易错01 数与式-备战2024年中考数学考试易错题（全国通用）

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易错点一：错误理解实数的有关概念
一、实数的分类：
二、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若，则；若，则。
三、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数
四、倒数：如果与互为倒数，则有，反之亦成立
易错提醒：（1）需要牢记与三者有关的概念以及相关概念之间的的包含与被包含的关系才能避免出错；
（2）几个特殊值注意：0的相反数还是0；0没有倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0.
例1．2023的倒数的相反数是（ ）
A．2023B．C．D．
易错警示：有理数、无理数以及实数的有关概念容易理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念容易混淆。选择题考得比较多。
例2．下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数；其中正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
变式1．下列实数：0.22，，，0.010203040506，，．其中有理数有 个，无理数有 个．
变式2．已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数．
变式3．若实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求的值.
变式4．请把下列各数填在相应的集合里：
0，，，，，π，，0.010010001…
正数集合：{ …}
负数集合：{ …}
有理数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
2．已知，，则与的关系是（ ）
A．互为相反数B．相等C．互为倒数D．互为负倒数
3．下列说法：①互为相反数的两数和为；②互为相反数的两数商为；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．实数可分为正实数和负实数B．、、都是无理数
C．绝对值最小的实数是D．无理数包括正无理数，零和负无理数
5．在单元复习课上，老师要求写出几个与实数有关的结论，小明同学写了以下5个：
①任何无理数都是无限不循环小数；
②立方根等于它本身的数是和；
③在和之间的无理数有且只有、、、这个；
④是分数，是有理数；
⑤由四舍五入得到的近似数表示大于或等于，而小于的数．
其中正确的有 （填序号）．
6．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ．
7．请把下列各数填入相应的集合中
，，0，，，，，
非负数集合：{ …}
分数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
8．已知的绝对值是的绝对值是4．求的最大值.
易错点二：运算顺序错误
实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
易错提醒：在有理数混合运算中不注意运算导致计算错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，后算大括号．
例3．若取，计算的结果是（ ）
A．B．181.7C．D．
易错警示：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
例4．定义一种新的运算“”，若，则．
①依定义， ；
②若，则 ．
变式1．计算：
(1)；
(2)
变式2．计算：
变式3．计算．
(1)
(2)
变式4．观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：
，
，
,
，
…
(1)计算：；
(2)试比较与的大小．
1．计算：．
2．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．阅读材料并解决问题：
求的值．
令，等式两边同时乘2，则，
两式相减得，所以．
依据以上计算方法，计算 ．
4．对有理数a，b定义运算“”：
(1)计算的值；
(2)比较与的大小．
5．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，加*键，再输入数，就可以得到运算：．
(1)求的值；
(2)求的值．
6．符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下：
，，，…
(1)利用以上运算的规律写出 ；（为正整数）
(2)计算；
(3)计算的值．
7．【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分为，∴的小数部分为．
【解决问题】
(1)填空：的小数部分是 ；
(2)已知、分别是的整数部分、小数部分，求代数式的值．
易错点三：混淆平方根、算术平方根、立方根
一、算术平方根：一个正数的算数平方根用符号表示为，
二、平方根：一个非负数的平方根用符号表示为
三、立方根：一个数的立方根用符号表示为.
易错提醒：几个特殊值：0的算术平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有和1
例5．下列说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．在数轴上找不到
C．1的立方根与1的平方根相等D．和是同类二次根式
例6．已知，则的平方根是（ ）
A．B．C．D．
变式1．若一个正数的平方根是和，则的值为 ．
变式2．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
变式3．已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根为2，
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
变式4．(1)若 是 的整数部分，求 的平方根；
(2)已知 和都是的平方根， 求 的值．
1． 的立方根是 ；的平方根是 ．
2．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y．
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（ ）
A．①②B．②④C．①④D．①③
3．一个正数的平方根是与，的立方根是，求的算术平方根．
4．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
5．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分．
(1)求的值；
(2)若是的小数部分，求的平方根．
6．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根．
7．已知的立方根是1，的平方根是，c是的整数部分．求的算术平方根．
易错点四：有效数字和精确度识别错误
一、科学记数法：表示形式为的形式，其中为整数．
二、近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位
易错提醒：（1）科学计数法中确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，是正数；当原数的绝对值＜1时，是负数；
（2）有效数字：从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字
例7．宁都县位于赣江东源贡水上游．2020年户籍人口约为904000人，用科学的计数方法表示904000为（ ）
A．B．C．D．
例8．把准确数237.448四舍五入，精确到十分位的近似数是 ．这个近似数有 个有效数字．
变式1．数据0.001239用科学计数记作（ ）
A．B．C．D．
变式2．“厚德开泰，奋发图兴”是130万泰兴人的不懈追求，130万用科学计数表示为( )
A．13×105B．1.3×106C．1.3×107D．1.3×109
变式3．用四舍五入法取近似数，保留3位有效数字后， ．
变式4．精确到的近似数是 ，精确到个位的近似数是 ，保留4个有效数字时是 ，精确到千分位时是 ；
1．在芯片设计和制造中，为了表示芯片中晶体管与晶体管之间的距离，经常需要用到纳米这样的计数单位．我们知道：，，则 1纳米=（ ）
A．米B．米C．米D．米
2．下列说法正确的是( )．
A．有4个有效数字B．万精确到
C．精确到千分位D．有个有效数字
3．2020年我国达到1015986亿元，是全球为数不多的实现经济正增长的国家之一，用科学计数法保留4个有效数字可表示为 亿元．
4．世界上最小、最轻的昆虫是膜翅缨小蜂科的一种卵蜂，其质量只有克；用科学记数表示为（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．近似数28.00与近似数28.0的精确度一样
B．近似数0.32与近似数0.302的有效数字一样
C．近似数与近似数240的精确度一样
D．近似数220与近似数0.101都有三个有效数字
6．记者从2022年高质量发展新闻发布会上获悉，截至2022年年底，国家能源集团风电装机达到5600万千瓦，继续保持世界第一、其中数据5600万可用科学记数表示为 千瓦．
7．海洋面积用科学记数法可记作 ．（保留2个有效数字）
易错点五：混淆代数式的运算法则
一、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变
二、幂的运算：①同底数幂的乘法：；②幂的乘方：；
③积的乘方：；④同底数幂的除法：.

例9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
例10．(1)化简：；
(2)先化简，再求值：，其中，．
变式1．已知，B是多项式，在计算时，某同学把看成了，结果得，则 ．
变式2．计算：
(1)．
(2)．
变式3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式4．先化简，再求值：，其中．
1．三角形的面积是，它的一条高是，这条高对应的底边长是（ ）
A．B．C．D．
2．计算题：
(1)；
(2)（用乘法公式进行计算）；
(3)；
(4)；
(5)先化简，再求值：其中，y=1．
3．先化简，再求值：，其中，．
4．计算：
(1)；
(2)求的值，其中，．
5．已知，，.
(1)求证：；
(2)求的值.
6．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
7．计算：
(1)
(2)
易错点六：忽略了分式的分母不能为零
一、分式：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母的式子
二、分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变
易错提醒：求分式值时要主要到隐藏条件，即分式的分母不能为零，否则原分式无意义．
例11．化简，从1，，2中选一个适合的数作为a的值代入求值．
易错警示：分式运算要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。
例12．化简下式：
(1)
(2)
(3)分式方程的解是_________（请直接写出答案）
变式1．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0B．C．3D．3或
变式2．先化简，再求值：
，其中是方程的解．
变式3．已知，且，则的值为 ．
变式4．先化简，再求值：，从的整数解中选取一个合适的代入求值．
1．当x 时，分式的值为0．
2．要使分式的值扩大4倍，、的取值可以如何变化（ ）
A．的值不变，的值扩大4倍B．的值不变，的值扩大4倍
C．、的值都扩大4倍D．、的值都扩大2倍
3．先化简，再求值：，从、、0中选择一个合适的x值代入求值．
4．如图，约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式
(1)求代数式M；
(2)当时，求代数式N的值．
5．先化简，再求值：，其中从中选出你认为合理的一个数代入化简后的式子中求值．
6．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”．
(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）
①； ②； ③； ④．
(2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由．
7．王老师在黑板上书写了一个代数式及其正确的演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如：．求“所捂部分”化简后的结果．
易错点七：因式分解不彻底致错
一、因式分解的常用方法：
①提公因式法：；②公式法：
③分组分解法
④十字相乘法：
二、因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
易错提醒：（1）要牢记公式法和十字相乘法，切不可混淆；
（2）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止
例13．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例14．计算：
(1)化简计算：；
(2)分解因式：；
变式1．若将多项式进行因式分解后，有一个因式是，则的值为 ．
变式2．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．已知，，都是正整数，其中，且，设，则（ ）
A．3B．69C．3或69D．2或46
变式4．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为
1．若实数a、b、c满足，，那么的值是 ．
2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列因式分解：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为14，面积为12，请计算的值为（ ）

A．42B．84C．76D．82
5．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
6．计算：
(1)已知，求的值．
(2)先化简，再求值：其中a、b满足．
7．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
(2)．
(3)解决问题：已知、、、为的三边长，，且为等腰三角形，求的周长．
8．阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则原式
再将“”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解： ________；
(2)因式分解：；
(3)求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数．
9．阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值．
解：，
，
，
，
，
，解得
．
根据你的观察，解答以下问题：
(1)已知，求的值．
(2)当x、y分别取何值时，多项式的值最小？请你求出最小值．