沪科版七年级数学下册专题11.5期末专项复习之分式十六大必考点(原卷版+解析)

这是一份沪科版七年级数学下册专题11.5期末专项复习之分式十六大必考点(原卷版+解析)，共56页。


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\l "_Tc22003" 【考点1 分式有意义的条件】 PAGEREF _Tc22003 \h 1
\l "_Tc4799" 【考点2 分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】 PAGEREF _Tc4799 \h 2
\l "_Tc3541" 【考点3 分式的值为整数】 PAGEREF _Tc3541 \h 2
\l "_Tc7960" 【考点4 分式的值为正数或负数】 PAGEREF _Tc7960 \h 3
\l "_Tc24303" 【考点5 分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】 PAGEREF _Tc24303 \h 3
\l "_Tc4856" 【考点6 分式的化简求值综合运算（不等式组）】 PAGEREF _Tc4856 \h 3
\l "_Tc28900" 【考点7 分式的混合运算（作差法比较大小）】 PAGEREF _Tc28900 \h 4
\l "_Tc10999" 【考点8 分式的化简求值（裂项相消）】 PAGEREF _Tc10999 \h 5
\l "_Tc31588" 【考点9 分式的化简求值综合运算（通分代入）】 PAGEREF _Tc31588 \h 6
\l "_Tc24476" 【考点10 分式的化简求值（倒数法）】 PAGEREF _Tc24476 \h 6
\l "_Tc32295" 【考点11 解分式方程的运用（增根问题）】 PAGEREF _Tc32295 \h 8
\l "_Tc7647" 【考点12 解分式方程的运用（无解问题）】 PAGEREF _Tc7647 \h 8
\l "_Tc30175" 【考点13 分式的混合运算（规律问题）】 PAGEREF _Tc30175 \h 9
\l "_Tc3292" 【考点14 解分式方程与不等式组】 PAGEREF _Tc3292 \h 10
\l "_Tc23965" 【考点15 解分式方程的运用（新定义问题）】 PAGEREF _Tc23965 \h 10
\l "_Tc4637" 【考点16 分式方程的应用】 PAGEREF _Tc4637 \h 11
【考点1 分式有意义的条件】
【例1】（2023·湖南邵阳·八年级期末）下列各式中，无论x为何实数，分式都有意义的是：（ ）
A．12x+1B．x+1x2+1C．3x+1x2D．x2−1x−1
【变式1-1】（2023·山东临沂·八年级期末）已知对任意实数x，式子x−2x2−4x+m都有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>4B．m<4C．m⩾4D．m⩽4
【变式1-2】（2023·浙江温州·七年级期末）当x=3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（ ）
A．−3B．−32C．32D．3
【变式1-3】（2023·安徽合肥·七年级期末）已知分式2x+nx−m（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
A．n=2B．m=−2C．p=6D．q的值不存在
【考点2 分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】
【例2】（2023·浙江宁波·七年级期末）将分式x+yx2+y2中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（ ）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．无法确定
【变式2-1】（2023·四川凉山·八年级期末）若把分式3ab2a+b中的a、b都缩小为原来的13 ，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的13B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的19D．不变
【变式2-2】（2023·贵州毕节·八年级期末）若把分式10xx+y中的x和y同时扩大为原来的10倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的10倍B．扩大到原来的100倍
C．缩小为原来的110D．不变
【变式2-3】（2023·山东滨州·八年级期末）关于分式2m−6n3m−4n，下列说法正确的是（ ）
A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍
C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变
D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变
【考点3 分式的值为整数】
【例3】（2023·山东省日照第二中学八年级期末）使分式4x+12x−1的值为整数的所有整数x的和是（ ）
A．3B．2C．0D．-2
【变式3-1】（2023·上海市民办新北郊初级中学七年级阶段练习）若xx−1x+2x+1的值为0，则x的值一定不是（ ）
A．−1B．−2C．0D．1
【变式3-2】（2023·江苏无锡·七年级期末）若3a−1表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式3-3】（2023·河南漯河·八年级期末）对于非负整数x，使得x2+3x+3是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【考点4 分式的值为正数或负数】
【例4】（2023·辽宁·丹东市第五中学八年级期末）若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x>-2B．x<1C．x>-2且x≠1D．x>1
【变式4-1】（2023·新疆·克拉玛依市白碱滩区教育局八年级期末）分式23−4x的值为负数，则实数x的取值范围是______
【变式4-2】（2023·上海·七年级期末）若分式a2a−1的值总是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a>0B．a>12C．012
【变式4-3】（2023·广东·金道中学八年级期末）如果x2+16−x的值为负数，则 x 的取值范围是_____________．
【考点5 分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】
【例5】（2023·广西·柳州二十五中八年级期末）已知x2−10x+25与y−3互为相反数，求y2x−y2⋅x2+y2−2xyy3÷x2−y2x+y的值．
【变式5-1】（2023·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）已知实数x、y满足x−3+y2−4y+4=0，求代数式x2−y2xy·1x2−2xy+y2 ÷xx2y−xy2的值．
【变式5-2】（2023·四川·九年级专题练习）已知实数x、y满足x−3+y2−4y+4=0，求代数式x2−y2xy⋅1x2−2xy+y2÷xx2y−xy2的值．
【变式5-3】（2023·江西赣州·八年级期末）先化简，再求值：x2−2xy+y2x2−y2÷x2−xyx−2x+y，其中实数x、y满足y=x−2−2−x−1．
【考点6 分式的化简求值综合运算（不等式组）】
【例6】（2023·山东菏泽·八年级期末）先化简xx−5−x5−x÷2xx2−25，然后再从不等组−x−2≤3，2x<12的解集中取x的最小值代入求值．
【变式6-1】（2023·四川达州·八年级期末）先化简再求值：a3−2a2a2−4a+4÷a+3+9a−3，其中1【变式6-2】（2023·全国·八年级课时练习）先化简，再求值：(12−x−1)÷x2−2x+1x2−4，其中x是不等式2x−1<6的正整数解．
【变式6-3】（2023·河南·辉县市太行中学八年级期末）已知A=x−3÷x+2x2−6x+9x2−4−1．
(1)化简A．
(2)若x满足不等式组x−1≥02x−3≤x，且x为整数，求A的值．
【考点7 分式的混合运算（作差法比较大小）】
【例7】（2023·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）根据不等式的性质：若x−y＞0，则x＞y；若x−y＜0，则x＜y．利用上述方法证明：若n＜0，则n−1n>n−2n−1．
【变式7-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知m＝a2b，n＝3a2﹣2ab（a≠0，a≠b）．
（1）当a＝3，b＝﹣2时，分别求m，n的值．
（2）比较n+mba2与2a2的大小．
（3）当m＝12，n＝18时，求1b﹣23a的值．
【变式7-2】（2023·安徽合肥·二模）观察下列不等式：①122<11×2；②132<12×3；③142<13×4···；
根据上述规律，解决下列问题：
（1）完成第5个不等式：___________；
（2）写出你猜想的第n个不等式：_____________(用含n的不等式表示)；
（3）利用上面的猜想，比较n+2n+12和1n的大小．
【变式7-3】（2023·江西景德镇·八年级期末）阅读理解：已知x≠y,p=x2−y2,q=2xy−2y2．试比较p与q的大小．
想法：求p−q．当p−q>0，则p>q；当p−q<0，则p解：∵p−q=x2−y2−2xy−2y2=x2−2xy+y2=(x−y)2>0，∴p>q．
用你学到的方法解决下列问题：
(1)已知−1(2)甲、乙两地相距s(km)，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是a(km/h)、b(km/h)，a≠b；小宇去时和返回时的速度都是a+b2(km/h)．请问二者一个来回中，谁用时更短？
【考点8 分式的化简求值（裂项相消）】
【例8】（2023·安徽宣城·七年级期末）我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如16=12−13, 112=13−14, 120=14−15, 16=12−13,…，请用观察到的规律解方程2xx+1+2x+1x+2+⋅⋅⋅+2x+9x+10=5x+10，该方程的解是____
【变式8-1】（2023·广西南宁·八年级期末）观察下面的变形规律：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，…回答问题：若1(x+1)×(x+2)+1(x+2)×(x+3)+1(x+3)×(x+4)+⋯+1(x+99)×(x+100)=1x+100，则x的值为（ ）
A．100B．98C．1D．12
【变式8-2】（2023·安徽合肥·七年级期末）观察下列各式：
①11×2=1−12；
②12×3=12−13；
③13×4=13−14；
④14×5=14−15…
（1）请用以上规律计算：12+16+112+120+⋯+190=__________；
（2）若1(m+1)(m+2)+1(m+2)(m+3)+1(m+3)(m+4)+⋯+1(m+2020)(m+2021)=1m+2021，求m的值．
【变式8-3】（2023·江苏常州·八年级期末）（1）读读做做：教材中有这样的问题，观察下面的式子，探索它们的规律，11×2=1-12，12×3=12−13，13×4=13−14……用正整数n表示这个规律是______；
（2）问题解决：一容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出12L水，第二次倒出的水量是12L水的13，第三次倒出的水量是13L水的14，第四次倒出的水量是14L水的15，……，第n次倒出的水量是1nL水的1n+1，……，按照这种倒水方式，这1L水能否倒完？
（3）拓展探究：①解方程：13x+115x+135x+163x=1x+1；
②化简：11×2×3+12×3×4+13×4×5…+1n(n+1)(n+2)．
【考点9 分式的化简求值综合运算（通分代入）】
【例9】（2023·山东滨州·八年级期末）已知1x−1y＝3，求分式2x+3xy−2yx−2xy−y的值．
【变式9-1】（2023·湖南邵阳·八年级期末）已知12a+1b=2，那么分式4a−5ab+2bab−2a−b的值是______．
【变式9-2】（2023·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）已知x+1x=3，那么分式x2x4−2x2+1的值为__．
【变式9-3】（2023·湖南·武冈市第二中学八年级阶段练习）若12y2+3y+7的值为18，则14y2+6y−9的值为（ ）
A．12B．−12C．17D．−17．
【考点10 分式的化简求值（倒数法）】
【例10】（2023·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）阅读下面的解题过程：已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值．
解：xx2+1=13知x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3．
所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7．
故x2x4+1的值为17．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知：aa2−5a+1=14，求a2a4+3a2+1的值．
【变式10-1】（2023·江苏徐州·八年级阶段练习）在解决数学问题时，我们常常借助“转化”的思想化繁为简，化难为易．如在某些分式问题中，根据分式的结构特征，通过取倒数的方法可将复杂问题转化为简单问题，使问题迎刃而解．
例：已知aa2+1=13，求a2+1a2的值．
解：∵aa2+1=13，∴a2+1a=3．∴a2a+1a=3，∴a+1a=3，……
(1)请继续完成上面的问题；
(2)请仿照上述思想方法解决问题：已知xx2−2x+1=4，求x2x4−x2+1的值．
【变式10-2】（2023·湖北鄂州·八年级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若xx2+1=14，求代数式x2+1x2的值．
解：∵xx2+1=14，∴x2+1x＝4
即x2x+1x＝4，∴x +1x＝4，∴x2+1x2＝（x+1x）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求xy+z的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则x＝k2，y＝k3，z＝k4，∴xy+z=12k13k+14k=12712=67
根据材料回答问题：
(1)已知xx2−x+1=14，求x+1x的值．
(2)已知a5=b4=c3，（abc≠0），求3b+4c2a的值．
(3)已知x、y、z为实数,xyx+y=−2，yzy+z=43，zxz+x=−43．求分式xyzxy+yz+zx的值．
【变式10-3】（2023·四川·隆昌市知行中学八年级阶段练习）阅读下列解题过程：
已知xx2+1=13，求x2x4+1的值．
解：由xx2+1=13，知x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3．
∴x4+1x2=x2+1x2=(x+1x)2−2=32−2=7
∴x2x4+1的值为7的倒数，即17．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知xx2+1=12，求x2x4+1的值．
（2）已知xx2−x+1=17，求x2x4−x2+1的值．
（3）已知xyx+y=2，yzy+z=43，zxz+x=43，求xyzxy+yz+zx的值．
【考点11 解分式方程的运用（增根问题）】
【例11】（2023·浙江宁波·七年级期末）若关于x的分式方程k+1x2−1−1x−1=kx+1有增根，则k的值为______．
【变式11-1】（2023·河北承德·八年级期末）关于x的方程：ax+1x−1－21−x＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
【变式11-2】（2023·上海·七年级期末）若y=1是方程my−1+3y−2=1(y−1)(y−2)的增根，则m=____．
【变式11-3】（2023·重庆巫溪·八年级期末）已知，关于x的分式方程x+mx−4+3m4−x=3有增根，且ma2+b2+2ma−6b+11=0，则a+b的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点12 解分式方程的运用（无解问题）】
【例12】（2023·江苏泰州·八年级期末）若分式方程kxx−1−2k−11−x=2无解，则k=______．
【变式12-1】（2023·山东潍坊·八年级期末）已知关于x的分式方程x−2x+2−mxx2−4=1无解，则m的值为（ ）
A．0B．0或−8C．−8D．0或−8或−4
【变式12-2】（2023·广东·绿翠现代实验学校八年级期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，但诸如“123456”．生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3＋2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x﹣1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到数字密码：171920，191720，201719等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写出其中2个）
（2）若多项式x3＋（m＋n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值；
（3）若关于x的方程1(x−3)(x+1)﹣k(x+1)(x+7)＝x+1x3+5x2−17x−21无解，求k的值．
【变式12-3】（2023·四川内江·八年级期末）已知关于x的分式方程mxx−2x−6+2x−2=3x−6无解，则所有符合条件的m值的和为（ ）
A．1B．2C．6D．7
【考点13 分式的混合运算（规律问题）】
【例13】（2023·陕西·九年级期末）解方程：
①1x+1=2x+1−1的解x= ．
②2x+1=4x+1−1的解x= ．
③3x+1=6x+1−1的解x= ．
④4x+1=8x+1−1的解x= ．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
【变式13-1】（2023·广西百色·七年级期末）下列一组方程：①x+2x=3，②x+6x=5，③x+12x=7，…，小晶通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利的求出了前三个方程的解，她的解题过程如下：
由①得：x+1×2x=1+2，解是x=1或x=2;
由②得：x+2×3x=2+3，解是x=2或x=3;
由③得：x+3×4x=3+4，解是x=3或x=4.
请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题：
（1）第④个方程是 ，解是： ；
（2）若n为正整数，则第n个方程是 ，解是： ；
（3）若n为正整数，求关于x的方程x+n2+nx−3=2n+4的解．
【变式13-2】（2023·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）已知a1=x+1(x≠0，且x≠−1)，a2=11−a1，a3=11−a2，…，an=11−an−1．
（1）根据上述规律，可得a2=______（用含字母x的代数式表示）；
（2）当x的值为______时，a2022的值为5．
【变式13-3】（2023·山东枣庄·八年级期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+1x=2+12的解为x1=2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1=3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14；…
(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=5+15的解是________；
(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的解是________．
(3)根据上述规律，解关于y的方程y+y+2y+1=103．
【考点14 解分式方程与不等式组】
【例14】（2023·重庆实验外国语学校一模）若整数a使关于x的不等式组3+x2−1≤4a−2x≤−2有解且至多有四个整数解，且使关于y的分式方程2y2y−4＝12−a−32−y的解为非负数，则满足条件的所有a的值之和为（ ）
A．63B．67C．68D．72
【变式14-1】（2023·重庆南开中学九年级开学考试）若关于x的一元一次不等式组x−2>3x−223x−a≤2的解集为x<−2，且关于y的分式方程2yy+1=ay+1−1的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．−15B．−13C．−7D．−5
【变式14-2】（2023·重庆八中九年级期末）若a使关于x的分式方程ax−2−x−12−x=−1的解为整数，且使关于y的不等式组3(y+1)−2y≥6y<27+a6有且仅有2个整数解，则所有符合条件的整数a的值之和是（ ）
A．1B．3C．4D．7
【变式4-3】（2023·重庆·西南大学附中八年级期末）若关于x的不等式组x+36≥2x3−1x−a>0至少有2个整数解，且关于y的分式方程2y−3y−1+a+11−y=1的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．–3B．–1C．0D．–5
【考点15 解分式方程的运用（新定义问题）】
【例15】（2023·江苏·兴化市乐吾实验学校八年级阶段练习）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
(1)下列3组分式：
①3aa+1与aa+1；②3aa−1与a+2a−1；③a2a+1与5a+22a+1．其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）；
(2)若正实数a，b互为倒数，求证3a2a2+b与a−2b2a+b2属于“友好分式组”；
(3)若a，b均为非零实数，且分式3a2a2−4b2与aa+2b属于“友好分式组”，求分式a−2b2ab的值．
【变式15-1】（2023·河南南阳·八年级期末）定义运算“※”：a※b={2a−b,a>b2b−a,aA．1B．5C．1或5D．5或7
【变式15-2】（2023·湖南永州·八年级期末）现定义一种新的运算：a※b=a2b−1，例如：3※4=32×4−1=37，若关于x的方程m※x=−2的解为非负数，则m的取值范围为_________．
【变式15-3】（2023·山东菏泽·八年级期末）定义一种新运算“*”：a∗b=aba+b．如：2∗3=65．则下列结论：①a∗a=a2；②2∗x=1的解是x=2；③若x+1∗x−1的值为0，则x=1．正确的结论是______（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
【考点16 分式方程的应用】
【例16】（2023·重庆·巴川初级中学校九年级期末）某学校开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
(2)该学校为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A种品牌足球30个，B种品牌足球20个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了2a%，B品牌足球的售价比第一次购买时降低了a%，如果这所中学第二次购买两种足球的总费用比第一次购买两种足球总费用减少了145a%，求a的值．
【变式16-2】（2023·辽宁大连·八年级期末）甲、乙两地相距skm，一辆汽车从甲地匀速驶往乙地．
(1)若出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．
①当S＝180时，求原计划的速度是多少km/h；
②汽车以原计划速度行驶nkm用了mh（0＜m≤1），则以提速后的速度行驶kh走了 km（用含n、m、k的式子表示）．
(2)若汽车以原计划的速度从甲地开往乙地要用th，若以提速后的速度从甲地开往乙地时间减少了54h，求汽车提速后的速度比原计划的速度快了多少（用含S、t的式子表示）？
【变式16-3】（2023·浙江舟山·七年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用2000元和5000元购两批口罩，在进价相同情况下，8月份的数量是7月份购进数量的2倍多50盒，该药店在7、8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．
(1)求7、8月各购进口罩多少盒？
(2)已知7月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b（b>0）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同.
①若a+b=30，求a、b的值．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口罩，且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．x的取值
－2
2
p
q
分式的值
无意义
0
1
2
专题11.5 分式十六大必考点
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22003" 【考点1 分式有意义的条件】 PAGEREF _Tc22003 \h 1
\l "_Tc4799" 【考点2 分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】 PAGEREF _Tc4799 \h 3
\l "_Tc3541" 【考点3 分式的值为整数】 PAGEREF _Tc3541 \h 5
\l "_Tc7960" 【考点4 分式的值为正数或负数】 PAGEREF _Tc7960 \h 7
\l "_Tc24303" 【考点5 分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】 PAGEREF _Tc24303 \h 9
\l "_Tc4856" 【考点6 分式的化简求值综合运算（不等式组）】 PAGEREF _Tc4856 \h 11
\l "_Tc28900" 【考点7 分式的混合运算（作差法比较大小）】 PAGEREF _Tc28900 \h 14
\l "_Tc10999" 【考点8 分式的化简求值（裂项相消）】 PAGEREF _Tc10999 \h 17
\l "_Tc31588" 【考点9 分式的化简求值综合运算（通分代入）】 PAGEREF _Tc31588 \h 21
\l "_Tc24476" 【考点10 分式的化简求值（倒数法）】 PAGEREF _Tc24476 \h 23
\l "_Tc32295" 【考点11 解分式方程的运用（增根问题）】 PAGEREF _Tc32295 \h 27
\l "_Tc7647" 【考点12 解分式方程的运用（无解问题）】 PAGEREF _Tc7647 \h 30
\l "_Tc30175" 【考点13 分式的混合运算（规律问题）】 PAGEREF _Tc30175 \h 32
\l "_Tc3292" 【考点14 解分式方程与不等式组】 PAGEREF _Tc3292 \h 36
\l "_Tc23965" 【考点15 解分式方程的运用（新定义问题）】 PAGEREF _Tc23965 \h 39
\l "_Tc4637" 【考点16 分式方程的应用】 PAGEREF _Tc4637 \h 43
【考点1 分式有意义的条件】
【例1】（2023·湖南邵阳·八年级期末）下列各式中，无论x为何实数，分式都有意义的是：（ ）
A．12x+1B．x+1x2+1C．3x+1x2D．x2−1x−1
答案:B
分析：根据分母为零,求x的值，求得解的，都是无意义的，继而判断即可．
【详解】∵2x+1=0，
∴x=−12，
故x=−12时，分式无意义，A不符合题意；
∵x2+1恒大于0，
故分式恒意义，B符合题意；
∵x=0时，分式无意义，
故C不符合题意；
∵x=1时，分式无意义，
故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-1】（2023·山东临沂·八年级期末）已知对任意实数x，式子x−2x2−4x+m都有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>4B．m<4C．m⩾4D．m⩽4
答案:A
分析：把分母配方为(x−2)2+m−4，根据对任意实数x，式子x−2x2−4x+m都有意义，列出不等式m−4>0即可．
【详解】解：∵x2−4x+m=(x−2)2+m−4，
∵(x−2)2⩾0，对任意实数x，式子x−2x2−4x+m都有意义，
∴m−4>0，
解得m>4．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件、配方法，解题关键是运用配方法把分母变形，再根据题意，列出不等式求解．
【变式1-2】（2023·浙江温州·七年级期末）当x=3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（ ）
A．−3B．−32C．32D．3
答案:B
分析：先将x=3代入分式x−bx+2b，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．
【详解】解：当x=3，x−bx+2b=3−b3+2b，
∵分式3−b3+2b没有意义，
∴3+2b=0，
∴b=−32，
故选：B．
【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．
【变式1-3】（2023·安徽合肥·七年级期末）已知分式2x+nx−m（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
A．n=2B．m=−2C．p=6D．q的值不存在
答案:A
分析：根据分式有意义的条件可得m，n的值，进而可知p，q的值，选出符合要求的选项即可．
【详解】解：∵x为﹣2时方程无意义，
∴x－m=0，解得：m=﹣2，故B正确，
故分式为：2x+nx+2，
当x=2时，分式的值为0，
故2×2＋n=0，n=﹣4，故A错误，
故分式为：2x−4x+2，
当分式值为1时，2x－4=x+2，解得：x=6，
故p=6，故C正确，
当2x−4x+2=2时，2x－4=2x＋4，此等式不成立，则q的值不存在，故D正确，
故选：A．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．
【考点2 分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】
【例2】（2023·浙江宁波·七年级期末）将分式x+yx2+y2中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（ ）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．无法确定
答案:B
分析：根据分式的基本性质对扩大后得到的分式进行化简即可求出答案．
【详解】解：将分式x+yx2+y2中x与y的值同时扩大为原来的3倍，
得：3x+3y3x2+3y2=3x+3y9x2+9y2=3x+y9x2+y2=13⋅x+yx2+y2，
即分式的值缩小3倍，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【变式2-1】（2023·四川凉山·八年级期末）若把分式3ab2a+b中的a、b都缩小为原来的13 ，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的13B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的19D．不变
答案:A
分析：把分式3ab2a+b中的a用13a、b用13b代换，利用分式的基本性质计算即可求解．
【详解】把分式3ab2a+b中的a、b都缩小为原来的13 ，
则分式变为3×13a×13b2×13a+13b，
则：3×13a×13b2×13a+13b=13×3ab2a+b，
所以把分式3ab2a+b中的a、b都缩小为原来的13时分式的值也缩小为原来的13．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【变式2-2】（2023·贵州毕节·八年级期末）若把分式10xx+y中的x和y同时扩大为原来的10倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的10倍B．扩大到原来的100倍
C．缩小为原来的110D．不变
答案:D
分析：把x，y分别换为10x，10y，计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：将原式中x，y分别换为10x，10y，
得：10⋅10x10x+10y=10xx+y
∴分式的值不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【变式2-3】（2023·山东滨州·八年级期末）关于分式2m−6n3m−4n，下列说法正确的是（ ）
A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍
C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变
D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变
答案:D
分析：根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A、2×2m−2×6n2×3m−2×4n=2×(2m−6n)2×(3m−4n)=2m−6n3m−4n，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意；
B、2×2m−6n2×3m−4n=2m−3n3m−2n，故分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意；
C、2m−2×6n3m−2×4n=2m−12n3m−8n，故分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意；
D、2×2m−2×6n2×3m−2×4n=2×(2m−6n)2×(3m−4n)=2m−6n3m−4n，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，此说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【考点3 分式的值为整数】
【例3】（2023·山东省日照第二中学八年级期末）使分式4x+12x−1的值为整数的所有整数x的和是（ ）
A．3B．2C．0D．-2
答案:B
分析：由整除的性质可知，2x−1是4x+1的约数，分别求得符合题意的x值，再求和即可．
【详解】解：∵4x+12x−1=22x−1+32x−1=2+32x−1，
∵32x−1是整数，
∴2x−1=±1或±3，
解得x=0或1或2或−1，
所以所有整数x的和为：0+1+2−1=2，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．
【变式3-1】（2023·上海市民办新北郊初级中学七年级阶段练习）若xx−1x+2x+1的值为0，则x的值一定不是（ ）
A．−1B．−2C．0D．1
答案:A
分析：直接利用分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案．
【详解】∵xx−1x+2x+1的值为0，
∴xx−1x+2=0且x+1≠0，
解得：x=0或x=−2或x=1．
故x的值一定不是−1．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的分母不为零是解题关键．
【变式3-2】（2023·江苏无锡·七年级期末）若3a−1表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案:C
分析：根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可．
【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3，
∴a＝0或2或﹣2或4，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键．
【变式3-3】（2023·河南漯河·八年级期末）对于非负整数x，使得x2+3x+3是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
答案:B
分析：将x+3看作一个整体，把代数式中的分子x2+3运用完全平方公式进行变形，再根据正整数的特性即可得．
【详解】解：x2+3x+3=(x+3)2−6x−6x+3，
=(x+3)2−6(x+3)+12x+3，
=x+3−6+12x+3，
=x−3+12x+3，
∵x为非负整数，x2+3x+3是一个正整数，
∴x的所有可能取值为0,1,3,9，
即符合条件x的个数有4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
【考点4 分式的值为正数或负数】
【例4】（2023·辽宁·丹东市第五中学八年级期末）若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x>-2B．x<1C．x>-2且x≠1D．x>1
答案:C
分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案．
【详解】解：原式=x+2x−12，
当x≠1时，（x-1）2＞0，
当x+2＞0时，分式的值为正数，
∴x＞-2且x≠1．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．
【变式4-1】（2023·新疆·克拉玛依市白碱滩区教育局八年级期末）分式23−4x的值为负数，则实数x的取值范围是______
答案:x>34##x>0.75
分析：根据题意易得3−4x<0，然后问题可求解．
【详解】解：由分式23−4x的值为负数，可知：3−4x<0，
∴x>34；
故答案为x>34．
【点睛】本题主要考查分式的值及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式的解法是解题的关键．
【变式4-2】（2023·上海·七年级期末）若分式a2a−1的值总是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a>0B．a>12C．012
答案:D
分析：分两种情况分析:当a>0时2a−1>0;或当a≺0时,2a−1≺0,再分别解不等式可得．
【详解】若分式a2a−1的值总是正数：
当a>0时，2a−1>0，解得a>12;
当a≺0时，2a−1≺0，解得a<12，此时a的取值范围是a≺0;
所以a的取值范围是a<0或a>12.
故选：D．
【点睛】考核知识点：分式值的正负.理解分式取值的条件是解的关键点：分式分子和分母的值同号，分式的值为正数．
【变式4-3】（2023·广东·金道中学八年级期末）如果x2+16−x的值为负数，则 x 的取值范围是_____________．
答案:x>6.
分析：根据分式的值为负数，分子的最小值为1，得出分母小于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．
【详解】∵x2+16−x<0，x2+1≥1，
∴6−x<0，
解得x>6.
故答案为x>6
【点睛】本题考查分式的值.分式的值要为负，那么分母和分子必须异号，在本题中分子已经为正，那么分母只能为负.
【考点5 分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】
【例5】（2023·广西·柳州二十五中八年级期末）已知x2−10x+25与y−3互为相反数，求y2x−y2⋅x2+y2−2xyy3÷x2−y2x+y的值．
答案:32
分析：先化简分式，再由x2−10x+25与y−3互为相反数得x、y的值，代入即可求解；
【详解】解：原式=y4x−y2⋅x−y2y3⋅x+yx+yx−y
=yx−y
∵x2−10x+25与y−3互为相反数，
∴x2−10x+25+y−3=0，
∴x−52+y−3=0，
∴x=5，y=3，
∴原式=35−3=32．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、相反数的应用，掌握相关运算法则是解本题的关键．
【变式5-1】（2023·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）已知实数x、y满足x−3+y2−4y+4=0，求代数式x2−y2xy·1x2−2xy+y2 ÷xx2y−xy2的值．
答案:53
分析：根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可．
【详解】解：根据题意，则
∵x−3+y2−4y+4=0，
∴x−3+(y−2)2=0，
∴x−3=0，y−2=0，
∴x=3，y=2；
∴x2−y2xy·1x2−2xy+y2 ÷xx2y−xy2
=(x+y)(x−y)xy×1(x−y)2×xy(x−y)x
=x+yx
∴x+yx=3+23=53；
【点睛】本题考查了分式的乘除运算，以及求代数式的值，非负数的性质，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
【变式5-2】（2023·四川·九年级专题练习）已知实数x、y满足x−3+y2−4y+4=0，求代数式x2−y2xy⋅1x2−2xy+y2÷xx2y−xy2的值．
答案:53
分析：根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可．
【详解】解：x2−y2xy⋅1x2−2xy+y2÷xx2y−xy2
=(x+y)(x−y)xy⋅1(x−y)2⋅xy(x−y)x
=x+yx，
∵x−3+y2−4y+4=0，
∴x−3+(y−2)2=0，
∴x=3，y=2，
∴原式=3+23=53．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【变式5-3】（2023·江西赣州·八年级期末）先化简，再求值：x2−2xy+y2x2−y2÷x2−xyx−2x+y，其中实数x、y满足y=x−2−2−x−1．
答案:化简的结果为−1x+y；值为-1
分析：根据二次根式有意义的条件分别求出x、y，根据分式混合运算法则把原式化简，把x、y代入计算即可
【详解】解：要使x−2有意义，必须x−2≥0，即x≥2
同理：2−x≥0，即x≤2
∴ x=2
∴ y=-1
原式=(x−y)2(x−y)(x+y)÷x(x−y)x−2x+y
=x−yx+y×1x−y−2x+y
=1x+y−2x+y
=-1x+y
=-12−1
=-1
【点睛】本题考查分式的化简求值、二次根式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题关键．
【考点6 分式的化简求值综合运算（不等式组）】
【例6】（2023·山东菏泽·八年级期末）先化简xx−5−x5−x÷2xx2−25，然后再从不等组−x−2≤3，2x<12的解集中取x的最小值代入求值．
答案:x+5，0
分析：先根据分式的混合计算法则化简，然后解不等式组求出x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：xx−5−x5−x÷2xx2−25
xx−5+xx−5⋅x2−252x
=2xx−5⋅x+5x−52x
=x+5，
−x−2≤3①2x<12②
解不等式①得：x≥−5，
解不等式②得：x<6，
∴不等式组的解集为−5≤x<6，
∴x的最小值为-5，
当x=−5时，原式=−5+5=0．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟知相关计算方法是解题的关键．
【变式6-1】（2023·四川达州·八年级期末）先化简再求值：a3−2a2a2−4a+4÷a+3+9a−3，其中1答案:a−3a−2，当a=4时，原式=12
分析：先计算括号内的式子，然后计算出括号外的除法，再从1＜a＜5选取一个使得原分式有意义的整数的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】原式＝a2(a−2)a−22÷a+3a−3+9a−3
=a2a−2×a−3a2
=a−3a−2，
∵a(a−2)(a−3)≠0，且1∴a可以取4，
当a=4时，
原式=4−34−2=12．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
【变式6-2】（2023·全国·八年级课时练习）先化简，再求值：(12−x−1)÷x2−2x+1x2−4，其中x是不等式2x−1<6的正整数解．
答案:原式=−x+2x−1，当x=3时，原式=−52
分析：先算括号内的减法，把除法变成乘法，计算乘法，然后求出不等式的正整数解，结合分式有意义的条件确定x的值，再代入求出答案即可．
【详解】解：原式=1−(2−x)2−x⋅x2−4x2−2x+1
=x−12−x⋅(x+2)(x−2)(x−1)2
=−x+2x−1
∵2x−1<6，
∴x<72，
∵x为正整数，
∴x=1或2或3，
根据分式有意义的条件，x≠1且x≠2，
∴x=3，
当x=3时，原式=−3+23−1=−52．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解、分式化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
【变式6-3】（2023·河南·辉县市太行中学八年级期末）已知A=x−3÷x+2x2−6x+9x2−4−1．
(1)化简A．
(2)若x满足不等式组x−1≥02x−3≤x，且x为整数，求A的值．
答案:(1)1x−3
(2)−12
分析：（1）根据分式的混合运算法则计算即可；
（2）先求出不等式组的解，再根据分式有意义的条件确定合适的整数解，最后代入计算即可．
【详解】（1）A=x−3÷x+2x2−6x+9x2−4−1
=x−3⋅x+2x−2x+2x−32−1
=x−2x−3−1
=1x−3；
（2）x−1≥0①2x−3≤x②，
由①得x≥1，
由②得x≤3，
∴1≤x≤3，
∴整数x可以为：x=1，x=2，x=3．
∵零做分母无意义，
∴x−2≠0，x+2≠0，x−3≠0，
∴x≠2，x≠−2，x≠3，
∴x=1，
∴A=1x−3=11−3=−12，
即所求的值为：−12．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，求解不等式组的整数解的知识，掌握分式的混合运算法则，准确求出x=1，是解答本题的关键．
【考点7 分式的混合运算（作差法比较大小）】
【例7】（2023·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）根据不等式的性质：若x−y＞0，则x＞y；若x−y＜0，则x＜y．利用上述方法证明：若n＜0，则n−1n>n−2n−1．
答案:见解析
分析：先求出n−1n−n−2n−1=1n(n−1)，根据n＜0，得出n−1＜0，从而得出nn−1＞0，即1n(n−1)＞0，从而证明结论．
【详解】证明：n−1n−n−2n−1
=(n−1)2−n(n−2)n(n−1)
=1n(n−1)
∵n＜0，
∴n−1＜0，
∴nn−1＞0，
∴n−1n>n−2n−1．
【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．
【变式7-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知m＝a2b，n＝3a2﹣2ab（a≠0，a≠b）．
（1）当a＝3，b＝﹣2时，分别求m，n的值．
（2）比较n+mba2与2a2的大小．
（3）当m＝12，n＝18时，求1b﹣23a的值．
答案:（1）m、n的值分别为﹣18，39；（2）n+mba2＞2a2；（3）12
分析：（1）将a、b的代入m、n中，即可得到m、n的值；
（2）两式作差，然后和0比较大小，即可判断n+mba2与2a2的大小；
（3）先对所求式子变形，再根据m、n的值即可解答本题．
【详解】解：（1）∵m＝a2b，n＝3a2﹣2ab，a＝3，b＝﹣2，
∴m＝32×（﹣2）＝﹣18，n＝3×32﹣2×3×（﹣2）＝39，
即m、n的值分别为：﹣18，39；
（2）∵m＝a2b，n＝3a2﹣2ab（a≠0，a≠b），
∴n+mba2﹣2a2
＝3a2﹣2ab+a2b•ba2﹣2a2
＝3a2﹣2ab+b2﹣2a2
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2＞0，
即n+mba2＞2a2；
（3）1b﹣23a
＝3a−2b3ab
＝3a2−2ab3a2b，
∵m＝a2b，n＝3a2﹣2ab，m＝12，n＝18，
∴原式＝183×12=12．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
【变式7-2】（2023·安徽合肥·二模）观察下列不等式：①122<11×2；②132<12×3；③142<13×4···；
根据上述规律，解决下列问题：
（1）完成第5个不等式：___________；
（2）写出你猜想的第n个不等式：_____________(用含n的不等式表示)；
（3）利用上面的猜想，比较n+2n+12和1n的大小．
答案:（1）162<15×6；（2）1n+12<1nn+1；（3）n+2n+12<1n．
分析：(1)根据给出的不等式写出第5个不等式；
(2)根据不等式的变化情况找出规律，根据规律解答；
(3)根据(2)中的规律计算，即可比较大小．
【详解】(1)①122<11×2，
②132<12×3，
③142<13×4，
⋯，
则第5个不等式为：162<15×6，
故答案为：162<15×6；
(2)第n个不等式为：1n+12<1nn+1，
故答案为：1n+12<1nn+1；
(3)n+2n+12<1n，
其理由是：
由(2)得：1n+12<1nn+1，即1n+12<1n−1n+1，
∴1n+12+1n+1<1n，
∴1n+12+n+1n+12<1n，
则n+2n+12<1n．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，不等式的性质，分式的化简计算，根据给出的不等式正确找出变化规律是解题的关键．
【变式7-3】（2023·江西景德镇·八年级期末）阅读理解：已知x≠y,p=x2−y2,q=2xy−2y2．试比较p与q的大小．
想法：求p−q．当p−q>0，则p>q；当p−q<0，则p解：∵p−q=x2−y2−2xy−2y2=x2−2xy+y2=(x−y)2>0，∴p>q．
用你学到的方法解决下列问题：
(1)已知−1(2)甲、乙两地相距s(km)，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是a(km/h)、b(km/h)，a≠b；小宇去时和返回时的速度都是a+b2(km/h)．请问二者一个来回中，谁用时更短？
答案:(1)m(2)乙用时更短
分析：(1)用作差法比较两个式子的大小，先计算m-n，得到m-n小于0，即可判断m，n的大小；
(2)根据题意，根据时间=路程÷速度，分别表示出小明和小宇往返一次所用的时间，再用作差法比较大小即可；
(1)
∵m−n=x1+x−x1−x=−2x2(1+x)(1−x)
∵−1∴1+x>0，1−x>0，−2x2<0
∴−2x2(1+x)(1−x)<0，
m−n<0，
∴m(2)
甲的用时为t1=sa+sb=(a+b)sab，乙的用时为t2=2s÷a+b2=4sa+b
∵t1−t2=(a+b)sab−4sa+b=(a−b)2sab(a+b)，
∵a>0，b>0
∴s(a−b)2（a+b)ab>0，
∴t1−t2 >0，
∴t1>t2
答：乙用时更短．
【点睛】本题考查了比较两个数或式子的大小，也比较的分式的混合运算，化简，掌握作差法比较大小是解题的关键．
【考点8 分式的化简求值（裂项相消）】
【例8】（2023·安徽宣城·七年级期末）我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如16=12−13, 112=13−14, 120=14−15, 16=12−13,…，请用观察到的规律解方程2xx+1+2x+1x+2+⋅⋅⋅+2x+9x+10=5x+10，该方程的解是____
答案:x=4
分析：根据规律化简方程，然后解分式方程即可．
【详解】解：原方程化简为：2x−2x+1+2x+1−2x+2+…+2x+9−2x+10=5x+10，
即2x−2x+10=5x+10，
方程两边同乘x(x+10)，
得：5x=20，
解得x=4．
经检验x=4是原方程的解，
故答案为x=4．
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是根据规律化简分式方程．
【变式8-1】（2023·广西南宁·八年级期末）观察下面的变形规律：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，…回答问题：若1(x+1)×(x+2)+1(x+2)×(x+3)+1(x+3)×(x+4)+⋯+1(x+99)×(x+100)=1x+100，则x的值为（ ）
A．100B．98C．1D．12
答案:B
分析：根据题目中给出的等式可以找到规律，找出规律，即第n个等式为1n⋅n+1=1n−1n+1，本题得以解决．
【详解】1(x+1)×(x+2)+1(x+2)×(x+3)+1(x+3)×(x+4)+⋯+1(x+99)×(x+100)=1x+100
1x+1−1x+2+1x+2−1x+3+1x+3−1x+4+⋯+1x+99−1x+100=1x+100
1x+1−1x+100=1x+100
1x+1=2x+100
x=98，
经检验，x=98是原方程的解，
故答案选B.
【点睛】本题考查了规律开题——数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式．
【变式8-2】（2023·安徽合肥·七年级期末）观察下列各式：
①11×2=1−12；
②12×3=12−13；
③13×4=13−14；
④14×5=14−15…
（1）请用以上规律计算：12+16+112+120+⋯+190=__________；
（2）若1(m+1)(m+2)+1(m+2)(m+3)+1(m+3)(m+4)+⋯+1(m+2020)(m+2021)=1m+2021，求m的值．
答案:（1）910；（2）2019．
分析：（1）将12+16+112+120+⋯+190化解为题目中的规律的形式，根据规律计算即可；
（2）根据题意规律计算即可求m得值．
【详解】解：（1）12+16+112+120+⋯+190，
=11×2+12×3+13×4+14×5++19×10，
=1−12+12−13+13−14+14−15++19−110，
=1−110，
=910；
故答案为：910；
（2）由规律可得
1m+1−1m+2+1m+2−1m+3+1m+3−1m+4+⋯+1m+2020−1m+2021=1m+2021
即1m+1−1m+2021=1m+2021
解得：m=2019，
检验：当m=2019时，m+1m+2021≠0，
∴m=2019是原分式方程的解．
∴m的值为2019．
【点睛】解决此类问题，从特殊中找出一般情况，利用类比的思想进一步解决问题．
【变式8-3】（2023·江苏常州·八年级期末）（1）读读做做：教材中有这样的问题，观察下面的式子，探索它们的规律，11×2=1-12，12×3=12−13，13×4=13−14……用正整数n表示这个规律是______；
（2）问题解决：一容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出12L水，第二次倒出的水量是12L水的13，第三次倒出的水量是13L水的14，第四次倒出的水量是14L水的15，……，第n次倒出的水量是1nL水的1n+1，……，按照这种倒水方式，这1L水能否倒完？
（3）拓展探究：①解方程：13x+115x+135x+163x=1x+1；
②化简：11×2×3+12×3×4+13×4×5…+1n(n+1)(n+2)．
答案:（1）1n(n+1)=1n−1n+1；（2）按这种倒水方式，这1L水倒不完，见解析；（3）①x=45；②n2+3n4n2+3n+2
分析：（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）根据题意列出关系式，利用得出的规律化简即可；
（3）①方程变形后，利用得出的规律化简，计算即可求出解；
②原式利用得出的规律变形，计算即可求出值．
【详解】（1）根据题意得：1nn+1=1n-1n+1；
（2）前n次倒出的水总量为12+12×3+13×4+…+1nn+1=1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1，
∵nn+1＜1，
∴按这种倒水方式，这1L水倒不完；
（3）①方程整理得：[12（1-13）+12（13-15）+12（15-17）+12（17-19）]•1x=1x+1，
[12（1-19）]•1x=1x+1，
49•1x=1x+1，
解得：x=45，
经检验，x=45是原方程的解，
∴原方程的解为x=45；
②11×2×3+12×3×4+13×4×5…+1nn+1n+2
=11×3×12+12×4×13+13×5×14+⋯+1nn+2×1n+1
=12（11×2-12×3）+12（12×3-13×4）+12（13×4-14×5）+…+12[1nn+1-1n+1n+2]
=12[11×2-1n+1n+2]
=n2+3n4n2+3n+2．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，分式的混合运算，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答．
【考点9 分式的化简求值综合运算（通分代入）】
【例9】（2023·山东滨州·八年级期末）已知1x−1y＝3，求分式2x+3xy−2yx−2xy−y的值．
答案:35
分析：由已知可知x﹣y＝﹣3xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】解：∵1x−1y=3
∴y﹣x＝3xy
∴x﹣y＝﹣3xy
∴2x+3xy−2yx−2xy−y
＝2(x−y)+3xy(x−y)−2xy
＝2(−3xy)+3xy−3xy−2xy
＝−3xy−5xy
＝35．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，转化所求问题后将已知条件整体代入，正确的化简和已知条件转化是解答此题的关键．
【变式9-1】（2023·湖南邵阳·八年级期末）已知12a+1b=2，那么分式4a−5ab+2bab−2a−b的值是______．
答案:−1
分析：先将已知条件化简为b+2a=4ab，然后将分式化简，整体代入求解即可．
【详解】解：∵12a+1b=2，
∴b+2a2ab=2，即b+2a=4ab，
4a−5ab+2bab−2a−b
=2(2a+b)−5abab−(2a+b)
=2×4ab−5abab−4ab
=3ab−3ab
=−1，
故答案为：−1．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值及求代数式的值，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．
【变式9-2】（2023·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）已知x+1x=3，那么分式x2x4−2x2+1的值为__．
答案:15##0.2
【详解】解：将x+1x=3两边同时乘以x得：x2+1=3x，
将x2+1=3x两边同时平方得：x4+2x2+1=9x2，
将x4+2x2+1=9x2两边同时减去4x2得：x4−2x2+1=5x2，
所以x2x4−2x2+1=x25x2=15．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，完全平方公式，代数式求值问题，解题的关键是用到了整体代入的思想．
【变式9-3】（2023·湖南·武冈市第二中学八年级阶段练习）若12y2+3y+7的值为18，则14y2+6y−9的值为（ ）
A．12B．−12C．17D．−17．
答案:D
分析：根据条件先求出2y2+3y的值，然后整体代入求解即可．
【详解】由题意可得，2y2+3y+7=8，则2y2+3y=1，
∴14y2+6y−9=122y2+3y−9=12−9=−17，
故选：D．
【点睛】本题考查分式求值问题，灵活根据条件变形，并熟练运用整体思想是解题关键．
【考点10 分式的化简求值（倒数法）】
【例10】（2023·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）阅读下面的解题过程：已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值．
解：xx2+1=13知x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3．
所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7．
故x2x4+1的值为17．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知：aa2−5a+1=14，求a2a4+3a2+1的值．
答案:182
分析：由aa2−5a+1=14同时取倒数，可得a2−5a+1a=4，方程左侧分子、分母同时除以a，可得a+1a=9，a2a4+3a2+1取倒数后分子、分母同时除以a可得a2+3+1a2，化为完全平方公式的形式得a+1a2+1，将a+1a=9的值代入即可求解．
【详解】解：由aa2−5a+1=14知a≠0，
∴a2−5a+1a=4，即a+1a=9，
∴a4+3a2+1a2=a2+3+1a2=a+1a2+1=92+1=82．
∴a2a4+3a2+1=182．
【点睛】本题考查了倒数、分式化简求值、完全平方公式的运用，理解已知例题解法的步骤是解本题关键．
【变式10-1】（2023·江苏徐州·八年级阶段练习）在解决数学问题时，我们常常借助“转化”的思想化繁为简，化难为易．如在某些分式问题中，根据分式的结构特征，通过取倒数的方法可将复杂问题转化为简单问题，使问题迎刃而解．
例：已知aa2+1=13，求a2+1a2的值．
解：∵aa2+1=13，∴a2+1a=3．∴a2a+1a=3，∴a+1a=3，……
(1)请继续完成上面的问题；
(2)请仿照上述思想方法解决问题：已知xx2−2x+1=4，求x2x4−x2+1的值．
答案:(1)7
(2)1633
分析：（1）给a+1a=3两边平方，利用完全平方公式求解即可；
（2）仿照例题，求出x+1x=94，进而求得x2+1x2=4916，即可求解．
(1)
解：∵aa2+1=13，∴a2+1a=3．∴a2a+1a=3，∴a+1a=3，
∴(a+1a)2=9，即a2+2+1a2=9，
∴a2+1a2=7；
(2)
解：∵xx2−2x+1=4，∴x2−2x+1x=14，
∴x−2+1x=14，∴x+1x=94，
∴(x+1x)2=8116即x2+2+1x2=8116，
∴x2+1x2=4916，
∵x4−x2+1x2=x2+1x2−1=4916−1=3316，
∴x2x4−x2+1=1633．
【点睛】本题考查分式的化简求值、完全平方公式，解答的关键是灵活运用转化思想和类比思想化繁为简，化难为易．
【变式10-2】（2023·湖北鄂州·八年级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若xx2+1=14，求代数式x2+1x2的值．
解：∵xx2+1=14，∴x2+1x＝4
即x2x+1x＝4，∴x +1x＝4，∴x2+1x2＝（x+1x）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求xy+z的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则x＝k2，y＝k3，z＝k4，∴xy+z=12k13k+14k=12712=67
根据材料回答问题：
(1)已知xx2−x+1=14，求x+1x的值．
(2)已知a5=b4=c3，（abc≠0），求3b+4c2a的值．
(3)已知x、y、z为实数,xyx+y=−2，yzy+z=43，zxz+x=−43．求分式xyzxy+yz+zx的值．
答案:(1)x+1x的值为6
(2)3b+4c2a的值为125
(3)分式xyzxy+yz+zx的值为-4
分析：（1）利用倒数法把原式变形，计算即可；
（2）设a5=b4=c3=k，用k表示出a、b、c，代入计算即可；
（3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出1x+1y+1z，把原式变形，代入计算得到答案．
(1)
解：∵xx2−x+1=14，
∴x2−x+1x=4，
∴x−1+1x=4，
∴x+1x=5；
(2)
解：设a5=b4=c3=k，
则a=5k，b=4k，c=3k，
∴3b+4c2a=12k+12k10k=125；
(3)
解：∵xyx+y=−2，
∴x+yxy=−12，
∴1x+1y=−12，
同理可得：1y+1z=34，1x+1z=−34，
∴1x+1y+1y+1z+1x+1z=−12，
∴1x+1y+1z=−14，
∴xy+yz+xzxyz=−14，
∴xyzxy+yz+xz=−4．
【点睛】本题考查的是分式的通分和约分、实数的性质，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键．
【变式10-3】（2023·四川·隆昌市知行中学八年级阶段练习）阅读下列解题过程：
已知xx2+1=13，求x2x4+1的值．
解：由xx2+1=13，知x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3．
∴x4+1x2=x2+1x2=(x+1x)2−2=32−2=7
∴x2x4+1的值为7的倒数，即17．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知xx2+1=12，求x2x4+1的值．
（2）已知xx2−x+1=17，求x2x4−x2+1的值．
（3）已知xyx+y=2，yzy+z=43，zxz+x=43，求xyzxy+yz+zx的值．
答案:（1）12；（2）163；（3）1
分析：（1）先求x+1x=2，再求x4+1x2=2，即可求解．
（2）先求x+1x=8，再求x+1x2=64，即可求解．
（3）由（1）、（2）的方法可得1x+1y+1z=1，将所求式子化简，代入求值即可．
【详解】解：（1）由xx2+1=12，知x≠0，所以x2+1x=2，即x+1x=2．
∴x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=22−2=2．
∴x2x4+1的值为2的倒数，即12．
（2）由xx2−x+1=17，得到x2−x+1x=x+1x−1=7，即x+1x=8，
则x2x4−x2+1 =1x2+1x2+1=1x+1x2−1=164−1=163；
（3）根据题意得：x+yxy=1x+1y=12，y+zyz=1y+1z=34，z+xzx=1x+1z=34，
可得1x+1y+1z=1，
∴xy+yz+zxxyz=1x+1y+1z=1
∴xyzxy+yz+zx=1xy+yz+xzxyz=1．
【点睛】本题考查分式的运算，理解“倒数求值法”，再根据分式的运算进行求解是解题的关键．
【考点11 解分式方程的运用（增根问题）】
【例11】（2023·浙江宁波·七年级期末）若关于x的分式方程k+1x2−1−1x−1=kx+1有增根，则k的值为______．
答案:1或−13##−13或1
分析：解分式方程，先将原方程变形为整式方程，然后根据方程有增根的概念可知，x=1或x=−1是原方程的增根，代入求值即可求解．
【详解】解：方程左右两边同时乘以(x−1)(x+1)得：k+1−(x+1)=k(x−1)，
∵原方程有增根，
∴x=1或x=−1，
当x=1时，
k+1−(1+1)=k(1−1)，
∴k=1，
当x=−1时，
k+1−(−1+1)=k(−1−1)，
∴k=−13，
故答案为：1或−13．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念准确计算是解题关键．
【变式11-1】（2023·河北承德·八年级期末）关于x的方程：ax+1x−1－21−x＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
答案:（1）x＝－2；（2）a＝－3.
分析：（1）将a=3代入,求解3x+1x−1－21−x＝1的根,验根即可,
（2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值.
【详解】解：(1)当a＝3时，原方程为3x+1x−1－21−x＝1,
方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，
检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，
若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，
将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
【点睛】本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键.
【变式11-2】（2023·上海·七年级期末）若y=1是方程my−1+3y−2=1(y−1)(y−2)的增根，则m=____．
答案:-1
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．先去分母，然后把y=1代入代入整式方程，即可算出m的值．
【详解】解：my−1+3y−2=1y−1y−2
去分母，可得
m（y-2）+3（y-1）=1，
把y=1代入，可得
m（1-2）+3（1-1）=1，
解得m=-1，
故答案为-1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
【变式11-3】（2023·重庆巫溪·八年级期末）已知，关于x的分式方程x+mx−4+3m4−x=3有增根，且ma2+b2+2ma−6b+11=0，则a+b的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案:B
分析：首先解分式方程，用含有字母m的式子表示x，再根据方程有增根求出m的值，然后将m的值代入得出关于a，b的等式，再配方根据完全平方公式的非负性求出a和b的值，即可得出答案．
【详解】x+mx−4+3m4−x=3，
解得x=6−m．
∵分式方程有增根，
∴x-4=0，
即x=4，
∴6-m=4，
解得m=2．
当m=2时，2a2+b2+4a−6b+11=0，
即2(a+1)2+(b−3)2=0，
解得a=-1，b=3．
则a+b=-1+3=2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，根据完全平方公式的非负性求字母的值，求出m的值是解题的关键．
【考点12 解分式方程的运用（无解问题）】
【例12】（2023·江苏泰州·八年级期末）若分式方程kxx−1−2k−11−x=2无解，则k=______．
答案:13或2
分析：先把k看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值．
【详解】解：在方程kxx−1−2k−11−x=2的两边同时乘以x－1，得kx+2k−1=2x−2 ，
解得k−2x=−2k−1．
∴当k=2时，上述一元一次方程，即原分式方程无解，
当k≠2时，有x=−2k−1k−2，
∵分式方程kxx−1−2k−11−x=2无解，
∴−2k−1k−2=1，解得k=13，
故答案为：13或2．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键．
【变式12-1】（2023·山东潍坊·八年级期末）已知关于x的分式方程x−2x+2−mxx2−4=1无解，则m的值为（ ）
A．0B．0或−8C．−8D．0或−8或−4
答案:D
分析：先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.
【详解】解：由x−2x+2−mxx2−4=1得x=8m+4
∵分式方程无解
∴8m+4=±2或m+4=0
∴m=0或m=-8或−4
∴0或−8或−4
故答案为D.
【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.
【变式12-2】（2023·广东·绿翠现代实验学校八年级期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，但诸如“123456”．生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3＋2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x﹣1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到数字密码：171920，191720，201719等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写出其中2个）
（2）若多项式x3＋（m＋n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值；
（3）若关于x的方程1(x−3)(x+1)﹣k(x+1)(x+7)＝x+1x3+5x2−17x−21无解，求k的值．
答案:（1）212814、281421；（2）m=-12，n=17；（3）−32或−35或0．
分析：(1)根据因式分解的方法可以将题目中的式子因式分解，从而可以解答本题，注意本题答案不唯一
(2) 设x3+(m+n)x2−nx−21=(x+p)(x+q)(x+r)，求出p、q、r，根据等号左右两边对应相等，可以求得m、n的值；
(3)去分母求出方程的解x=6+3kk，根据方程无解得到x=-1或3或-7，代入求出k的值即可．
【详解】(1) x3−xy2=x(x2−y2)=x(x+y)(x−y)，
当x＝21，y＝7时，x+y=28，x-y=14，
∴可以形成的数字密码是212814、281421；
(2)设x3+(m+n)x2−nx−21=(x+p)(x+q)(x+r)，
∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，
∴27+p=24，27+q=28，27+r=34，
解得p=-3，q=1，r=7，
∴x3+(m+n)x2−nx−21=(x−3)(x+1)(x+7)
∴x3+(m+n)x2−nx−21=x3+5x2−17x−21，
∴m+n=5n=17，解得m=−12n=17；
(3)1(x−3)(x+1)﹣k(x+1)(x+7)＝x+1x3+5x2−17x−21，
去分母得（x+7）-k（x-3）=x+1，
解得x=6+3kk，
∵方程1(x−3)(x+1)﹣k(x+1)(x+7)＝x+1x3+5x2−17x−21无解，
∴x=-1或3或-7，
当x=-1时，6+3kk=−1，解得k=−32，经检验是方程的解；
当x=3时，6+3kk=3，方程无解；
当x=-7时，6+3kk=-7，解得k=−35，经检验是方程的解；
当k=0时，方程（x+7）-k（x-3）=x+1，无解，则原方程无解；
∴k的值为−32或−35或0 ．
【点睛】此题考查多项式的分解因式，分式方程的应用，方程组的应用，（2）是难点，读懂例题中多项式分解因式的个数仿照解决问题是解题的关键．
【变式12-3】（2023·四川内江·八年级期末）已知关于x的分式方程mxx−2x−6+2x−2=3x−6无解，则所有符合条件的m值的和为（ ）
A．1B．2C．6D．7
答案:D
分析：根据分式方程无解，可得关于m的方程，根据解方程，求出m的值即可得答案．
【详解】解：mxx−2x−6+2x−2=3x−6
方程两边都乘以（x-2）（x-6），得，mx+2（x-6）=3（x-2），
解得x=6m−1．
因为方程无解，
所以m-1=0或6m−1=2，6m−1=6，
解得m=1或4或2
所以，所有符合条件的m值的和为1+4+2=7
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，把分式方程的解代入整式方程是解题关键．
【考点13 分式的混合运算（规律问题）】
【例13】（2023·陕西·九年级期末）解方程：
①1x+1=2x+1−1的解x= ．
②2x+1=4x+1−1的解x= ．
③3x+1=6x+1−1的解x= ．
④4x+1=8x+1−1的解x= ．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
答案:①x=0②x=1③x=2④x=3（1）x=4，x=5（2）x=n﹣1
【详解】试题分析：（1）等号左边的分母都是x+1，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是x+1，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是x=0，第二个式子的解是x=1，那么第5个式子的解是x=4．第6个式子的解是x=5．．
（2）由（1）得第n个式子的等号左边的分母是x+1，分子是n，等号右边的被减数的分母是x+1，分子是2n，减数是1，结果是x=n−1．
试题解析：①x=0，②x=1，③x=2，④x=3．
（1）第⑤个方程：5x+1=10x+1−1解为x=4．
第⑥个方程：6x+1=12x+1−1解为x=5．
（2）第n个方程：nx+1=2nx+1−1解为x=n−1．
方程两边都乘x+1， 得n=2n−x+1．
解得x=n−1．
【变式13-1】（2023·广西百色·七年级期末）下列一组方程：①x+2x=3，②x+6x=5，③x+12x=7，…，小晶通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利的求出了前三个方程的解，她的解题过程如下：
由①得：x+1×2x=1+2，解是x=1或x=2;
由②得：x+2×3x=2+3，解是x=2或x=3;
由③得：x+3×4x=3+4，解是x=3或x=4.
请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题：
（1）第④个方程是 ，解是： ；
（2）若n为正整数，则第n个方程是 ，解是： ；
（3）若n为正整数，求关于x的方程x+n2+nx−3=2n+4的解．
答案:（1）x+4×5x=4+5；x=4或x=5；（2）x+n×(n+1)x=n+n+1；x=n或x=n+1；（3）方程的解是x=n+3或x=n+4．
分析：（1）根据已知方程的规律即可写出结论；
（2）根据已知方程的规律即可写出结论；
（3）将方程两边同时减去3，类比已知方程规律可得x−3=n或x−3=n+1，从而得出结论．
【详解】解：（1）x+4×5x=4+5,解是：x=4或x=5
经检验：x=4或x=5是原方程的解
故答案为：x+4×5x=4+5； x=4或x=5；
（2）x+n×(n+1)x=n+n+1,解是：x=n或x=n+1
经检验：x=n或x=n+1是原方程的解
故答案为：x+n×(n+1)x=n+n+1；x=n或x=n+1；
（3）x+n2+nx−3=2n+4
x−3+n(n+1)x−3=n+n+1
则x−3=n或x−3=n+1
解得：x=n+3或x=n+4,
经检验，x=n+3或x=n+4是原方程的解．
所以，方程的解是x=n+3或x=n+4．
【点睛】此题考查的是解分式方程的探索规律题，找出规律并应用是解决此题的关键．
【变式13-2】（2023·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）已知a1=x+1(x≠0，且x≠−1)，a2=11−a1，a3=11−a2，…，an=11−an−1．
（1）根据上述规律，可得a2=______（用含字母x的代数式表示）；
（2）当x的值为______时，a2022的值为5．
答案: −1x −54
分析：（1）把a1=x+1，代入相应的式子求解即可；
（2）根据所给的规律进行求解即可，从而可得到这个数列里的数每3个循环出现，从而可求解．
【详解】解：（1）∵a1=x+1，a2=11−a1，
∴a2=11−x+1=−1x，
故答案为：−1x；
（2）由题意得：a3=11−1−x=xx+1，
a4=11−xx+1=x+1，
…，
则这个数列的数每3个循环出现，
∵2022÷3=674，
∴a2022=xx+1，
∴xx+1=5，
解得：x=−54，
经检验：x=−54是原方程的解，
故答案为：−54．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子分析出存在的规律．
【变式13-3】（2023·山东枣庄·八年级期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+1x=2+12的解为x1=2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1=3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14；…
(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=5+15的解是________；
(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的解是________．
(3)根据上述规律，解关于y的方程y+y+2y+1=103．
答案:(1)x1＝5，x2=15
(2)x1＝a，x2=1a
(3)y1=2，y2=-23
分析：（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
（1）
猜想关于x的方程x+1x=5+15的解是x1＝5，x2=15
故答案为：x1＝5，x2=15；
（2）
猜想关于x的方程x+1x=a+1a的解是x1＝a，x2=1a；
故答案为：x1＝a，x2=1a；
（3）
方程变形得：y+1+1y+1=3+13，
可得y+1=3或y+1=13，
解得：y1=2，y2=-23．
【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．
【考点14 解分式方程与不等式组】
【例14】（2023·重庆实验外国语学校一模）若整数a使关于x的不等式组3+x2−1≤4a−2x≤−2有解且至多有四个整数解，且使关于y的分式方程2y2y−4＝12−a−32−y的解为非负数，则满足条件的所有a的值之和为（ ）
A．63B．67C．68D．72
答案:A
分析：观察本题，可通过解不等式组找到x的取值范围，结合至多四个整数解和分式方程的解的特点确定a的取值范围再取整数解求和即可．
【详解】解：不等式组3+x2−1≤4①a−2x≤−2②
解①得：x≤7，
解②得：x≥a+22，
∴ a+22≤x≤7且至多有四个整数解，
∴3∴4解关于y的分式方程2y2y−4=12−a−32−y得y=2a−8，
∵分式方程有解且为非负数，即2a−8≥0且2a−8≠2，
∴a≥4且a≠5，
综上整数a可取：6，7，8，9，10，11，12，
∴和为：6+7+8+9+10+11+12=63，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式组的解法以及分式方程的解法，综合性较强，需要注意分式方程产生增根的特殊性，从而确定a的取值范围再取整数解求和即可．
【变式14-1】（2023·重庆南开中学九年级开学考试）若关于x的一元一次不等式组x−2>3x−223x−a≤2的解集为x<−2，且关于y的分式方程2yy+1=ay+1−1的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．−15B．−13C．−7D．−5
答案:B
分析：化简一元一次不等式组，根据解集为a+23≥-2得到a的取值范围；解分式方程，根据解是负整数解，且不是增根，得到a的最终范围，这个范围内能使y是整数的a确定出来求和即可．
【详解】解：一元一次不等式组整理得到：x<−2x≤a+23，
∵不等式组的解集为x＜-2，
∴a+23≥-2，
∴a≥-8；
分式方程两边都乘以（y+1）得：2y=a-(y+1)，
整理得3y=a-1，
y=a−13．
∵y有负整数解，且y+1≠0，
∴a−13<0，且a−13≠-1，
解得：a<1，且a≠-2．
∴能使y有负整数解的a为：-8，-5，和为-13．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，有理数的混合运算．考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．
【变式14-2】（2023·重庆八中九年级期末）若a使关于x的分式方程ax−2−x−12−x=−1的解为整数，且使关于y的不等式组3(y+1)−2y≥6y<27+a6有且仅有2个整数解，则所有符合条件的整数a的值之和是（ ）
A．1B．3C．4D．7
答案:C
分析：解分式方程ax−2−x−12−x=−1，可得x＝3−a2，a≠−1，依据不等式组3(y+1)−2y≥6y<27+a6有且仅有2个整数解，即可得到−3＜a≤3，进而得出符合条件的整数a的值之和．
【详解】解：解分式方程ax−2−x−12−x=−1，可得x＝3−a2．
∵方程的解为整数，
∴x≠2，即3−a2≠2．
∴a≠−1．
解不等式组3(y+1)−2y≥6y<27+a6，可得y≥3y＜27+a6．
∵不等式组有且仅有2个整数解，
∴4＜27+a6≤5．
解得−3＜a≤3，
当a＝−1时，x＝2（是增根，舍去）；
当a＝1时，x＝1；
当a＝3时，x＝0；
∴符合条件的整数a的值之和是1＋3＝4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到关于a的范围是解题的关键．
【变式4-3】（2023·重庆·西南大学附中八年级期末）若关于x的不等式组x+36≥2x3−1x−a>0至少有2个整数解，且关于y的分式方程2y−3y−1+a+11−y=1的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．–3B．–1C．0D．–5
答案:A
分析：根据不等式至少有2个整数解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程的解是非负数，确定出满足条件a的值即可．
【详解】解：解不等式组x+36≥2x3−1x−a>0得x≤3x>a，
∴a＜x≤3，
∵关于x的不等式组x+36≥2x3−1x−a>0至少有2个整数解，
∴a＜2，
解分式方程2y−3y−1+a+11−y=1得y=3+a，
∵y=3+a为非负数，且y≠1
∴a≥-3且a≠-2
∵a为整数，
∴a=-3、-1、0、1，
∴符合条件的所有整数a的和为-3，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
【考点15 解分式方程的运用（新定义问题）】
【例15】（2023·江苏·兴化市乐吾实验学校八年级阶段练习）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
(1)下列3组分式：
①3aa+1与aa+1；②3aa−1与a+2a−1；③a2a+1与5a+22a+1．其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）；
(2)若正实数a，b互为倒数，求证3a2a2+b与a−2b2a+b2属于“友好分式组”；
(3)若a，b均为非零实数，且分式3a2a2−4b2与aa+2b属于“友好分式组”，求分式a−2b2ab的值．
答案:(1)②③
(2)证明见解析
(3)−72或−12
分析：（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；
（2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把b=1a 代入3a2a2+b −a−2b2a+b2计算出结果即可；
（3）根据分式3a2a2−4b2与aa+2b属于“友好分式组”，得|2a2+2aba2−4b2|=2,求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式a−2b2ab求出结果即可．
（1）
解：①3aa+1 − aa+1 =2aa+1≠2,
②3aa−1 −a+2a−1=3a−a−2a−1=2(a−1)a−1=2,；
③a2a+1 −5a+22a+1=a−5a−22a+1=−2(2a+1)2a+1=−2,
则5a+22a+1−a2a+1=2,
∴属于“友好分式组”的有②③．
故答案为：②③
（2）
∵a，b互为倒数，
∴ab=1，b=1a，
∴3a2a2+b −a−2b2a+b2
=3a2a2+1a−a−2a2a+1a2
=3a3a3+1−a3−2a3+1
=3a3−a3+2a3+1
=2(a3+1)a3+1=2
∴3a2a2+b与a−2b2a+b2属于“友好分式组”
（3）
∵|3a2a2−4b2−aa+2b|
=|3a2(a+2b)(a−2b)−a(a−2b)(a+2b)(a−2b)|
=|3a2−a2+2ab(a+2b)(a−2b)|
=|2a2+2aba2−4b2|,
∵a，b均为非零实数，且分式3a2a2−4b2与aa+2b属于“友好分式组”，
∴|2a2+2aba2−4b2|=2,
∴2a2+2ab=2(a2−4b2)或2a2+2ab=−2(a2−4b2),
①a=−4b,②ab=4b2−2a2,
把①代入a2−2b2ab=16b2−2b2−4b2=−72,
把②代入a2−2b2ab=a2−2b24b2−2a2=a2−2b2−2(a2−2b2)=−12,
∴a2−2b2ab的值为−72或−12.
【点睛】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．
【变式15-1】（2023·河南南阳·八年级期末）定义运算“※”：a※b={2a−b,a>b2b−a,aA．1B．5C．1或5D．5或7
答案:C
分析：先分类讨论，再求解分式方程．
【详解】解：当x<3，3※x=23−x=1．
∴x=1．
当x=1，3−x≠0．
∴ 23−x=1的解是x=1．
当x>3，3※x=2x−3=1．
∴当x=5，3−x≠0．
∴ 2x−3=1的解是x=5．
综上：x=1或5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程．
【变式15-2】（2023·湖南永州·八年级期末）现定义一种新的运算：a※b=a2b−1，例如：3※4=32×4−1=37，若关于x的方程m※x=−2的解为非负数，则m的取值范围为_________．
答案:m≤2且m≠0
分析：根据新运算得出分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，然后根据解为非负数得出关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围．
【详解】解：由题意得：m2x−1=−2，
∴m=−4x+2，
∴x=2−m4，
∵关于x的方程m※x=−2的解为非负数，
∴x=2−m4≥0，2x−1≠0，
解得：m≤2，m≠0，
∴m的取值范围为：m≤2且m≠0，
故答案为：m≤2且m≠0．
【点睛】本题考查了新运算，解分式方程以及解一元一次不等式，能够根据新运算得出关于x的方程是解题的关键．
【变式15-3】（2023·山东菏泽·八年级期末）定义一种新运算“*”：a∗b=aba+b．如：2∗3=65．则下列结论：①a∗a=a2；②2∗x=1的解是x=2；③若x+1∗x−1的值为0，则x=1．正确的结论是______（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
答案:①②##②①
分析：先根据新运算将结论写出方程的分式方程，然后解方程即可判断．
【详解】解∶①∵a∗b=aba+b，
∴a∗a=a·aa+a=a·a2a=a2，结论正确；
②由2∗x=1得，
2x2+x=1
去分母，得2x=2+x，
解得x=2，
将检验x=2是分式方程的根，
所以分式方程的解为x=2，故结论正确；
③由(x+1 )* (x-1) =0得，
x+1x−1x+1+x−1=0
所以(x+1 ) (x-1) =0， 2x≠0， ．
解得x=- 1或x=1，故③不正确．
故正确的结论是①②．
故答案为∶①②．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的步骤∶①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，正确理解新定义是解题的关键．
【考点16 分式方程的应用】
【例16】（2023·重庆·巴川初级中学校九年级期末）某学校开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
(2)该学校为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A种品牌足球30个，B种品牌足球20个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了2a%，B品牌足球的售价比第一次购买时降低了a%，如果这所中学第二次购买两种足球的总费用比第一次购买两种足球总费用减少了145a%，求a的值．
答案:(1)购买一个A品牌足球需50元，一个B品牌足球需80元
(2)a的值为10
分析：（1）设购买A品牌足球x元，则购买一个B品牌足球（x+30）元，根据数量关系列出方程进行求解，即可得出答案；
（2）根据题意列出方程求解即可．
（1）
解：设购买A品牌足球x元，则购买一个B品牌足球（x+30）元，
由题意得2500x=2000x+30×2，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
则x+30=80（元）．
答：购买一个A品牌足球需50元，一个B品牌足球需80元．
（2）
由题意得30×50(1+2a%)+20×80⋅(1−a%)=(2500+2000)⋅(1−145a%)，
解得：a=10，
经检验a=10是原方程的解，
答：a的值为10．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式16-1】（2023·云南·昆明市第三中学八年级期末）某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款?
答案:规定期限20天；方案（3）最节省
分析：设这项工程的工期是x天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
【详解】解：设规定期限x天完成，则有：
4x+xx+5=1，
解得x=20．
经检验得出x=20是原方程的解；
答：规定期限20天．
方案（1）：20×1.5=30（万元）
方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），
方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
所以方案（3）最节省．
点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
【变式16-2】（2023·辽宁大连·八年级期末）甲、乙两地相距skm，一辆汽车从甲地匀速驶往乙地．
(1)若出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．
①当S＝180时，求原计划的速度是多少km/h；
②汽车以原计划速度行驶nkm用了mh（0＜m≤1），则以提速后的速度行驶kh走了 km（用含n、m、k的式子表示）．
(2)若汽车以原计划的速度从甲地开往乙地要用th，若以提速后的速度从甲地开往乙地时间减少了54h，求汽车提速后的速度比原计划的速度快了多少（用含S、t的式子表示）？
答案:(1)①原计划的速度为60km/h
②3kn2m
(2)汽车提速后的速度比原计划的速度快了5s4t2−5tkm/h
分析：（1）①设原计划的速度是x km/h，则提速后的速度是1.5x km/h，利用时间=路程÷速度，结合提速后比原计划提前40min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出原计划的速度；
②利用速度=路程÷时间，可用含m，n的代数式表示出提速前的速度，结合提速后的速度是提速前速度的1.5倍，即可用含m，n的代数式表示出提速后的速度，再利用路程=速度×时间，即可用含n、m、k的式子表示出以提速后的速度行驶k h走的路程；
（2）利用速度=路程÷时间，即可用含s，t的代数式分别表示出提速前及提速后的速度，二者做差后即可求出结论．
(1)
解：①设原计划的速度是x km/h，则提速后的速度是1.5x km/h，
依题意得：180−xx−180−x1.5x=4060，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意．
答：原计划的速度是60km/h．
②∵汽车以原计划速度行驶n km用了m h，
∴汽车原计划的速度是nm km/h，
∴提速后的速度是1.5nm km/h，
∴以提速后的速度行驶k h走了1.5knm km．
故答案为：1.5knm．
(2)
解:意得：汽车原计划的速度为st km/h，提速后的速度为st−54 km/h，
∴汽车提速后的速度比原计划的速度快了
st−54-st=st(t−54)t−s(t−54)(t−54)t=5s4t2−5t（km/h）．
答：汽车提速后的速度比原计划的速度快了5s4t2−5t km/h．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）①找准等量关系，正确列出分式方程；②根据各数量之间的关系，用含m，n，k的代数式表示出各量；（2）利用速度=路程÷时间，用含s，t的代数式分别表示出提速前及提速后的速度．
【变式16-3】（2023·浙江舟山·七年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用2000元和5000元购两批口罩，在进价相同情况下，8月份的数量是7月份购进数量的2倍多50盒，该药店在7、8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．
(1)求7、8月各购进口罩多少盒？
(2)已知7月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b（b>0）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同.
①若a+b=30，求a、b的值．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口罩，且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．
答案:(1)7月购进100盒口罩，8月购进250盒口罩
(2)①a=10，b=20；②n的值为74或72
分析：（1）设7月购进x盒口罩，则8月购进（2x＋50）盒口罩，利用单价＝总价÷数量，结合7，8月进价相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）①根据各数量之间的关系，即可用含a（b）的代数式表示出原价部分的利润及优惠部分的利润，结合两店的销售利润相同，即可列出二元一次方程，结合已知条件求解即可；
②利用总利润＝7月份利润＋8月份利润−进价×赠送数量，即可得出关于a，n的二元一次方程，由至少捐赠50盒口罩，可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，结合a，b，n均为自然数，即可求出a，b，n可能的值．
（1）
解：设7月购进x盒口罩，则8月购进2x+50盒口罩，
依题意得：2000x=50002x+50，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴2x+50=2×100+50=250，
答：7月购进100盒口罩，8月购进250盒口罩；
（2）
①口罩的进价为2000÷1000=20（元/盒），
7月份两店分到的口罩为100÷2=50（盒），
依题意得，甲、乙店原价部分的利润为30−20a=10a（元），甲店优惠部分的总利润为30×0.8−2050−a=450−a元，乙店优惠部分的总利润为30×0.9−20b+30×0.7−2050−a−b=50+6b−a（元），
∵两店的利润相同，
∴450−a=50+6b−a，
∴a+2b=50，
又∴a+b=30，
∴a=10，b=20；
②8月乙店分到口罩250÷2=125（盒），
依题意得：10a+450−a+30−20n−20125−n=100，
∴n=80−a5，
∵125−n≥50，
∴n≤75，
又∵a，b，n均为自然数，b=50−a2，n=80−a5，
∴a为10的整数倍，
∴a=30b=10n=74或a=40b−5n=72，
答：n的值为74或72．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①根据各数量之间的关系，用含a（b）的代数式表示出各数量；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．x的取值
－2
2
p
q
分式的值
无意义
0
1
2