苏科版八年级数学下册专题10.4分式方程的应用【八大题型】(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册专题10.4分式方程的应用【八大题型】(原卷版+解析)，共36页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21833" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc21833 \h 1
\l "_Tc29527" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc29527 \h 2
\l "_Tc29773" 【题型3 销售利润问题】 PAGEREF _Tc29773 \h 3
\l "_Tc9910" 【题型4 航行问题】 PAGEREF _Tc9910 \h 4
\l "_Tc23438" 【题型5 和、差、倍、分问题】 PAGEREF _Tc23438 \h 5
\l "_Tc21761" 【题型6 数字问题】 PAGEREF _Tc21761 \h 5
\l "_Tc27683" 【题型7 图形问题】 PAGEREF _Tc27683 \h 6
\l "_Tc31228" 【题型8 方案问题】 PAGEREF _Tc31228 \h 7
【题型1 行程问题】
【例1】（2023·河南许昌·八年级期末）小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院．
（1）求两人的速度．
（2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高 m/min.
【变式1-1】（2023·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．
(1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？
(2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的57，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的54，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？
【变式1-2】（2023·全国·八年级）小明家距离科技馆1900米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍，小明进家取票时间共用4分钟．
（1）小明步行的速度是每分钟多少米？
（2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由．
【变式1-3】（2023·湖北襄阳·八年级期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．
（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？
（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟．
①当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？
②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m，n的式子表示）．
【题型2 工程问题】
【例2】（2023·全国·七年级专题练习）湖州市在2017年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，湖州市环卫处每天需负责市区范围420千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两种马路清扫方式.已知20名环卫工人和1辆道路清扫车每小时可以清扫20千米马路，30名环卫工人和3辆道路清扫车每小时可以清扫42千米的马路.
（1）1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？
（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日的420千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车每天工作时间为6小时）？
（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工作，同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作．2018年6月市环卫处扩大清扫范围60千米，同时又增加了20名环卫工人直接参与清扫，此时环卫工人和清扫车每日工作时间仍与5月份相同，那么2018年5月环卫处增加了多少名环卫工人参与直接清扫？
【变式2-1】（2023·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的34。假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？
【变式2-2】（2023·辽宁·大石桥市石佛中学八年级期末）大石桥市政府为了落实“暖冬惠民工程”，计划对城区内某小区的部分老旧房屋及供暖管道和部分路段的人行地砖、绿化带等公共设施进行全面更新改造．该工程乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍 ， 若甲队先做10天，剩下两队合作30天完成．
（1）甲乙两个队单独完成此项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙对每天的施工费用为5.6万元，工程施工的预算费用为500万元，为了缩短工期并高效完成工程，拟预算的费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请说明理由．
【变式2-3】（2023·广西贵港·八年级期中）某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派遣了一号施工队进场施工，计划用30天完成整个工程．当一号施工队施工10天后，由于实际需要，要求整个工程比原计划提前8天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程
(1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？
【题型3 销售利润问题】
【变式3-1】（2023·四川南充·八年级期末）超市用2500元购进某品牌苹果，以每千克8元的单价试销．销售良好，超市又安排4500元补货．补货进价比上次每千克少0.5元，数量是上次的2倍．
（1）求两次进货的单价分别是多少元．
（2）当售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求两次销售苹果的毛利．
【变式3-2】（2023·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？
【变式3-3】（2023·浙江·八年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用16000元和40000购两批口罩，8月份每盒口罩的进价比7月份上涨20元，且数量是7月份购进数量的2倍．
（1）求7月份购进了口罩多少盒？
（2）该药店在7，8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为150元．已知7月份两店按标价各卖出a盒后，甲店剩余口罩按标价的八折出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含b的代数式表示a．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n箱后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠96盒口罩，且预计乙店7，8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为2000元，求a,b,n所有可能的值．
【题型4 航行问题】
【例4】（2023·福建省福州教育学院附属中学模拟预测）已知A,B两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时．
(1)若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的23，求该轮船在静水中的航行速度；
(2)记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由．
【变式4-1】（2023·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）一艘轮船在静水中的最大航速为40千米/时，它沿江以最大航速顺流航行70千米所用时间，与以最大航速逆流航行30千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时．
【变式4-2】（2023·吉林四平·七年级期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后两船相距多远？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返，其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是 ．
【变式4-3】（2023·全国·八年级单元测试）一小船由A港到B港顺流航行需6小时，由B港到A港逆流航行需8小时.小船从早晨6时由A港到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生圈.
问：（1）小船由A港漂流到B港需要多少小时？
（2）救生圈是何时掉入水中的？
【题型5 和、差、倍、分问题】
【例5】（2023·江苏淮安·八年级期末）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地5G下载速度是每秒多少兆？
【变式5-1】（2023·江苏·仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）某生态示范村种植基地计划种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了8万斤，种植亩数减少了20亩，则改良后平均每亩产量是多少万斤？
【变式5-2】（2023·北京八中八年级期中）“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续 航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里．
（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；
（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费， 并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．
【变式5-3】（2023·浙江舟山·七年级期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明．根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训．经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟．
(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？
(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班m人，8八年级有6个班，每班n人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m和n的值；
(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，有哪几种分装方案？
【题型6 数字问题】
【例6】（2023·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是47，原来得两位数是______．
【变式6-1】（2023·全国·八年级课时练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
【变式6-2】（2023·山东潍坊·八年级期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为47，则这个二位数是_____．
【变式6-3】（2023·全国·八年级专题练习）一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.
【题型7 图形问题】
【例7】（2023·全国·七年级单元测试）已知一个长方形的长是40，宽是30，现要把它的长和宽减少相同的长度后，使新的长方形的长和宽之比是7:5，减少的长度是______.
【变式7-1】（2023·福建省泉州第一中学八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．
(1)“丰收1号”单位面积产量为 kgm2，“丰收2号”单位面积产量为 kgm2（结果用含a的式子表示）；
(2)若“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的1.5倍，求a的值．
【变式7-2】（2023·浙江·七年级阶段练习）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米．
【变式7-3】（2023·浙江杭州·七年级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱.（加工时接缝材料不计）
图1 图2
（1）若该厂仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？
（2）该工厂原计划用若干天加工纸箱2400个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成了任务，问原计划每天加工纸箱多少个？
【题型8 方案问题】
【例8】（2023·四川成都·八年级期末）某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作3个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要10个月可以完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要几个月？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
【变式8-1】（2023·河南南阳·三模）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前12S米的道路由甲工程队改造，后12S米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【变式8-2】（2023·云南大理·八年级期末）某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费， 请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【变式8-3】（2023·江西·南昌市第八中学八年级阶段练习）某商场购进甲、乙两种空调共50台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种空调数量的2倍．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购进方案？
（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2台．请直接写出该商场购进这50台空调各几台．
专题10.4 分式方程的应用【八大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1809" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc1809 \h 1
\l "_Tc22553" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc22553 \h 5
\l "_Tc12298" 【题型3 销售利润问题】 PAGEREF _Tc12298 \h 8
\l "_Tc27784" 【题型4 航行问题】 PAGEREF _Tc27784 \h 12
\l "_Tc14797" 【题型5 和、差、倍、分问题】 PAGEREF _Tc14797 \h 15
\l "_Tc6833" 【题型6 数字问题】 PAGEREF _Tc6833 \h 19
\l "_Tc27424" 【题型7 图形问题】 PAGEREF _Tc27424 \h 21
\l "_Tc30960" 【题型8 方案问题】 PAGEREF _Tc30960 \h 25
【题型1 行程问题】
【例1】（2023·河南许昌·八年级期末）小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院．
（1）求两人的速度．
（2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高 m/min.
答案:（1）小丽和小颖的速度分别为50 m/min和75 m/min；（2）6.25.
分析：（1）设小丽和小颖的速度分别为2x m/min和3x m/min，根据题意，小丽所用时间-小颖苏勇时间=4分钟，列出分式方程，解答即可.
（2）设小丽速度需要提高a m/min，根据题意，小丽所用时间=小颖所用时间，列出分式方程，解答即可.
【详解】解：（1）设小丽和小颖的速度分别为2x m/min和3x m/min，根据题意，得:
18002x−24003x=4
解得：x=25
经检验x=25是原分式方程的解，
则2x=2×25=50（m/min），3x=3×25=75（m/min）
答：小丽和小颖的速度分别为50m/min和75m/min
（2）设小丽速度需要提高a m/min，根据题意，得：
180050+a=240075
解得：a=6.25
经检验a=6.25是原分式方程的解
答：小丽速度需要提高6.25 m/min.
故答案为6.25
【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题干，找到等量关系是解题关键.
【变式1-1】（2023·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．
(1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？
(2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的57，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的54，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？
答案:(1)280米/分钟
(2)2100米
分析：（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟，根据小伟在平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，往返时间共用50分钟，列方程2800x+28004x=50，解得x=70，检验后求出4x=280，回答问题；
（2）设这段坡路的下坡路程是y米，根据小伟上坡的平均速度是280×57=200，下坡的平均速度是280×54=350，上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用时9分钟，列方程2y200+y350=9，解得y=700，推出这段坡路的总路程是700+2×700=2100．
【详解】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟,
根据题意得，2800x+28004x=50，
解得，x=70，
经检验，x=70是所列方程的解，且符合题意，
∴4x=280，
答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟；
（2）设这段坡路的下坡路程是y米，
∵上坡的平均速度是，280×57=200，下坡的平均速度是280×54=350，
∴根据题意得，2y200+y350=9，
解得，y=700，
∴700+2×700=2100，
答：这段坡路的总路程是2100米．
【点睛】本题主要考查了分式方程与一元一次方程的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程和速度与时间的关系，列代数式列方程解答，解分式方程注意检验，应用题注意设未知数和回答问题．
【变式1-2】（2023·全国·八年级）小明家距离科技馆1900米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍，小明进家取票时间共用4分钟．
（1）小明步行的速度是每分钟多少米？
（2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由．
答案:（1）小明步行的速度为76米/分钟；（2）小明能在表演开始前赶到科技馆，理由见详解．
分析：（1）设小明步行的速度是每分钟x米，则小明骑车的速度是每分钟5x米，根据时间＝路程÷速度结合小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用时间＝路程÷速度结合小明进家取票时间共用4分钟，即可得出小明回家取票后到达科技馆所需时间，将其与23分钟比较后即可得出结论．
【详解】解：1设小明步行的速度为x米/分钟，则小明骑车的速度为5x米/分钟．根据题意，得1900x−19005x=20，
解得：x=76．
经检验，x=76是原分式方程的解．
答：小明步行的速度为76米/分钟．
（2）19005×76+12×190076+4=21.5<23，
所以小明能在表演开始前赶到科技馆．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式1-3】（2023·湖北襄阳·八年级期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．
（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？
（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟．
①当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？
②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m，n的式子表示）．
答案:（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②1000(m−1)mn．
分析：（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；
（2）①设小明的速度为y米/分，由m＝3，n＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；
②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.
【详解】（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，
根据题意得：1200x＝4500x+220．
解得：x＝80．
经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意．
∴x+220＝300．
答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．
（2）①设小明的速度为y米/分，∵m＝3，n＝6，
∴1000y−10003y=6，解之得y=10009.
经检验，y=10009是原方程的解，且符合题意，
∴小强跑的时间为：1000÷(3×10009)=3（分）
②小强跑的时间：nm−1分钟，小明跑的时间：nm−1+n=mnm−1分钟，
小明的跑步速度为： 1000÷mnm−1=1000(m−1)mn分．
故答案为：1000(m−1)mn．
【点睛】此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.
【题型2 工程问题】
【例2】（2023·全国·七年级专题练习）湖州市在2017年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，湖州市环卫处每天需负责市区范围420千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两种马路清扫方式.已知20名环卫工人和1辆道路清扫车每小时可以清扫20千米马路，30名环卫工人和3辆道路清扫车每小时可以清扫42千米的马路.
（1）1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？
（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日的420千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车每天工作时间为6小时）？
（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工作，同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作．2018年6月市环卫处扩大清扫范围60千米，同时又增加了20名环卫工人直接参与清扫，此时环卫工人和清扫车每日工作时间仍与5月份相同，那么2018年5月环卫处增加了多少名环卫工人参与直接清扫？
答案:（1）1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；（2）派出5辆道路清扫车参与工作；（3）2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直接清扫.
分析：（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和y千米，由题意可得20x+y=2030x+3y=42，进行求解即可；
（2）设派出m辆道路清扫车参与工作，则(50×0.6+8m)×6=420，进行求解即可；
（3）设2018年5月环卫处增加了n名环卫工人参与直接清扫，由题意写出分式方程进行求解即可.
【详解】（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和y千米，
由题意可得20x+y=2030x+3y=42，解得x=0.6y=8，
答：1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；
（2）设派出m辆道路清扫车参与工作,
则(50×0.6+8m)×6=420，解得m=5，
答：派出5辆道路清扫车参与工作；
（3）设2018年5月环卫处增加了n名环卫工人参与直接清扫，由题意得
4200.650+n+6×8=420+600.650+n+20+6×8；解得:n=10.
答：2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直接清扫.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，分式方程的应用.综合性强，有一定难度.关键是理解题文，列出方程求解.这里涉及到工作效率问题以及合作问题，要求学生对这类模型比较熟练.
【变式2-1】（2023·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的34。假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？
答案:应该先安排2名工人工作．
分析：设安排x人先做2h，然后根据先后两个时段完成这项工作的34，可列方程求解．
【详解】解：设应该先安排x名工人工作，
由题意得：2x80+8(x+5)80=34
解得x=2，
经检验x=2是原方程的解且符合题意，
∴应该先安排2名工人工作，
答：应该先安排2名工人工作．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于准确理解题意列出方程求解．
【变式2-2】（2023·辽宁·大石桥市石佛中学八年级期末）大石桥市政府为了落实“暖冬惠民工程”，计划对城区内某小区的部分老旧房屋及供暖管道和部分路段的人行地砖、绿化带等公共设施进行全面更新改造．该工程乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍 ， 若甲队先做10天，剩下两队合作30天完成．
（1）甲乙两个队单独完成此项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙对每天的施工费用为5.6万元，工程施工的预算费用为500万元，为了缩短工期并高效完成工程，拟预算的费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请说明理由．
答案:（1）甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天；（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．
分析：（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解；
（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
【详解】（1）设此工程甲队单独完成需x天，则乙队单独完成这项工程需1.5x天．由题意：
10+30x+301.5x=1
解得：x=60．
经检验，x=60是原方程的解，且适合题意．
1.5x=1.5×60=90．
答：甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天．
（2）因为需要缩短工期并高效完成工程，所以需两队合作完成，设两队合作这项工程需
y天，根据题意得：
y60+y90=1
解得：y=36．
所以需要施工费用36×（8.4+5.6）=504（万元）．
因为504＞500，所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，涉及方案决策问题，综合性较强．
【变式2-3】（2023·广西贵港·八年级期中）某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派遣了一号施工队进场施工，计划用30天完成整个工程．当一号施工队施工10天后，由于实际需要，要求整个工程比原计划提前8天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程
(1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？
答案:(1)x=45
(2)若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天
分析：（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列出分式方程进行求解即可；
（2）直接列算式求解即可．
【详解】（1）解：设二号施工队单独施工需要x天，
根据题意得：30−830+30−8−10x=1，
解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天．
（2）根据题意得：1÷130+145=18（天），
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．
【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意正确的列出分式方程是解题的关键．注意验根.
【题型3 销售利润问题】
【例3】（2023·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱．某商家购进了海绵和橡胶两种飞盘进行销售，已知一个橡胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30元，其中购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍．
(1)求一个海绵飞盘的进价是多少元；
(2)商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80个，但海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个橡胶飞盘？
答案:(1)50元，；
(2)11.
分析：（1）设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，由题意：购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买(80−a)个海绵飞盘，由题意：海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）
解：设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，
由题意得：4000x=3200x+30×2，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
答：一个海绵飞盘的进价为50元；
（2）
设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买(80−a)个海绵飞盘，
由题意得：
50×(1+16%)(80−a)+80×0.9a≤4800
解得：a≤1137
∵a是整数，
∴a最大值为11，
答：此次最多可购买11个橡胶飞盘．
【点睛】此题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系与不等关系，正确列出分式方程和一元一次不等式．
【变式3-1】（2023·四川南充·八年级期末）超市用2500元购进某品牌苹果，以每千克8元的单价试销．销售良好，超市又安排4500元补货．补货进价比上次每千克少0.5元，数量是上次的2倍．
（1）求两次进货的单价分别是多少元．
（2）当售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求两次销售苹果的毛利．
答案:（1）第一次进货的单价是5元，第二次进货的单价是4.5元；（2）4600
分析：（1）设第一次进货的单价是x元，则第二次进货的单价是(x−0.5)元，根据题意，列方程求解即可；（2）求出两次的购进数量，根据毛利=收入-成本，可求出结果．
【详解】解：（1）设第一次进货的单价是x元，则第二次进货的单价是(x−0.5)元，根据题意，得
2500x×2=4500x−0.5
解得x=5
经检验：x=5是原方程的解
第二次进货的单价是：5−0.5=4.5(π).
答：第一次进货的单价是5元，第二次进货的单价是4.5元.
（2）两次销售苹果的毛利：
(25005+45004.5−200)×8+200×8×0.75−2500−4500=4600（元）
答：两次销售苹果的毛利为4600元.
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是根据这次进货价比上次每千克少0.5元，购进苹果的数量是上次的2倍，列出方程求出每千克多少元，然后总千克数，根据毛利公式，从而求出解．
【变式3-2】（2023·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？
答案:（1）该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；（2）该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．
分析：（1）设每件A种商品的进价为x元，每件B种商品的进价为y元，根据“若购进A种商品40件，B种商品60件，需要8400元；若购进A种商品50件，B种商品30件，需要6900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到m的值，然后即可计算出商店销售这两批A商品的销售总金额．
【详解】（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，由题意得：
40x+60y=840050x+30y=6900 ，
解得，x=90y=80 ，
答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；
（2）由题意可得，
4900090+m×1.2=6120090+m+0.5m，
解得，m=8，
经检验，m=8是原分式方程的解，
故11月份购进的A商品数量为4900090+8=500（件），
12月份购进的A商品数量为500×1.2=600（件），
（500+600-50）×150+150×0.8×50=163500（元）．
答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验．
【变式3-3】（2023·浙江·八年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用16000元和40000购两批口罩，8月份每盒口罩的进价比7月份上涨20元，且数量是7月份购进数量的2倍．
（1）求7月份购进了口罩多少盒？
（2）该药店在7，8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为150元．已知7月份两店按标价各卖出a盒后，甲店剩余口罩按标价的八折出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含b的代数式表示a．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n箱后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠96盒口罩，且预计乙店7，8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为2000元，求a,b,n所有可能的值．
答案:（1）200盒；（2）①a=100−2b；②a=100，b=0，n=100或a=90，b=5，n=102或a=80，b=10，n=104
分析：（1）设7月份购进了口罩x盒，根据8月份每盒口罩的进价比7月份上涨20元列出方程，解之即可；
（2）①根据7月份乙店利润与甲店相同列出关于a，b的方程，化简即可；
②首先求出两个月乙店的利润，根据总利润为2000元列出方程，得到n=100+2b5，再根据至少捐赠96盒口罩，求出n的范围，得到b的范围，再求整数解即可．
【详解】解：（1）设7月份购进了口罩x盒，
由题意可得：16000x+20=400002x，
解得：x=200，
∴7月份购进了口罩200盒；
（2）①由（1）可得7月份口罩每盒16000200=80元，
由题意可得：100−a150×80%−80=b150×90%−80+100−a−b150×70%−80，
整理得：a=100−2b；
②由题意可得：8月份购进了口罩400盒，8月份口罩进价为每盒100元，
7月份乙店获得的利润为：
a150−80+b150×90%−80+100−a−b150×70%−80
=45a+30b+2500
8月份乙店获得的利润为：150−100n−100200−n=150n−20000，
∴45a+30b+2500+150n−20000=2000，即3a+2b+10n=1300，
∵a=100−2b，
∴3100−2b+2b+10n=1300，即5n−2b=500，即n=100+2b5，
∵至少捐赠96盒口罩，
∴200−n≥96，
∴n≤104，
∴100+2b5≤104，解得：b≤10，
∴b可以取0，5，10，
当b=0时，a=100，n=100；
当b=5时，a=90，n=102；
当b=10时，a=80，n=104．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，列代数式，二元一次方程的解以及不等式，解体的关键是理清题意，本题条件较多，一定要仔细读题．
【题型4 航行问题】
【例4】（2023·福建省福州教育学院附属中学模拟预测）已知A,B两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时．
(1)若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的23，求该轮船在静水中的航行速度；
(2)记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由．
答案:(1)轮船在静水中的航行速度为25千米/时
(2)t1>t2，理由见解析
分析：（1）设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，故可知顺流速度为x+5千米/时，逆流速度为x−5千米/时，列分式方程150x−5×23=150x+5，求解即可．
（2）设船在静水中的航行速度为v千米/时，由题意可知t1=150v+5+150v−5，t2=150v×2，比较t1−t2与0的大小．
（1）
解：设轮船在静水中的航行速度为x，
则顺流速度为x+5千米/时，逆流速度为x−5千米/时；
故有150x−5×23=150x+5
解得x=25
经检验得x=25是原方程的解
∴该轮船在静水中的航行速度为25千米/时．
（2）
解：设船在静水中的航行速度为v千米/时
由题意知t1=150v+5+150v−5
t2=150v×2
t1−t2=150v+5+150v−5−150v×2
=150v(v+5)(v−5)v(v−5)+v(v+5)−2(v+5)(v−5)
=150v(v+5)(v−5)×50>0
∴t1−t2>0
∴t1>t2．
【点睛】本题考查了分式方程与异分母分式的加减．解题的关键在于正确的列分式方程与分式的比较大小．
【变式4-1】（2023·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）一艘轮船在静水中的最大航速为40千米/时，它沿江以最大航速顺流航行70千米所用时间，与以最大航速逆流航行30千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时．
答案:16千米/时
分析：设江水的流速为x千米/时，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】设江水的流速为x千米/时，根据题意得，
70x+40=3040−x，
解得x=16，
经检验，x=16是原方程的解，
答：江水的流速为16千米/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式4-2】（2023·吉林四平·七年级期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后两船相距多远？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返，其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是 ．
答案:（1）2h后两船相距200千米（2）2h后甲船比乙船多航行4a千米；（3）v=2a
分析：（1）分别求得甲乙两船行驶的路程，即可求解；
（2）用甲船行驶的路程减去乙船行驶的路程，即可求解；
（3）由题意可得去程是逆水行驶，返程是顺水行驶，设码头之前的距离为s，列方程求解即可．
【详解】解：（1）2h后，甲船行驶的路程为2×(50+a)(km)，乙船行驶的路程为2×(50−a)(km)
两船相距为2×(50+a)+2×(50−a)=200(km)
答：2h后两船相距200千米
（2）由（1）得2h后，甲船行驶的路程为2×(50+a)(km)，乙船行驶的路程为2×(50−a)(km)
甲船比乙船多航行2×(50+a)−2×(50−a)=4a(km)
答：2h后甲船比乙船多航行4a千米
（3）由题意可得去程是逆水行驶，返程是顺水行驶，设码头之前的距离为s
则去程时间为t1=sv−a，返程时间为t2=sv+a
由题意可得t1=3t2，即sv−a=3sv+a，解得v=2a
快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是为v=2a
故答案为v=2a
【点睛】此题考查了列代数式，以及分式的应用，解题的关键是掌握船顺流航行和逆流航行的速度公式是解题的关键．
【变式4-3】（2023·全国·八年级单元测试）一小船由A港到B港顺流航行需6小时，由B港到A港逆流航行需8小时.小船从早晨6时由A港到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生圈.
问：（1）小船由A港漂流到B港需要多少小时？
（2）救生圈是何时掉入水中的？
答案:（1）48；（2）10时.
分析：（1）先设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时，根据题目中的等量关系列出方程，求出x的值，在进行检验即可；
（2）先设救生圈是在x点钟落下水中的，则救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的148
，根据小船早晨6时从港出发，顺流航行需6小时，得出它在中午12点钟到达B港，根据救生圈在y点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为（12-x）小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的16，救生圈沿着航行方向漂流全程的148，船与救生圈同向而行，距离拉大，船到B港后立刻掉头去找救圈，2小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0，列出方程，求出方程的解即可
【详解】（1）设船由A港漂流到B港需要x小时，
依题意得，16−1x=18+1x，解得x=48.
经检验，x=48是原方程的解，且有意义.
（2）设救生圈在x时落入水中，由（1）知水的速度为148，则(6+6−x)(16−148)=(18+148)×2，解得x=10.
经检验，x=10是原方程的解，且符合实际意义.
【点睛】此题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程
【题型5 和、差、倍、分问题】
【例5】（2023·江苏淮安·八年级期末）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地5G下载速度是每秒多少兆？
答案:60兆
分析：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据“小明比小强所用的时间快140秒”列出方程求解即可．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆
由题意得：600x−60015x=140
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，
15×4=60，
答：该地5G的下载速度是每秒60兆．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．
【变式5-1】（2023·江苏·仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）某生态示范村种植基地计划种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了8万斤，种植亩数减少了20亩，则改良后平均每亩产量是多少万斤？
答案:改良后平均每亩产量是0.5万斤
分析：根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数－改良后种植的亩数=20亩，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设原计划每亩产量x万斤，改良后每亩产量1.5x万斤，
36x−36+81.5x=20，
解得，x=13，
经检验，x=13是原分式方程的解，
∴1.5x=0.5，
答：改良后平均每亩产量是0.5万斤．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．
【变式5-2】（2023·北京八中八年级期中）“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续 航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里．
（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；
（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费， 并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．
答案:（1）燃油车0.8；新能源汽车0.2；（2）8.25%
分析：（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，根据等量关系式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4∶1，列出方程，解之即可.
（2）根据总价=单价×数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用÷总公里数即可得新能源汽车每公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数可得燃油汽车总费用，再用新能源汽车的总费用÷燃油车相同里程下的所需费用即可得答案.
【详解】解：（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，依题可得：
300x：300+0.6x =4：1，
解得：x=0.2，
∴燃油车续航单价为：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），
答：新能源汽车续航单价为0.2元/公里，燃油车续航单价为0.8元/公里.
（2）依题可得新能源汽车400公里所需费用为：
0.48×55=26.4（元），
∴新能源汽车每公里所需电电费为：
26.4÷400=0.066（元/公里），
依题可得燃油汽车400公里所需费用为：
400×0.8=320（元），
∴新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为：
26.4÷320=0.0825=8.25%.
答：新能源汽车每公里所需电电费为0.066元；新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%.
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式5-3】（2023·浙江舟山·七年级期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明．根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训．经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟．
(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？
(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班m人，8八年级有6个班，每班n人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m和n的值；
(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，有哪几种分装方案？
答案:(1)甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；
(2)m=36n=45
(3)有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；
②3个10人试管，2个20人试管；
③1个10人试管，3个20人试管；
④7个10人试管，0个20人试管．
分析：（1）可设乙速度为平均每分钟采集x人，甲为2x人，根据所用的时间可列出方程，解方程即可；
（2）根据题意列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可；
（3）设10人试管有x个，20人试管有y个，从而得到10x+20y=70，根据x与y都是正整数，从而可求解．
（1）
解：设乙速度为平均每分钟采集x人，则甲为每分钟采集2x人，
依题意得：522x+2=30x，
解得x=2，
2×2=4人，
经检验：x=2是方程的解且符合题意，
答：甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；
（2）
解：依题意得：7m=6n−187m+6n=87×(2+4)，
解得m=36n=45；
（3）
解：设10人试管有x个，20人试管有y个，依题意得：
10x+20y=70，即x=7-2y，
则有：x=5y=1或x=3y=2或x=1y=3或x=7y=0，
有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；
②3个10人试管，2个20人试管；
③1个10人试管，3个20人试管；
④7个10人试管，0个20人试管．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
【题型6 数字问题】
【例6】（2023·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是47，原来得两位数是______．
答案:63
分析：设这个两位数个位上的数为x，，再根据等量关系列出方程，最后检验并作答．
【详解】解：设这个两位数个位上的数为x，
则可列方程：10x+66×10+x=47，
整理得66x＝198，
解得x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，则60+x＝63，
故答案为：63．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
【变式6-1】（2023·全国·八年级课时练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
答案:34
分析：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1，两位数是10x+x+1，利用两位数减2除以个位数字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，检验后求出两位数即可．
【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1，
则：10x+(x+1)−2x+1=8，
解方程得：x=3，
经检验：x=3是原方程的根，
所以个位上的数字为：x+1＝3＋1＝4，
所以这个两位数是：3×10＋4＝34．
答：这个两位数是34．
【点睛】本题考查数字问题分式方程应用题，掌握分式方程解应用题的步骤与解法，关键是抓住两位数减2除以个位数字，商是8列出方程．
【变式6-2】（2023·山东潍坊·八年级期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为47，则这个二位数是_____．
答案:84
分析：设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），根据“如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为47”，即可得出关于x的分式方程，经检验后即可得出结论．
【详解】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），
根据题意得：1012−x+x10x+12−x＝47，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意，
∴12﹣x＝4．
故答案为84．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式6-3】（2023·全国·八年级专题练习）一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.
答案:15.
分析：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+4，这个两位数为：10x+（x+4），根据用个位上的数去除这个两位数商是3，列出分式方程，求解即可得出答案．
【详解】解：x+4+10xx+4=3，
解得：x=1，
经检验，x=1是分式方程的解，
10x+（x+4）=10×1+1+4=15．
答：这个两位数为15．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，利用个位与十位的关系列出方程是解题的关键．在解答本题的过程中根据条件从而得到本题的结果．
【题型7 图形问题】
【例7】（2023·全国·七年级单元测试）已知一个长方形的长是40，宽是30，现要把它的长和宽减少相同的长度后，使新的长方形的长和宽之比是7:5，减少的长度是______.
答案:5
分析：设减少的长度是x，根据题意列出方程，解方程，检验即可.
【详解】解：设减少的长度是x，由题意，得
40−x30−x=75
去分母得：5(40−x)=7(30−x)
去括号得：200−5x=210−7x
移项得：7x−5x=210−200
合并同类项得：2x=10
系数化为1得：x=5
经检验，x=5是该方程的解
故填：5.
【点睛】本题考查分式方程的应用.能根据题意列出方程是解决此题的关键，还需注意对方程的解要进行检验.
【变式7-1】（2023·福建省泉州第一中学八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．
(1)“丰收1号”单位面积产量为 kgm2，“丰收2号”单位面积产量为 kgm2（结果用含a的式子表示）；
(2)若“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的1.5倍，求a的值．
答案:(1)500a2−1；500(a−1)2
(2)5
分析：（1）分别求出“丰收1号”、“丰收2号”的面积，再用500除以面积即可；
（2）根据题意列出关于a等式求解即可，注意需要验根．
(1)
解：“丰收1号”的面积为：a2−1，
∴单位面积产量为：500a2−1；
“丰收2号”的面积为：(a−1)2，
∴单位面积产量为：500(a−1)2；
故答案为：500a2−1；500(a−1)2；
(2)
解：由题意，可得500a2−1×1.5=500(a−1)2，
解得a=5，
经检验，a=5是原分式方程的解，
∴a的值为5．
【点睛】本题考查了列代数式，分式方程，解题的关键是根据题意列出相应的分式方程．
【变式7-2】（2023·浙江·七年级阶段练习）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米．
答案: 1 34或15
分析：设A款瓷砖边长为a米，B款瓷砖长为a米、宽为b米，则2×7a×9−b2a+b=2(9−b2a+b+1)×7a−14，解得a=1，由题意知9−b2+b是正整数，设9−b2+b=k(k为正整数），解得b=9−2kk+1，将k为正整数代入即可得出结果．
【详解】解：设A款瓷砖边长为a米，B款瓷砖长为a米、宽为b米，
则2×7a×9−b2a+b=2(9−b2a+b+1)×7a−14，
解得：a=1，
经检验，a=1是原方程的解，
由题意得：9−b2+b是正整数，
设9−b2+b=k(k为正整数），
解得：b=9−2kk+1，
当k=1时，b=72(72>1，舍去）；
当k=2时，b=53(53>1，舍去）；
当k=3时，b=34；
当k=4时，b=15．
故答案为：1，34或15．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意，根据题意设出未知数列出方程组是解题的关键．
【变式7-3】（2023·浙江杭州·七年级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱.（加工时接缝材料不计）
图1 图2
（1）若该厂仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？
（2）该工厂原计划用若干天加工纸箱2400个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成了任务，问原计划每天加工纸箱多少个？
答案:（1）加工竖式纸盒200个，横式纸盒400个；（2）原计划每天加工纸箱400个
分析：（1）设加工竖式纸箱x个，横式纸箱y个，根据竖式纸箱需要4张长方形纸板，1张正方形纸板，横式纸箱需要3张长方形纸板，2张正方形纸板列出方程组，然后求解方程组即可；
（2）设原计划每天加工纸箱a个，根据“实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成了任务”列出关于a的分式方程，然后求解方程验根即可.
【详解】解：（1）设加工竖式纸箱x个，横式纸箱y个，
由题意，得4x+3y=2000x+2y=1000，
解得x=200y=400，
答：加工竖式纸盒200个，横式纸盒400个；
（2）设原计划每天加工纸箱a个，
由题意，得2400a−24001.5a=2，
解得a=400，
经检验：a=400是所列方程的根，且符合题意.
答：原计划每天加工纸箱400个.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系的量列出方程（组）.
【题型8 方案问题】
【例8】（2023·四川成都·八年级期末）某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作3个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要10个月可以完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要几个月？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
答案:（1）15（2）方案一：甲队作4个月，乙队作9个月；方案二：甲队作2个月，乙队作12个月
分析：(1)设完成本项工程的工作总量为1,由题意可知510+310+3x=1,从而得出x=15. 即单独完成这项工程需要15个月.
(2)根据题目关键信息：该工程总费用不超过141万元、采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工可以列出关于a、b方程组，从而得出a、b的取值范围，根据a、b的取值范围及a、b均为整数的关系得出b为3的倍数，则b=9或b=12．从而得出a的取值.确定工程方案.
【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：510+310+3x=1
经检验x=15是原方程的根
答：乙队需要15个月完成；
（2）根据题意得：15a+9b≤141a10+b15=1，解得：a≤4 b≥9
∵a≤12，b≤12且a，b都为正整数，
∴9≤b≤12又a=10﹣23b，
∴b为3的倍数，∴b=9或b=12．
当b=9时，a=4；
当b=12时，a=2
∴a=4，b=9或a=2，b=12．
方案一：甲队作4个月，乙队作9个月；
方案二：甲队作2个月，乙队作12个月；
【点睛】本题主要考查列方程解决工程问题，工程问题是中考常考知识点.根据 a、b的取值范围及a、b均为整数的关系得出b为3的倍数是本题的难点.
【变式8-1】（2023·河南南阳·三模）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前12S米的道路由甲工程队改造，后12S米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
答案:（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少
分析：（1）设乙工程队每天道路的长度为x米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．
【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为x米，则甲工程队每天道路的长度为x+30米，
根据题意，得：360x+30=300x，
解得：x=150，
检验，当x=150时，xx+30≠0，
∴原分式方程的解为：x=150，
x+30=180，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
（2）设方案一所用时间为：t1=12sa+12sb=(a+b)s2ab，
方案二所用时间为t2，则12t2a+12t2b=s，t2=2sa+b，
∴a+b2abS−2a+bS=(a−b)22ab(a+b)S，
∵a≠b，a>0，b>0，
∴a−b2>0，
∴a+b2abS−2a+bS>0，即：t1>t2，
∴方案二所用的时间少．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．
【变式8-2】（2023·云南大理·八年级期末）某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费， 请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
答案:（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．
分析：（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20， 由等量关系列出方程求解．
（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用， 比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．
【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，
则： 960x−9601.5x=20解得：x＝16
经检验，x＝16 是原分式方程的解
∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品
（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天
需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元
方案二：乙工厂单独完成此项任务，则
需要的时间为：960÷24＝40 天
需要的总费用为：40×（120+15）＝5400元
方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则
16a+24a＝960
∴a＝24
∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5160元
综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．
【变式8-3】（2023·江西·南昌市第八中学八年级阶段练习）某商场购进甲、乙两种空调共50台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种空调数量的2倍．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购进方案？
（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2台．请直接写出该商场购进这50台空调各几台．
答案:（1）0.1，0.4；（2）商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；（3）购买甲种空调32台，购买乙种空调18台
分析：（1）可设甲种空调每台进价是x万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，根据等量关系用20万元购进甲种空调数量＝用40万元购进乙种空调数量×2，列出方程求解即可；
（2）设购买甲种空调n台，则购买乙种空调（50﹣n）台，根据商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，求出n的范围，即可确定出购买方案；
（3）找到（2）中3种购进方案符合条件的即为所求．
【详解】解：（1）设甲种空调每台进价是x万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，依题意有
20x＝40x+0.3×2，
解得x＝0.1，
x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．
答：甲种空调每台进价是0.1万元，乙种空调每台进价是0.4万元；
（2）设购买甲种空调n台，则购买乙种空调（50﹣n）台，依题意有
0.1n+0.4(50−n)⩾10ns⩾31，
解得31≤n≤3313，
∵n为整数，
∴n取31，32，33，
∴商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；
（3）①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台，
（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520
＝7720﹣2520
＝5200（元），
不符合题意，舍去；
②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台，
（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520
＝7520﹣2520
＝5000（元），
符合题意；
③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台，
（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520
＝7320﹣2520
＝4800（元），
不符合题意，舍去．
综上所述，购买甲种空调32台，购买乙种空调18台．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．