北师大版七年级数学下册专题1.6完全平方公式专项提升训练(重难点培优)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册专题1.6完全平方公式专项提升训练(重难点培优)(原卷版+解析)，共15页。试卷主要包含了6完全平方公式专项提升训练，75，求x﹣y；等内容，欢迎下载使用。

班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•越秀区校级期末）计算（3x﹣1）2的结果是（ ）
A．6x2﹣6x+1B．9x2﹣6x+1C．9x2﹣6x﹣1D．9x2+6x﹣1
2．（2023秋•泸县校级期末）若x2+mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±3B．﹣6C．6D．±6
3．（2023春•西安月考）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3B．﹣a2b•（−12ab3）=12a3b4
C．3a•4a＝12aD．（2a+b）2＝4a2+b2
4．（2023秋•西城区校级月考）下列多项式中，完全平方式是（ ）
A．4a2﹣4a﹣1B．a2+2a+4C．a2−a+14D．a2﹣1
5．（2023秋•崇川区校级月考）已知a﹣b＝5，则a2﹣b2﹣10b的值为（ ）
A．30B．25C．15D．10
6．（2023秋•仓山区期末）已知x+y＝3，xy＝2，那么x2+y2的值为（ ）
A．13B．7C．6D．5
7．（2023秋•萨尔图区校级月考）计算20242﹣4044×2024+20222的结果为（ ）
A．0B．2C．4D．6
8．（2023秋•新华区期末）图是一个长为2a、宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图1﹣2那样拼成一个正方形，则中间空余的正方形的面积是（ ）
A．abB．（a+b）2C．a2﹣b2D．（a﹣b）2
9．（2023秋•离石区月考）若实数m，n满足m2+n2＝4+2mn，m+n＝4．则mn的值为（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
10．（2023秋•安岳县期末）将四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b）按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+b2＝（a﹣b）2+2ab
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2D．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•马尾区校级期末）计算：（1+x）2+（1﹣x）（x+3）＝ ．
12．（2023秋•北京月考）若x2﹣2kx+4是完全平方式，则k的值是 ．
13．（2023秋•汉川市期末）已知（x﹣y）2＝9，xy＝4，则（x+y）2的值为 ．
14．（2023秋•海淀区校级月考）若（s﹣t）2＝4，st＝﹣1，则s2+t2＝ ．
15．（2023春•定远县月考）如图，四个完全相同的长方形围一个大正方形，已知每个长方形的周长为60，面积为30，那么图中中间阴影部分的面积为 ．
16．（2023秋•桐柏县期中）小明将（2023x+2022）2展开后得到a1x2+b1x+c1，小李将（2023x+2021）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2；
（2）(y−12)2；
（3）（﹣a﹣b）2；
（4）（﹣a+b）2．
18．计算
①（2x﹣3y）2﹣（y﹣3x）（3x﹣y）
②（3﹣2x+y）（3+2x﹣y）
19．计算．
（1）(x−12y2)2；
（2）(x−13)(x+13)(x2−19)；
（3）（m+3）（m﹣3）；
（4）（a+5）2（a﹣5）2﹣（a+1）2（a﹣1）2．
20．已知m+1m=3．求：
（1）m2+1m2的值；
（2）m4+1m4的值．
21．（2023秋•杜尔伯特县期末）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）6ab．
22．（2023秋•蒙阴县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
23．（2023春•拱墅区期中）如图，有一个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．
（1）用含有a、b的代数式分别表示阴影面积：S1＝ S2＝ ，S3＝ ．
（2）若a+b＝10，ab＝24，求2S1﹣3S3的值；
（3）若S1＝12，S2＝10，S3＝18，求出图③中的阴影部分面积．
24．（2023秋•西吉县期末）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
（1）图②中画有阴影的小正方形的边长等于多少？
（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：若m+n＝7，mn＝5，求（m﹣n）2的值．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题1.6完全平方公式专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•越秀区校级期末）计算（3x﹣1）2的结果是（ ）
A．6x2﹣6x+1B．9x2﹣6x+1C．9x2﹣6x﹣1D．9x2+6x﹣1
分析：利用完全平方公式做题即可．
【解答】解：（3x﹣1）2＝9x2﹣6x+1，
故选：B．
2．（2023秋•泸县校级期末）若x2+mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±3B．﹣6C．6D．±6
分析：利用完全平方公式的结果特征判断，即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+9是完全平方式，
∴m＝±6．
故选：D．
3．（2023春•西安月考）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3B．﹣a2b•（−12ab3）=12a3b4
C．3a•4a＝12aD．（2a+b）2＝4a2+b2
分析：根据同底数幂的乘除法的计算方法以及积的乘方与幂的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：A．a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此选项A不符合题意；
B．﹣a2b•（−12ab3）=12a3b4，因此选项B符合题意；
C.3a•4a＝12a2，因此选项C不符合题意；
D．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，因此选项D不符合题意；
故选：B．
4．（2023秋•西城区校级月考）下列多项式中，完全平方式是（ ）
A．4a2﹣4a﹣1B．a2+2a+4C．a2−a+14D．a2﹣1
分析：根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行逐一判断即可．
【解答】解：A、4a2﹣4a﹣1不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
B、a2+2a+4不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
C、a2−a+14=(a−12)2，是完全平方式，符合题意；
D、a2﹣1不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
故选：C．
5．（2023秋•崇川区校级月考）已知a﹣b＝5，则a2﹣b2﹣10b的值为（ ）
A．30B．25C．15D．10
分析：先将a2﹣b2利用平方差公式进行因式分解，然后将a﹣b＝5代入即可求解．
【解答】解：∵a2﹣b2﹣10b＝（a+b）（a﹣b）﹣10b，a﹣b＝5，
∴a2﹣b2﹣10b＝5（a+b）﹣10b＝5a+5b﹣10b＝5a﹣5b＝5（a﹣b）＝25．
故选：B．
6．（2023秋•仓山区期末）已知x+y＝3，xy＝2，那么x2+y2的值为（ ）
A．13B．7C．6D．5
分析：先将x+y＝3两边同时平方，并将xy＝2代入可解答．
【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝9，
∴x2+y2＝9﹣4＝5．
故选：D．
7．（2023秋•萨尔图区校级月考）计算20242﹣4044×2024+20222的结果为（ ）
A．0B．2C．4D．6
分析：直接根据完全平方公式计算即可得到答案．
【解答】解：原式＝20242﹣2×2024×2022+20222
＝（2024﹣2022）2
＝22
＝4．
故选：C．
8．（2023秋•新华区期末）图是一个长为2a、宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图1﹣2那样拼成一个正方形，则中间空余的正方形的面积是（ ）
A．abB．（a+b）2C．a2﹣b2D．（a﹣b）2
分析：由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算．
【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
9．（2023秋•离石区月考）若实数m，n满足m2+n2＝4+2mn，m+n＝4．则mn的值为（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
分析：根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵m+n＝4，
∴（m+n）2＝16，
∴m2+2mn+n2＝16，
∵m2+n2＝4+2mn，
∴4+2mn+2mn＝16，
∴4mn＝12，
∴mn＝3．
故选：A．
10．（2023秋•安岳县期末）将四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b）按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+b2＝（a﹣b）2+2ab
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2D．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
分析：用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可．
【解答】解：图1阴影部分的面积为12×2a×2b＝2ab；
图2阴影部分的面积利用看作边长为（a+b）的面积减去中间空白正方形的面积，即（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，
因此有2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•马尾区校级期末）计算：（1+x）2+（1﹣x）（x+3）＝ 4 ．
分析：先利用整式的乘法法则，再合并同类项即可．
【解答】解：（1+x）2+（1﹣x）（x+3）
＝1+2x+x2+x+3﹣x2﹣3x
＝4．
故答案为：4．
12．（2023秋•北京月考）若x2﹣2kx+4是完全平方式，则k的值是 ±2 ．
分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2﹣2kx+4是完全平方式，
∴﹣2k＝±4，
解得：k＝±2．
故答案为：±2．
13．（2023秋•汉川市期末）已知（x﹣y）2＝9，xy＝4，则（x+y）2的值为 25 ．
分析：已知等式利用完全平方公式化简后，代入可得：x2+y2＝17，然后展开所求式可得答案．
【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9，xy＝4，
∴x2﹣8+y2＝9，
∴x2+y2＝17，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝17+8＝25．
故答案为：25．
14．（2023秋•海淀区校级月考）若（s﹣t）2＝4，st＝﹣1，则s2+t2＝ 2 ．
分析：首先根据完全平方公式，得出s2﹣2st+t2＝4，进而整理得出s2+t2＝4+2st，再把st＝﹣1代入，计算即可得出结果．
【解答】解：∵（s﹣t）2＝s2﹣2st+t2＝4，
整理可得，s2+t2＝4+2st，
又∵st＝﹣1，
∴s2+t2＝4+2st＝4+2×（﹣1）＝2．
故答案为：2．
15．（2023春•定远县月考）如图，四个完全相同的长方形围一个大正方形，已知每个长方形的周长为60，面积为30，那么图中中间阴影部分的面积为 780 ．
分析：设每个长方形的长为a，宽为b，根据题意可得a+b＝30，ab＝30，计算（a﹣b）2的值即可．
【解答】解：设每个长方形的长为a，宽为b，则a+b＝30，ab＝30，
由拼图可知，中间阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，
因此面积为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝900﹣4×30
＝780，
故答案为：780．
16．（2023秋•桐柏县期中）小明将（2023x+2022）2展开后得到a1x2+b1x+c1，小李将（2023x+2021）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为 4041 ．
分析：根据完全平方公式的展开式的特点，可以知道a1，a2的值，再根据平方差公式求出原式的值．
【解答】解：根据题意得：a1＝20212，a2＝20222，
∴a1﹣a2＝20212﹣20222
＝（2023+2022）×（2023﹣2022）
＝﹣4043．
故答案为：﹣4043．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2；
（2）(y−12)2；
（3）（﹣a﹣b）2；
（4）（﹣a+b）2．
分析：直接利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）（4m+n）2
＝16m2+8mn+n2；
（2）(y−12)2
＝y2﹣y+14；
（3）（﹣a﹣b）2；
＝a2+2ab+b2；
（4）（﹣a+b）2
＝a2﹣2ab+b2．
18．计算
①（2x﹣3y）2﹣（y﹣3x）（3x﹣y）
②（3﹣2x+y）（3+2x﹣y）
分析：①利用完全平方公式进行计算，然后合并同类项即可；
②先利用平方差公式进行计算，然后再利用完全平方公式进行计算，最后去括号即可．
【解答】解：①原式＝（2x﹣3y）2+（y﹣3x）2
＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣6xy+9x2
＝13x2﹣18xy+10y2
②原式＝[3﹣（2x﹣y）][3+（2x﹣y）]
＝9﹣（2x﹣y）2
＝9﹣4x2+4xy﹣y2．
19．计算．
（1）(x−12y2)2；
（2）(x−13)(x+13)(x2−19)；
（3）（m+3）（m﹣3）；
（4）（a+5）2（a﹣5）2﹣（a+1）2（a﹣1）2．
分析：（1）原式利用完全平方公式展开即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式计算即可得到结果；
（3）原式利用平方差公式计算即可得到结果；
（4）原式利用积的乘方运算法则变形，再利用平方差公式及完全平方公式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣xy2+14y4；
（2）原式＝（x2−19）2＝x4−29x2+181；
（3）原式＝m2﹣9；
（4）原式＝（a2﹣25）2﹣（a2﹣1）2＝a4﹣50a2+625﹣a4+2a2﹣1＝﹣48a2+624．
20．已知m+1m=3．求：
（1）m2+1m2的值；
（2）m4+1m4的值．
分析：（1）根据完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab转化后求出即可；
（2）根据完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab转化后求出即可．
【解答】解：∵m+1m=3，
∴（1）m2+1m2=（m+1m）2﹣2•m•1m=32﹣2＝7；
（2）m4+1m4=（m2+1m2）2﹣2•m2•1m2=72﹣2＝47．
21．（2023秋•杜尔伯特县期末）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）6ab．
分析：（1）直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出a2+b2的值；
（2）直接利用（1）中所求，进而得出ab的值，求出答案即可．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，
∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，
∴2（a2+b2）＝8，
解得：a2+b2＝4；
（2）∵a2+b2＝4，
∴4+2ab＝5，
解得：ab=12，
∴6ab＝3．
22．（2023秋•蒙阴县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 （m﹣n）2 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 （m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
分析：（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；
（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．
（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．
（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．
【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，
则x﹣y＝±5；
（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．
23．（2023春•拱墅区期中）如图，有一个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．
（1）用含有a、b的代数式分别表示阴影面积：S1＝ 4b2﹣4ab+a2 S2＝ a2﹣2ab+b2 ，S3＝ 2b2﹣ab ．
（2）若a+b＝10，ab＝24，求2S1﹣3S3的值；
（3）若S1＝12，S2＝10，S3＝18，求出图③中的阴影部分面积．
分析：（1）按照题目准确写出图①、图②中阴影部分图形的边长，再求面积；
（2）化简整理2S1﹣3S3，使其能用a+b和ab的代数式来表示即可；
（3）构造以a为宽，（a+b）为长的矩形，使用割补法求出图中阴影部分的面积即可．
【解答】解：（1）由题意得：
S1＝（2b﹣a）2＝4b2﹣4ab+a2
S2＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
S3＝（2b﹣a）b＝2b2﹣ab
故答案为：4b2﹣4ab+a2，a2﹣2ab+b2，2b2﹣ab．
（2）2S1﹣3S3＝2（4b2﹣4ab+a2）﹣3（2b2﹣ab）
＝8b2﹣8ab+2a2﹣6b2+3ab
＝2（a2+b2）﹣5ab
＝2（a+b）2﹣9ab
把a+b＝10，ab＝24代入上式：2（a+b）2﹣9ab＝﹣16
答：2S1﹣3S3的值是﹣16．
（3）阴影部分面积：
S＝a（a+b）−12a2−12b（a+b）−12b（a﹣b）=12a2，
∵S1＝（2b﹣a）2＝12，S2=a2−2ab+b2=10，S3＝（2b﹣a）b＝18，
∴a2＝76，b2＝34，ab＝50，
∴S＝a（a+b）−12a2−12b（a+b）−12b（a﹣b）
=12a2
=12×76
＝38．
答：图③中的阴影部分面积是38．
24．（2023秋•西吉县期末）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
（1）图②中画有阴影的小正方形的边长等于多少？
（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：若m+n＝7，mn＝5，求（m﹣n）2的值．
分析：（1）根据小正方形的边长与原长方形的长与宽的关系得出结论；
（2）根据大正方形、小正方形，与四周的4个长方形的面积之间的关系得出等式；
（3）根据（2）的结论，代入求值即可．
【解答】解：（1）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n）；
（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（3）由（2）得：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
∵m+n＝7，mn＝5，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣20＝29；
答：（m﹣n）2的值为29．