易错压轴01 二次函数-备战2024年中考数学考试易错题（全国通用）

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易错压轴一：二次函数的图象与性质
例1．已知二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，由题意可得，，则的最小值为为负数，最大值为为正数．最大值为分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出，结合图象最小值只能由时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由求出，最小值只能由求出．
【详解】解：二次函数的大致图象如下：

①当时，当时，取最小值，即，
解得：．
当时，取最大值，即，
解得：或均不合题意，舍去；
②当时，当时，取最小值，即，
解得：．
当时，取最大值，即，
解得：，
或时，取最小值，时，取最大值，
，，
，
，
此种情形不合题意，
所以．
故选：B．
例2．已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为 ；若于点，则点到点的最大距离为 ．
【答案】
【分析】设点坐标，点坐标，由求出的值，将、代入直线解析式，当时，即可求解，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得出点运动轨迹，即可求出点到点的最大距离，本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用相似求坐标，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握字型相似，隐圆模型．
【详解】解：设直线解析式：，点坐标：，点坐标：，
过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
则，，，，
，，
，
，
，即：，
，
设直线解析式，将、坐标代入，
，解得：，
则直线解析式：，
当时，，将代入，得：，
与轴的交点为，
设与轴的交点为点，中点为，点为点，
，，为中点，
在中，，
在中，，
点轨迹为，以为圆心，长为半径的圆，
的最大值为：，
故答案为：，．
练习1．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（ ）
A．；B．；
C．当时，；D．不论取何值，
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的性质，根据“旋转函数”的定义得到，，，则，，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，
∴，
解得，故选项A、B错误，
∴，
∴，，
当时，，故选项C正确；
∵，
∴只有当时，，
故选项D错误，
故选：C
练习2．若关于x的方程的一个实数根，另一个实数根，则关于x的二次函数图象的顶点到x轴距离h的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由题意得：时，，时，，可以确定k的取值范围；二次函数顶点的纵坐标为，在k的取值范围内计算出的取值范围，即可得到顶点到x轴距离h的取值范围．
【详解】解：由题意得：时，，时，，
即：，
解得：，
二次函数，
顶点的纵坐标为：，
，
又，
当时，在时，取得最大值，即：当时，，
在时，取得最小值，即：当时，，
即：图象的顶点到x轴的距离h的最小值是，图象的顶点到x轴的距离h的最大值是，
h的取值范围是，
故答案为：．
练习3．已知二次函数、b是常数，
(1)若在该二次函数的图象上，当时，试判断代数式的正负性；
(2)已知对于任意的常数a、，二次函数的图象始终过定点P，求证：一次函数图象上所有的点都高于点
【答案】(1)为正
(2)见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，，又，在该二次函数的图象上，从而，进而，再由不等式的性质可以判断得解；
（2）依据题意，由（1），对于任意的常数、，都有当时，，可得二次函数始终过定点，再结合对于一次函数，当时，，从而对于任意的，当时都有，故可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，，
又，在该二次函数的图象上，
．
．
．
．
．
又，
，即为正．
（2）证明：由（1），
对于任意的常数、，都有当时，．
二次函数始终过定点．
对于一次函数，
当时，
．
对于任意的，当时都有．
一次函数图象上所有的点都高于点．
1．已知二次函数图象上的两点和，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的图象及二次函数上点的坐标特征，先确定抛物线的开口方向和对称轴，找到关于对称轴对称的点的横坐标，结合可求出的取值范围
【详解】解：
∵，
∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，
又两点分别为和，且，
所以，可得关于对称轴对称的点的横坐标为，
∴开口向上，且，
∴的取值范围是，
故选：C
2．已知抛物线，当时，自变量的取值范围是或，若点在对称轴左侧的抛物线上，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数的性质；先得出抛物线的对称轴为直线，进而根据题意得出，分析当时的两个点的横坐标，得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合，即可求解．
【详解】解：∵当时，自变量的取值范围是或，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴，即
∴抛物线解析式为，
当时，
解得：
∵当时，自变量的取值范围是或，
∴当时，
解得：
∵点在对称轴左侧的抛物线上，
∴点在对称轴右侧的抛物线上，
∵当时，或，
∴，
即是方程的两个根，
∴，
即
∴
∴
解得：
又∵
∴，
故答案为：．
3．已知二次函数．
(1)将写成的形式，并写出它的顶点坐标；
(2)当时，直接写出函数值y的取值范围；
(3)该二次函数的图象与直线有两个交点，，若，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式转化为顶点式，由顶点式写出顶点坐标；
（2）利用二次函数的增减性求出的取值范围；
（3）设二次函数的图象与直线有两个交点，的横坐标为，，根据根与系数的关系可得，，，进而可得，整理后求解即可．
【详解】（1）解：，
则得顶点坐标为．
（2）解：对称轴为直线，开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
当时，，当时，，
当时，函数的取值范围为．
（3）解：设二次函数的图象与直线有两个交点，的横坐标为，，
则，为的两个解，即
，，
，
即：，
，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，抛物线与直线的交点，根与系数的关系等，关键是灵活运用相关知识解决问题．
易错压轴二：二次函数的图象与系数的关系
例1．对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，分两种情况解答：一次函数分别与，相交一点；一次函数与有两个交点，与不相交 ；求出的取值范围，即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：当时，二次函数的相关函数为
当时，二次函数的相关函数为，
∴二次函数的相关函数为，
二次函数的图象开口向上，与轴的交点为，对称轴为直线,
当时，随的增大而减小，当 时，随的增大而增大；
二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，对称轴为直线，当时，随的增大而增大；
一次函数与轴的交点为
一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点可分为两种情况：
一次函数分别与，相交一点，
则有，
解得；
一次函数与有两个交点，与不相交 ，
则有，
解得，
且，
即有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴；
综上所述，或，
∴的值可能是，
故选：．
例2．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中结论正确的是 ．
【答案】②④
【分析】本题考查二次函数的性质．根据图象利用数形结合逐一判断即可，具体见详解．
【详解】解：图象开口向下
图象与轴交点在正半轴
，①不正确；
时，
，②正确；
时，
，③不正确；
过点
由得
即
依题得，
，④正确．
故答案为：②④．
练习1．如图，抛物线的图象与x轴交于，，其中．有下列五个结论：①；②；③；④；⑤若m，为关于x的一元二次方程的两个根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与各项系数的符号，根据二次函数图象判断式子的符号，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象与性质是解题的关键，注意数形结合．
根据抛物线开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴交点位置，可确定a、b、c的符号，则判定①；观察图象知，当时，函数值为正，可判定②；抛物线过，得，由图象知，当时，函数值为负，则可判定③；把代入中，结合③中的结论可判定④；由一元二次方程根与系数的关系得，根据，即可判定⑤，最后即可得到答案．
【详解】解：由图象知，抛物线的开口向下，故；抛物线的对称轴在y轴左边，则，故；抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则，所以，故①正确；
观察图象知，当时，函数值为正，即，故②正确；
抛物线过，即，得，由图象知，当时，函数值为负，即，所以，故③错误；
由得，故④错误；
关于x的一元二次方程整理得：，
由一元二次方程根与系数的关系得，根据，则，则，故⑤正确，故正确的序号为①②⑤．
故选：B．
练习2．如图，二次函数 的图像与x轴交于点，对称轴为直线 ，下列结论∶ ①；②； ③；④抛物线上有两点和，若， 且，则，其中正确的是 ． (只填写序号)
【答案】①③④
【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像判断式子的符号，数形结合是本题最大特点．
由图像的开口方向、对称轴及图像与y轴的交点位置可分别确定a、b、c的符号，从而可判定①；由抛物线的对称性可确定当时，图像位于x轴下方，从而当时函数值为负，即可判定②；由对称轴知，当时函数值为0，则可判定③；由，且，则得，表明点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，结合函数图像即可判定④，最后可得答案．
【详解】解：由图像的开口方向向下，则；抛物线的对称轴为直线，即，故有，所以；图像与y轴的交点位于y轴正半轴，故，则；故①正确；
由于抛物线与x轴交于点，由抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故当时，图像位于x轴下方，所以当时，，故②错误；
因，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则当时函数值为0，即，故③正确；
由于，且，则，表明点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，又抛物线的图像开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越大，函数值越小，即，故④正确；所以正确的序号为：①③④；
故答案为：①③④．
练习3．已知二次函数，图象经过点，，．
(1)当时．
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大；
(2)若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：．
【答案】(1)①；②.
(2)见解析.
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质,熟知二次函数的图象和性质是解题的关键.
（1）①利用待定系数法即可解决问题；②根据所得二次函数的图象和性质即可解决问题；
（2）由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题．
【详解】（1）①当时，将点代入函数解析式得，
，
解得．
所以二次函数的表达式为．
②因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
所以当时，y随x的增大而增大．
故一个符合条件的x的取值范围是：．
（2）证明：因为抛物线的对称轴为直线，
又因为，
所以点和点关于抛物线的对称轴对称，
则．
又因为m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，
所以m和p都是非正数，n是正数，
则，
解得．
所以．
1．已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数的关系，灵活运用二次函数的性质，学会利用函数图象信息解决问题是关键．根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据函数图象与x轴的交点个数，可判断②；可求得图象与x轴的另一个交点坐标为，由当时，，可判断③；由当时，，可判断④；把看为与的图象的交点问题，可判断⑤；从而解决问题．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
，
∵抛物线交y轴的正半轴，
，
，故①正确；
该函数图象与x轴有两个不同的交点，
方程有两个不相等的实数根，
，故②不正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点的坐标为，
∴当时，，故③不正确；
∵抛物线经过点，
，
，
，即，故④正确；
函数图象与x轴的交点坐标分别为和，
令，则，
∴直线与抛物线的交点的横坐标分别为，
∴由图象可知：，，故⑤正确；
故正确的有3个，
故选：C．
2．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中∶①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④．
【详解】解：将代入，可得，
故①正确；
二次函数图象的对称轴为直线，
点到对称轴的距离分别为：4，1，3，
，
图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
，
故②错误；
二次函数图象的对称轴为直线，
，
又，
，
，
当时，y取最大值，最大值为，
即二次函数的图象的顶点坐标为，
若m为任意实数，则
故③正确；
二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
与x轴的另一个交点坐标为，
的图象向上平移一个单位长度，即为的图象，
的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧，
若方程的两实数根为，且，则，
故④正确；
综上可知，正确的有①③④，
故答案为：①③④
3．在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）．
(1)若时，图象经过点，求二次函数的表达式．
(2)写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
(3)已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：．
【答案】(1)
(2)， （答案不唯一）
(3)证明见解析
【分析】（1）把代入二次函数的关系式，再把代入求出b的值，进而即可确定二次函数的关系式；
（2）令，则，当时，求得,据此写出一组a,b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（3）根据题意得到,整理得，则，最后根据二次函数的性质即可得证明结论．
【详解】（1）解：把代入得:，
∵当时，，
∴，
∴，
∴二次函数的关系式为．
（2）解：令，则，
当时，则，
∴，
∴若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为，
∴此函数的顶点坐标为(答案不唯一) ．
（3）证明：∵二次函数的图象和直线都经过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键．
易错压轴三：根据二次函数的对称性求函数值
例1．如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是的中点，则的值是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数上点的坐标特征，由抛物线的对称性可知，，从而可得，，再由点M是的中点，即可得到，即：，再根据，即可得到，进而可得，即可求解．解题的关键在于能够求出，．
【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，
∵抛物线与抛物线相交于点，
∴由抛物线的对称性可知，，
∴，，
∵点M是的中点，
∴，即：，
将，代入，可知：，，
则，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
例2．已知二次函数的图像过点和．
（1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是 ．
（2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
本题考查二次函数的性质，利用了二次函数的对称性，二次函数图象与系数关系；
（1）根据抛物线的对称性可得点P的坐标与点C的纵坐标相等，再根据对称的性质求出横坐标即可；
（2）把点A、C的坐标代入函数解析式并用a表示出b，令，表示出t，再根据顶点在第一象限求出a的范围，即可求得t的范围．
【详解】解：（1）∵点C与点P关于直线对称，
∴点P的纵坐标为1；
设点P的横坐标为x，则，
∴，
即点P的坐标为；
故答案为：；
（2）∵二次函数的图像过点和，
∴，
则，
即；
上式中，令，则；
∵抛物线的顶点在第一象限，
∴，，
由后一式得，则，
∴由前一式得，
∴，
即，
故答案为：．
练习1．设二次函数（k，c为实数）的图象过点，，三点，且，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及开口方向、对称轴，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出对称轴，结合，，得，，再进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：∵二次函数
∴对称轴为
∵，
∴设点到对称轴的距离为，互为相反数
∴
∵，
∴
当时，函数的开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，
∴，故D选项是正确的；
当时，函数的开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，
∴，
故三个选项是错误的；
故选：D
练习2．已知和时，多项式的值相等，则当时，多项式的值为 .
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数的性质，令，可知对称轴为直线，根据题意，求出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵当和时，的值相等，
∴
即
解得：，
即当时，多项式的值为．
故答案为：．
练习3．自变量的函数值我们通常记作，表示自变量时，函数的函数值，已知函数，其中为常数．
(1)若，求的值；
(2)若存在唯一一个自变量的值，使得另一个函数，，试求满足条件的的值；
(3)若存在实数且，使得，试求实数的取值范围．
【答案】(1)18
(2)或；
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用；熟练掌握二次函数的性质，能将所求问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．
（1）将，代入函数解析式即可求解；
（2）由题意得，即，则，解得或；
（3）由函数的对称性可知，得到，结合的范围即可求的范围．
【详解】（1）解：当时，，
；
（2）由题意得，则，
存在唯一一个自变量的值，使得另一个函数，
，
解得或；
（3）的对称轴为，
，
，
，
，
，
．
1．设函数对一切实数不均满足，且方程恰好有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）
A．10B．12C．18D．30
【答案】D
【分析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，解题的关键是看出函数的图象关于直线对称，得到函数的零点是成对出现的．
根据函数满足，可得函数的图象关于对称，从而得到方程的6个实数解中有3对，每一对的和为10，由此可得结论．
【详解】解：对于任意实数，函数不均满足
函数的图象关于对称，
函数的零点关于对称，
方程的根关于对称，
方程的6个实数解中有3对，
成对的两个根之和等于，
个实根之和是，
故选：D．
2．已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 （填或），若此时，则的取值范围是 ．
【答案】 B /
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据抛物线对称轴为，开口向上，根据已知条件分类讨论得出点B在对称轴的左侧；根据，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：抛物线关于直线对称，经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，
若点A位于对称轴左侧，
则，
解得，不等式组无解，不符合题意；
若点B位于对称轴左侧，
则，
解得，
不等式组的解为；
此时，
，
解得：，
，
综上，时，则的取值范围是，
故答案为：B，．
3．设二次函数（m为常数）的图象为f．
【特例感悟】
（1）当，时，二次函数（m为常数）的最小值是______、最大值是______；
【类比探索】
（2）当直线与图象f在第一象限内交A、B两点（点A在点B的左边），A点横坐标a，点B的横坐标b，，求在范围内二次函数（m为常数）的最大值与最小值的差；
【纵深拓展】
（3）①不论m为何实数时，图象f一定会经过一个定点，求出这个定点坐标；
②当时，二次函数（m为常数）的最大值为9，那么图象f的对称轴与x轴的交点横坐标会大于0小于2吗？试说明你的理由，并指出满足条件的对称轴与定点之间的距离．
【答案】（1）；（2）最大值与最小值的差为；（3）①定点坐标为；②当时，图象的对称轴与轴的交点横坐标不能大于0小于2．理由见详解，定点分别到直线、的距离都是2．
【分析】（1）函数的对称轴为直线，则，当时，，即可求解；
（2）由，整理得，得到图象的对称轴为，进而求解；
（3）①，当时，无论为何实数，都有，即可求解；
②当时，抛物线开口向上，在时，随的增大而减小，函数在时随的增大而增大，即可求解；当对称轴为时，函数在时随的增大而减小，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质，确定函数对称轴和分类求解是解题的关键．
【详解】解：（1）当，时，，
函数的对称轴为直线，则，
当时，，
故答案为：，；
（2）依题意得：，整理得，
故，是其两实根，
，；
又，
故，
整理得，
解得，（不合题意）；
，，图象的对称轴为，
当时，随增大而增大，
当，且时，
，
当时，，．
最大值与最小值的差为．
（3）①，
当时，无论为何实数，都有，
即定点坐标为；
②当时，图象的对称轴与轴的交点横坐标不能大于0小于2．
理由：，
图象的对称轴为，
当时，抛物线开口向上，在时，
随的增大而减小，函数在时随的增大而增大，
当时，有最大，，
解得，抛物线对称轴为，
当时，有最大，，
解得，抛物线对称轴为，
图象的对称轴与轴的交点横坐标不在大于0小于2的范围内．
由于抛物线开口向上，对称轴为直线时，
函数在时随的增大而增大，
当时，有最大，，
解得，抛物线对称轴为符合题意，
当对称轴为时，函数在时随的增大而减小，
当时，有最大，，
解得，抛物线对称轴为符合题意，
定点分别到直线、的距离都是2．
易错压轴四：二次函数的最值问题
例1．已知：，，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．有最大值4，最小值1B．有最大值3，最小值
C．有最大值3，最小值1D．有最大值3，最小值
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n的范围，进而可求n的最值；
【详解】由题意得，，
，
当时，m 有最小值，当时，m有最大值，
，
，，
当时，n随着b的增大而减小，
当时，n 有最小值1，
当时，n有最大值4，
，
，
，
，
解得：，
，
，
n有最大值3，最小值1；
故选：C．
例2．已知二次函数（，为常数且），当时，随的增大而增大，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，由随的增大而增大的取值范围可得与的数量关系，进而求解．
【详解】解：，为常数且，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
，
，即，
，
最大值为．
故答案为：．
练习1．4．已知二次函数，当时，则（ ）
A．若时，函数有最小值B．若时，函数有最小值
C．若时，函数有最小值D．若时，函数有最小值
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握根据二次函数的性质求二次函数最值的取值范围是解题的关键．
先将二次函数解析式化成顶点式，然后根据各选项m的取值范围，确定对称轴和m的关系，最后分别求最值即可解答．
【详解】解：因为二次函，
A. 若时，即时，当函数有最小值，故A选项正确，符合题意；
B. 若时，即时，当函数有最小值，故B选项错误，不符合题意；
C. 若，即时，当函数有最小值，故C选项错误，不符合题意；
D. 若，即时，当函数有最小值，故D选项错误，不符合题意．
故选A．
练习2．已知抛物线：，把绕点旋转，得到抛物线，则的解析式为 ；在和构成的封闭区域内作直线轴，分别交和与点M，N，则的最大值为 ．
【答案】 12
【分析】先求出抛物线的顶点为，与x轴交点为和，由旋转的性质可得抛物线的顶点为，图像上的两点和，设二次函数的顶点式，代入即可求出解析式；设则，可得，进而可求最值；
【详解】解：在中，令得或，
∴抛物线的顶点为，与x轴交点为和，
将绕点旋转，得到抛物线的顶点为；
将和绕点旋转，分别得到图像上的点和；
设抛物线的解析式为，把代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
如图：
设则，
，
由可得，，
∵在和构成的封闭区域内作直线轴，分别交和与点M，N，
∴当时，取最大值12；
故答案为：；12．
【点睛】本题考查二次函数与几何变换，二次函数的最值问题，解题的关键是根据已知求出抛物线的解析式；
练习3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；
(3)点为此函数图象上任意一点，其僙坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
①求的取值范围；
②当时，直接写出线段与二次函数的图象只有1个交点时的取值范围．
【答案】(1)；
(2)最大值为，最小值为；
(3)①求的取值范围是， ②只有个交点时的取值范围是：或时．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．
（1）利用待定系数法求解；
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
（3）①由求出取值范围，②通过数形结合求解．
【详解】（1）解：将点 代入，得：

解得：
．
（2）解：，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，取最小值为
∴当时，取最大值：．
（3）解：①
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
满足题意，
解得：；
解得：，当时，点P在最低点，与图象有交点，
如图，
增大过程中，时，点与点在对称轴右侧，与图象只有个交点，
直线关于抛物线对称轴直线，对称后直线为
时，与图象有个交点，
当时，与图象有个交点，
综上所述，或时，与图象交点个数为个，时， 与图象有个交点，
∴只有个交点时的取值范围是：或时．
1．如图，矩形中，，E为边上一个动点，连接，取的中点G，点G绕点E逆时针旋转得到点F，连接，则面积的最小值是（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】B
【分析】过点F作的垂线交的延长线于点H，则，设，可得出面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立面积与长度的函数关系式是解题的关键．
【详解】过点F作的垂线交的延长线于点H，
∵矩形中，，点G绕点E逆时针旋转得到点F，
∴，
∴，，
∴，
∵的中点G，
∴，
∴，
设，，
∴，，,
∴
故面积的最小值为，
故选B．
2．若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段的中点，面积的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了二次函数最值，熟练掌握化简二次根式是解答本题的关键．根据题意设E坐标为，直线的解析式为直线的解析式为联立方程组得到坐标，由中点坐标公式得到再根据两点间的距离公式得到的代数式，由面积公式得到，利用均值不等式得到最小值即可．
【详解】解：由，且两直线均与抛物线有两个交点，所以直线k值都存在，
设E坐标为，直线的解析式为直线的解析式为
直线与抛物线联立方程组为：
，消去y得
设
由根与系数的关系得：
∵为线段的中点，
∴
∴
同理得
∴
∵
∴
根据均值不等式，当时，
即时，的面积最小值为4．
故答案为：4．
3．设二次函数（a，c是常数）的图象与x轴有交点．
(1)若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
(2)若图象与x轴只有一个交点，且过，求此时a，c的值．
(3)已知，若函数的表达式还可以写成（m，n为常数，且），设二次函数，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)当时，；当时，
(3)
【分析】（1）将代入，可求，进而可得，化成顶点式可得顶点坐标；
（2）令，由图象与x轴只有一个交点，则，即，将代入得，，可求或或（舍去），然后求解作答即可；
（3）当时，，由，，可得，即，，然后求最值即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：令，
∵图象与x轴只有一个交点，
∴，即，
将代入得，，
解得，或或（舍去），
∴当时，；当时，；
（3）解：当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最小，最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的最值是解题的关键．
易错压轴五：二次函数的平移问题
例1．若抛物线向上平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先根据函数图象平移规则“上加下减求得平移后的函数解析式，根据二次函数的性质，结合函数的图象，进而可列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的表达式为，
∵平移后抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴要使在范围内与x轴只有一个交点，只需时对应图象上的点在x轴下方，时对应函数图象上的点在x轴上或x轴上方，如图，

∴，解得，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移、二次函数与x轴的交点问题，解答的关键是掌握二次函数的性质，以及与方程、不等式的关系．
例2．如图①是杭州亚运会的徽标中的钱江潮头，可近似地看成是顶点在y轴上的二次函数，如图②所示，已知，．当潮头以2个单位每秒的速度向x轴正方向移动的过程中，若记潮头起始位置所在的二次函数图象与坐标轴三个交点围成的面积为，则经过 秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的平移，待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
先用待定系数法求出平移前的解析式为，然后设经过t秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．则平移后抛物线解析式为，然后分两种情况：①当平移后，二次函数图象与y轴正半轴相交于点时，当平移后，二次函数图象与y轴负半轴相交于点时，分别求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，，，
设抛物线线解析式为，
把代入，得，
∴，
设经过t秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．
则，，
∴平移后抛物线解析式为，
分两种情况：①当平移后，二次函数图象与y轴正半轴相交于点时，如图，
由平移的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
解得：（负值不符合题意，已舍去），
②当平移后，二次函数图象与y轴负半轴相交于点时，如图，
同理可得，
∴，
把代入，得
解得：（负值不符合题意，已舍去），
综上，经过秒或秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．
故答案为：或．
练习1．已知，二次函数是常数，且的图象经过，三个点中的两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标（ ）
A．有最大值为1B．有最大值为
C．有最小值为1D．有最小值为
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，一次函数的图象和性质，待定系数法的应用；
首先判断出抛物线经过点A、C，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据题意设出平移后的抛物线解析式，令，得到纵坐标与平移距离之间的函数关系式，进而可得答案．
【详解】解：∵在直线上，
∴点A或点B是抛物线的顶点，
∵点B、C的横坐标相同，
∴抛物线不会同时经过B、C两点，
∴该抛物线经过点A、C，
把，代入得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为，
∵其顶点始终在直线上，
∴抛物线向左、向下平移的距离相同，
设平移后的抛物线为，
令，则，
∵，
∴平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有最大值为，
故选：B．
练习2．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．

【答案】或
【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点．
仔细阅读材料理解题意，可知n的值就是函数值绝对值最大的值，所以根据函数表达式找出函数值的最大值和最小值，进行分类讨论求解即可．
【详解】解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，y最大值为，且和的函数值相同，
∵，
∴当时，时，y有最小值，当时，时，y有最小值，
由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值，
（I）当时，
①且，
解得，
②当且，
解得
（II）当时，
①且
无解；
②且，
无解，
故答案为：或．
练习3．已知二次函数的图像L过点，顶点坐标为．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)L与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），求A，B两点坐标；
(3)将L向上平移个单位长度，与x轴相交于，两点，若点在线段上，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
(1)待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)令得到一个关于x的二次方程，解方程即可得到点A、B坐标；
(3) 根据题意得到新的抛物线解析式，设点M为新函数图象上一点，其横坐标为k，则可得到M的纵坐标，根据纵坐标大于等于零即可求解．
【详解】（1）解：由题意可设这个二次函数的表达式为，
图像L过点得，，
解得：，
这个二次函数的表达式为．
（2）令，得，
解得：，，
两点坐标分别为，
（3）将L向上平移个单位长度，得新函数的表达式为，
设点M为新函数图像上一点，其横坐标为k，则纵坐标为
若点在线段上，则点M的纵坐标大于或等于零，即，
令，由图像可知，当时，图像在横轴的下方，函数值小于零
因为，所以得．
1．如图，抛物线与直线交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点P经过的路程为（ ）

A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后的解析式为，再根据点P在直线，直接把代入得到点P的纵坐标与a的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可.
【详解】解：由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，
设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，
∵原抛物线解析式为，
∴平移后的解析式为
令时，则
，
∴当时，，
∵，
∴当时，，当时，，
∴当时，在平移过程中点P的运动路程为，
当时，在平移过程中点P的运动路程为，
∴整个平移过程中，点P的运动路程为，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的特征等知识，解题的关键是灵活运用平移的性质解决问题，学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．
2．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B、D．若直线与、共有2个不同的交点，则m的取值范围是 ．
【答案】或者，或者
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线，相切时m的值以及直线过点A、B时m的值，结合图形即可得到答案．
【详解】令，即，
解得或，
则点，，
抛物线：，，
由于抛物线向右平移两个长度单位得抛物线，
则抛物线解析式为，，
令，即，
解得或，
则点，
如图，
当与抛物线：相切时，
令，即，
根据相切可知方程有两个相等的解，即，
解得，
当过点时，即：，
解得，
当与抛物线：相切时，
令，即，
根据相切可知方程有两个相等的解，即，
解得，
当过点时，即：，
解得，
结合图象可知：直线与、共有2个不同的交点时，
则m的取值范围是，或者，或者，
故答案为：或者，或者．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
3．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若抛物线，当时，有最大值，求的值．
(3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（）把点坐标代入抛物线用待定系数法解答即可求解；
（）根据函数的性质，分三种情况：、和，利用二次函数的性质解答即可求解；
（）根据二次函数图象的平移画出图象，结合图象分两种情况：新抛物线与直线相交且有一个交点和抛物线与直线相切，利用数形结合求取值范围即可；
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，掌握数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把点，代入抛物线得，
，
解得，
抛物线表达式为；
（2）解：由（）知，抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵时，有最大值，
最大值只能在或时取得，
当时，即，
此时，有最大值，
即，
解得，符合题意；
当时，即，
此时，有最大值，
即，
解得，不合，舍去；
当，即，
当时，有最大值，
即，
解得，不合，舍去；
当，有最大值，
即，
解得，不合，舍去；
综上，的值为；
（3）解：由题意得，新抛物线为是把抛物线平移个单位得到的，如图所示：
当时，新抛物线与直线相交且有一个交点时，
则
解得；
当抛物线与直线相切时，
就是把抛物线，向上平移10个单位，即，
的取值范围为或．
易错压轴六：二次函数与一元二次方程
例1．将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与轴的交点：把求二次函数（、、是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，即可得解．掌握抛物线与轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换．
【详解】解：对抛物线，
当时，得：，
解得：或，
∴抛物线与轴的交点为、，
∵将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，
∴新图像中当时，解析式为，即，如图，
当直线经过点时，此时直线与新函数图像有个交点，
把代入直线，解得：，
将直线向下平移时，有个交点，
当与直线有一个交点时，此时直线与新函数图像有个交点，
整理得：，
∴，
解得：，
综上所述，新图像与直线有个交点时，的取值范围是．
故选：C．
例2．已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，由可得，进而得到二次函数为，由二次函数的对称性可得二次函数的对称轴为直线，把方程转化为，即可得为二次函数图象上的点，得到是方程的一个解，利用对称性即可得到方程的另一个解，即可求解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【详解】解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
∴二次函数为，
∵，在二次函数的图象上，
∴二次函数的对称轴为直线，
由方程可得，，
∵点为二次函数图象上的点，
∴是方程的一个解，
即为方程的的一个解，
设方程的另一个解为，
由可得，，
∴方程的另一个解为，
∴方程的解为或，
故答案为：或．
练习1．如图，抛物线与直线有两个交点，这两个交点的纵坐标分别为m、n．双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，则t的取值范围是（ ）
A． B．C．D．或
【答案】C
【分析】先根据题意得，然后让抛物线与直线相等化简得到，，再将m，n代入，从而得到m，n关于，的关系式，再进行计算即可．
【详解】解：∵双曲线y=的两个分支分别位于第二、四象限，
∴，
设抛物线与直线的两个交点坐标为（，
则
化简得，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，双曲线的性质，一元二次方程根与系数的关系，求不等式组的解集，解题关键是得到和的值．
练习2．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y 函数”．例如：函数与互为“Y 函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y 函数”图象与 x 轴的交点坐标为 ；
【答案】或
【分析】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答．
【详解】解：①当时，函数的解析式为，
此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当时，可得，解得，
与x轴的交点坐标为，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；
②当时，
函数的图象与x轴只有一个交点，
，即，
解得，
函数的解析式为，
当时，可得，
解得，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或，
故答案为：或．
练习3．小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路：
［辨析与解答]
小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．”
小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．”
小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．”
结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程．
［应用与拓展]
（1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
（2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】［辨析与解答]，过程见解析；［应用与拓展]（1）；（2）
【分析】［辨析与解答]
小明的方法：先将方程中的绝对值去掉，然后根据一元二次方程跟的判别式求解即可；
小红的方法：设，则，即可求解；
小亮的方法：令，，，画出函数图像，利用数形结合的思想即可求解；
［应用与拓展]
（1）观察小亮方法中的图像即可求解；
（2）令，，画出函数图像，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】解∶［辨析与解答]
小明的方法：当时，原方程为，即，
∵方程有实数根，
∴，
解得；
当时，原方程为，即，
∵方程有实数根，
∴，
解得，
综上，；
小红的方法：设，
则，
∴；
小亮的方法：令，，
当与的图像有交点时，方程有实数根，
画出函数图像，如下：
观察图像知，当时，与的图像有交点，
∴当时，方程有实数根；
故答案为：；
［应用与拓展]
（1）观察小亮的方法中函数图像知，当时，与的图像有四个不同的交点，
∴当时，方程有四个不同的实数根，
故答案为：；
（2）令，，
画出函数图像，如下：
当时，，
∴图中点D坐标为，
观察图像，知当时，，的图像有四个不同的交点，
∴当时，方程有四个不同的实数根，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程跟的判别式，二次函数的图像与性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
1．若a，b（）是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则关于a，b的关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，依照题意，画出图形，数形结合是解题的关键．
依照题意，画出图形，利用数形结合，即可得出a，b满足的条件．
【详解】解：由题意得的根的问题可转化为二次函数与直线的交点的问题，
一元二次方程的解为，，
二次函数与轴的交点坐标为，．
依照题意，画出函数图象，如图所示．
观察图形，可知：．
故选：A．
2．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：；；对于任意实数，总成立；关于的方程有两个不相等的实数根．
其中正确结论为 （只填序号）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系等知识点，利用抛物线开口方向得到，再由抛物线的对称轴方程得到，则，于是可对进行判断；利用和可对进行判断；利用二次函数的性质可对进行判断；根据抛物线与直线有两个交点可对进行判断，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】抛物线开口向下，
，
而抛物线的对称轴为直线，即，
，所以错误；
把点带入解析式可得，
∴，
，
，
，所以正确；
抛物线的顶点坐标，
时，二次函数值有最大值，
∴，
即，所以正确；
抛物线的顶点坐标，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不相等的实数根，所以正确．
故答案为．
3．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：

(1)点B的坐标为______；
(2)方程的两个根为______；
(3)当时，自变量x的取值范围为______．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键.
（1）根据函数图象判断出对称轴和抛物线与y轴一个交点，即可得到点B的坐标；
（2）根据抛物线与y轴的交点即可得到答案；
（3）判断出抛物线的图象在x轴上方时x的取值范围，即可得到答案.
【详解】（1）解：由二次函数的图象可知，对称轴为直线，抛物线过点
∴点B的坐标为，
故答案为：
（2）由（1）知抛物线与x轴交于点与，
即当时，，
当时，，
∴方程的两个根为，
故答案为：，
（3）由抛物线的图象可知，
当时，抛物线的图象在x轴上方，
∴当时，自变量x的取值范围为，
故答案为：
易错压轴七：实际问题与二次函数
例1．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
A．250B．300C．200D．550
【答案】D
【分析】根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函数的最值问题即可求解 ．
【详解】解：根据题意，得

∴，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
又∵，
∴当时，，
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．
例2．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为 cm，液面到点所在水平地面的距离是 cm
【答案】
【分析】
本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出，，，的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，所以旋转前与水平方向的夹角为，即，求出与轴的交点坐标，把点、代入求出直线的解析式，水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，根据题意可得 是等腰直角三角形，由此可得出点的坐标，用两点间的距离公式求出点到的距离．
【详解】
解：如图1，以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
由题意得：，，，，
设抛物线的解析式为：，
将，，代入得：，
解得：，
；
根据题意可知，，
设与轴的交点坐标，
是等腰直角三角形，
，
，
直线的解析式为：，
令，
解得（舍）或，
．
，
水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，如图1，过点作的垂线交于点，
过点作轴的平行线，交直线于点，
是等腰直角三角形，
，
．
．
过点作于点，
是的中点，且，
，
．
．
故答案为：，．
练习1．如图1，已知的边长为，，于点E．现将沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的与重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象如图2，则当t为9时，S的值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是动点函数图象问题、平行四边形的性质、勾股定理及含30度角的性质，熟练掌握以上知识点，弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系，是解题的关键．
根据题意得出，，结合函数图象确定，当运动时间时，为二次函数，且在时达到最大值，对称轴为，二次函数与坐标轴的另一个交点为，然后确定二次函数解析式，代入求解即可．
【详解】解：∵为，，于点E．
∴，
∴，
由运动的与重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象得：
当运动到6时，重叠部分的面积一直不变，
∴，
∴，
由函数图象得：当运动时间时，为二次函数，且在时达到最大值，对称轴为直线，
∴二次函数与坐标轴的另一个交点为，
设二次函数的解析式为，
将点代入得：，
∴，
当t为9时，．
故选：C．
练习2．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，即抛物线的二次项系数和一次项系数不会发生变化，
当喷头高时，可设，
将代入解析式得出，
整理得①；
喷头高时，可设；
将代入解析式得②，
联立①②可求出，
设喷头高为时，水柱落点距点，
此时的解析式为，
将代入可得，
解得，
∴喷头高应调整为。
故答案为：．
练习3．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
(1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；
(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值．
【答案】(1)
(2)该商品的销售单价为25元
(3)m的值为5
【分析】（1）设销售单价为x元，则每件涨价元，则销量减少件，由此可得y与x之间的关系式为，整理即可．
（2）根据总利润=每件利润销售量，可得方程，求出方程的解，再根据题意选择合适的x的值即可．
（3）根据总利润=（售价进价m）销售量，得，求出其对称轴，再根据二次函数的性质及增减性可得当时，，由此得，求出m的值即可．
【详解】（1）由题意得：，
整理得：．
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴．
（2）由题意，得：，
解之得：， ，
∵，
∴．
答：该商品的销售单价为25元．
（3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：
，
其对称轴为直线为：．
∵在对称轴左侧，且抛物线开口向下，
∴w随x的增大而增大．
当时，．
∴，
解得．
答：m的值为5．
【点睛】本题主要考查了利用一次函数、二次函数、以及一元二次方程解决实际问题—利润问题，根据题意列出函数关系式，并熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
1．如图1，在中，．点从出发，沿运动到点停止，过点作，垂足为连接．设点的运动路径长为，的面积为，若与的对应关系如图2所示，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用和勾股定理，根据图象结合点的运动过程即可求解，熟练掌握求解二次函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴由勾股定理，
由题意得，时，
，即，，
∴，同理，
∴，
∴
当时，
∴，
时，如图，
由题意得：，
，即，，
∴，同理，
∴，
当时，
∴，
∴，
故选：．
2．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度（即的长）为 ．
【答案】米/
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值．
【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
，，
设内侧抛物线的解析式为，
将代入，
得：，
解得： ，
内侧抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
，
故答案为：米．
3．某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．

(1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润；
(2)每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？
(3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】(1)当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元
(2)要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元
(3)
【分析】（1）设，由题意知，图象过，两点，待定系数法求得解析式为，当时，，解得，根据利润为：，计算求解即可；
（2）由题意得，，即，设每天的销售利润为W（元），依题意得， ，然后根据二次函数的图象与性质求解作答即可；
（3）设捐款后每天所获得的利润为Q（元），依题意得，，则抛物线的对称轴为直线，由，可知当时，Q随x的增大而增大．由物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元，可得，计算求解然后作答即可．
【详解】（1）解：设，
由题意知，图象过，两点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
解得，
利润为：（元），
∴当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元；
（2）解：由题意得，，
解得，
设每天的销售利润为W（元），
依题意得， ，
∵，
∴当时，W取最大值，最大值为，
∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元；
（3）解：设捐款后每天所获得的利润为Q（元），
依题意得，，
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴当时，Q随x的增大而增大．
∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元，
∴，
解得，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，有理数混合运算的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键．
易错压轴八：二次函数的存在性问题
例1．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点与点都是函数图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时n的值，进而可得n的取值范围．
【详解】解：由题意得：二次函数的图象上的顶点坐标为：，
∵y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，
∴二次函数的图象与以坐标为的正方形有交点，
当二次函数恰好经过时，则，
解得：或（舍去）；
如当二次函数恰好经过时，则，
解得或（舍去）；
∴当时，二次函数的图象存在“n阶方点”，
故选D．
例2．定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则 ．
（2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键．
（1）根据好点”定义可得：，进而计算求解m即可；
（2）由已知可得：，进而求出直线的解析式，所以抛物线 与直线的交点就是好点，再计算即可．
【详解】解：（1）由好点”定义可得：，
∴，
整理得：，
∴或5，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线上的点都是好点，
当时，．当时，，
如图，直线解析式为，，
抛物线与直线的交点就是好点，
当抛物线过点A时，，
解得：，
当抛物线与有且只有一个交点时，
有，
整理得：，
∴，
解得：，
∴c的取值范围为： ．
故答案为：．
练习1．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，
则，解得
把代入得，代入得
∴
解得；
把代入得，代入得
∴，解得，
综上，c的取值范围为：．
故选：D．
练习2．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”． 例如，点，是点，的“级变换点”．
(1)若函数的图象上存在点，的“级变换点”，则的值为 ；
(2)若关于的二次函数() 的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可；
（2）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可．
【详解】解：（1）函数的图象上存在点的“级变换点”
根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为，
把点代入中，
得，解得．
（2）由题意得，二次函数的图象上的点的
“1级变换点”都在函数的图象上．
由，整理得．
，
函数的图象与直线必有公共点．
由得该公共点为．
①当时，由得．
又得，
且．
②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
综上，n的取值范围为且．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，二次函数的性质，根据题意理解新定义是解题的关键．
练习3．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．
(1)求的值及抛物线的解析式．
(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)的坐标为
(3)①当时，线段有最大值为4；②存在，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似
【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论．
（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（2）由（1）可得，则，所以，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论；
（3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论；②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，
，
，
直线的表达式为；
当时，，
点的坐标为，
将点的坐标为，点的坐标为，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
的坐标为，
将点的坐标代入解析式可得，，
解得或（舍去）
的坐标为；
（3）①由（1）可知，直线的解析式为：，
点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
设线段的长度为，
则
，
当时，线段有最大值为4；
②存在，理由如下：
由图形可知，
若与相似，则需要分两种情况，
当时，由（2）可知，，此时；
当时，过点作轴交抛物线于点，
令，
解得（舍或，
综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
1．平面上有一个图形与图形外一点，当时，的坐标为，当时，的坐标为，若点在图形上，则称是“点与图形的联系点”，设抛物线：（为常数）顶点为，点关于轴的对称点为，若抛物线上存在点是点与图形的联系点，则所有可能的的和为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，以及新概念的理解．根据抛物线的表达式可知，可得，当时，的坐标为，当时，的坐标为，分别求出的值，再求出的和即可．
【详解】解：∵抛物线：（为常数）顶点为，
∴，
∵点关于轴的对称点为，
∴，
∴当时，的坐标为，当时，的坐标为，
∴当的坐标为时，则，，
此时，，解得（舍），，
当的坐标为时，则，，
此时，，解得，，
∴所有可能的的和为，
故选：B．
2．若一个点纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“三倍点”．若在的范围内，二次函数的图像上存在两个“三倍点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上存在两“三倍点”转化为和有两个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上存在两个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和有两个交点，
令，整理得，，
∴，
解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故答案为：．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为；
(2)的坐标为)或 或．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）由（）得，则抛物线的对称轴为直线，设，则，，，然后分当为菱形的边时，则或，当为菱形的对角线时，，两种情况即可；
本题主要考查了二次函数、菱形的性质和勾股定理，掌握相关知识、正确求出二次函数表达式并灵活应用是解题的关键．
【详解】（1）当时，，
∴点，则，
∴，
∴点，
∵抛物线过点和点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由（）得
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∴，，，如图，
当为菱形的边时，则或，
∴或，即或（无解），
解得，
∴点的坐标为)或 ；
当为菱形的对角线时，则，
∴，即，
解得，
∴点的坐标为，
综上可得：存在以点为顶点的四边形是菱形，点的坐标为)或 或．
易错压轴九：二次函数与相似三角形
例1．抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数表达式可得对称轴为直线，由及二次函数的对称性可得，进而可得的等量关系式，然后根据得出的值，所以得出C的坐标，最后根据求解即可．
【详解】
如图所示：抛物线，对称轴为直线
抛物线与轴的交点为和
，OA=5
当y=0时，-5与2是方程的两个根
根据韦达定理可得：即
即
，
解得
．
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识、相似三角形的性质及求角的三角函数值，关键是根据二次函数解析式得到对称轴，得到A、B的坐标，进而得到参数的等量关系式，最后根据射影定理得到线段的等量关系求解参数，然后根据求角的三角函数值求解即可．
例2．已知过点的抛物线与两坐标轴交于点A，C，如图所示，连接，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P．当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为 ．
【答案】或
【分析】由两点坐标公式可求，由勾股定理可证，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解．
【详解】解：如图，过点M作于E，

∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴点，抛物线解析式为，
当时，则，
∴，
∴点，
∵点，点，点，
∴，
∵，
∴，
设点，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
当时，
∴，
∴，
∴，
∴点，
综上所述：点M坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
练习1．如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，若平分，则的值为( ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出A(1,0),B(3,0)，C(0,3m)，再证△COB∽△ADB，列比例式求解即可.
【详解】解：∵二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，
当y=0时，即，解得，x1=1,x2=3,
∴A(1,0),B(3,0),
当x=0时，y=3m,
∴C(0,3m),
过点A作AD⊥BD于点D，如图，
∵平分，
∴AD=OA=1,
又∵AB=2,
∴BD=,
∵∠COB=∠ADB, ∠B=∠B,
∴△COB∽△ADB,
∴,即，
∴m=,
故选D.
【点睛】此题主要考查了二次函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与性质.正确的添加辅助线和证△COB∽△ADB是解决问题的关键.
练习2．如图，已知点P是二次函数图像在y轴右侧部分上的一个动点，将直线沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点． 若以为直角边的与相似，请求出点P的坐标 ．

【答案】或或或
【分析】分当和，然后分别或两种情形求解即可．
【详解】解：过点P做轴，交于点H，
设点B坐标为，则直线的表达式为：,
∴，则，
①当时，
设点，
∵以为直角边的与相似，
∴，即，

由题意得：，
，解得：，，
∴点P坐标为；
当时，同理可得：点P坐标；
②当时，当时，同理：点P坐标为，
当时，同理可得：点P坐标为；
综上所述：点P的坐标为或或或．
故答案为或或或．
【点睛】本题为二次函数综合知识运用，主要三角形相似、勾股定理运用等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
练习3．如图，二次函数（）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，已知，．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M使得有最大值，若存在，请直接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由．
(3)连接，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴，垂足为D，连接，若与相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的表达式为；
(2)的最大值为，点M坐标为；
(3)满足条件的点坐标为．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程法解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）延长交对称轴于点M，此时有最大值，求得直线的解析式，据此即可求解；
（3）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
，，
．
，，
二次函数的图象经过点，，，
，解得：，
该二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
延长交对称轴于点M，此时有最大值，
∵，，
∴，
设直线的解析式为，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点M坐标为；
答：的最大值为，点M坐标为；
（3）解：设，
轴，为第一象限内抛物线上一点，
，，，
，
与相似，
或，
或．
解得：，或，．
，
．
与相似，满足条件的点坐标为．
1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（ ）
A．，B．，
C．，，D．，
【答案】D
【详解】解：设抛物线的对称轴交轴于点，由题可知，
，，，，，，，
∵，，∴，，
又，∴，，
则①当时，，即，，
∴点在点左侧，此时，
②当时，，即，，
∴点在点左侧，此时，
综上，在轴上有两点，，满足题意．故选D．
【点睛】此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质、以及等腰三角形的构成情况等重要知识点，要注意的是分类讨论的数学思想，所以考虑问题一定要全面，以免漏解．
2．如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于，两点．是抛物线上一点，过作轴，垂足为．如果以，，为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ．
【答案】，，．
【分析】根据抛物线的解析式，易求得A（－1，0），D（1，0），C（0，－1）；则△ACD是等腰直角三角形，由于AP∥DC，可知∠BAC＝90°；根据D、C的坐标，用待定系数法可求出直线DC的解析式，而AB∥DC，则直线AB与DC的斜率相同，再加上A点的坐标，即可求出直线AB的解析式，联立直线AB和抛物线的解析式，可求出B点的坐标，即可得出AB、AC的长．在Rt△ABC和Rt△AMG中，已知了∠BAC＝∠AGM＝90°，若两三角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出M点的坐标．
【详解】易知：A(−1，0)，D(1，0)，C(0，−1) ；
则OA＝OD＝OC＝1 ，
∴△ADC 是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝90 ° ，AC＝ ；
又∵AB ∥DC ，
∴∠BAC＝90 ° ；
易知直线BD 的解析式为y＝x−1 ，
由于直线AB ∥DC， 可设直线AB 的解析式为y＝x＋b， 由于直线AB 过点A(−1，0) ；
则直线AB 的解析式为：y＝x＋1 ，
联立抛物线的解析式： ，
解得 ，；
故B(2，3) ；
∴AP＝＝3 ；
Rt△BAC 和Rt△AMG 中，∠AGM＝∠PAC＝90 ° ， 且BA：AC＝3 ： ＝3：1 ；
若以A. M 、G 三点为顶点的三角形与△BCA 相似，则AG：MG＝1：3 或3：1 ；
设M 点坐标为(m，m 2 −1)，(m＜−1 或m＞1)
则有：MG＝m 2 −1 ，AG＝|m＋1| ；
①当AM：MG＝1：3 时，m 2 −1＝3|m＋1|，m 2 −1＝±(3m＋3) ；
当m 2 −1＝3m＋3 时，m 2 −3m−4＝0， 解得m＝1( 舍去) ，m＝4 ；
当m 2 −1＝−3m−3 时，m 2 ＋3m＋2＝0， 解得m＝−1( 舍去) ，m＝−2 ；
∴M 1 (4，15)，M 2 (−2，3) ；
②当AM：MG＝3：1 时，3(m 2 −1)＝|m＋1|，3m 2 −3＝±(m＋1) ；
当3m 2 −3＝m＋1 时，3m 2 −m−4＝0， 解得m＝−1( 舍去)，m＝ ；
当3m 2 −3＝−m−1 时，3m 2 ＋m−2＝0， 解得m＝−1( 舍去)，m＝ ( 舍去) ；
∴M 3 ( ， ).
故符合条件的M 点坐标为：(4，15)，(−2，3)， ( ， ).
故答案为：(4，15)，(−2，3)， ( ， ).
【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与应用.
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)2
(3)点Q的坐标为或或或
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）求出，直线解析式为，由直线轴，，得，，，故，而，根据，有，即可解得的值；
（3）由，，得，而与相似，且，可知在的右侧，且或，设，当时，，可解得，直线解析式为，联立解析式可解得的坐标；当时，同理得的坐标．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线与轴交于点，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为，
直线轴，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
解得或（与重合，舍去），
的值为2；
（3）解：，，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
与相似，且，
在的右侧，且或，
设，
由（2）知，，，，
，，，，
当时，如图：
，
解得或（此时在左侧，舍去），
，
由，，同（2）得直线解析式为，
，
解得或，
∴点Q的坐标为或；
当时，如图：
，
解得（舍去）或，
，
由，，同（2）得直线解析式为，
，
解得或，
∴点Q的坐标为或．
综上所述，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
易错压轴十：二次函数的综合
例1．已知是关于的一元二次方程的两实数根，则代数式的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据二次根式的性质以及关于的一元二次方程有两个实数根，可列出关于的不等式组，求解即可获得的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系可得，；设，求得关于的函数解析式，然后根据二次函数的图像与性质解得的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，是关于的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得，
又∵，，
设，
∴
，
∴此关于的函数图像开口向上，对称轴为，
∵，
∴当时，可有，
当时，可有，
∴的取值范围是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、二次根式的性质、解不等式组、一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的图像与性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
例2．如图，已知二次函数（其中）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点外接圆的圆心为，抛物线的顶点为，若，则的值为 ．
【答案】3
【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，三角形的外接圆，待定系数法求函数的解析式，两直线平行问题等，解题关键是掌握二次函数的图象及性质．
连接，由题意得点P在直线l上，，设，利用两点的距离公式表示出，可得关于m的方程，再根据待定系数法求出直线、的解析式，由两直线平行得k的值相等，即可得出答案．
【详解】解：外接圆的圆心为P，
，
点P在对称轴直线l上，
连接，如图所示，
时，
解得：，
，点A在点B的左侧，
A点坐标为：，
易知点，
抛物线的对称轴为：，
设点P坐标为：
，
，
解得：
P点的坐标为：
当时，
设直线的解析式为，
解得：
直线的解析式为：
同理得直线的解析式为：，
解得，
故答案为：3．
练习1．如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先求出二次函数的对称轴，结合开口方向再分类讨论，当点P，Q均在对称轴左侧；当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时；若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，分别列式计算，即可作答．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
当点P，Q均在对称轴左侧时，有，，
，
则，
∵m随t的增大而减小，，
∴
当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时
①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有，，
，
则，
对称轴：，在对称轴左侧m随t的增大而减小，
∴
②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，
当时，，，
则，
对称轴：，在对称轴右侧m随t的增大而增大，
∴，
∵，
∴点P，Q不可能均在对称轴右侧．
综上可得：，
故答案为D．
练习2．如图，无论为何值，抛物线一定与轴交于点、与轴交于点，则：
（1）点的坐标为： ；
（2）过点作轴，，且，以为邻边构造正方形，若该抛物线与正方形的边有公共点，则的取值范围为： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与x轴的交点坐标：
（1）根据抛物线解析式为得到当时，则，可得方程的一个根为，由此即可得到答案；
（2），由题意得，点 ，分别求出抛物线恰好经过点Q，恰好经过点P时a的值，再根据函数图象即可得到答案．
【详解】解：（1）∵抛物线解析式为，
∴当时，则，
解得或，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，由题意得，点 ，
当抛物线恰好经过点Q时，则，解得，
当抛物线恰好经过点P时，则，解得，且此时抛物线恰好经过点N，
∴由函数图象可知当时，抛物线与正方形的边有公共点，
故答案为：．
练习3．已知抛物线为常数，与轴交于点、点两点，与轴交于点，对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上的点且在第二象限，过作于点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点M作轴，交于点E，先求出一次函数的解析式，用解直角三角形的方法求出，表示出，设，，分别表示出，最后得到，求出最后结果即可．
【详解】（1）解：点，对称轴为，
，，，
解得：，，
抛物线的表达式为：；
（2）如图，过点M作轴，交于点E，
设的解析式为，
，，
的解析式为，
，，
，
，
，，
，
，，
，
设，，
，
，
，，，
，
，
，
当时， 的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含的直角三角形三边关系，解直角三角形的应用，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，垂直于y轴的动直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，若，则的取值范围是( )

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出点，点，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，可得，再由，可得，然后求出直线的解析式，可得，即可求解．
【详解】解：当时，，
解得：，
∴点，
当时，，
∴点，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．已知二次函数，
（1）随着a的取值变化，图象除经过定点，请写出图象经过的另一个定点坐标 ；
（2）若抛物线与x轴有交点，过抛物线的顶点与定点作直线，该直线与x轴交于点，且，则a的取值范围为 ．
【答案】 或
【分析】（1）根据二次函数的对称性进行解答即可；
（2）由抛物线与x轴有交点得出，解得或，求得过抛物线的顶点与定点的直线解析式，进一步求得与x轴的交点为，即可得出，当时，，即时，，即，即可得出结论．
【详解】解：（1）二次函数的对称轴为，
由二次函数图象过点，对称轴为，因此二次函数的图象过点，
故答案为：；
（2）∵抛物线与x轴有交点，
∴，
∴或，
∵，
∴抛物线的顶点为，
设过抛物线的顶点与定点的直线为，
代入得，，
∴，
∴过顶点与定点的直线为，
令，则，
∴与x轴的交点为，
∵该直线与x轴交于点，且，
∴，
∴当时，，即；
当时，，即，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，求得过顶点与定点的直线x轴的交点为是解题的关键．
3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图像上轴下方的一个动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标；
(3)在二次函数的图象上，是否存在点，使得若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)这个二次函数的表达式为
(2)点的坐标为
(3)点坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，折叠问题，正切的定义；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用折叠的性质和平行线的性质证明，然后设元，求解即可；
（3）当在直线下方和直线上方，根据，得出，进而得出直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴，解得，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：令，则，
解得，，
∴，

设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，，
∴或，
解得（舍去）或（舍去）；
解得（舍去）或；
当时，；
∴点的坐标为；
（3）解：∵
∴
∵
∴
当在下方时，如图所示，过点作轴的平行线，过点作，过点分别作的平行线交于点，

∵，
∴，
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∵
∴
∴
∴
设直线的解析式为
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴点坐标为
当在直线上方时，如图所示，

同理可得是等腰直角三角形，
∴，
同理可得直线的解析式为
联立
解得：或
∴点坐标为，
综上所述，点坐标为或．
消毒液
每瓶售价（元）
每瓶成本（元）
每日其他费用（元）
每日最大产销量（瓶）
30
18
1200＋0.02x2
250