浙教版八年级数学下册专题2.3解一元二次方程-公式法和因式分解(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册专题2.3解一元二次方程-公式法和因式分解(知识解读)(原卷版+解析)，共19页。

1.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；
2.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；
3.理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情况；
4.理解一元二次方程根与系数的关系
【知识点梳理】
知识点1： 解一元二次方程-公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
知识点2：解一元二次方程-因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
知识点3：一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③时，方程无实数根，反之亦成立
知识点4：一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-公式法】
【典例1】（2023秋•大田县期中）用公式法解方程x2﹣2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝3B．a＝1，b＝2，c＝﹣3
C．a＝1，b＝2，c＝3D．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3
【变式1】（2023秋•梁山县期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（ ）
A．3，﹣4，8B．3，4，8C．3，4，﹣8D．3，﹣4，﹣8
【典例2】用公式法解下列方程：
（1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1
【变式2-1】（2023秋•船山区校级期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．
【变式2-2】（2023秋•丰满区校级期末）用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．
【变式2-3】（2023秋•普宁市校级期中）用公式法解方程：
2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．
知识点2：解一元二次方程-因式分解
【典例3】（2023秋•南关区校级期末）方程x2﹣2x＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝0C．x＝2或x＝1D．x＝2或x＝0
【变式3-1】（2023秋•中山市期末）方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣2B．x1＝﹣3，x2＝2
C．x1＝3，x2＝﹣2D．x1＝3，x2＝2
【变式3-2】（2023秋•花垣县月考）一元二次方程（x﹣1）x＝0的解是（ ）
A．0或﹣1B．0或1C．1D．0
【典例4】用因式分解法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣56＝0． （2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．
【变式4-1】（2023秋•潮阳区期末）用因式分解解方程：x（x﹣5）＝8（5﹣x）．
【变式4-2】（2023春•义乌市月考）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0； （2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．
知识点3：一元二次方程的判别式
【典例5】（2023春•雨花区校级月考）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根D．两个不相等实数根
【变式5-1】（2023•河南一模）方程x2+x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【变式5-2】（2023秋•河西区校级期末）一元二次方程5x2﹣3x＝x+1的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【典例6】（2023•罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜B．a＞C．a＜且a≠1D．a＞且a≠1
【变式6-1】（2023春•义乌市校级月考）若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥3B．k≤3C．k≥﹣3且k≠2D．k≤3且k≠2
【变式6-2】（2023•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2B．k＞2C．k＜2且k≠﹣2D．k＞﹣2且k≠2
【典例7】（2023•西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
【变式7-1】（2023•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
【变式7-2】（2023秋•武汉期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
知识点4：一元二次方程的根与系数
【典例8】（2023•贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
【变式8-1】（2023春•玉山县月考）方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2等于（ ）
A．﹣4B．4C．﹣3D．3
【变式8-2】（2023•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016B．2018C．2020D．2022
【典例9】（2023秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求m的值．
【变式9-1】（2023秋•大冶市期末）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x2＝4﹣x2时，求k的值．
【变式9-2】（2023•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
专题2.3 解一元二次方程-公式法和因式分解（知识解读）
【学习目标】
1.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；
2.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；
3.理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情况；
4.理解一元二次方程根与系数的关系
【知识点梳理】
知识点1： 解一元二次方程-公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
知识点2：解一元二次方程-因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
知识点3：一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③时，方程无实数根，反之亦成立
知识点4：一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-公式法】
【典例1】（2023秋•大田县期中）用公式法解方程x2﹣2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝3B．a＝1，b＝2，c＝﹣3
C．a＝1，b＝2，c＝3D．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3
答案:D
【解答】解：x2﹣2x＝3，
x2﹣2x﹣3＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
故选：D．
【变式1】（2023秋•梁山县期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（ ）
A．3，﹣4，8B．3，4，8C．3，4，﹣8D．3，﹣4，﹣8
答案:D
【解答】解：∵3x2﹣4x＝8，
∴3x2﹣4x﹣8＝0，
则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8．
故选：D．
【典例2】用公式法解下列方程：
（1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1
答案:（1）x1＝，x2＝（2）没有实数解
【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，
∴x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）6x（x+1）＝5x﹣1，
整理得6x2+x+1＝0，
∵a＝6，b＝1，c＝1，
∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0，
方程没有实数解．
【变式2-1】（2023秋•船山区校级期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．
答案:．
【解答】解：整理，得：2x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
∴，
∴．
【变式2-2】（2023秋•丰满区校级期末）用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．
【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，
∴x＝＝﹣1±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【变式2-3】（2023秋•普宁市校级期中）用公式法解方程：
2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．
【解答】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1），
化简为x2﹣6x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0，
∴，
∴，．
知识点2：解一元二次方程-因式分解
【典例3】（2023秋•南关区校级期末）方程x2﹣2x＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝0C．x＝2或x＝1D．x＝2或x＝0
答案:D
【解答】解：x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
解得x1＝0，x2＝2．
故选：D．
【变式3-1】（2023秋•中山市期末）方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣2B．x1＝﹣3，x2＝2
C．x1＝3，x2＝﹣2D．x1＝3，x2＝2
答案:C
【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x﹣3＝0或x+2＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2，
故选：C．
【变式3-2】（2023秋•花垣县月考）一元二次方程（x﹣1）x＝0的解是（ ）
A．0或﹣1B．0或1C．1D．0
答案:B
【解答】解：∵（x﹣1）x＝0，
∴x﹣1＝0或x＝0，
则x＝1或x＝0，
故选：B．
【典例4】用因式分解法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣56＝0． （2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．
【解答】解：（1）x2﹣x﹣56＝0，
∴（x﹣8）（x+7）＝0，
∴x﹣8＝0或x+7＝0，
∴x1＝8；x2＝﹣7；
（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
移项，得3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝2；x2＝．
【变式4-1】（2023秋•潮阳区期末）用因式分解解方程：x（x﹣5）＝8（5﹣x）．
【解答】解：移项得，x（x﹣5）﹣8（5﹣x）＝0，
提取公因式得，（x﹣5）（x+8）＝0．
故x+8＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝﹣8，x2＝5．
【变式4-2】（2023春•义乌市月考）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．
答案:（1）x1＝1，x2＝﹣7 （2）x1＝5，x2＝13．
【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x+7）＝0，
所以x﹣1＝0或x+7＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣7；
（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5），
移项得：（x﹣5）2﹣8（x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣5）[（x﹣5）﹣8]＝0，
所以x﹣5＝0或x﹣13＝0，
解得：x1＝5，x2＝13
知识点3：一元二次方程的判别式
【典例5】（2023春•雨花区校级月考）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根D．两个不相等实数根
答案:C
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【变式5-1】（2023•河南一模）方程x2+x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
答案:D
【解答】解：∵Δ＝（）2﹣4×1×1＝﹣1＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【变式5-2】（2023秋•河西区校级期末）一元二次方程5x2﹣3x＝x+1的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
答案:A
【解答】解：将原方程化成一般形式5x2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【典例6】（2023•罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜B．a＞C．a＜且a≠1D．a＞且a≠1
答案:C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴22﹣4（1﹣a）×（﹣2）＞0且1﹣a≠0，
整理得：4+8﹣8a＞0且a≠1
解得：a＜且a≠1．
故选：C．
【变式6-1】（2023春•义乌市校级月考）若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥3B．k≤3C．k≥﹣3且k≠2D．k≤3且k≠2
答案:C
【解答】解：当k﹣2＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得x＝；
当k﹣2≠0时，根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）≥0，解得k≤3且k≠2，
综上所述，k的取值范围为k≤3．
故选：C．
【变式6-2】（2023•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2B．k＞2C．k＜2且k≠﹣2D．k＞﹣2且k≠2
答案:C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k+2≠0且Δ＝42﹣4（k+2）×1＞0，
解得：k＜2且k≠﹣2．
故选：C．
【典例7】（2023•西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
答案:（1）略 (2)m的值为或﹣
【解答】（1）证明：∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）
＝36，
∵不论m取何值时，36恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0，
解得：m＝或﹣．
∴m的值为或﹣．
【变式7-1】（2023•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
答案:（1）m＜． （2）x1＝0，x2＝3
【解答】解：（1）由题意可知：△＝9﹣4（m+1）＞0，
∴m＜．
（2）当m＝﹣1时，
∴△＝9，
由求根公式可知：x＝，
∴x1＝0，x2＝3．
【变式7-2】（2023秋•武汉期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，
无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
整理，得 2﹣k＝0．
解得 k＝2，
此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0．
解此方程，得 x1＝1，x2＝3．
所以方程的另一根为x＝1．
知识点4：一元二次方程的根与系数
【典例8】（2023•贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
答案:B
【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，
∴α+β﹣αβ＝﹣1+2＝1，
故选：B．
【变式8-1】（2023春•玉山县月考）方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2等于（ ）
A．﹣4B．4C．﹣3D．3
答案:C
【解答】解：∵方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣3，
故选：C．
【变式8-2】（2023•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016B．2018C．2020D．2022
答案:B
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的根，
∴m2﹣5m﹣1＝0，
∴m2﹣5m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝5，
∴m2﹣6m﹣n+2022＝m2﹣5m﹣m﹣n+2022＝1﹣5+2022＝2018．
故选：B．
【典例9】（2023秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求m的值．
答案:（1）m＞﹣1且m≠0； （2）4
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，
解得：m＞﹣1且m≠0；
（2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∵x12+x22＝x1x2+1，（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+1，
即（x1+x2）2＝3x1x2+1，
∴（）2＝﹣+1，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m1＝4，m2＝﹣1，
经检验，m1，m2都是分式方程的解，
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m的值为4．
【变式9-1】（2023秋•大冶市期末）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x2＝4﹣x2时，求k的值．
答案:（1）k≤ (2)1
【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x＝，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤，
综上所述，k的取值范围为k≤；
（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵x1+x1x2＝4﹣x2，即x1+x2+x1x2＝4，
∴+＝4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
【变式9-2】（2023•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
答案:（1）k≤5 （2）4
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤5；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，
∵x12+x22＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝42﹣2（k﹣1）＝10，
解得k＝4，
∵k≤5，
∴k＝4．
故k的值是4．