易错压轴02 圆与相关的计算-备战2024年中考数学考试易错题（全国通用）

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例1．如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是弧上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例2．如图，、是中的两条弦，相交于点E，且，，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，，连结，则最小值为 ．
练习1．如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
练习2．如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为E，则半径为
练习3．如图，内接，点A为的中点，D为边上一点，，是的切线，，连接．

(1)求证：；
(2)当点A到弦的距离为1时，求的值．
1．如图，为的直径，为上一点，过点作交于点，交于点，连接，，过点作于点，交于点，若，，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．
3．在中，点A，点B，点P在圆上，．
(1)如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小；
(2)如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长．
易错压轴二：弧、弦、圆心角的关系
例1．如图，线段，分别为的弦，，，平分，若，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
例2．将的劣弧沿弦折叠、刚好落在半径的中点C处，已知，则 ．
练习1．如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（ ）

A．B．C．D．
练习2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段的长为 ；
（2）若点D在圆上，在上有一点P，满足．
请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
练习3．如图，是的外接圆，，于点D，延长线交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
1．如图，是的直径，为弦，是弧的中点，连接交于，若，，则（ ）
A．1B．C．D．2
2．在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．
（1）若点E是弧的中点，则 ；
（2）若，则 ．（用关于n的代数式表示）
3．已知的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．

(1)如图1，若，求的长．
(2)如图2，若E为弦的中点，求证：．
(3)连接、、，若是的内接正n边形的一边，是⊙O的内接正边形的一边，求的面积．
易错压轴三：圆周角
例1．如图，内接于，，是的直径，连结，平分交于，若，则的半径为（ ）
A．B．C．D．5
例2．如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
练习1．如图，在中，，，以边为直径作，与线段的延长线分别交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
练习2．如图，O、B两点是线段的三等分点，以为直径作，连接，交于点D，若点D恰为线段中点，则为 ．
练习3．如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
1．如图，已知点，，在上，C为的中点．若，则等于（ ）．
A．B．C．D．
2．如图，在中，，、，点是内部的一个动点，连接，且满足．
（1） ；
（2）当线段最短时，的面积为 ．
3．如图，是的直径，，在上两点，连结，．

(1)如图1，点是延长线上一点，，求证：与相切；
(2)如图2，点在上，于点，连接并延长交于点，若为的直径，，，
①求证：；
②求半径的长．
易错压轴四：切线长定理
例1．如图，，切于、两点，切于点，分别交，于，，，若的半径为，的周长等于，则的值是（ ）
A．B．C．D．
例2．如图，在中，，，以为直径作半圆，过点作半圆的切线，切点为，过点作交于点，则 ．
练习1．如图，是的直径，、是的两条切线，、是切点，若，，则的长度为（ ）
A．1B．C．D．
练习2．如图，的内切圆与，分别相切于D，E两点，连接，的延长线交于点F，若，则的大小是 ．

练习3．如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的度数．
1．如图，与正方形 的两边 ，相切，且与 相切于 点. 若 的半径为，且 ，则 的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知是的内切圆，
（1）若，则 °；
（2）如图，若与边相切于点P，且，，，则 ．
3．如图是的直径，，与分别相切于点B，C，交的延长线于点D，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
易错压轴五：正多边形与圆
例1．如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
例2．图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．
（1）连接，的长为 ；
（2）a的取值范围是 ．
练习1．如图，在中，顶点，，，将与正六边形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
练习2．如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a，左右两个正六边形边长均为b．
（1） ；（2）若，则 ．
练习3．【观察发现】
（1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______；
（2）如图2，已知和都是等边三角形，连接，求证：；
【拓展应用】
（3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
1．如图所示的正六边形中，点M是边的中点，连接，相交于点N．若正六边形的面积为6，阴影部分①的面积为a，阴影部分②的面积为b，则的值是（ ）
A．B．1C．D．2
2．如图，在边长为2的正六边形中，点，分别是，的中点，连接，，与相交于点，则的值为 ．

3．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点．
(1)①若，则_______；
②猜想和的数量关系，并证明；
(2)如图2，当经过圆心时，若，，求；
(3)作于点，求的值．
易错压轴六：弧长与扇形面积
例1．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
例2．如图是相同的边长为的菱形组成的网格，已知，点均在小菱形的格点（网格线的交点）上，且点在上，则的长为 ．
练习1．如图，在中，，以点为圆心，长为半径所作的弧经过点，并与边交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
练习2．如图是一个圆形分格干果盒，它由六个小格组成，中间是圆形，周围是五个完全相同的扇环形．它的俯视图（小格的厚度忽略不记）中，，，则图中阴影部分的面积是 ．（用含的代数式表示）

练习3．（1）问题提出：如图1，是边长为8的等边三角形，D是边上一点且平分的面积，求的长为 ；
（2）问题探究：如图2是某公园的一块空地，由和四边形组成，， ，米，，，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路（小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在边上），分别种植不同的花卉，请在图中确定点M的位置，并计算小路的长．（结果保留根号）
（3）拓展应用：如图3某公园的一块空地由三条道路围成，即线段、、，已知米，米，，的圆心在边上，并从的中点P修一条直路（点M在上）．请问是否存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由
1．如图，在四边形中，，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点从点C运动到点时，线段扫过的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕弧的中点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，点落在上，点落在上，则图中阴影部分的面积为 ．
3．如图，在中，，过点作，垂足于点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若半径为4，，求阴影部分的面积；
(3)求证：．
易错压轴七：圆中最值问题
例1．如图，和都是等腰直角三角形，，点D是边上的动点（不与点B、C重合），与交于点，连结．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在的延长线上，且的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④
例2．如图，二次函数与x轴交于AB两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，若点D坐标为（0，2），以D点为圆心，R为半径作圆，P为⊙D上一动点，当△APC面积最小为5时，则R＝ ．
练习1．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，以为直径的经过边上的一点F．若使最小，则的值为（ ）

A．1B．C．D．
练习2．如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则当 时，切线长值最小，最小值为 ．
练习3．定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
(1)如图①，线段，则线段的最小覆盖圆的半径为_________；
(2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________；
(3)如图③，矩形中，，，则矩形的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为_________．
1．如图，等边边长为6，E、F分别是边、上两个动点且．分别连接、，交于P点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
2．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ．
3．综合与实践：
【问题情境】
数学活动课上，同学们发现以下结论：如图，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点，那么和数量关系是________，和位置关系是________；
【思考尝试】
如图，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，直接写出与的数量关系________；
【实践探究】
如图，四边形和四边形都是矩形，若，连接．求出与的数量关系；
【拓展迁移】
如图，在【实践探究】的基础上，若，，如果所在直线相交于点，请直接写出矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值________．
易错压轴八：圆与三角形的综合
例1．如图所示，点P是的半径延长线上的一点，过点P作的切线，切点为A，是的弦，连接，，若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
例2．如图，已知为等腰三角形的外接圆，为劣弧上一点，连接交于点，若，则的值为 ．
练习1．如图，已知直线，与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连接、，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
练习2．如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，，若点D的坐标为，则的最小值为 ．
练习3．已知：是的两条弦，（如图1），点M、N分别在弦上，且，连接．
(1)求证：；
(2)当是锐角时，如果，求证：四边形是等腰梯形；
(3)过M作，交于E；过N作，交于点F，如图2．求证：．
1．如图，在中，，过点，的分别交，于，两点，连接并延长交于点，连接，．若，，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
2．如图，内接于，于点D，若，当时，则半径与的比值为 ．

3．已知：为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，延长交的延长线于点的平分线分别交于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，如果是的中点，且，求线段的长．
易错压轴九：圆与四边形的综合
例1．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2．如图，四边形内接于，其中，分别延长、交于点，若，则的半径为 ．
练习1．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A．6B．8C．9D．10
练习2．如图，在四边形中，，，，，为线段上的一个动点，连接，以为直径作，当与直角梯形的边相切时，线段的最小值为 ．
练习3．【感知】如图①点均在上，，则的大小为______度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接．
四边形是的内接四边形，，
，
是等边三角形，，
．请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连接，若，求的值．
1．如图，的半径为，四边形ABCD为的内接矩形，，M为DC中点，E为上的一个动点，连结DE，作交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为 ．
3．如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点．
(1)证明：；
(2)若，求的度数；
(3)设交于点，若，，是的中点，求的值．
易错压轴十：圆与函数的综合
例1．如图，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．2
例2．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，直角边在轴上，其内切圆的圆心坐标为，抛物线的顶点为，则 ．

练习1．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（ ）

A．B．C．D．﹣2
练习2．如图，二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点，若点坐标为，以点为圆心，为半径作圆，为上一动点，当面积最小为5时，则 ．
练习3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于点，．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标；
(3)如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明．
1．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
2．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为 ．
3．已知顶点为M（1，）的抛物线经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P（，），Q（，）是抛物线上的两点，当，时，均有，求m的取值范围；
(3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．