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2023-2024学年陕西省商洛市洛南县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年陕西省商洛市洛南县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果二次根式 a有意义，那么a的值可以是( )
A. −3B. −2.5C. −1D. 1
2.下列四组数中，为勾股数的是( )
A. 2，3，5B. 4，12，13C. 9，40，41D. 1，2，3
3.命题“若a>b，则a2>b2”的逆命题是( )
A. 若a>b，则a2b2
C. 若a2>b2，则a>bD. 若a2>b2，则a4.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于( )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 10
5.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 四个角都相等
6.下列计算正确的是( )
A. 6+ 3=3B. 6− 3= 3C. 6× 3=3 2D. 6÷ 3=2
7.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是( )
A. 5 3尺B. 6.25尺C. 4.75尺D. 3.75尺
8.如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与BC，AD交于点E，F，连接BO，CF，若AB=BO，BE=EO，则下列结论中错误的是( )
A. ∠BAO=60°B. AC⊥EFC. OF=DFD. AB=2BE
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.化简(− 3)2的结果是______．
10.如图所示，在四边形ABCD中，∠1=∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是______.(只填一个即可)
11.如果最简二次根式 3a−3与最简二次根式 7−2a可以合并，那么a的值是______．
12.长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是______cm．
13.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF=CE=4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算： 8− 2( 2+2)+ 12 3．
15.(本小题5分)
如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC.求证：△ABC≌△CDA．
16.(本小题5分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC与BD交于点O.求△BOC与△DOC的周长差．
17.(本小题5分)
如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E，F.求证：四边形PEBF是正方形．
18.(本小题5分)
如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽BE=4米，高AE=3米，且AE⊥BE，长AD=10米，棚的斜面用矩形玻璃ABCD遮盖，不计墙的厚度，请计算矩形玻璃ABCD的面积．
19.(本小题5分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=BD=6，求AC的长及菱形ABCD的面积．
20.(本小题5分)
已知：x= 10−3，y= 10+3.求值：
(1)x+y；
(2)x2y+xy2．
21.(本小题6分)
如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，延长CD到F，使DF=BE，连接AF、EF，若AE=3，求EF的长．
22.(本小题7分)
在一个长为( 10+2 5)，宽为2 5的矩形内部挖去一个边长为2 3的正方形，求剩余部分的面积．
23.(本小题7分)
如图，在△DBC中，∠D=90°，A是BD上一点，连接AC，且BD=8cm，CD=4cm，若AB=AC，求△ABC的周长．
24.(本小题8分)
在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠AEF=∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
25.(本小题8分)
在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷.图是他们搭建帐篷的支架示意图.在△ABC中，两根支架从帐篴顶点A支撑在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且AE=BE.经测量，知BD=1.6m，AD=1.2m，AC=1.5m.根据测量结果，解答下列问题：
(1)求AE的长；
(2)按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定.请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求．
26.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.过点A作AE//BD，过点D作DE//AC交AE于点E．
(1)求证：四边形AODE是矩形；
(2)连接OE，交AD于点M，过点D作DN⊥OE，垂足为点N，若AE=6，∠ABC=60°，求DN的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：如果二次根式 a有意义，那么a≥0，
所以a的值可以是1，
故选：D．
根据二次根式 a有意义，则a≥0，观察选项即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：A、22+32≠52，不是勾股数，不符合题意；
B、42+122≠132，不是勾股数，不符合题意；
C、92+402=412，是勾股数，符合题意；
D、12+22≠32，不是勾股数，不符合题意，
故选：C．
根据勾股数的定义对各选项进行解答即可．
本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：“若a>b，则a2>b2”的条件是“a>b”，结论是“a2>b2”，其逆命题是若a2>b2则a>b．
故选：C．
把一个命题的条件和结论互换即可得到其逆命题．
此题考查命题与定理，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
4.【答案】C
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4，
∴BC=2DE=2×4=8，
故选：C．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故C选项符合题意；
D、菱形和平行四边形的四个角都不一定相等，故D选项不符合题意；
故选：C．
由菱形的性质和平行四边形的性质对边对各个选项进行判断，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、 6+ 3不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误；
B、 6− 3不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误；
C、 6× 3=3 2，正确；
D、 6÷ 3= 2，故此选项错误；
故选：C．
直接利用二次根式的加减以及二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，
根据勾股定理得：x2+52=(10−x)2．
解得：x=3.75，
∴折断处离地面的高度为3.75尺，
故选：D．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
8.【答案】D
【解析】解：在矩形ABCD中，O为AC的中点，
∴OA=OB=OC，
又∵AB=BO，
∴AB=OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，故A结论正确，不符合题意；
如图所示，连接AE，在△ABE和△AOE中，
AB=AOAE=AEBE=OE，
∴△ABE≌△AOE(SSS)，
∴∠AOE=∠ABE，∠BAE=∠OAE=12∠BAO=30°，
在矩形ABCD中，∠ABE=90°，
∴∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，故B结论正确，不符合题意；
在Rt△ABE中，AE=2BE，
∴AB= AE2−BE2= 3BE，故D结论错误，符合题意；
∵OC=AB，AB=CD，
∴OC=DC，
又∵CF=CF，
∴Rt△OCF≌Rt△DCF(HL)，
∴OF=DF，故C结论正确，不符合题意；
故选：D．
先由矩形的性质得到OA=OB=OC，进而证明△AOB是等边三角形，由此即可判断A；如图所示，连接AE，证明△ABE≌△AOE得到∠AOE=∠ABE，∠BAE=∠OAE=30°，由此即可判断B、D；证明Rt△OCF≌Rt△DCF，得到OF=DF，由此即可判断D．
本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
9.【答案】3
【解析】解：(− 3)2=3．
故答案为：3．
利用二次根式的性质“( a)2=a”和积的乘方可得结果．
本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质“( a)2=a”是解决本题的关键．
10.【答案】AB=CD(答案不唯一)
【解析】解：添加AB=CD，
∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB=CD(答案不唯一)．
根据平行四边形的判定定理进行解答．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
11.【答案】2
【解析】解：∵最简二次根式 3a−3与最简二次根式 7−2a可以合并，
∴3a−3=7−2a，
解得：a=2．
故答案为：2．
根据题意可得最简二次根式 3a−3与最简二次根式 7−2a可以合并，根据被开方数相同，即可得出a的值．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
12.【答案】 145
【解析】解：如图所示，
路径一：AB= (4+8)2+52=13；
路径二：AB= (5+4)2+82= 145；
路径三：AB= (5+8)2+42= 185；
∵ 185>13> 145，
∴ 145cm为最短路径．
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视(或正视和侧视，或俯视和侧视)二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．
13.【答案】 13
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE=∠C=90°，AD=DC=BC，
∵BF=CE，
∴CF=DE，
在△ADE和△DCF中，
AD=CD∠ADE=∠CDE=CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠CDF+∠DEA=90°，
∴∠AGF=∠DGE=90°，
∵点H为AF的中点，
∴GH=12AF，
∵AB=6，BF=4，
∴AF= AB2+BF2= 62+42=2 13，
∴GH= 13，
故答案为： 13．
先证明△ADE≌△DCF，进而得∠AGF=90°，用勾股定理求得AF，便可得GH．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
14.【答案】解：原式=2 2−(2−2 2)+2
=2 2−2+2 2+2
=4 2．
【解析】首先对二次根式进行化简，计算二次根式的乘法，然后合并同类二次根式即可求解．
本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
15.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，
在△ABC和△CDA中，
AB=DCBC=ADAC=CA，
∴△ABC≌△CDA(SSS)．
【解析】直接利用平行四边形的对边相等，得出AB=DC，AD=BC，再利用全等三角形的判定方法得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
16.【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=6，BC=8，
∴CD=AB=6，OB=OD，
∴C△BOC−C△DOC=OB+OC+BC−(OD+OC+CD)=BC−CD=8−6=2，
∴△BOC与△DOC的周长之差为2．
【解析】利用矩形的性质可得CD=AB=6，OB=OD，再根据三角形的公式计算即可．
本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠DBC=∠ABD=45°，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEB=∠PFB=∠EBF=90°，
∴四边形PEBF是矩形，
∵∠FBP=∠FPB=45°，
∴FB=FP，
∴四边形PEBF是正方形．
【解析】根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．
本题考查了正方形的性质，熟练掌握相关判定及性质，是解题的关键．
18.【答案】解：在Rt△AEB中，AB= 32+42=5，
矩形ABCD的面积=10×5=50(米 2)
答：矩形玻璃的面积是50平方米．
【解析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽，再根据矩形的面积公式计算．
此题运用了勾股定理，注意阳光透过的最大面积，即是矩形的面积，难度一般．
19.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AC⊥BD，
AC=2AO，OD=12BC=3，
∵AB=BD=6，
∴AD=AB=BD=6，
∴AO= AD2−OD2=3 3，
∴AC=2AO=6 3，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×6×6 3=18 3．
【解析】根据菱形的性质，勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，难度不大．
20.【答案】解：(1)x+y= 10−3+ 10+3=2 10；
(2)由(1)知x= 10−3，y= 10+3，x+y=2 10，
∴xy=( 10−3)( 10+3)=1，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=x+y=2 10．
【解析】(1)直接将x= 10−3，y= 10+3代入进行计算即可；
(2)由(1)知x+y=2 10，计算出xy=1，再将x2y+xy2化为xy(x+y)，再代入数据进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及顺序是解此题的关键．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ADF=∠ABE，
在△ADF和△ABE中，
AD=AB∠ADF=∠ABEDF=BE，
∴△ADF≌△ABE(SAS)，
∴AF=AE=3，∠DAF=∠BAE，
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠DAF+∠EAD=90°，
∴∠FAE=90°，
∴EF= AF2+AE2= 32+32=3 2，
即EF的长是3 2．
【解析】根据正方形的性质和全等三角形的性质，可以得到AF和AE的长，∠FAE的度数，然后根据勾股定理即可得到EF的长．
本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：由题意可得，( 10+2 5)×2 5−(2 3)2=2 50+20−12=10 2+8．
即剩余部分的面积为10 2+8．
【解析】用矩形的面积减去正方形的面积即可求出剩余部分的面积．
此题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键．
23.【答案】解：设AB=AC=x cm，则AD=(8−x)cm，
∵∠D=90°，
在Rt△ACD中根据勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即(8−x)2+42=x2，解得x=5，
∴AB=AC=5cm，
在Rt△BDC中根据勾股定理得：BC= BD2+CD2= 82+42=4 5cm，
∴C△ABC=5+5+4 5=(10+4 5)cm．
【解析】可设AC的长为x，根据勾股定理可求出AC的长，再根据勾股定理可求出BC的长，最后即可求得三角形ABC的周长．
本题考查了勾股定理，熟记勾股定理，能根据勾股定理列方程和根据勾股定理直接求解是解本题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AB//CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵AB//CD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵∠AEF=∠CEF，
∴∠CFO=∠CEF，
∴CE=CF，
由(1)知四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AO=CO，AB//CD，根据平行线的性质得到∠EAO=∠FCO，根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AECF是平行四边形；
(2)根据平行线的性质得到∠AEO=∠CFO，等量代换得到∠CFO=∠CEF，求得CE=CF，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设AE=x m，则BE=AE=x m，ED=(1.6−x)m，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADE中，AD2+ED2=AE2，
1.22+(1.6−x)2=x2，解得x=54．
∴AE的长为54m；
(2)帐篷符合要求．
理由如下：
在Rt△ABD中，BD=1.6m，AD=1.2m，
∴AB= BD2+AD2= 1．62+1．22=2m，
在Rt△ADC中，AD=1.2m，AC=1.5m，
∴CD= AC2−AD2= 1．52−1．22=0.9m，
∴BC=BD+CD=2.5m，
∵AB2+AC2=22+1.52=6.25，BC2=2.52=6.25，
∴AB2+AC2=BC2．
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°．
∴帐篷符合要求．
【解析】(1)设AE=x m，则BE=AE=x m，ED=(1.6−x)m，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求解；
(2)利用勾股定理求出AB与CD的长，从而得出BC的长，再利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，进而得出结论．
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵AE//BD，DE//AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴平行四边形AODE为矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=AD，AO=CO，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=12∠ABC=30°，
∴∠ADB=∠ABD=30°，
∵四边形AODE是矩形，
∴AD=OE，DM=12AD，OM=12OE，AE=OD=6，
∴DM=OM，
∴∠MOD=∠ADB=30°，
在Rt△ODN中，∠MOD=30°，
∴DN=12OD=12×6=3．
【解析】(1)先根据AE//BD，DE//AC证得四边形AODE是平行四边形，然后根据AC⊥BD，证得平行四边形AODE为矩形；
(2)根据∠ABC=60°以及菱形和矩形的性质证明∠MOD=30°，AE=OD=6，再利用直角三角形的性质求出DN．
本题考查了矩形的判定，菱形的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法以及菱形的性质．
1.如果二次根式 a有意义，那么a的值可以是( )
A. −3B. −2.5C. −1D. 1
2.下列四组数中，为勾股数的是( )
A. 2，3，5B. 4，12，13C. 9，40，41D. 1，2，3
3.命题“若a>b，则a2>b2”的逆命题是( )
A. 若a>b，则a2
C. 若a2>b2，则a>bD. 若a2>b2，则a
A. 2
B. 4
C. 8
D. 10
5.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 四个角都相等
6.下列计算正确的是( )
A. 6+ 3=3B. 6− 3= 3C. 6× 3=3 2D. 6÷ 3=2
7.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是( )
A. 5 3尺B. 6.25尺C. 4.75尺D. 3.75尺
8.如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与BC，AD交于点E，F，连接BO，CF，若AB=BO，BE=EO，则下列结论中错误的是( )
A. ∠BAO=60°B. AC⊥EFC. OF=DFD. AB=2BE
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.化简(− 3)2的结果是______．
10.如图所示，在四边形ABCD中，∠1=∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是______.(只填一个即可)
11.如果最简二次根式 3a−3与最简二次根式 7−2a可以合并，那么a的值是______．
12.长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是______cm．
13.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF=CE=4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算： 8− 2( 2+2)+ 12 3．
15.(本小题5分)
如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC.求证：△ABC≌△CDA．
16.(本小题5分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC与BD交于点O.求△BOC与△DOC的周长差．
17.(本小题5分)
如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E，F.求证：四边形PEBF是正方形．
18.(本小题5分)
如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽BE=4米，高AE=3米，且AE⊥BE，长AD=10米，棚的斜面用矩形玻璃ABCD遮盖，不计墙的厚度，请计算矩形玻璃ABCD的面积．
19.(本小题5分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=BD=6，求AC的长及菱形ABCD的面积．
20.(本小题5分)
已知：x= 10−3，y= 10+3.求值：
(1)x+y；
(2)x2y+xy2．
21.(本小题6分)
如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，延长CD到F，使DF=BE，连接AF、EF，若AE=3，求EF的长．
22.(本小题7分)
在一个长为( 10+2 5)，宽为2 5的矩形内部挖去一个边长为2 3的正方形，求剩余部分的面积．
23.(本小题7分)
如图，在△DBC中，∠D=90°，A是BD上一点，连接AC，且BD=8cm，CD=4cm，若AB=AC，求△ABC的周长．
24.(本小题8分)
在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠AEF=∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
25.(本小题8分)
在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷.图是他们搭建帐篷的支架示意图.在△ABC中，两根支架从帐篴顶点A支撑在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且AE=BE.经测量，知BD=1.6m，AD=1.2m，AC=1.5m.根据测量结果，解答下列问题：
(1)求AE的长；
(2)按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定.请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求．
26.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.过点A作AE//BD，过点D作DE//AC交AE于点E．
(1)求证：四边形AODE是矩形；
(2)连接OE，交AD于点M，过点D作DN⊥OE，垂足为点N，若AE=6，∠ABC=60°，求DN的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：如果二次根式 a有意义，那么a≥0，
所以a的值可以是1，
故选：D．
根据二次根式 a有意义，则a≥0，观察选项即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：A、22+32≠52，不是勾股数，不符合题意；
B、42+122≠132，不是勾股数，不符合题意；
C、92+402=412，是勾股数，符合题意；
D、12+22≠32，不是勾股数，不符合题意，
故选：C．
根据勾股数的定义对各选项进行解答即可．
本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：“若a>b，则a2>b2”的条件是“a>b”，结论是“a2>b2”，其逆命题是若a2>b2则a>b．
故选：C．
把一个命题的条件和结论互换即可得到其逆命题．
此题考查命题与定理，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
4.【答案】C
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4，
∴BC=2DE=2×4=8，
故选：C．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故C选项符合题意；
D、菱形和平行四边形的四个角都不一定相等，故D选项不符合题意；
故选：C．
由菱形的性质和平行四边形的性质对边对各个选项进行判断，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、 6+ 3不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误；
B、 6− 3不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误；
C、 6× 3=3 2，正确；
D、 6÷ 3= 2，故此选项错误；
故选：C．
直接利用二次根式的加减以及二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，
根据勾股定理得：x2+52=(10−x)2．
解得：x=3.75，
∴折断处离地面的高度为3.75尺，
故选：D．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
8.【答案】D
【解析】解：在矩形ABCD中，O为AC的中点，
∴OA=OB=OC，
又∵AB=BO，
∴AB=OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，故A结论正确，不符合题意；
如图所示，连接AE，在△ABE和△AOE中，
AB=AOAE=AEBE=OE，
∴△ABE≌△AOE(SSS)，
∴∠AOE=∠ABE，∠BAE=∠OAE=12∠BAO=30°，
在矩形ABCD中，∠ABE=90°，
∴∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，故B结论正确，不符合题意；
在Rt△ABE中，AE=2BE，
∴AB= AE2−BE2= 3BE，故D结论错误，符合题意；
∵OC=AB，AB=CD，
∴OC=DC，
又∵CF=CF，
∴Rt△OCF≌Rt△DCF(HL)，
∴OF=DF，故C结论正确，不符合题意；
故选：D．
先由矩形的性质得到OA=OB=OC，进而证明△AOB是等边三角形，由此即可判断A；如图所示，连接AE，证明△ABE≌△AOE得到∠AOE=∠ABE，∠BAE=∠OAE=30°，由此即可判断B、D；证明Rt△OCF≌Rt△DCF，得到OF=DF，由此即可判断D．
本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
9.【答案】3
【解析】解：(− 3)2=3．
故答案为：3．
利用二次根式的性质“( a)2=a”和积的乘方可得结果．
本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质“( a)2=a”是解决本题的关键．
10.【答案】AB=CD(答案不唯一)
【解析】解：添加AB=CD，
∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB=CD(答案不唯一)．
根据平行四边形的判定定理进行解答．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
11.【答案】2
【解析】解：∵最简二次根式 3a−3与最简二次根式 7−2a可以合并，
∴3a−3=7−2a，
解得：a=2．
故答案为：2．
根据题意可得最简二次根式 3a−3与最简二次根式 7−2a可以合并，根据被开方数相同，即可得出a的值．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
12.【答案】 145
【解析】解：如图所示，
路径一：AB= (4+8)2+52=13；
路径二：AB= (5+4)2+82= 145；
路径三：AB= (5+8)2+42= 185；
∵ 185>13> 145，
∴ 145cm为最短路径．
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视(或正视和侧视，或俯视和侧视)二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．
13.【答案】 13
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE=∠C=90°，AD=DC=BC，
∵BF=CE，
∴CF=DE，
在△ADE和△DCF中，
AD=CD∠ADE=∠CDE=CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠CDF+∠DEA=90°，
∴∠AGF=∠DGE=90°，
∵点H为AF的中点，
∴GH=12AF，
∵AB=6，BF=4，
∴AF= AB2+BF2= 62+42=2 13，
∴GH= 13，
故答案为： 13．
先证明△ADE≌△DCF，进而得∠AGF=90°，用勾股定理求得AF，便可得GH．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
14.【答案】解：原式=2 2−(2−2 2)+2
=2 2−2+2 2+2
=4 2．
【解析】首先对二次根式进行化简，计算二次根式的乘法，然后合并同类二次根式即可求解．
本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
15.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，
在△ABC和△CDA中，
AB=DCBC=ADAC=CA，
∴△ABC≌△CDA(SSS)．
【解析】直接利用平行四边形的对边相等，得出AB=DC，AD=BC，再利用全等三角形的判定方法得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
16.【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=6，BC=8，
∴CD=AB=6，OB=OD，
∴C△BOC−C△DOC=OB+OC+BC−(OD+OC+CD)=BC−CD=8−6=2，
∴△BOC与△DOC的周长之差为2．
【解析】利用矩形的性质可得CD=AB=6，OB=OD，再根据三角形的公式计算即可．
本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠DBC=∠ABD=45°，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEB=∠PFB=∠EBF=90°，
∴四边形PEBF是矩形，
∵∠FBP=∠FPB=45°，
∴FB=FP，
∴四边形PEBF是正方形．
【解析】根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．
本题考查了正方形的性质，熟练掌握相关判定及性质，是解题的关键．
18.【答案】解：在Rt△AEB中，AB= 32+42=5，
矩形ABCD的面积=10×5=50(米 2)
答：矩形玻璃的面积是50平方米．
【解析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽，再根据矩形的面积公式计算．
此题运用了勾股定理，注意阳光透过的最大面积，即是矩形的面积，难度一般．
19.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AC⊥BD，
AC=2AO，OD=12BC=3，
∵AB=BD=6，
∴AD=AB=BD=6，
∴AO= AD2−OD2=3 3，
∴AC=2AO=6 3，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×6×6 3=18 3．
【解析】根据菱形的性质，勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，难度不大．
20.【答案】解：(1)x+y= 10−3+ 10+3=2 10；
(2)由(1)知x= 10−3，y= 10+3，x+y=2 10，
∴xy=( 10−3)( 10+3)=1，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=x+y=2 10．
【解析】(1)直接将x= 10−3，y= 10+3代入进行计算即可；
(2)由(1)知x+y=2 10，计算出xy=1，再将x2y+xy2化为xy(x+y)，再代入数据进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及顺序是解此题的关键．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ADF=∠ABE，
在△ADF和△ABE中，
AD=AB∠ADF=∠ABEDF=BE，
∴△ADF≌△ABE(SAS)，
∴AF=AE=3，∠DAF=∠BAE，
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠DAF+∠EAD=90°，
∴∠FAE=90°，
∴EF= AF2+AE2= 32+32=3 2，
即EF的长是3 2．
【解析】根据正方形的性质和全等三角形的性质，可以得到AF和AE的长，∠FAE的度数，然后根据勾股定理即可得到EF的长．
本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：由题意可得，( 10+2 5)×2 5−(2 3)2=2 50+20−12=10 2+8．
即剩余部分的面积为10 2+8．
【解析】用矩形的面积减去正方形的面积即可求出剩余部分的面积．
此题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键．
23.【答案】解：设AB=AC=x cm，则AD=(8−x)cm，
∵∠D=90°，
在Rt△ACD中根据勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即(8−x)2+42=x2，解得x=5，
∴AB=AC=5cm，
在Rt△BDC中根据勾股定理得：BC= BD2+CD2= 82+42=4 5cm，
∴C△ABC=5+5+4 5=(10+4 5)cm．
【解析】可设AC的长为x，根据勾股定理可求出AC的长，再根据勾股定理可求出BC的长，最后即可求得三角形ABC的周长．
本题考查了勾股定理，熟记勾股定理，能根据勾股定理列方程和根据勾股定理直接求解是解本题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AB//CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵AB//CD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵∠AEF=∠CEF，
∴∠CFO=∠CEF，
∴CE=CF，
由(1)知四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AO=CO，AB//CD，根据平行线的性质得到∠EAO=∠FCO，根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AECF是平行四边形；
(2)根据平行线的性质得到∠AEO=∠CFO，等量代换得到∠CFO=∠CEF，求得CE=CF，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设AE=x m，则BE=AE=x m，ED=(1.6−x)m，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADE中，AD2+ED2=AE2，
1.22+(1.6−x)2=x2，解得x=54．
∴AE的长为54m；
(2)帐篷符合要求．
理由如下：
在Rt△ABD中，BD=1.6m，AD=1.2m，
∴AB= BD2+AD2= 1．62+1．22=2m，
在Rt△ADC中，AD=1.2m，AC=1.5m，
∴CD= AC2−AD2= 1．52−1．22=0.9m，
∴BC=BD+CD=2.5m，
∵AB2+AC2=22+1.52=6.25，BC2=2.52=6.25，
∴AB2+AC2=BC2．
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°．
∴帐篷符合要求．
【解析】(1)设AE=x m，则BE=AE=x m，ED=(1.6−x)m，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求解；
(2)利用勾股定理求出AB与CD的长，从而得出BC的长，再利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，进而得出结论．
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵AE//BD，DE//AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴平行四边形AODE为矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=AD，AO=CO，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=12∠ABC=30°，
∴∠ADB=∠ABD=30°，
∵四边形AODE是矩形，
∴AD=OE，DM=12AD，OM=12OE，AE=OD=6，
∴DM=OM，
∴∠MOD=∠ADB=30°，
在Rt△ODN中，∠MOD=30°，
∴DN=12OD=12×6=3．
【解析】(1)先根据AE//BD，DE//AC证得四边形AODE是平行四边形，然后根据AC⊥BD，证得平行四边形AODE为矩形；
(2)根据∠ABC=60°以及菱形和矩形的性质证明∠MOD=30°，AE=OD=6，再利用直角三角形的性质求出DN．
本题考查了矩形的判定，菱形的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法以及菱形的性质．
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