2023-2024学年福建省部分优质高中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省部分优质高中高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足z⋅(1+i)=3+2i，则z的实部为( )
A. 54B. 12C. 52D. −52
2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A. AB=DCB. AD+AB=AC
C. AB−AD=BDD. AD+CB=0
3.下列说法中错误的是( )
A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
4.已知向量a=(−1,−1)，b=(−1,1)，若(λa+b)⊥(μa+b)，则( )
A. λμ=−1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λ+μ=1
5.下列说法错误的是( )
A. |CD|=|DC|B. e1，e2是单位向量，则|e1|=|e2|
C. 若|AB|>|CD|，则AB>CDD. 两个相同的向量的模相等
6.已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线，若α∩β=l，α∩γ=a，β∩γ=b，l//γ，则下列结论正确的是( )
A. a与l相交B. b与l相交C. a/​/bD. a与β相交
7.第九届中国国际“互联网+”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G+光网”双千兆城市建设.如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得∠ACB=60°，∠ACD=105°，∠ADC=30°，∠ADB=60°，则A，B两个基站的距离为( )
A. 10 6kmB. 30( 3−1)kmC. 15kmD. 10 5km
8.我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球(如图①)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即12V球=πR2⋅R−13πR12⋅R=23πR3.现将椭圆x24+y29=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③)，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于( )
A. 32πB. 24πC. 18πD. 16π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2满足3z1+z2=−1−2i，z1+3z2=5+2i，则( )
A. z1=−1−iB. z2=2+i
C. z1−z2=−3+2iD. z1z2=−3−i5
10.下列说法中，正确的是( )
A. 向量e1=(2,−3),e2=(12,−34)能作为平面内所有向量的一个基底
B. 若a⋅b|CD|，则AB,CD不能比较大小，故C错误；
对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确．
故选：C．
由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案．
本题考查的知识点：向量的定义，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，l//γ，l⊂平面α，α∩γ=a，则l/​/a，故A错误；
对于B，同理可得，l/​/b，故B错误；
对于C，由l/​/a且l/​/b，则a/​/b，故C正确；
对于D，由A知l/​/a，则a⊄平面β，l⊂平面β，则a/​/β，故D错误．
故选：C．
根据题意，由空间中直线与平面的关系即可结合选项逐一求解．
本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行的性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：在△ACD中，∠CAD=180°−105°−30°=45°，
由正弦定理得CDsin45∘=ADsin105∘，
因为sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cs60°+cs45°sin60°= 22(12+ 32)= 6+ 24，CD=20，
所以AD=sin105°sin45∘⋅CD= 6+ 24 22⋅20=10( 3+1)，
在△BCD中，易知∠BCD=45°，∠BDC=90°，
所以∠CBD=45°，所以BD=CD=20，
由余弦定理得AB= AD2+BD2−2×AD×BD×cs60°= 600=10 6．
故选：A．
首先求得∠CAD=45°，在△ACD中，运用正弦定理求得AD，进一步求得BD，由此在△ABD中利用余弦定理即可求解．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，
则当截面与顶点距离为h(0≤h≤3)时，小圆锥底面半径为r，
则h3=r2，∴r=23h，
故截面面积为：4π−49πh2，
把y=h代入x24+y29=1，
即x24+h29=1，
解得：x=±23 9−h2，
∴橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π−49πh2，
由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：
V=2(V圆柱−V圆锥)=2×(4π×3−13×4π×3)=16π．
故选：D．
构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积．
本题考查了类比推理的应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：∵3z1+z2=−1−2i，z1+3z2=5+2i，
∴z1=−1−i，z2=2+i，
∴所以z1−z2=−3−2i，z1z2=−1−i2+i=−(1+i)(2−i)5=−3−i5．
故选：ABD．
根据复数的四则运算求解即可．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】【分析】
A：判断e1与e2是否共线即可；B：根据向量数量积的定义和钝角的概念即可判断；C：根据向量加减法计算法则即可计算；D：根据投影向量的概念和计算方法即可求解判断．
本题考查了平面向量基本定理、向量的加减运算、向量的夹角以及投影向量的概念，属于基础题．
【解答】
解：对于A，∵e1 =4e2 ，∴e1 //e2 ，故这两个向量不能作为基底，故A错误；
对于B，a⋅b0，解得a>3．
∴实数a的取值范围为a>3．
【解析】(1)结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数z−⋅(1+3i)，由已知条件可求得实数m的值；
(2)利用复数的除法求z2，再结合复数的几何意义求解．
本题考查了复数的运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
16.【答案】解：(1)a在b方向上的投影为|a|cs45°= 2× 22=1；
(2)a⋅b= 2×1× 22=1，
|a+2b|2=a2+4a⋅b+4b2=2+4+4=10，
则|a+2b|= 10；
(3)向量(2a−λb)与(λa−3b)的夹角是锐角，
可得(2a−λb)⋅(λa−3b)>0，且(2a−λb)与(λa−3b)不共线，
即为2λa2+3λb2−(6+λ2)a⋅b>0，
即有7λ−(6+λ2)>0，解得1