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浙教版八年级数学下册专题2.4一元二次方程的实际应用(一)(知识解读)(原卷版+解析)
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这是一份浙教版八年级数学下册专题2.4一元二次方程的实际应用(一)(知识解读)(原卷版+解析)，共13页。
懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题
【知识点梳理】
知识点 1：变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。
知识点2 ：传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
知识点3： 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
【典例分析】
【考点1 ：变化率问题】
【典例1】（2023秋•桂平市期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2019年图书借阅总量是7500本，2021年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率；
（2）已知2021年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2022年达到1440人．如果2021年至2022年图书借阅总量的增长率不低于2019年至2021年的年平均增长率，那么2022年的人均借阅量比2021年增长a%，求a的值至少是多少？
【变式1-1】某厂家1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．180（1-x）2=461B．180（1+x）2=461
C．368（1-x）2=442D．368（1+x）2=442
【变式1-2】（2023春•雁塔区校级期末）某化肥厂第一季度生产化肥50万吨，第二、第三季度平均增产的百分率是x，则二、三季度的总产量为（ ）万吨
A．50（1+x）2B．[50+50（1+x）]
C．[50（1+x）2+50（1+x）]D．[50+50（1+x）+50（1+x）2]
【变式1-3】（2023秋•确山县期中）2022年是中国共产党建党101周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年8月份该基地接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计11月份的参观人数能否突破13.5万人？
【考点2： 传染、分裂问题】
【典例2】（2023秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
【变式2-1】（2023秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（ ）
A．x+x（1+x）＝64B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64D．x（1+x）＝64
【变式2-2】（2023秋•淮南月考）新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？
【典例3】（2023秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式3-1】（2023春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式3-2】（2023秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（ ）
A．12B．11C．8D．7
【考点3 ：握手、比赛问题】
【典例4】（2023秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【变式4-1】（2023•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（ ）个班级．
A．8B．9C．10D．11
【变式4-2】（2023•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【典例5】（2023秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人B．10人C．12人D．15人
【变式5-1】（2023秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝90B．x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝90
【变式5-2】（2023春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 ．
【变式5-3】为了提高环保教育，增强学生实践能力，植树节期间，某校组织八年级学生在郊外植树，活动结束后，每个班级轮流进行了合照留念，并以班级为单位互赠留念照，若共拍得照片72张，则该校八年级有个 班．
专题2.4 一元二次方程的实际应用（一）（知识解读）
【学习目标】
懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题
【知识点梳理】
知识点 1：变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。
知识点2 ：传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
知识点3： 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
【典例分析】
【考点1 ：变化率问题】
【典例1】（2023秋•桂平市期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2019年图书借阅总量是7500本，2021年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率；
（2）已知2021年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2022年达到1440人．如果2021年至2022年图书借阅总量的增长率不低于2019年至2021年的年平均增长率，那么2022年的人均借阅量比2021年增长a%，求a的值至少是多少？
【解答】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率为x，根据题意得
7500（1+x）2＝10800，
即（1+x）2＝1.44，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率为20%；
（2）10800×（1+0.2）＝12960（本），
10800÷1350＝8（本），
12960÷1440＝9（本），
（9﹣8）÷8×100%＝12.5%．
故a的值至少是12.5．
【变式1-1】某厂家1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．180（1-x）2=461B．180（1+x）2=461
C．368（1-x）2=442D．368（1+x）2=442
答案:B
【解答】解：根据统计图，2月份产量为180,4月份产量为461
设平均月增长率为x
∴180（x+1）2=461
故答案为：B.
【变式1-2】（2023春•雁塔区校级期末）某化肥厂第一季度生产化肥50万吨，第二、第三季度平均增产的百分率是x，则二、三季度的总产量为（ ）万吨
A．50（1+x）2B．[50+50（1+x）]
C．[50（1+x）2+50（1+x）]D．[50+50（1+x）+50（1+x）2]
答案:C
【解答】解：根据题意，得第二季度的总产量为50（1+x）万吨，
第三季度的总产量为50（1+x）2万吨，
∴第二、三季度的总产量为[50（1+x）+50（1+x）2]万吨，
故选：C．
【变式1-3】（2023秋•确山县期中）2022年是中国共产党建党101周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年8月份该基地接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计11月份的参观人数能否突破13.5万人？
【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．
13.31＜13.5，
∴11月份的参观人数不能突破13.5万人．
答：11月份的参观人数不能突破13.5万人．
【考点2： 传染、分裂问题】
【典例2】（2023秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
【解答】解：（1）设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x＝144，
x1＝11或x2＝﹣13（舍去）．
答：平均一人传染11人．
（2）经过三轮传染后患上流感的人数为：144+11×144＝1728（人），
答：经过三轮传染后患上流感的人数为1728人．
【变式2-1】（2023秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（ ）
A．x+x（1+x）＝64B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64D．x（1+x）＝64
答案:C
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．
依题意得：1+x+x（1+x）＝64，即（1+x）2＝64，
故选：C．
【变式2-2】（2023秋•淮南月考）新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？
【解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得
x（x+1）+x+1＝9，
解得：x1＝2，x2＝﹣4（舍去），
三天后共有（x+1）3个人患病，
（2+1）3＝27（人）．
故每天平均一个人传染了2人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有27人患病．
【典例3】（2023秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案:B
【解答】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有x枝，
∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x1＝5，x2＝﹣6（舍去），
∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数5．
故选：B．
【变式3-1】（2023春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案:C
【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝43，
整理，得：x2+x﹣42＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故选：C．
【变式3-2】（2023秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（ ）
A．12B．11C．8D．7
答案:A
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝157，
即（x+13）（x﹣12）＝0，
解得：x＝12或x＝﹣13（不合题意，应舍去）；
∴x＝12．
故选：A．
【考点3 ：握手、比赛问题】
【典例4】（2023秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（ ）
A．10B．11C．12D．13
答案:C
【解答】解：设参加比赛的队伍有x支，
依题意得：x（x﹣1）＝66，
整理得：x2﹣x﹣132＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故选：C．
【变式4-1】（2023•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（ ）个班级．
A．8B．9C．10D．11
答案:A
【解答】解：设该校八年级有x个班级，
依题意得：x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故选：A．
【变式4-2】（2023•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
答案:D
【典例5】（2023秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人B．10人C．12人D．15人
答案:B
【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选：B．
【变式5-1】（2023秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝90B．x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝90
答案:D
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故选：D
【变式5-2】（2023春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 ．
答案:x（x﹣1）＝72．
【解答】解：设参加比赛的球队有x支，
依题意得：x（x﹣1）＝72．
故答案为：x（x﹣1）＝72．
【变式5-3】为了提高环保教育，增强学生实践能力，植树节期间，某校组织八年级学生在郊外植树，活动结束后，每个班级轮流进行了合照留念，并以班级为单位互赠留念照，若共拍得照片72张，则该校八年级有个 班．
答案:9
【解答】解：设该校八年级有x个班，
根据题意得x（x﹣1）＝72，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去），
答：该校八年级有9个班．
故答案为：9．
懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题
【知识点梳理】
知识点 1：变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。
知识点2 ：传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
知识点3： 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
【典例分析】
【考点1 ：变化率问题】
【典例1】（2023秋•桂平市期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2019年图书借阅总量是7500本，2021年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率；
（2）已知2021年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2022年达到1440人．如果2021年至2022年图书借阅总量的增长率不低于2019年至2021年的年平均增长率，那么2022年的人均借阅量比2021年增长a%，求a的值至少是多少？
【变式1-1】某厂家1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．180（1-x）2=461B．180（1+x）2=461
C．368（1-x）2=442D．368（1+x）2=442
【变式1-2】（2023春•雁塔区校级期末）某化肥厂第一季度生产化肥50万吨，第二、第三季度平均增产的百分率是x，则二、三季度的总产量为（ ）万吨
A．50（1+x）2B．[50+50（1+x）]
C．[50（1+x）2+50（1+x）]D．[50+50（1+x）+50（1+x）2]
【变式1-3】（2023秋•确山县期中）2022年是中国共产党建党101周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年8月份该基地接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计11月份的参观人数能否突破13.5万人？
【考点2： 传染、分裂问题】
【典例2】（2023秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
【变式2-1】（2023秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（ ）
A．x+x（1+x）＝64B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64D．x（1+x）＝64
【变式2-2】（2023秋•淮南月考）新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？
【典例3】（2023秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式3-1】（2023春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式3-2】（2023秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（ ）
A．12B．11C．8D．7
【考点3 ：握手、比赛问题】
【典例4】（2023秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【变式4-1】（2023•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（ ）个班级．
A．8B．9C．10D．11
【变式4-2】（2023•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【典例5】（2023秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人B．10人C．12人D．15人
【变式5-1】（2023秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝90B．x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝90
【变式5-2】（2023春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 ．
【变式5-3】为了提高环保教育，增强学生实践能力，植树节期间，某校组织八年级学生在郊外植树，活动结束后，每个班级轮流进行了合照留念，并以班级为单位互赠留念照，若共拍得照片72张，则该校八年级有个 班．
专题2.4 一元二次方程的实际应用（一）（知识解读）
【学习目标】
懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题
【知识点梳理】
知识点 1：变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。
知识点2 ：传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
知识点3： 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
【典例分析】
【考点1 ：变化率问题】
【典例1】（2023秋•桂平市期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2019年图书借阅总量是7500本，2021年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率；
（2）已知2021年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2022年达到1440人．如果2021年至2022年图书借阅总量的增长率不低于2019年至2021年的年平均增长率，那么2022年的人均借阅量比2021年增长a%，求a的值至少是多少？
【解答】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率为x，根据题意得
7500（1+x）2＝10800，
即（1+x）2＝1.44，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率为20%；
（2）10800×（1+0.2）＝12960（本），
10800÷1350＝8（本），
12960÷1440＝9（本），
（9﹣8）÷8×100%＝12.5%．
故a的值至少是12.5．
【变式1-1】某厂家1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．180（1-x）2=461B．180（1+x）2=461
C．368（1-x）2=442D．368（1+x）2=442
答案:B
【解答】解：根据统计图，2月份产量为180,4月份产量为461
设平均月增长率为x
∴180（x+1）2=461
故答案为：B.
【变式1-2】（2023春•雁塔区校级期末）某化肥厂第一季度生产化肥50万吨，第二、第三季度平均增产的百分率是x，则二、三季度的总产量为（ ）万吨
A．50（1+x）2B．[50+50（1+x）]
C．[50（1+x）2+50（1+x）]D．[50+50（1+x）+50（1+x）2]
答案:C
【解答】解：根据题意，得第二季度的总产量为50（1+x）万吨，
第三季度的总产量为50（1+x）2万吨，
∴第二、三季度的总产量为[50（1+x）+50（1+x）2]万吨，
故选：C．
【变式1-3】（2023秋•确山县期中）2022年是中国共产党建党101周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年8月份该基地接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计11月份的参观人数能否突破13.5万人？
【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．
13.31＜13.5，
∴11月份的参观人数不能突破13.5万人．
答：11月份的参观人数不能突破13.5万人．
【考点2： 传染、分裂问题】
【典例2】（2023秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
【解答】解：（1）设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x＝144，
x1＝11或x2＝﹣13（舍去）．
答：平均一人传染11人．
（2）经过三轮传染后患上流感的人数为：144+11×144＝1728（人），
答：经过三轮传染后患上流感的人数为1728人．
【变式2-1】（2023秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（ ）
A．x+x（1+x）＝64B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64D．x（1+x）＝64
答案:C
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．
依题意得：1+x+x（1+x）＝64，即（1+x）2＝64，
故选：C．
【变式2-2】（2023秋•淮南月考）新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？
【解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得
x（x+1）+x+1＝9，
解得：x1＝2，x2＝﹣4（舍去），
三天后共有（x+1）3个人患病，
（2+1）3＝27（人）．
故每天平均一个人传染了2人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有27人患病．
【典例3】（2023秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案:B
【解答】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有x枝，
∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x1＝5，x2＝﹣6（舍去），
∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数5．
故选：B．
【变式3-1】（2023春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案:C
【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝43，
整理，得：x2+x﹣42＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故选：C．
【变式3-2】（2023秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（ ）
A．12B．11C．8D．7
答案:A
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝157，
即（x+13）（x﹣12）＝0，
解得：x＝12或x＝﹣13（不合题意，应舍去）；
∴x＝12．
故选：A．
【考点3 ：握手、比赛问题】
【典例4】（2023秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（ ）
A．10B．11C．12D．13
答案:C
【解答】解：设参加比赛的队伍有x支，
依题意得：x（x﹣1）＝66，
整理得：x2﹣x﹣132＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故选：C．
【变式4-1】（2023•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（ ）个班级．
A．8B．9C．10D．11
答案:A
【解答】解：设该校八年级有x个班级，
依题意得：x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故选：A．
【变式4-2】（2023•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
答案:D
【典例5】（2023秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人B．10人C．12人D．15人
答案:B
【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选：B．
【变式5-1】（2023秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝90B．x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝90
答案:D
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故选：D
【变式5-2】（2023春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 ．
答案:x（x﹣1）＝72．
【解答】解：设参加比赛的球队有x支，
依题意得：x（x﹣1）＝72．
故答案为：x（x﹣1）＝72．
【变式5-3】为了提高环保教育，增强学生实践能力，植树节期间，某校组织八年级学生在郊外植树，活动结束后，每个班级轮流进行了合照留念，并以班级为单位互赠留念照，若共拍得照片72张，则该校八年级有个 班．
答案:9
【解答】解：设该校八年级有x个班，
根据题意得x（x﹣1）＝72，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去），
答：该校八年级有9个班．
故答案为：9．
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