沪科版七年级数学下册专题9.7分式章末题型过关卷(沪科版)(原卷版+解析)

这是一份沪科版七年级数学下册专题9.7分式章末题型过关卷(沪科版)(原卷版+解析)，共20页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023·河北·一模）只把分式4m−a5n中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时a的值可以是下列中的（ ）
A．2B．mnC．m3D．m2
2．（3分）（2023·全国·八年级单元测试）计算x2y÷(－yx)·(yx)2的结果是( )
A．－xB．－x2yC．xyD．x2y
3．（3分）（2023·全国·八年级专题练习）若分式方程1x−2+2=kx−1x−2有增根， 则k的值是（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
4．（3分）（2023·山东威海·期中）设p=aa+1−bb+1，q=1a+1−1b+1，则p，q的关系是( )
A．p=qB．p>q
C．p=−qD．p5．（3分）（2023·浙江·杭州市文澜中学七年级期中）一件工程，甲单独做需要a小时完成，乙单独做需要b小时完成．若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（ ）
A．a+b2小时B．1a+1b小时C．1a+b小时D．aba+b小时
6．（3分）（2023·广西贵港·八年级期中）已知1x−1y=3，则分式5x+xy−5yx−xy−y的值为（ ）
A．8B．72C．27D．4
7．（3分）（2023·甘肃·临泽县第三中学九年级期中）《九章算术》中记载：“今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？”大意是说：兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停的话，再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（ ）
A．250180＝xx+30B．250180＝x−30xC．250180＝x+30xD．250180＝xx−30
8．（3分）（2023·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）若关于y的不等式组3y−22≥2y+1y−a3<1的解集为y≤－4，且关于x的分式方程1−xx−3+4=a3−x的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12B．14C．19D．21
9．（3分）（2023·山东·济南外国语学校九年级）设x≤0，y≤0，z≤0，则三数x+1y，y+1z，z+1x中（ ）
A．都不大于－2B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2
10．（3分）（2023·湖南·衡阳市成章实验中学八年级阶段练习）已知函数f(x)=21+x，其中f(a)表示x=a时对应的函数值，如f(1)=21+1，f(2)=21+2，则f(12022)+f(12021)+…f(12)+f(1)+f(2)+…+f(2021)+f(2022)的值为（ ）
A．2022B．2021C．4043D．4042
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023·辽宁大连·八年级期末）已知x2=y3=z4，则xy−x2yz=_____．
12．（3分）（2023·浙江舟山·七年级期末）在分式2x+13x−5中，当_________时，分式有意义；当x=___________，分式的值为零．
13．（3分）（2023·辽宁·本溪满族自治县教师进修学校八年级期末）若关于x的分式方程2x+3x−a=0的解为x=4，则常数a的值________________．
14．（3分）（2023·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）若关于x的分式方程x−a2x−4=13无解，则a=________．
15．（3分）（2023·湖南长沙·七年级阶段练习）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2−x+1，其中A，B，C，D为常数，则A+B+C+D=______．
16．（3分）（2023·吉林·九年级专题练习）设a，b，c，d都是正数，且S＝aa+b+d+ba+b+c+cb+c+d+da+c+d，那么S的取值范围是__．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023·山东·龙口市教学研究室八年级期中）（1）化简：x2+2x+1x2−1−xx−1；
（2）先化简，再求值：3x2−9xx−2÷（x+2−5x−2)，其中x=−1．
18．（6分）（2023·天津东丽·八年级期末）解分式方程
（1）1x−2=1−x2−x−3
（2）12−x=1x−2−6−x3x2−12
19．（8分）（2023·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的分式方程2x−2+mxx+1x−2=3x+1
(1)若方程的增根为x=2，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
20．（8分）（2023·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级阶段练习）永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
(方案一)甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
(方案二)乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
(方案三)若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
(1)请你求出完成这项工程的规定时间；
(2)如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案?说明理由．
21．（8分）（2023·福建·福州日升中学八年级期末）阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式(x−a)(x−b)x的值为零，则x=a或x=b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−(a+b)，所以关于x的方程x+abx=a+b有两个解，分别为x1=a,x2=b．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程x+8x=6有两个解，分别为x1=2，x2=________．
(2)关于x的方程x+m−nmnx=m+4mn−n2mn的两个解分别为x1=2，x2=_________．
(3)关于x的方程2x+n2−n2x−1=2n的两个解分别为x1,x2x122．（8分）（2023·全国·八年级专题练习）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式A=2xx+1，B=−2x+1，A−B=2xx+1−−2x+1=2x+2x+1=2(x+1)x+1=2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式C=1x+2，D=x2+5x+6x2+4x+4，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（2）已知分式P=E9−x2，Q=2x3−x，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
（3）已知分式M=(x−b)(x−c)x，N=(x−a)(x−5)x，（a、b、c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a−b+c的值．
23．（8分）（2023·江苏省新海高级中学七年级期中）有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是11×2；第二个数是12×3；第三个数是13×4；
对任何正整数n，第n个数与第(n+1)个数的和等于2n×n+2
（1）经过探究，我们发现：11×2=11−12，12×3=12−13，13×4=13−14
设这列数的第5个数为a，那么①a>15−16；②a=15−16，③a<15−16，则 正确（填序号）．
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数可表示 （用含n的式子表示），并且证明：第n个数与第(n+1)个数的和等于2n×n+2；
（3）利用上述规律计算：12020×2018+12018×2016+12016×2014+⋅⋅⋅+14×2的值．
第9章 分式章末题型过关卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023·河北·一模）只把分式4m−a5n中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时a的值可以是下列中的（ ）
A．2B．mnC．m3D．m2
答案:C
分析：根据分式的性质，分子分母的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则a为含m或n的一次单项式，据此判断即可．
【详解】解：∵4m−a5n中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，
∴a为含m或n的一次单项式，故只有C符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．
2．（3分）（2023·全国·八年级单元测试）计算x2y÷(－yx)·(yx)2的结果是( )
A．－xB．－x2yC．xyD．x2y
答案:A
分析：分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算．
【详解】原式=−x2y•xy•y2x2＝−x．
故选A．
【点睛】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分．
3．（3分）（2023·全国·八年级专题练习）若分式方程1x−2+2=kx−1x−2有增根， 则k的值是（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
答案:A
分析：使分母等于0的未知数的值是分式方程的增根，即x=2，将x=2代入化简后的整式方程中即可求出k的值.
【详解】1x−2+2=kx−1x−2，
去分母得：1+2（x-2）=kx-1，
整理得：2x-2=kx，
∵分式方程有增根，
∴x=2，
将x=2代入2x-2=kx，
2k=2，
k=1，
故选：A.
【点睛】此题考查分式方程的增根，正确理解增根的意义得到未知数的值是解题的关键.
4．（3分）（2023·山东威海·期中）设p=aa+1−bb+1，q=1a+1−1b+1，则p，q的关系是( )
A．p=qB．p>q
C．p=−qD．p答案:C
分析：判断p，q的关系，可以计算(p+q)的结果，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，
p+q=aa+1−ba+1+1a+1−1b+1=a+1a+1−b+1b+1=1−1=0，
∴p，q的关系是互为相反数，
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的加减混合运算，掌握分式加减法法则是解题的关键．
5．（3分）（2023·浙江·杭州市文澜中学七年级期中）一件工程，甲单独做需要a小时完成，乙单独做需要b小时完成．若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（ ）
A．a+b2小时B．1a+1b小时C．1a+b小时D．aba+b小时
答案:D
分析：由题意可得甲单独做每小时完成工程的1a，乙单独做每小时完成工程的1b，然后根据工作时间=工作总量÷工作效率列式计算即可．
【详解】解：∵甲单独做每小时完成工程的1a，乙单独做每小时完成工程的1b，
∴甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是11a+1b=aba+b（小时）；
故选：D．
【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找到题目中隐含的数量关系是解本题的关键．
6．（3分）（2023·广西贵港·八年级期中）已知1x−1y=3，则分式5x+xy−5yx−xy−y的值为（ ）
A．8B．72C．27D．4
答案:B
分析：把已知整理成x−y=−3xy，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵1x−1y=3，即y−xxy=3，
∴y−x=3xy，即x−y=−3xy，
∴5x+xy−5yx−xy−y=5(x−y)+xy(x−y)−xy=5×(−3xy)+xy(−3xy)−xy=−14xy−4xy=72，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，在本题中能理解整体思想并且将x−y=−3xy整体代入是解题关键．
7．（3分）（2023·甘肃·临泽县第三中学九年级期中）《九章算术》中记载：“今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？”大意是说：兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停的话，再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（ ）
A．250180＝xx+30B．250180＝x−30xC．250180＝x+30xD．250180＝xx−30
答案:D
分析：根据题意可得狗与兔子的速度比为250：180，设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：兔子先出发100步，狗跑了250步后距兔子30步，
∴兔子跑了250-100+30=180（步），
即狗与兔子的速度比为250：180，
设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意得：
250180＝xx−30．
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到狗与兔子的速度比为250：180是解题的关键．
8．（3分）（2023·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）若关于y的不等式组3y−22≥2y+1y−a3<1的解集为y≤－4，且关于x的分式方程1−xx−3+4=a3−x的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12B．14C．19D．21
答案:C
分析：先解分式方程得x=4−1+a3，再由题意可得11−a3≤0，且11−a3≠3，可求得a≤11且a≠2而且1+a为3的倍数，；再解不等式组，结合题意可得a>−7，则可得所有满足条件的整数a有-4， -1， 5， 8， 11，求和即可．
【详解】解：1−xx−3+4=a3−x，
(1−x)+4(x−3)=−a，
3x=11−a，
x=11−a3=4−1+a3，
∵方程的解为非负整数，
∴11−a≥0，1+a3为整数，
∴a≤11，而且1+a为3的倍数，
又∵x≠3，
∴ 11−a3≠3，
∴a≠2，
∴a≤11且a≠2，而且1+a为3的倍数，
3y−22≥2y＋1y−a3＜1①②，
由①得y≤−4，
由②得y∵不等式组的解集为y≤－4，
∴a+3>−4，
∴a>−7
∴符合条件a的整数有-4， -1， 5， 8， 11，
∴符合条件的所有整数a的和为=(−4)+(−1)+5+8+11=19，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的整数解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解集取法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
9．（3分）（2023·山东·济南外国语学校九年级）设x≤0，y≤0，z≤0，则三数x+1y，y+1z，z+1x中（ ）
A．都不大于－2B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2
答案:C
分析：首先把三个数相加，得到x+1x+y+1y+z+1z，由已知可知x+1x≤−2，y+1y≤−2，z+1z≤−2，可得x+1y+y+1z+z+1x≤−6，据此即可判定．
【详解】解：x+1y+y+1z+z+1x=x+1x+y+1y+z+1z，
∵x≤0，y≤0，z≤0，
∴x+1x≤−2，y+1y≤−2，z+1z≤−2，当且仅当x=y=z=−1时，取等号
∴x+1y+y+1z+z+1x≤−6，
当这三个数都大于-2时，这三个数的和一定大于-6，这与x+1y+y+1z+z+1x≤−6矛盾，
∴这三个数中至少有一个不大于-2，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用不等式的取值及反证法，判定命题的真假，难度比较大．
10．（3分）（2023·湖南·衡阳市成章实验中学八年级阶段练习）已知函数f(x)=21+x，其中f(a)表示x=a时对应的函数值，如f(1)=21+1，f(2)=21+2，则f(12022)+f(12021)+…f(12)+f(1)+f(2)+…+f(2021)+f(2022)的值为（ ）
A．2022B．2021C．4043D．4042
答案:C
分析：首先根据已知条件把所求的式子进行化简，再代入相关数值，计算即可．
【详解】解：∵f1a=21+1a=2aa+1，
则有：
f12022+f12021+…+f12
=40442023+40422022+40402021+…+43，
f1+f2+…+f2020+f2021+f2022
=1+23+24+…+22022+22023，
则原式=40442023+40422022+40402021+…+43+1+23+24+…+22022+22023
=1+43+23+64+24+…+40442023+22023
=1+2023−2×2
=4043，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数值的计算，计算的关键是理解已知条件中的关系式，对每个式子进行化简．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023·辽宁大连·八年级期末）已知x2=y3=z4，则xy−x2yz=_____．
答案:16
分析：设x2=y3=z4=k，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解．
【详解】设x2=y3=z4=k，根据题意有，k≠0，
则有x=2k，y=3k，z=4k，
即xy−x2yz=2k3k−2k23k4k=6k2−4k212k2=16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查为了分式的求值，设x2=y3=z4=k是解答本题的关键．
12．（3分）（2023·浙江舟山·七年级期末）在分式2x+13x−5中，当_________时，分式有意义；当x=___________，分式的值为零．
答案: x≠53 x=−12
分析：要使分式有意义，则需要满足分式的分母不为零，即3x−5≠0；要使分式的值为零，则需要满足分式的分子为零，分母不为零，即2x+1=0，3x−5≠0．
【详解】解：分式有意义，则3x−5≠0，即x≠53，
分式的值为零，则3x−5≠02x+1=0，解得x=−12
故答案为x≠53，x=−12
【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式的分母不为0时分式有意义，分式的分子为0分母不为0时，分式的值为0．
13．（3分）（2023·辽宁·本溪满族自治县教师进修学校八年级期末）若关于x的分式方程2x+3x−a=0的解为x=4，则常数a的值________________．
答案:10
分析：根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的方程，然后求解即可．
【详解】解：把x=4代入分式方程2x+3x−a=0，得
24+34−a=0，
解得：a=10，
经检验a=10是方程的解，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了分式方程的解和解分式方程，解题的关键是注意分式方程分母不能为0．
14．（3分）（2023·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）若关于x的分式方程x−a2x−4=13无解，则a=________．
答案:2
分析：先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a值，再根据分式方程无解的条件看能否得出另外一类a值即可．
【详解】解：x−a2x−4=13，
去分母得：3x−a＝2x−4，
整理得：x=3a−4，
由于此方程未知数的系数是1不为0，故无论a取何值时，3x−a＝2x−4都有解，故此情形下无符合题意的a值；
由分式方程无解即有增根，可得2x﹣4＝0，得x=2
把x＝2代入x=3a−4，
解得：a＝2，故此情形下符合题意的a值为2；
综上，若要关于x的分式方程x−a2x−4=13无解，a的值为2．
故答案为： 2．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．
15．（3分）（2023·湖南长沙·七年级阶段练习）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2−x+1，其中A，B，C，D为常数，则A+B+C+D=______．
答案:6
分析：由于x4+x2+1=(x2+1)2−x2=x2+1+xx2+1−x，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于A、B、C、D的方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：∵6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2−x+1，且x4+x2+1=(x2+1)2−x2=x2+1+xx2+1−x，
∴6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+1−x+Cx+Dx2+1+xx4+x2+1
∴6x3+10x=Ax+Bx2+1−x+Cx+Dx2+1+x
∴当x=0时，B+D=0①
当x=1时，A+B+3C+D=16②
当x=−1时，3B−A+D−C=−16③
∵6x3+10x=Ax3+Bx2+Ax+B1−x+Cx3+Dx2+Cx+D1+x,
即6x3+10x=A+Cx3+Bx2+Ax+B1−x+Dx2+Cx+D1+x
∴A+C=6④
联立①②③④解之得
A=C=3、B=−2、D=2，
∴A+B+C+D=6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于A、B、C、D的方程组即可解决问题．
16．（3分）（2023·吉林·九年级专题练习）设a，b，c，d都是正数，且S＝aa+b+d+ba+b+c+cb+c+d+da+c+d，那么S的取值范围是__．
答案:1＜S＜2
分析：根据分式的性质，分别将分母扩大、缩小，通过分式加减，计算即可得到结论．
【详解】∵a，b，c，d都是正数
∴S＝aa+b+d+ba+b+c+cb+c+d+da+c+d＞aa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d＝a+b+c+da+b+c+d＝1
S＝aa+b+d+ba+b+c+cb+c+d+da+c+d＜aa+b+ba+b+cc+d+dc+d＝a+ba+b+c+dc+d＝2
∴1＜S＜2
故答案为：1＜S＜2．
【点睛】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023·山东·龙口市教学研究室八年级期中）（1）化简：x2+2x+1x2−1−xx−1；
（2）先化简，再求值：3x2−9xx−2÷（x+2−5x−2)，其中x=−1．
答案:（1）1x−1
（2）3xx+3，−32
分析：（1）根据分式的减法法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算，将分式化简，再把x=−1代入化简式计算即可．
【详解】解：（1）原式=(x+1)2(x−1)(x+1)−xx−1
=x+1x−1−xx−1
=1x−1．
（2）原式＝3x(x−3)x−2÷x2−4−5x−2
＝3x(x−3)x−2⋅x−2(x+3)(x−3)
=3xx+3，
当x=−1时，原式＝3×(−1)−1+3=−32．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
18．（6分）（2023·天津东丽·八年级期末）解分式方程
（1）1x−2=1−x2−x−3
（2）12−x=1x−2−6−x3x2−12
答案:（1）无解；（2）x＝﹣67
分析：（1）两边同时乘以x-2化为整式方程，解得x=2后检验即可；
（2）先去分母化为一元一次方程，解方程得到x=-67，再检验即可.
【详解】（1）去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：﹣3（x+2）＝3（x+2）﹣6+x，
去括号得：﹣3x﹣6＝3x+6﹣6+x，
移项合并得：7x＝﹣6，
解得：x＝﹣67，
经检验x＝﹣67是分式方程的解．
【点睛】此题考查解分式方程，按照去分母化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程，得到解后必须代入最简公分母中检验，当未知数的值使分母为0，则该解不是分式方程的解，如果不等于0，则该解是原分式方程的解.
19．（8分）（2023·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的分式方程2x−2+mxx+1x−2=3x+1
(1)若方程的增根为x=2，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
答案:(1)−3
(2)9或−3
(3)1或9或−3
分析：（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案；
（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为x=−1或x=2，再通过计算即可得到答案；
（3）结合（1）的结论，根据分式方程和一元一次方程的性质计算，即可得到答案.
【详解】（1）∵2x−2+mxx+1x−2=3x+1，
去分母得：2x+1+mx=3x−2，
移项并合并同类项，得：m−1x+8=0，
当方程的增根为x=2时，(m−1)×2+8=0，
∴m=−3；
（2）当方程有增根时，方程的增根为x=−1或x=2，
当x=2时，m=−3，
当x=−1时，m−1×−1+8=0，
解得：m=9，
∴m=9或m=−3；
（3）∵m−1x+8=0
当方程无增根，且m−1=0时，方程无解，
∴得m=1，
当方程有增根，且x=−1时，m=9，方程无解，
当方程有增根，且x=2时，m=−3，方程无解，
∴当m=1或m=9或m=−3时，方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解.
20．（8分）（2023·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级阶段练习）永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
(方案一)甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
(方案二)乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
(方案三)若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
(1)请你求出完成这项工程的规定时间；
(2)如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案?说明理由．
答案:(1)30天；
(2)选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工．
分析：（1）设完成这项工程的规定时间为 x 天,则甲队单独完成这项工程为x天,乙队单独完成这项工程为x+6天，然后根据“甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工”列分式方程求解即可；
（2）根据题意可知有方案一和方案三符合条件，然后分别求出方案一和方案三的工程款，然后比较即可解答．
（1）
解：设完成这项工程的规定时间为 x 天,则甲队单独完成这项工程为x天,乙队单独完成这项工程为x+6天
由题意得：(1x+1x+6)×5+1x+6×(x−5)=1，解得: x=30
经检验: x=30是原分式方程的解.
答:完成这项工程的规定时间为30天.
（2）
解：如期完工时，只有方案一和方案三符合条件
方案一工程款:30×2.4=72 (万元)
方案三工程款：5×2.4+1.8+30−5×1.8=66 (万元)
∵72＞66
∴选择方案三．
答:选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、列代数式计算等知识点，灵活运用分式方程解决实际问题是解答本题的关键．
21．（8分）（2023·福建·福州日升中学八年级期末）阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式(x−a)(x−b)x的值为零，则x=a或x=b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−(a+b)，所以关于x的方程x+abx=a+b有两个解，分别为x1=a,x2=b．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程x+8x=6有两个解，分别为x1=2，x2=________．
(2)关于x的方程x+m−nmnx=m+4mn−n2mn的两个解分别为x1=2，x2=_________．
(3)关于x的方程2x+n2−n2x−1=2n的两个解分别为x1,x2x1答案:(1)4．
(2)m−n2mn．
(3)n−1n+1．
分析：（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x1与x2的值即可；
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果．
(1)
解：∵2×4=8，2+4=6，
∴方程x+8x=6的两个解分别为x1=2，x2=4．
故答案为：4．
(2)
解：方程变形得：x+m−n2mn×2x=m−n2mn+2，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为m−n2mn；
则x1=2，x2=m−n2mn；
故答案为：m−n2mn．
(3)
解：方程整理得： 2x−1+n(n−1)2x−1=n+n−1，
得2x−1=n−1或2x−1=n，
可得x1=n2，x2=n+12，
则原式=n−1n+1．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
22．（8分）（2023·全国·八年级专题练习）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式A=2xx+1，B=−2x+1，A−B=2xx+1−−2x+1=2x+2x+1=2(x+1)x+1=2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式C=1x+2，D=x2+5x+6x2+4x+4，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（2）已知分式P=E9−x2，Q=2x3−x，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
（3）已知分式M=(x−b)(x−c)x，N=(x−a)(x−5)x，（a、b、c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a−b+c的值．
答案:（1）不是，利用见解析；（2）E=18+6x,27；（3）16或8或−4或4.
分析：（1）先化简D，再计算C−D，再根据“雅中值”的定义可得答案；
（2）由定义可得：E9−x2−2x3−x=2,整理可得：E的表达式，再化简P， 根据x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，得到：3−x是6的因数，从而可得答案；
（3）由定义可得：(x−b)(x−c)x− (x−a)(x−5)x =1，整理可得：(−b−c+a+4)x+bc−5a=0,从而可得：{−b−c+a+4=0bc−5a=0，再消去a，结合因式分解可得b(c−5)−5(c−5)=5,结合a、b、c为整数，分类讨论后可得答案．
【详解】解：（1）∵ D=x2+5x+6x2+4x+4=(x+2)(x+3)(x+2)2=x+3x+2, C=1x+2
∴C−D=1x+2−x+3x+2=−x+2x+2=−1,
∴ C不是D的“雅中式”．
（2）∵ P关于Q的“雅中值”是2，
∴P−Q=2，
∴ E9−x2−2x3−x=2,
∴E−2x(3+x)=2(9−x2),
∴E=18+6x,
∴P=18+6x9−x2=6(3+x)(3+x)(3−x)=63−x,
∵ x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，
∴3−x是6的因数，
∴3−x可能是：±1，±2，±3，±6，
∴x的值为：−3，0，1，2，4，5，6，9.
∵x≠±3,
∴x的值为：0，1，2，4，5，6，9.
∴0+1+2+4+5+6+9=27.
（3）∵ M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，
∴M−N=1，
∴ (x−b)(x−c)x− (x−a)(x−5)x =1，
整理得：(−b−c+a+4)x+bc−5a=0,
由上式恒成立：
∴{−b−c+a+4=0bc−5a=0
消去a可得：bc−5b−5c+20=0,
∴bc−5b−5c+25=5,
∴b(c−5)−5(c−5)=5,
∴(b−5)(c−5)=5,
∵ a、b、c为整数
∴b−5,c−5为整数，
当b−5=1,c−5=5时，∴b=6,c=10,
此时：a=12,
∴ a−b+c=12−6+10=16,
当b−5=5,c−5=1时，∴b=10,c=6,
此时：a=12,
∴ a−b+c=12−10+6=8,
当b−5=−1,c−5=−5时，∴b=4,c=0,
此时：a=0,
∴ a−b+c=0−4+0=−4,
当b−5=−5,c−5=−1时，∴b=0,c=4,
此时：a=0,
∴ a−b+c=0−0+4=4,
综上：a−b+c的值为：16或8或−4或4.
【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
23．（8分）（2023·江苏省新海高级中学七年级期中）有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是11×2；第二个数是12×3；第三个数是13×4；
对任何正整数n，第n个数与第(n+1)个数的和等于2n×n+2
（1）经过探究，我们发现：11×2=11−12，12×3=12−13，13×4=13−14
设这列数的第5个数为a，那么①a>15−16；②a=15−16，③a<15−16，则 正确（填序号）．
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数可表示 （用含n的式子表示），并且证明：第n个数与第(n+1)个数的和等于2n×n+2；
（3）利用上述规律计算：12020×2018+12018×2016+12016×2014+⋅⋅⋅+14×2的值．
答案:（1）②；（2）1nn+1，证明见解析；（3）10094040
分析：（1）根据题干知道a=15×6=15−16即可得到结果；
（2）根据题干中的规律总结出第 个数表示为1nn+1，再分别表示出第n个和第n+1个数求和即可；
（3）根据题意发现每一项两分母之差为2，即通分后分子为2，故每一项乘以12即可，再提取公因数合并各项计算即可．
【详解】解：（1）∵a=15×6=15−16，
∴a=15−16；
故填： ②
（2）第n个数表示为：1nn+1，
证明：∵第n个数表示为：1nn+1， 第n+1个数表示为：1n+1n+2
∴1nn+1+1n+1n+2
=1n+11n+1n+2
=1n+1⋅n+2+nnn+2
=1n+1⋅2n+1nn+2
=2nn+2
（3）原式=12×12018−12020+12×12016−12018+12×12014−12016+⋯+12×12−14
=12×12018−12020+12016−12018+12014−12016+⋯+12−14
=12×12−12020
=12×10092020
=10094040
【点睛】此题考查了有理数运算的规律观察能力，从已知题干中提取规律解题运算是关键．