组2x−m≥−132(x+23)+12≤9有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程my−4y−2=2−3y−22−y有解，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
A．7B．10C．13D．21
【知识点5 增根的讨论】
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
【题型6 已知分式方程有增根求参数】
【例6】（2023·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程5x−42x−4=2x+k3x−6有增根，则k是 _______________．
【变式6-1】（2023·浙江宁波·七年级期末）用去分母的方法解关于x的分式方程2−xx−3=a3−x−2时会产生增根，则a的值是__________．
【变式6-2】（2023·江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x的方程xx-1−kx2-1=xx+1不会产生增根，则k的值是（ ）
A．2B．1C．k≠2且k≠−2D．无法确定
【变式6-3】（2023·全国·八年级）若关于x的方程mx2−9+2x+3=1x−3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
【题型7 已知分式方程有整数解求参数】
【例7】（2023·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x的不等式组x3−4＜−2x+332x+a−2≥51−2x，有且仅有四个整数解，且使关于y的分成方程ay+2=2y−1y+2+1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．−2B．3C．5D．10
【变式7-1】（2023·安徽·九年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程8−ax2−x﹣2＝xx−2有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7B．11C．12D．13
【变式7-2】（2023·重庆一中八年级阶段练习）关于x的不等式组a+x3≥x+131−3(x−1)＜14+2x有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程3y+153−y+2ayy−3=2的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．4B．8C．11D．15
【变式7-3】（2023·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组{x−3(x−2)>−2a+x2A．0B．1C．2D．5
【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】
【例8】（2023·重庆一中九年级阶段练习）若关于x的不等式组x−a2>03x+15≥x−1有解，且关于y的方程2ay−3=4−y−a3−y的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣3D．﹣1
【变式8-1】（2023·山东·龙口市教学研究室八年级期中）若关于x的分式方程2x+m=3x+3有负数解，则m的取值范围为______．
【变式8-2】（2023·江苏宿迁·八年级阶段练习）关于x的方程x−1x−3=2+kx−3的解大于1，则k的取值范围为_____________．
【变式8-3】（2023·山东济南·八年级期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．18B．16C．12D．6
【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】
【例9】（2023·山东聊城·八年级期末）已知：①x+2x＝3可转化为x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，
②x+6x＝5可转化为x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，
③x+12x＝7可转化为x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……
根据以上规律，关于x的方程x+n2+nx−3＝2n+4的解为_____．
【变式9-1】（2023·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程
①1x+1=2x+1−1的解是x=0；
②2x+1=4x+1−1的解是x=1；
③3x+1=6x+1−1的解是x= ；
④4x+1=8x+1−1的解是x= ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解．
【变式9-2】（2023·江苏无锡·八年级期中）阅读下列材料：
方程1x+1−1x=1x−2−1x−3的解为x=1，
方程1x−1x−1=1x−3−1x−4的解为x=2，
方程1x−1−1x−2=1x−4−1x−5的解为x=3，
(1)请直接写出方程1x−4−1x−5=1x−7−1x−8的解为________；
(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为−5的分式方程：________；
(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；________．
【变式9-3】（2023·四川遂宁·八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题．
通过计算，发现：方程x+1x=2+12的解为x1＝2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1＝3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1＝4，x2=14；…
(1)观察猜想：关于x的方程x+1x=n+1n的解是 ；
(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程x+1x−3=a+1a−3；
(3)实践运用：对关于x的方程x−1x=m−1m的解，小明观察得“x1=m”是该方程的一个解，则方程的另一个解x2= ，请利用上面的规律，求关于x的方程x2−x−1x−1=m−1m−1的解．
【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】
【例10】（2023·辽宁大连·八年级期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a,a（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；
（2）若F(m,2)−F(2,m)=1，求出m的值．
【变式10-1】（2023·广西·北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕b＝1b−1a，若2⊕2x−1＝0，则x的值为（ ）
A．56B．54C．32D．−16
【变式10-2】（2023·全国·七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b(其中a≠0)，都有a*b＝1a−a−ba，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：2*1＝12−2−12＝0.
(1)求5*4的值；
(2)若x*2＝1(其中x≠0)，求x的值．
【变式10-3】（2023·江苏扬州·八年级期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程3−21−x=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
专题9.3 分式方程【十大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc654" 【题型1 解分式方程的一般方法】 PAGEREF _Tc654 \h 1
\l "_Tc4759" 【题型2 换元法解分式方程】 PAGEREF _Tc4759 \h 4
\l "_Tc28244" 【题型3 裂项法解分式方程】 PAGEREF _Tc28244 \h 7
\l "_Tc2691" 【题型4 根据分式方程的解求值】 PAGEREF _Tc2691 \h 11
\l "_Tc28399" 【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】 PAGEREF _Tc28399 \h 13
\l "_Tc308" 【题型6 已知分式方程有增根求参数】 PAGEREF _Tc308 \h 16
\l "_Tc3194" 【题型7 已知分式方程有整数解求参数】 PAGEREF _Tc3194 \h 18
\l "_Tc25173" 【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】 PAGEREF _Tc25173 \h 22
\l "_Tc32752" 【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】 PAGEREF _Tc32752 \h 25
\l "_Tc30474" 【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】 PAGEREF _Tc30474 \h 29
【知识点1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
【题型1 解分式方程的一般方法】
【例1】（2023·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1x−2+3=4x−2的解是_________.
答案:3
分析：根据解分式方程的步骤解答即可．
【详解】解：1x−2+3=4x−2
1+3（x-2）=4
1+3x-6=4
3x=4+6-1
3x=9
x=3
检验，当x=3时，x-2=1≠0，故x=3是分式方程的解．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的一般步骤为将分式方程化成整式方程、解整式方程、检验．
【变式1-1】（2023·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：
(1)2xx+2−xx−1=1；
(2)1x+3−23−x=12x2−9．
答案:(1)x=25
(2)分式方程无解
分析：（1）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可；
（2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+2)(x−1)得∶
2x(x−1)−x(x+2)=(x+2)(x−1)
2x2−2x−x2−2x=x2+x−2
5x=2
x=25
检验：当x=25 时，(x+2)(x−1)≠0，
∴x=25是原方程的的解．
（2）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+3)(x−3)得
x−3+2(x+3)=12，
x−3+2x+6=12，
3x=9，
x=3．
检验：当x=3时，x+3x−3=0，
∴x=3是原方程的增根，
∴分式方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意验根．
【变式1-2】（2023·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x=________时，分式x−8x−7与分式17−x互为相反数．
答案:9
分析：根据相反数的性质可得x−8x−7+17−x=0，解分式方程即可得出结果．
【详解】解：∵分式x−8x−7与分式17−x互为相反数，
∴x−8x−7+17−x=0，
整理得：x−8x−7−1x−7=0，
去分母得：x−8−1=0，
解得：x=9，
经检验x=9是x−8x−7+17−x=0的解，
∴x=9时，分式x−8x−7与分式17−x互为相反数，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了相反数的性质以及解分式方程，根据互为相反数的两个数相加得0列出分式方程是解本题的关键，注意分式方程需要检验．
【变式1-3】（2023·上海·上外附中七年级期末）解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3
答案:x=−52.
分析：先将原方程变形1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，再进一步化简转化为整式方程求解即可.
【详解】解:原方程可变形为，
1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，
化简得，1x+4+1x+1=1x+2+1x+3，
即2x+5(x+4)(x+1)=2x+5(x+2)(x+3)，
∴2x+5=0，
解得，x=−52,
检验，把x=−52代入(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)≠0，
∴原方程的解为x=−52.
【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键.
【知识点2 换元法解分式方程】
换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系
例解方程：
另（x－y）=u，则原方程转换为：
方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。
【题型2 换元法解分式方程】
【例2】（2023·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y−4y=0的解，
∴当y＝2时，x−1x=2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x=13．
经检验：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=13．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程x−1x+xx−1=52中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1＝0．
答案:(1)x−1x， y+1y=52， x=12或x＝﹣1
(2)x=−12
分析：（1 ）根据换元法设x−1x=y，可得关于y的分式方程，解分式方程，再解分式方程即可得原方程的解；
（ 2）根据分式的加减，可得：x−1x+2−x+2x−1=0，根据换元法，可得答案．
(1)
解：设x−1x=y，则原方程化为：y+1y=52，
方程两边同时乘以2y得：2y2﹣5y+2＝0，解得：y=12或2，
经检验：y=12和2都是方程y+1y=52的解．
当y=12时，x−1x=12，解得x＝2；
当y＝2时，x−1x=2，解得：x＝﹣1．
经检验：x=12和x＝﹣1是原分式方程的解，
故答案为:x−1x，y+1y=52，x=12或x＝﹣1
(2)
解：原方程化为：x−1x+2−x+2x−1=0，
设y=x−1x+2，则原方程化为：y−1y=0，
方程两边同时乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y−1y=0的解．
当y＝1时，x−1x+2=1，该方程无解；
当y＝﹣1时，x−1x+2=−1，解得：x=−12．
经检验：x=−12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−12．
【点睛】本题考查了用换元法解一类特殊的分式方程，关键是根据方程特点正确换元，注意两次解分式方程都要检验．
【变式2-1】（2023·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程x2+1x−x3x2+1+1=0，如果设x2+1x=y，那么原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．3y2+3y−1=0B．3y2−3y−1=0
C．3y2−y+1=0D．3y2−y−1=0
答案:A
分析：由x2+1x=y，原方程可化为y−13y+1=0，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案．
【详解】解：设x2+1x=y，
∴分式方程x2+1x−x3x2+1+1=0可化为y−13y+1=0，
化为整式方程：3y2+3y−1=0，
故选：A．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
【变式2-2】（2023·上海·八年级课时练习）如果16x2−8x+1=0，那么4x的值是（ ）
A．1B．-1C．±1D．4
答案:A
分析：先将方程16x2−8x+1=0变形为(4x)2−8x+1=0，再利用完全平方公式化为(4x−1)2=0，从而求得4x=1.
【详解】解：方程16x2−8x+1=0可变形为(4x)2−8x+1=0
∴(4x−1)2=0
∴4x=1
故选A.
【点睛】本题考查了解分式方程中整体思想的运用，对方程进行变形然后利用完全平方公式解题是关键.
【变式2-3】（2023·上海·九年级专题练习）解方程组：1x+12x−y=3 3x−12x−y=1 ．
答案:x=1y=32
分析：将原方程组转换成整式方程组，设1x=u，12x−y=v，求出u、v的值，然后再求x、y的值，同时解分式方程一定注意要验根．
【详解】解：设1x=u，12x−y=v，则原方程组可化为u+v=33u−v=1．
解这个方程组，得 u=1v=2．
于是，得1x=112x−y=2，即x=12x−y=12．
解方程组得 x=1y=32．
经检验x=1y=32是原方程组的解．
所以，原方程组的解是x=1y=32．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解是解决本题的关键．
【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】
解题技巧：裂项相消法：
【题型3 裂项法解分式方程】
【例3】（2023·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律：
11×2=11–12；12×3=12–13；13×4=13–14；……
解答下面的问题：
(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将1n(n+1)写成上面式子形式；
(2)说明你（1）中式子的正确性；
(3)直接写出11×2+12×3+13×4+ … +12021×2022的结果；
(4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整数）的分式方程：11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+1(2n−1)(2n+1)=n+1002n+202．
答案:(1)1n(n+1)=1n−1n+1
(2)见解析
(3)20212022
(4)n=100
分析：（1）根据题干信息是探究提示，总结出规律即可；
（2）把等式的右边通分，再进行计算即可证明规律；
（3）利用规律把原式化为1−12+12−13+13−14+···+12021−12022，再进行计算即可；
（4）利用规律把原方程化为12(11−13+13−15+15−17+…+12n−1−12n+1)=n+1002n+202，再解方程即可．
（1）
解：∵11×2=11–12；12×3=12–13；13×4=13–14；……
∴1n(n+1)=1n−1n+1
（2）
右边=1n−1n+1=n+1n(n+1)−nn(n+1)=n+1−nn(n+1)=1n(n+1)=左边，
∴（1）中式子正确．
（3）
11×2+12×3+13×4+ … +12021×2022
=1−12+12−13+13−14+···+12021−12022
=1−12022=20212022.
（4）
方程变形为：12(11−13+13−15+15−17+…+12n−1−12n+1)=n+1002n+202，
即：12(1−12n+1)=n+1002n+202，
∴n2n+1=n+1002n+202,
去分母得：2n2+202n=(2n+1)(n+100)．
解得：n=100．
检验：因为n为正整数，原方程分母不会为零．
所以原方程的根是n=100．
【点睛】本题考查的是数的运算规律的探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键，同时考查了分式的加减运算，分式方程的解法．
【变式3-1】（2023·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14,14×5=14−15，…，回答问题：若1(x+1)×(x+2)+1(x+2)×(x+3)+1(x+3)×(x+4)+…+1(x+99)×(x+100)＝1x+100，则x的值为 _____．
答案:98
分析：根据题目中给出的等式可以找到规律，找出规律，即第n个等式为1n(n+1)=1n−1n+1，本题得以解决．
【详解】解：分式方程变形得：
1x+1−1x+2+1x+2−1x+3+1x+3−1x+4+．．．+1x+99−1x+100=1x+100，
化简得：1x+1−1x+100=1x+100，即1x+1=2x+100，
去分母得：x+100＝2x+2，
解得：x＝98，
检验：把x＝98代入得：（x+1）（x+2）（x+3）．．．（x+100）≠0，
∴分式方程的解为x＝98．
故答案为：98．
【点睛】本题考查了规律题—数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式．
【变式3-2】（2023·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：
16=12×3=12−13,112=13×4=13−14,120=14×5=14−
(1)由此可推断：142=___；
(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___；
(3)仿照以上方法解方程：3(x−1)(x−4)=1x-1
答案:（1）16-17；（2）1(m−1)(m−2)=1m−1-1m−2；（3）7
分析：1）根据题意将42分解为6×7得出答案；
（2）利用（1）中数据变化规律得出答案；
（3）利用（2）中规律化简方程，进而求出即可．
【详解】(1) 142=16×7=16-17；
故答案为16-17；
(2)用含字母m的等式表示(1)中一般规律为：1(m−1)(m−2)=1m−1-1m−2 .
故答案为1(m−1)(m−2)=1m−1-1m−2；
（3）方程整理得：1x−4−1x−1=1x−1 ，即1x−4=2x−1
去分母得：x−1=2x−8，
解得：x=7，
经检验x=7是分式方程的解.
【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，解题关键在于找到规律.
【变式3-3】（2023·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察下列算式：
16=12×3=12−13
112=13×4=13−14
120=14×5=14−15
……
(1)填空：142＝ ＝ ；
(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律： ．
(3)请用（2）中的规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+9)(x+10)=1(x+10)．
答案:(1)16×7,16−17
(2)1m(m+1)=1m−1m+1
(3)x＝10
分析：（1）观察已知算式计算格式，计算即可得结果；
（2）观察给出的算式，可得规律：1m(m+1)=1m−1m+1；
（3）由（2）中的规律，可将原方程化为1x−1x+1+1x+1−1x+2+⋯+1x+9−1x+10=1x+10，即1x=2x+10可得，解此方程即可求得答案．
（1）
解：142=16×7=16−17，
故答案为：16×7,16−17；
（2）
解：由题中给出的算式可得：1m(m+1)=1m−1m+1；
故答案为：1m(m+1)=1m−1m+1；
（3）
解：原方程变形为：1x−1x+1+1x+1−1x+2+⋯+1x+9−1x+10=1x+10
即1x=2x+10，
∴x+10＝2x，
解得：x＝10，
检验：左边＝110，右边＝110，即x＝10是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为：x＝10．
【点睛】此题考查了分式的加减运算与分式方程的解法．此题难度适中，解题的关键是得到规律：1m(m+1)=1m−1m+1．
【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
【题型4 根据分式方程的解求值】
【例4】（2023·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程2axa−x=83的解为x=1，则a等于（ ）
A．−1B．1C．4D．8
答案:C
分析：将x=1代入方程可得一个关于a的分式方程，解方程即可得．
【详解】解：∵x=1是方程2axa−x=83的解，
∴2aa−1=83，
6a=8a−1，
6a=8a−8，
解得a=4，
经检验，a=4是方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【变式4-1】（2023·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程3x−1=x+axx−1的增根是x=1，则字母a的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
答案:C
分析：把分式方程化为整式方程后，把x=1代入，即可求得结果．
【详解】方程两边同时乘以xx−1得：3x=x+a，
把x=1代入得：3×1=1+a，
解得：a=2
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义是解决问题的关键．
【变式4-2】（2023·北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程2x−mx−3=3的解，则m的值为________．
答案:5
分析：把x=4代入方程2x−mx−3=3，得到关于m的一元一次方程，再解方程即可.
【详解】解：∵ x=4是关于x的方程2x−mx−3=3的解，
∴2×4−m4−3=3，
∴8−m=3，
解得：m=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了分式方程的解的定义，理解分式方程的解的定义是解题的关键．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．
【变式4-3】（2023·全国·八年级专题练习）若关于x的方程axx+1+3x+1+3x=2有增根x=−1，则2a−3的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
答案:B
分析：分式方程去分母转化为整式方程，把增根x=-1代入整式方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：分式方程去分母得：ax2+3x+3（x+1）=2x（x+1），
把x=-1代入整式方程得：a=3，
则2a-3=6-3=3．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】
【例5】（2023·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程1−axx−2+2=12−x有解，则a的取值范围是________．
答案:a≠1且a≠2
分析：先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围．
【详解】解：∵1−axx−2+2=12−x，
∴a=2x−2x，
∵1−axx−2+2=12−x有解，
则x−2≠0或2−x≠0，
∴x≠2，
当x=2时，a=2x−2x=2×2−22=1，
故a的取值是1，
当x≠2时，1−axx−2+2=12−x，
两边同乘(x−2)，1−ax+2(x−2)=−1，
∴x=22−a，
当2-a=0时，方程无解，此时a=2，
故答案为：a≠1且a≠2．
【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
【变式5-1】（2023·湖南·八年级单元测试）若关于x的分式方程1x−2+x+mx2−4=3x+2无解，则m的值为( )
A．-6B．-10C．0或-6D．-6或-10
答案:D
分析：先把方程化成整式方程，再确定分式无解的x的值，把值代入整式方程确定待求字母的值即可．
【详解】∵ 1x−2+x+mx2−4=3x+2，
∴1x−2+x+m(x+2)(x−2)=3x+2
方程两边同时乘以（x-2）（x+2），得
x+2+x+m=3(x-2)，
整理，得x=m+8，
∵ 当x+2=0或x-2=0时，分式是无意义的，
故当x=-2时，-2= m+8，解得m=-10；
当x=2时，2= m+8，解得m=-6；
故m=-6或-10，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，灵活计算求解是解题的关键．
【变式5-2】（2023·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x的分式方程xx−2+2m2−x=3m无解，则m的值是（ ）
A．1或13B．1或3C．13D．1
答案:A
分析：根据分式方程无解，需要对化简之后的整式进行讨论，可能是整式方程无解，也可能是整式方程的解是原分式方程的增根，即可求解．
【详解】解：去分母得，x−2m=3m(x−2)，
去括号得，x−2m=3mx−6m，
移项得，x−3mx=2m−6m，
合并同类项得，(1−3m)x=−4m，
∵分式方程xx−2+2m2−x=3m无解，
∴1-3m=0或x=2，
∴m=13，
将x=2代入(1−3m)x=−4m，得2(1−3m)=−4m，
解得m=1，
综上，m的值是1或13．
故选A．
【点睛】本题主要考查的是利用分式方程无解求参数的值，理解分式方程无解的解题方法是解题关键．
【变式5-3】（2023·重庆·二模）若关于x的不等式组2x−m≥−132(x+23)+12≤9有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程my−4y−2=2−3y−22−y有解，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
A．7B．10C．13D．21
答案:C
分析：先求解不等式组，根据不等式组有且只有两个奇数解，求出m的一个取值范围；再根据分式方程有解的条件，即分母不为零，求出m的第二个取值范围，最后根据两个取值范围确定出正确的m值并求和．
【详解】解不等式组：2x−m≥−1①32(x+23)+12≤9②
由①得：x≥m−12
由②得：32x+1+12≤9，32x≤152，∴x≤5
∴不等式组的解集为m−12≤x≤5
∵不等式组有且只有两个奇数解
∴1解得：3∵分式方程有解，则分母不为零
∴y≠2
解分式方程：my−4y−2−2+3y−22−y=0
my−4y−2−2−3y−2y−2=0
my−4−2(y−2)−(3y−2)y−2=0
y=−2m−5，m≠5
∴−2m−5≠2
解得：m≠4
∴满足条件的m值为6，7
∴所有满足条件的整数m的和是6+7=13
故选C．
【点睛】本题考查求含参一元一次不等式组的解及根据条件求参数取值范围，根据分式方程有解求含参分式方程参数取值范围，解决本题的关键是根据条件求出正确的m的范围．
【知识点5 增根的讨论】
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
【题型6 已知分式方程有增根求参数】
【例6】（2023·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程5x−42x−4=2x+k3x−6有增根，则k是 _______________．
答案:5
分析：先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的根，然后再由分式方程有增根，列出关于k的方程求解即可．
【详解】解：5x−42x−4=2x+k3x−6
5x−42x−2=2x+k3x−2
左右同乘最简公分母6（x-2）得：
3（5x-4）=2（2x+k）
11x=2k+12
x=2k+1211
由分式方程有增根，则6（x-2）=0，即x-2=0，有2k+1211-2=0，解得k=5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，解此类题的基本步骤：①化分式方程为整式方程求出增根；②把增根代入最简公分母求出相关字母的值．
【变式6-1】（2023·浙江宁波·七年级期末）用去分母的方法解关于x的分式方程2−xx−3=a3−x−2时会产生增根，则a的值是__________．
答案:1
分析：根据分式方程产生增根，即可得出x=3，将分式方程化为整式方程，将x=3代入整式方程，即可求出a的值．
【详解】解：将2−xx−3=a3−x−2都是乘以x−3，得，2−x=−a−2x−3，
∵关于x的分式方程2−xx−3=a3−x−2时会产生增根，
∴x=3，
将x=3代入2−x=−a−2x−3得，
∴2−3=−a−23−3，
∴a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程增根的含义是本题的关键．
【变式6-2】（2023·江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x的方程xx-1−kx2-1=xx+1不会产生增根，则k的值是（ ）
A．2B．1C．k≠2且k≠−2D．无法确定
答案:C
分析：先将分式方程化为整式方程，解得x=12k，根据题意可得x≠±1，从而求出k的值．
【详解】解：去分母得，x(x+1)−k=x(x−1)，
解得x=12k，
∵方程xx-1−kx2-1=xx+1不会产生增根，
∴x≠±1，
∴12k≠±1，
即k≠±2．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式6-3】（2023·全国·八年级）若关于x的方程mx2−9+2x+3=1x−3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
答案:x＝3或－3是原方程的增根；m＝6或12.
【详解】试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可.
试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，
所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．
原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.
当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；
当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，
解得m＝12.
综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.
当x＝3时，m＝6；
当x＝－3时，m＝12.
点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．
【题型7 已知分式方程有整数解求参数】
【例7】（2023·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x的不等式组x3−4＜−2x+332x+a−2≥51−2x，有且仅有四个整数解，且使关于y的分成方程ay+2=2y−1y+2+1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．−2B．3C．5D．10
答案:B
分析：先求出每个不等式的解集，根据不等式组只有四个整数解求出−5≤a<7，再解分式方程，根据分式方程有整数解求出a−1是3的整倍数，a≠−5，据此求解即可．
【详解】解：x3−4<−2x+33①2x+a−2≥51−2x②
解不等式①得：x<5，
解不等式②得：x≥7−a12，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴0<7−a12≤1，
∴−5≤a<7；
ay+2=2y−1y+2+1
去分母得：a=2y−1+y+2，
解得y=a−13，
∵分式方程有整数解，
∴a−1是3的整倍数，且a−13≠−2，即a≠−5，
∴a−1=−3或0或3，
∴a=−2或1或4，
∵−2+1+4=3，
∴所有满足条件的整数a的值之和是3，
故选B．
【点睛】本题主要考查了根据一元一次不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解得情况求参数，熟知解一元一次不等式组和解分式方程的方法是解题的关键．
【变式7-1】（2023·安徽·九年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程8−ax2−x﹣2＝xx−2有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7B．11C．12D．13
答案:D
分析：根据分式方程的解为整数解，即可得出a=-1，1，2，4，7，据此计算即可．
【详解】解分式方程8−ax2−x﹣2＝xx−2，得：x=4a−3，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，
∴a=-1，1，2，4，7．
故符合条件的所有a之和为：-1+1+2+4+7=13．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
【变式7-2】（2023·重庆一中八年级阶段练习）关于x的不等式组a+x3≥x+131−3(x−1)＜14+2x有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程3y+153−y+2ayy−3=2的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．4B．8C．11D．15
答案:A
分析：求出不等式组的解集，根据解集的限制条件确定a的取值范围，再解关于y的分式方程，根据分式方程的解为整数，进而确定a的取值，再进行计算即可．
【详解】解：解关于x的不等式组a+x3≥x+131−3(x−1)＜14+2x得，x≤a−12x≥−2，
所以﹣2≤x≤a−12，
由于这个关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，
∴﹣2≤a−12＜2，
∴﹣3≤a＜5，
解关于y的分式方程3y+153−y+2ayy−3=2的解为y＝92a−5，
由于这个分式方程的解是整数，且y≠3，
∴2a﹣5＝±1或2a﹣5＝﹣3或2a﹣5＝±9，
当2a﹣5＝±1时，a＝3或a＝2，
当2a﹣5＝﹣3时，a＝1，
当2a﹣5＝±9时，a＝7或a＝﹣2，
又∵a为整数，且﹣3≤a＜5，
∴a＝3或a＝2或a＝1或a＝﹣2，
∴所有满足条件的整数a的和为3+2+1﹣2＝4，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次不等式组、分式方程，理解一元一次不等式组的解集、分式方程的解，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题的前提．
【变式7-3】（2023·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组{x−3(x−2)>−2a+x2A．0B．1C．2D．5
答案:B
分析：先解不等式组，由不等式组有解，可得a＜4， 再解分式方程，当a≠2且a≠1时，分式方程的解为：y=−4a−2,再由y,a为整数，分类讨论可得答案．
【详解】解：{x−3(x−2)>−2①a+x2由①得：x−3x+6＞−2,
∴−2x＞−8,
∴x＜4,
由②得：a+x＜2x,
∴x＞a,
∵ 关于x的不等式组{x−3(x−2)>−2a+x2∴a＜4，
∵ay−14−y+3y−4=−2，
∴ay−1−3=−2(4−y),
∴ay−2y=−4,
∴(a−2)y=−4,
当a=2时，方程无解，则a≠2,
∴y=−4a−2=−4a−2,
检验：y−4≠0,
∴−4a−2−4≠0,
∴4a−2≠−4,
∴a−2≠−1,
∴a≠1,
∵y,a为整数，
∴a−2=±1 或a−2=±2或a−2=±4,
∴a=3或a=1或a=4或a=0或a=6或a=−2,
∴a＜4， a≠2, a≠1,
∴ a=3或a=0或a=−2.
经检验：a=3或a=0或a=−2符合题意，
∴3+0+(−2)=1.
故选：B.
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，分类讨论数学思想，掌握以上知识是解题的关键．
【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】
【例8】（2023·重庆一中九年级阶段练习）若关于x的不等式组x−a2>03x+15≥x−1有解，且关于y的方程2ay−3=4−y−a3−y的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣3D．﹣1
答案:B
分析：先解不等式组，根据关于x的不等式组x−a2>03x+15≥x−1有解，可得a的取值范围，再解分式方程，关于y的方程2ay−3=4−y−a3−y的解是正数，可得a的取值范围，进一步求和即可．
【详解】解： x−a2>0①3x+15≥x−1②，
解不等式①得，x＞a，
解不等式②得，x≤3，

∵关于x的不等式组x−a2>03x+15≥x−1有解，
∴a＜3，
解分式方程 2ay−3=4−y−a3−y，
去分母得，2a=4(y−3)+y−a，
解得：y=3a+125，
∵关于y的方程2ay−3=4−y−a3−y的解是正数，
∴y＞0且y≠3，
∴3a+125>0且3a+125≠3，
解得a＞−4，且a≠1，
∴−4＜a＜3且a≠1，
∴满足条件的整数a的值：−3、−2、−1、0、2；
∵−3+(−2)+(−1)+0+2=−4，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，和解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法以及解分式方程的步骤是解题的关键．
【变式8-1】（2023·山东·龙口市教学研究室八年级期中）若关于x的分式方程2x+m=3x+3有负数解，则m的取值范围为______．
答案:m>2且m≠3
分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据方程有负数解列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【详解】解：去分母得：2(x+3)=3(x+m)，
去括号得：2x+6=3x+3m，
移项合并得：−x=3m−6，
解得：x=6−3m，
根据题意得：6−3m<0，且6−3m≠−3，6−3m≠−m，
解得：m>2且m≠3．
故答案为：m>2且m≠3．
【点睛】此题考查了分式方程的解，解题的关键是用m的代数式表示x．
【变式8-2】（2023·江苏宿迁·八年级阶段练习）关于x的方程x−1x−3=2+kx−3的解大于1，则k的取值范围为_____________．
答案:k<4且k≠2
分析：根据题意解分式方程，用k表示出x的值，然后根据x的取值范围求解即可．
【详解】∵x−1x−3=2+kx−3
x−1=2x−3+k，
解得：x=5−k．
∵方程x−1x−3=2+kx−3的解大于1，，
∴x>1，且x≠3，
∴5−k>1且5−k≠3，
解得：k<4且k≠2．
故答案为：k<4且k≠2．
【点睛】此题考查了分式方程含参数问题的解法，解题的关键是根据题意得出关于参数k的不等式．
【变式8-3】（2023·山东济南·八年级期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．18B．16C．12D．6
答案:B
分析：先求出分式方程的解，再利用分式方程的解为非负整数解，以及a满足不等式a+2>1，求出−1＜a≤10，再利用x=10−a4是非负整数可知10−a是4的倍数分析即可．
【详解】解：由题意可知：x+a−2ax−2=5，
x−a=5x−2，
x=10−a4，
∵分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，
∴10−a4≥0a+2＞1，解得：−1＜a≤10．
∵x=10−a4是非负整数，则：
当10−a=0时，a=10，此时x=0，经检验，x=0是分式方程的解；
当10−a=4时，a=6，此时x=1，经检验，x=1是分式方程的解；
当10−a=8时，a=2，此时x=2，经检验，x=2不是分式方程的解；
∴满足条件的整数a的值之和是16．
故选：B
【点睛】本题考查解分式方程，不等式组的应用，解题的关键是求出−1＜a≤10，再利用x=10−a4是非负整数，求出a的值即可．
【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】
【例9】（2023·山东聊城·八年级期末）已知：①x+2x＝3可转化为x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，
②x+6x＝5可转化为x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，
③x+12x＝7可转化为x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……
根据以上规律，关于x的方程x+n2+nx−3＝2n+4的解为_____．
答案:x1＝n+3，x2＝n+4
分析：仿照已知方程与解的特征，归纳总结得到一般性规律，确定出所求方程的解即可．
【详解】根据题意将方程变形得：x﹣3+nn+1x−3＝n+n+1，
可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，
则方程的解为x1＝n+3，x2＝n+4，
故答案为x1＝n+3，x2＝n+4
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式9-1】（2023·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程
①1x+1=2x+1−1的解是x=0；
②2x+1=4x+1−1的解是x=1；
③3x+1=6x+1−1的解是x= ；
④4x+1=8x+1−1的解是x= ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解．
答案:（1）③2；④3；（2）5x+1=10x+1−1，x=4；（3）nx+1=2nx+1−1，x=n−1
分析：（1）由题意把方程两边都乘以（x+1）把分式方程化为整式方程，然后求解即可；
（2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解；
（3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．
【详解】解：（1）③方程两边都乘以（x+1）得，3=6-x-1，
解得x=2，
经检验x=2是原分式方程的解；
④方程两边都乘以（x+1）得，4=8-x-1，
解得x=3，
经检验x=3是原分式方程的解；
故答案为：2，3；
（2）⑤方程为5x+1=10x+1−1，方程的解为x=4；
（3）含正整数n的式子表示为nx+1=2nx+1−1，方程的解为x=n−1．
【点睛】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键．
【变式9-2】（2023·江苏无锡·八年级期中）阅读下列材料：
方程1x+1−1x=1x−2−1x−3的解为x=1，
方程1x−1x−1=1x−3−1x−4的解为x=2，
方程1x−1−1x−2=1x−4−1x−5的解为x=3，
(1)请直接写出方程1x−4−1x−5=1x−7−1x−8的解为________；
(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为−5的分式方程：________；
(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；________．
答案:(1)x=6
(2)1x+7−1x+6=1x+4−1x+3
(3)1x−n+2−1x−n+1=1x−n−1−1x−n−2，x=n
分析：（1）根据材料可知，方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，即可得解；
（2）根据材料信息，写出一个解为-5的分式方程即可；
（3）观察所给的材料，从特殊形式到一般形式总结出规律，可得方程．
（1）
解：根据材料发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，
∴方程1x−4−1x−5=1x−7−1x−8的解为x=4+5+7+84＝6．
（2）
由题意可得：解是x=-5的方程可以是：
1x+7−1x+6=1x+4−1x+3；
（3）
由题意可得：
1x−n+2−1x−n+1=1x−n−1−1x−n−2，
解是x=n．
【点睛】本题考查学生阅读分析理解能力，解答本题的关键是通过对所给材料的理解得出方程以及方程解的一般形式．
【变式9-3】（2023·四川遂宁·八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题．
通过计算，发现：方程x+1x=2+12的解为x1＝2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1＝3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1＝4，x2=14；…
(1)观察猜想：关于x的方程x+1x=n+1n的解是 ；
(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程x+1x−3=a+1a−3；
(3)实践运用：对关于x的方程x−1x=m−1m的解，小明观察得“x1=m”是该方程的一个解，则方程的另一个解x2= ，请利用上面的规律，求关于x的方程x2−x−1x−1=m−1m−1的解．
答案:(1)x1=n，x2=1n
(2)x1=a，x2=3a−8a−3
(3)−1m；x1=m，x2=m−2m−1
分析：（1）根据题意可知规律：方程的解等于右边的整数和分数，方程的形式要和等式右边给出数的形式相同，按照此规律即可得出方程的解；
（2）根据（1）的规律，得出x−3=a−3，x−3=1a−3，解出即可得出方程的解；
（3）根据（1）中的规律，即可得出另一个解x2；首先对方程x2−x−1x−1=m−1m−1进行整理，得出x−1−1x−1=m−1−1m−1，然后按照（1）中的规律，解出即可得出结果．
（1）
解：x1=n，x2=1n．
故答案为：x1=n，x2=1n
（2）
解：x−3+1x−3=a−3+1a−3
∵x−3=a−3，x−3=1a−3，
∴x1=a，x2=3a−8a−3；
（3）
解：x2=−1m；
x2−x−1x−1=m−1m−1
整理，得：x−1x−1=m−1m−1，
整理，得：x−1−1x−1=m−1−1m−1，
∴x−1=m−1，x−1=−1m−1，
∴x1=m，x2=m−2m−1．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解本题的关键在正确理解题意找出方程与解之间的规律．
【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】
【例10】（2023·辽宁大连·八年级期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a,a（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；
（2）若F(m,2)−F(2,m)=1，求出m的值．
答案:（1）2；（2）m=0.
分析：（1）根据题目所给条件代值进去计算即可求出，
（2）根据m与2的大小关系进行分类讨论求解分式方程即可求出m的值．
【详解】解：（1）因为a+1>a，所以F(a+1,a)=2a+1−a=2；
（2）m>2时，
F(m,2)−F(2,m)=2m−2−2mm−2=1，
解得m=43<2，不合题意，舍去．
m<2时，
F(m,2)−F(2,m)=2×22−m−22−m=1，
解得m=0．
综上，m=0．
【点睛】本题主要考察新定义与分式方程的求解，根据题目给定公式代值计算即可，第（2）问注意对m的值进行分类讨论求解，注意求解出来的m的值要根据分类讨论时的取值范围进行取舍．
【变式10-1】（2023·广西·北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕b＝1b−1a，若2⊕2x−1＝0，则x的值为（ ）
A．56B．54C．32D．−16
答案:C
分析：已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【详解】解：根据题中的新定义化简2⊕2x−1＝0得：12x−1−12=0，
去分母得：2−2x+1=0，
解得：x=32，
检验：把x=32代入得：2x−1≠0，
∴分式方程的解为x=32．
故选：C．
【点睛】此题考查了解分式方程，有理数的混合运算，以及解一元一次方程，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
【变式10-2】（2023·全国·七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b(其中a≠0)，都有a*b＝1a−a−ba，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：2*1＝12−2−12＝0.
(1)求5*4的值；
(2)若x*2＝1(其中x≠0)，求x的值．
答案:(1)0；(2) x＝32
【详解】试题分析：（1）根据新定义的新运算，即可解答；
（2）根据新定义运算得到分式方程，解分式方程即可．
试题解析：(1)根据题意，得5*4＝15−5−45＝0；
(2)∵x*2＝1，
∴1x−x−2x＝1.
在方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x，
解得x＝32，
经检验，x＝32是原分式方程的解且符合题意，
∴分式方程的解为x＝32.
【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是熟记解分式方程的步骤．
【变式10-3】（2023·江苏扬州·八年级期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程3−21−x=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
答案:（1）不是，理由见解析；（2）2或3．
分析：（1）先依次求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可得出结论．
（2）根据两个方程有相同的整数解，列出关于x与m的式子，根据x为整数，m为正整数，进而确定m的值．
【详解】解：（1）一元一次方程3−2(1−x)=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”．
理由如下：
解一元一次方程3−2(1−x)=4x，解得x=12，
解分式方程2x+12x−1−1=44x2−1，解得x=12，
检验：当x=12，(2x+1)(2x−1)＝0，
∴原分式方程无解，
∴一元一次方程3−2(1−x)＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”．
（2）由题意，两个方程有相同的整数解，即mx+6=x+4m，
x=4m−6m−1=4(m−1)−2m−1=4−2m−1，
∵x为整数，∴m−1=1，2，−1，−2，∴m=2，3，0，−1，
又∵m取正整数，∴m=2或3．
【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是掌握相关概念以及各个方程的求解方法．