北师大版七年级数学下册专题2.1两条直线的位置关系专项提升训练(重难点培优)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册专题2.1两条直线的位置关系专项提升训练(重难点培优)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了5°，，75　°．等内容，欢迎下载使用。

班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•铁力市校级期末）已知∠A＝65°，则∠A的余角等于（ ）
A．25°B．35°C．115°D．45°
2．（2023秋•雁山区校级期末）下列说法：①等角的余角相等；②两点确定一条直线；③同角的补角相等；④两点之间直线最短．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023秋•泗洪县期末）如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，若∠AOD＝150°，则∠BOC等于（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
4．（2023秋•东城区校级月考）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠1的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．67.5°
5．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是点D，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AC的长表示点C到AB的距离
B．线段CD的长表示点A到CD的距离
C．线段BC的长表示点B到AC的距离
D．线段BD的长表示点C到DB的距离
6．（2023春•新乐市校级月考）如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的垂线，可画出的垂线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
7．（2023秋•唐河县期中）如图，直线AB与直线CD相交于点O，且∠BOD＝2∠BOC，若以点O为端点的射线OE⊥CD，则∠BOE的度数为（ ）
A．30°B．150°或 30°
C．150°D．以上都不正确
8．（2023秋•新乡期末）如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝90°B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠2+∠3﹣∠1＝90°D．∠1﹣∠2+∠3＝90°
9．（2023秋•和平区期末）如图，O为直线AB上一点，∠DOC为直角，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠AOE与∠BOG互余 ②∠EOF与∠GOF互补 ③∠DOE与∠DOG互补 ④∠AOC﹣∠BOD＝90°，其中正确的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
10．（2023•天津模拟）如图，在同一平面内，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOF＝∠DOF，点E为OF反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：
①∠COE＝∠BOE；
②∠AOD+∠BOC＝180°；
③∠BOC﹣∠AOD＝90°；
④∠COE+∠BOF＝180°．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•丰满区期末）若一个角等于38°15'，则这个角的余角度数等于 °．
12．（2023秋•海港区期末）如果∠1和∠2互补，∠1比∠2的2倍少15°，则∠1＝ °．
13．（2023秋•苍溪县期末）如图，∠AOC＝∠DOE＝90°，如果∠AOE＝65°，那么∠COD的度数是 ．
14．（2023秋•长乐区期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，OF平分∠AOC，则以下结论：
①；②∠BOD﹣∠AOC＝90°；
③∠AOC+∠BOD＝180°；④OF平分∠BOD．
其中正确的是 ．（填序号）
15．（2023•丛台区校级三模）如图，直线a，b，c在同一平面内，直线a，c交于点O，∠1＝75°，∠2＝50°．
（1）a，b相交所成的锐角为 ；
（2）保持直线b，c固定不动，直线a绕点O最少旋转 °时，可使直线a⊥b．
16．（2023•南京模拟）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且，将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF，若∠AOF＝120°时，α的度数是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春•汉阴县月考）如图，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，使李庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．
18．（2023秋•南丹县期末）已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OC平分∠AOE，∠BOD＝30°，求∠DOE的度数．
19．（2023春•珠海校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．
（1）画出点C到AB的最短路径CD；
（2）请指出B到AC的距离是线段 的长度．
20．（2023秋•麦积区期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．
21．（2023春•东莞市期中）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOC＝75°，ON将∠AOD分成两个角，且∠AON：∠NOD＝2：3．
（1）求∠AON的度数．
（2）若OM平分∠BON，则OB是∠COM的平分线吗？判断并说明理由．
22．（2023秋•道县期末）将一副三角板中的两块直角三角板按如图的方式叠放在一起，直角顶点重合．
（1）若∠ACB＝115°时，则∠DCE的度数等于 ；
（2）当CE平分∠ACD时，求∠ACB的度数；
（3）猜想并直接写出∠ACB与∠DCE的数量关系（不必说明理由）．
23．（2023秋•广陵区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中∠AOF的余角是 （把符合条件的角都填出来）．
（2）图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：
① ；② ；③ ．
（3）①如果∠AOD＝140°．那么根据 ，可得∠BOC＝ 度．
②如果，求∠EOF的度数．
24．（2023秋•门头沟区期末）已知，点O在直线AB上，在直线AB外取一点C，画射线OC，OD平分∠BOC．射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O．
（1）如图1，如果点C在直线AB上方，且∠BOC＝30°，
①依题意补全图1；
②求∠AOE的度数（0°＜∠AOE＜180°）；
（2）如果点C在直线AB外，且∠BOC＝α，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示，且0°＜∠AOE＜180°）
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题2.1两条直线的位置关系专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•铁力市校级期末）已知∠A＝65°，则∠A的余角等于（ ）
A．25°B．35°C．115°D．45°
分析：根据互余两角之和等于90°即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝65°，
∴∠A的余角＝90°﹣∠A＝90°﹣65°＝25°．
故选：A．
2．（2023秋•雁山区校级期末）下列说法：①等角的余角相等；②两点确定一条直线；③同角的补角相等；④两点之间直线最短．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：由余角，补角的性质，线段的性质，直线的性质，即可判断．
【解答】解：①等角的余角相等，正确，故①符合题意；
②两点确定一条直线，正确，故②符合题意；
③同角的补角相等，正确，故③符合题意；
④两点之间线段最短，故④不符合题意，
因此正确的是①②③，有3个，
故选：C．
3．（2023秋•泗洪县期末）如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，若∠AOD＝150°，则∠BOC等于（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
分析：由∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD，求出∠AOB，再由∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB，即可得到答案．
【解答】解：∵∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD，
∴∠AOB＝150°﹣90°＝60°，
∵∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB，
∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
故选：C．
4．（2023秋•东城区校级月考）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠1的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．67.5°
分析：根据∠1+∠2＝90°以及∠1＝3∠2求出∠2的度数，进而可得∠1的度数．
【解答】D解：根据图形得出：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1的度数是∠2的3倍，即∠1＝3∠2，
∴4∠2＝90°，
∴∠2＝22.5°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝67.5°，
故选：D．
5．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是点D，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AC的长表示点C到AB的距离
B．线段CD的长表示点A到CD的距离
C．线段BC的长表示点B到AC的距离
D．线段BD的长表示点C到DB的距离
分析：根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离判断即可得到答案．
【解答】解：A、线段AC的长是点A到BC的距离，错误正确，不合题意；
B、线段CD的长是点C到AB的距离，错误，不合题意；
C、线段BC的长是点B到AC的距离，正确，符合题意；
D、线段BD的长是点B到CD的距离，错误，不合题意；
故选：C．
6．（2023春•新乐市校级月考）如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的垂线，可画出的垂线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
分析：根据在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可选出答案．
【解答】解：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：B．
7．（2023秋•唐河县期中）如图，直线AB与直线CD相交于点O，且∠BOD＝2∠BOC，若以点O为端点的射线OE⊥CD，则∠BOE的度数为（ ）
A．30°B．150°或 30°
C．150°D．以上都不正确
分析：分两种情况讨论，由邻补角的性质，垂直的定义，即可求解．
【解答】解：∵∠BOD＝2∠BOC，∠BOD+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，
当射线OE在AB下方，
∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°；
当射线OE在AB上方，
∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∴∠BOE＝90°+60°＝150°．
∴∠BOE的度数为：30°或150°．
故选：B．
8．（2023秋•新乡期末）如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝90°B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠2+∠3﹣∠1＝90°D．∠1﹣∠2+∠3＝90°
分析：由∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，得出∠3＝∠BOD，而∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，即可得到答案．
【解答】解：∵∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，
∴∠3＝∠BOD，
∵∠EOD+∠1＝90°，
∴∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，
∴∠3﹣∠2+∠1＝90°，
故选：D．
9．（2023秋•和平区期末）如图，O为直线AB上一点，∠DOC为直角，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠AOE与∠BOG互余 ②∠EOF与∠GOF互补 ③∠DOE与∠DOG互补 ④∠AOC﹣∠BOD＝90°，其中正确的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
分析：根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果判断即可．
【解答】解：①∵∠AOC+∠BOC＝180°，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，
∴∠AOE＝∠AOC，∠GOB＝∠BOC，
∴∠AOE+∠BOG＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，
∴∠AOE与∠BOG互余，故正确；
②∵∠DOC＝90°，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOG+∠BOF＝∠BOC+∠BOD＝∠COD＝45°，
∴∠EOF+∠GOF＝∠EOG+∠GOF＝90°+45°+45°＝180°，
∴∠EOF与∠GOF互补，故正确；
③∵∠DOE+∠DOG＝∠EOF+∠DOF+∠FOG+∠DOF，
∵∠EOF+∠GOF＝180°，
∴∠DOE+∠DOG＝180°+2∠DOF，
∴∠DOE与∠DOG不互补，故错误；
④∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝90°﹣∠BOD，
∴∠AOC﹣∠BOD＝90°，故正确，
故选：B．
10．（2023•天津模拟）如图，在同一平面内，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOF＝∠DOF，点E为OF反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：
①∠COE＝∠BOE；
②∠AOD+∠BOC＝180°；
③∠BOC﹣∠AOD＝90°；
④∠COE+∠BOF＝180°．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：由∠AOB＝∠COD＝90°，根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，结合∠AOF＝∠DOF即可判断①正确；
由∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合∠AOB＝∠COD＝90°即可判断②正确；
由∠BOC﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而不能判断∠AOD＝∠AOC，即可判断③不正确；
由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF＝180°，而∠COE＝∠BOE，从而可判断④正确．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠AOF＝∠DOF，
∴180°﹣∠AOC﹣∠AOF＝180°﹣∠BOD﹣∠DOF，
即∠COE＝∠BOE，所以①正确；
∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD＝∠COD+∠AOB＝180°，
所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线，
∴∠BOE+∠BOF＝180°，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．
所以，正确的结论有3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•丰满区期末）若一个角等于38°15'，则这个角的余角度数等于 51.75 °．
分析：利用余角的定义进行求解即可．
【解答】解：∵一个角等于38°15'，
∴这个角的余角度数为：90°﹣38°15'＝51°45'＝51.75°．
故答案为：51.75．
12．（2023秋•海港区期末）如果∠1和∠2互补，∠1比∠2的2倍少15°，则∠1＝ 115 °．
分析：根据题意可得∠1+∠2＝180°，∠1＝2∠2﹣15°，从而可求解．
【解答】解：∵∠1和∠2互补，∠1比∠2的2倍少15°，
∴∠1+∠2＝180°，∠1＝2∠2﹣15°，
∴2∠2﹣15°+∠2＝180°，
解得：∠2＝65°，
∴∠1＝115°．
故答案为：115．
13．（2023秋•苍溪县期末）如图，∠AOC＝∠DOE＝90°，如果∠AOE＝65°，那么∠COD的度数是 115° ．
分析：根据∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝25°求出∠AOD，根据∠COD＝∠AOC+∠AOD求出即可．
【解答】解：∵∠AOC＝∠DOE＝90°，∠AOE＝65°，
∴∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣65°＝25°，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝90°+25°＝115°，
故答案为：115°．
14．（2023秋•长乐区期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，OF平分∠AOC，则以下结论：
①；②∠BOD﹣∠AOC＝90°；
③∠AOC+∠BOD＝180°；④OF平分∠BOD．
其中正确的是 ①③④ ．（填序号）
分析：由余角的性质，角平分线定义，角的和差，即可判断．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝∠AOD+∠AOC，
∴∠AOD＝∠BOC；
∵∠BOD﹣∠AOC＝∠AOB+AOD﹣∠AOC＝90°+∠AOD﹣∠AOC，
∠AOD≠∠AOC，
∴∠BOD﹣∠AOC≠90°；
∵∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠DOC+∠AOB，
∴∠AOC+∠BOD＝90°+90°＝180°；
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠COF，
∴∠AOD+∠AOF＝∠COF+∠BOC，
∴∠DOF＝∠BOF，
∴OF平分∠BOD，
∴正确的①③④．
故答案为：①③④．
15．（2023•丛台区校级三模）如图，直线a，b，c在同一平面内，直线a，c交于点O，∠1＝75°，∠2＝50°．
（1）a，b相交所成的锐角为 25° ；
（2）保持直线b，c固定不动，直线a绕点O最少旋转 65 °时，可使直线a⊥b．
分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠3即可；
（2）过点O作直线b的垂线，根据三角形的内角和定理求出∠4即可．
【解答】解：（1）如图，直线a、直线b相交的锐角为∠3，
∵∠1＝∠2+∠3，∠1＝75°，∠2＝50°，
∴∠3＝∠1﹣∠2
＝75°﹣50°
＝25°，
即直线a、直线b相交的锐角为25°，
故答案为：25°；
（2）如图，过点O作OA⊥b，垂足为A，
∠4＝90°﹣∠3
＝90°﹣25°
＝65°，
即直线a绕着点O逆时针旋转65°，
故答案为：65．
16．（2023•南京模拟）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且，将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF，若∠AOF＝120°时，α的度数是 90°或210° ．
分析：OF在运动过程中由两个位置可以使∠AOF＝120°，分别作出对应的图像，根据∠AOC的度数以及∠AOE与∠COE间的比例求出两角的值，进而可求出角α的度数．
【解答】解：①当OF运动到如图所示的位置时，
∵∠BOD＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°，
∵，
∴，
当∠AOF＝120°时，
∴α＝∠AOF﹣∠AOE＝120°﹣30°＝90°，
②如图所示，当OF运动到如图所示的位置时，
∵∠BOD＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°，
∵，
∴，
当∠AOF＝120°时，
∴α＝360°﹣（∠AOF+∠AOE）＝360°﹣150°＝210°，
故答案为：90°或210°．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春•汉阴县月考）如图，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，使李庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．
分析：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可知，要选垂线段．
【解答】解：为了使李庄人乘火车最方便（即距离最近），过李庄向铁路画垂线段，根据是垂线段最短．
18．（2023秋•南丹县期末）已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OC平分∠AOE，∠BOD＝30°，求∠DOE的度数．
分析：先根据余角的定义得出∠AOC的度数，再由角平分线的定义得出∠COE的度数，然后根据余角的定义即可求出∠DOE的度数．
【解答】解：∵∠BOD＝30°，∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOD＝60°．
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠COE＝60°．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝30°．
19．（2023春•珠海校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．
（1）画出点C到AB的最短路径CD；
（2）请指出B到AC的距离是线段 BC 的长度．
分析：根据点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意，如图所示，
（2）B到AC的距离是线段BC的长度，
故答案为：BC．
20．（2023秋•麦积区期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．
分析：设这个角为x°，则得出方程180﹣x+10＝3（90﹣x），求出即可．
【解答】解：设这个角为x°，
则180﹣x+10＝3（90﹣x），
解得：x＝40，
即这个角的度数是40°，
即这个角的余角是90°﹣40°＝50°，补角是180°﹣40°＝140°．
21．（2023春•东莞市期中）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOC＝75°，ON将∠AOD分成两个角，且∠AON：∠NOD＝2：3．
（1）求∠AON的度数．
（2）若OM平分∠BON，则OB是∠COM的平分线吗？判断并说明理由．
分析：（1）设∠AON＝2x，∠NOD＝3x，根据角的倍数关系可得答案；
（2）先计算∠BOM的度数，判断∠BOM、∠BOC是否相等，即可说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AON：∠NOD＝2：3，
设∠AON＝2x，∠NOD＝3x，
∴∠AOD＝5x，
∵∠BOC＝75°，
∴∠AOD＝5x＝75°，
∴x＝15°，
∴∠AON＝30°；
（2）OB是∠COM的平分线，理由如下：
∵∠AON＝30°，
∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°，
∵OM平分∠BON，
∴∠BOM＝75°，
∴∠BOM＝∠BOC，
∴OB是∠COM的角平分线．
22．（2023秋•道县期末）将一副三角板中的两块直角三角板按如图的方式叠放在一起，直角顶点重合．
（1）若∠ACB＝115°时，则∠DCE的度数等于 65° ；
（2）当CE平分∠ACD时，求∠ACB的度数；
（3）猜想并直接写出∠ACB与∠DCE的数量关系（不必说明理由）．
分析：（1）根据同角的余角相等解答即可；
（2）根据角平分线的定义解答即可；
（3）根据∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
【解答】解：（1）∵∠ACE+∠DCE＝∠ACD＝90°，
∠BCD+∠DCE＝∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝∠ACB﹣90°＝25°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠ACE﹣∠BCD＝115°﹣25°﹣25°＝65°；
故答案为：65°
（2）由CE平分∠ACD可得CE平分∠ACD＝∠DCE＝45°，
由（1）可知∠ACE＝∠BCD＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCD+∠DCE＝135°；
（3）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°
理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE
又∵∠ACB＝∠ACE+90°
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE
即∠ACB+∠DCE＝180°．
23．（2023秋•广陵区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中∠AOF的余角是 ∠AOC、∠EOF、∠BOD （把符合条件的角都填出来）．
（2）图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：
① ∠AOC＝∠EOF ；② ∠COE＝∠BOF ；③ ∠AOD＝∠COB ．
（3）①如果∠AOD＝140°．那么根据 对顶角相等 ，可得∠BOC＝ 140 度．
②如果，求∠EOF的度数．
分析：（1）根据图形及余角的定义可得出答案．
（2）根据图形可找出三对相等角．
（3）观察图形可知∠AOD和∠BOC是对顶角，由此可得出答案．
【解答】解：（1）根据图形可得：∠AOC、∠EOF、∠BOD都是∠AOF的余角；
（2）∠AOC＝∠EOF＝∠BOD，∠COE＝∠BOF，∠AOD＝∠COB，∠AOF＝∠DOE；
（3）①对顶角相等，∠BOC＝∠AOD＝140°．
②∠EOF＝X°，则∠AOD＝5x°，
由∠EOF+∠DOE＝90°，∠DOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠EOF＝x°，又∠AOD+∠BOD＝180°，
所以x+5x＝180，
解得x＝30，∠EOF＝30°
24．（2023秋•门头沟区期末）已知，点O在直线AB上，在直线AB外取一点C，画射线OC，OD平分∠BOC．射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O．
（1）如图1，如果点C在直线AB上方，且∠BOC＝30°，
①依题意补全图1；
②求∠AOE的度数（0°＜∠AOE＜180°）；
（2）如果点C在直线AB外，且∠BOC＝α，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示，且0°＜∠AOE＜180°）
分析：（1）①依据OD平分∠BOC，射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O，进行画图即可．
②依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得出∠AOE的度数；
（2）分两种情况讨论：点C在直线AB上方，点C在直线AB下方，分别依据角平分线的定义以及垂线的定义，进行计算即可．
【解答】解：（1）①如图所示：
②∵∠BOC＝30°，OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝15°，
∵OD⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
又∵点O在直线AB上，
∴∠AOE＝180°﹣90°﹣15°＝75°；
（2）分两种情况：
①当点C在直线AB上方时，如图1，
同理可得，∠BOD＝，∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣90°﹣＝90°﹣；
②当点C在直线AB下方时，如图2，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝α，
∵OD⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣α，
又∵点O在直线AB上，
∴∠AOE＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．
综上所述，∠AOE的度数为90°﹣或90°+α．