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2023-2024学年江西省赣州市崇义县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江西省赣州市崇义县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各等式成立的是( )
A. (− 5)2=−5B. (−3)2=−3C. ( 3)2=3D. (−2)2=±2
2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是( )
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 7，8，9D. 9，40，41
3.下列计算不正确的是( )
A. 2× 3= 6B. 1 2= 22
C. 2 2+3 2=5 2D. 22+32=2+3
4.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若▱ABCD的周长为20，则△ABE的周长为( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
5.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为( )
A. 10−1B. 10C. 10+1D. 2− 10
6.如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
①四边形EFGH一定是平行四边形；
②若AC=BD，则四边形EFGH是菱形；
③若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是( )
A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.比较大小：4 3______3 5．
8.一个圆柱体的高为10，体积为10π，则它的底面半径是______．
9.已知等腰△ABC的底边BC=5，D是腰AB上一点，且CD=4，BD=3，则AD的长为______．
10.如图，“赵爽弦图”曾作为国际数学大会会标，它是由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为36，小正方形的面积为9，则(a+b)2的值为______．
11.如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=6 3，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是______．
12.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=1，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G.当△ADG为等腰三角形时，AD= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c).这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦---九韶公式”完成下列问题：
如图，在△ABC中，a=7，b=5，c=6．
(1)求△ABC的面积；
(2)设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
计算：
(1) 18− 32+ 2；
(2) 12÷3 2+( 3− 2)2．
15.(本小题6分)
如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形ABCD的面积和各边边长．
(2)∠BCD是直角吗？说明理由．
16.(本小题6分)
已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF.求证：EB=DF．
17.(本小题6分)
如图，菱形ABCD的边AB上的一点E(不与A，B重合)，请仅用无刻度的直尺画图．
(1)在菱形ABCD的边上找一点F，连接BF，使BF=DE(保留画图痕迹)；
(2)在菱形ABCD的边上找点F，G，使BF=BG=DE，并作出等腰△BFG．
18.(本小题8分)
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响.试问：
(1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．
(1)求证：EF=EB；
(2)若∠BAC=90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
20.(本小题8分)
小明在解决问题：已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值.他是这样分析与解的：
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3，∴a−2=− 3，∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3，
∴a2−4a=−1，∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出1 n+1+ n= ______；
(2)化简1 2+1+1 3+ 2+12+ 3+⋯+1 2024+ 2023；
(3)若a=13+2 2，求3a2−18a+1的值．
21.(本小题9分)
已知：在平面直角坐标系中，任意两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其两点之间的距离公式为MN= (x2−x1)2+(y2−y1)2.如：已知A(1,5)，B(−3,6)，则AB= (−3−1)2+(6−5)2= 17.同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为|x2−x1|或|y2−y1|.如：已知A(0,5)，B(0,−6)，则AB=|(−6)−5|=11．
(1)若点A的坐标为(4,6)，点B的坐标为(4,2)，点C的坐标为(1,2)则AB= ______，BC= ______，AC= ______；
(2)若点A的坐标为(3,1)，点B的坐标为(6,3)，点P是x轴上的动点，求出AP+PB的最小值；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为D(2,4)，E(−2,2)，F(3,2)，请判断此三角形的形状，并说明理由．
22.(本小题9分)
已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
(1)如图1，连接AF、CE，求AF的长；
(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm，ab≠0)，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
23.(本小题12分)
问题背景：我们已经学过平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉.在我们身边还有一种特殊的四边形--等邻边四边形，即：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
(1)如图1，四边形ABCD的顶点A、B、C在网格格点上，请你在5×7的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD要求顶点D在网格格点上．
(2)如图2，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，F是DE上一点，AD=DE，∠AFE=∠B，请说明四边形ABEF是“等邻边四边形”；
(3)如图3，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，AB=3，BE=1，F是线段DE上一点，当四边形ABEF是“等邻边四边形”时，请直接写出DF的长度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A．(− 5)2=5，故该选项不正确，不符合题意；
B. (−3)2=3，故该选项不正确，不符合题意；
C. ( 3)2=3，故该选项正确，符合题意；
D. (−2)2=2，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的性质逐项分析即可求解．
本题考查了算术平方根，二次根式的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
2.【答案】D
【解析】解：A、22+32≠42，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、72+82≠92，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、92+402=412，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D．
根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
3.【答案】D
【解析】解：A、 2× 3= 6，故选项A不符合题意；
B、利用分母有理化，1 2= 22，故选项B不符合题意；
C、根据二次根式的加法，2 2+3 2=5 2，故选项C不符合题意；
D、 22+32= 4+9= 13，故选项D符合题意；
故选：D．
利用二次根式的乘法，加法以及分母有理化分别判断即可．
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法，加法以及分母有理化法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵在▱ABCD中，对角线相互平分，
∴O是BD中点，
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，即EB=ED，
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+DE+AE=AB+AD，
∵▱ABCD的周长为20，
∴AB+AD=10，即△ABE的周长为10，
故选：B．
根据平行四边形性质，由▱ABCD的周长为20可得AB+AD=10，再由对角线相互平分及OE⊥BD即可得到OE是线段BD的中垂线，从而EB=ED，从而△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+DE+AE=AB+AD=10，即可得到答案．
本题考查平行四边形性质求线段长，涉及中垂线的判定与性质，熟记几何性质及判定是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=1，
∴AC= AB2+BC2= 32+12= 10，
∴AM=AC= 10．
∵A点表示−1，
∴M点表示的数为： 10−1，
故选：A．
首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示−1，可得M点表示的数．
此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
6.【答案】D
【解析】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH//BD，GF//BD，EF//AC，EH=12BD，EF=12AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故选：D．
根据三角形中位线定理得到EH//BD，GF//BD，EF//AC，EH=12BD，EF=12AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】>
【解析】解：∵(4 3)2=48，
(3 5)2=45，
∵48>45，
∴4 3>3 5，
故答案为：>．
由于题干所给的两个数中含有根号并且都为正数，则首先取两个数的平方值进行比较，平方值较大的数较大，由此即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，对于含有根号的两个正数比较大小，可以通过比较他们平方值的大小从而得到两数的大小关系．
8.【答案】1
【解析】解：设圆柱体的底面半径是r(r>0)，
则πr2×10=10π，
解得：r=1，
即它的底面半径是1，
故答案为：1．
设圆柱体的底面半径是r，然后利用算术平方根的定义解得r的值即可．
本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
9.【答案】76
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得∠ADC=90°是解答本题的关键．
根据勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，即∠ADC=90°，设AB=AC=a，在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2=(a−3)2+42，求出a即可．
【解答】
解：设AB=AC=a，
∵BC=5cm，CD=4，BD=3，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，即∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2，
即a2=(a−3)2+42，
解得：a=256，
即AD=256−3=76．
故答案为76．
10.【答案】63
【解析】解：由图可知，(b−a)2=9，
4×12ab=36−9=27，
∴2ab=27，
∴(a+b)2=(b−a)2+4ab=9+2×27=63．
故答案为：63
根据图形表示出小正方形的边长为(b−a)，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
11.【答案】32
【解析】解：如图，连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE=12CM．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．
∵∠C=120°，AC=BC，
∴AM=BM=12AB=3 3，∠A=∠B=30°，
∴AC=2CM，
由勾股定理得：AC2=AM2+CM2，
∴4CM2=27+CM2，
∴CM=3，
∴DE=12CM=32．
故答案为：32．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
12.【答案】1或 3或 33．
【解析】解：①AG=DG，
作GI⊥AD，
∴I为AD中点，AD=2AI，
∵点E、F分别是AB和CD的中点，AB=1，
∴在矩形ABCD中，
EF//AD//BC，
即∠DAE=∠AEF=∠EFD=∠ADF=90°，
四边形AEFD为矩形，
∴IG=AE=12AB=12，
∵△ADG由△ABH沿AH折叠而成，
∴AG=AB=1，
∴AI= AG2−IG2= 1−14= 32，
∴AD=2AI= 3，
②AD=AG，
∴AD=AG=AB=1，
③AD=DG，
EG= AG2−AE2= 1−14= 32，
设AD=DG=x，
∴FG=x− 32，
连接DG，
∵DG2=DF2+GF2，
∴x2=14+(x− 32)2，
化简得1− 3x=0，
解得x= 33，
∴AD= 33，
故答案为：1或 3或 33．
分情况讨论：①AG=DG时，作GI⊥AD，可得四边形AEFD为矩形，IG=12AB=12，△ADG由△ABH沿AH折叠而成，由折叠性质知AG=AB=1，在Rt△AIG中，由勾股定理得AI= 32，即可得AD= 3；
②AD=AG时，由折叠性质知AD=1；
③AD=DG时，在Rt△AEG中，由勾股定理得EG= 32，设AD=DG=x，由边的关系得FG=AD−GE，连接DG，在Rt△DGF中，由勾股定理得DG2=DF2+GF2，即可得AD的值．
本题主要考查了折叠、勾股定理、矩形的性质与判断、分类讨论的数学思想等，解决问题的关键是画出对应的图形．
13.【答案】解．(1)根据题意知p=a+b+c2=9
所以S= p(p−a)(p−b)(p−c)= 9×(9−7)×(9−5)×(9−6)=6 6
∴△ABC的面积为6 6；
(2)∵S=12ch1=12bh2=6 6
∴12×6h1=12×5h2=6 6
∴h1=2 6，h2=125 6
∴h1+h2=225 6．
【解析】(1)根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
(2)按照三角形的面积等于 12×底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．
本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．
14.【答案】解：(1)原式=3 2−4 2+ 2
=0；
(2)原式=13 6+3−2 6+2
=5−53 6．
【解析】(1)先化简各二次根式，再计算加减即可；
(2)先利用二次根式的除法法则和完全平方公式展开，再计算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解决本题的关键．
15.【答案】解：(1)由勾股定理可得：AB2=32+32=18，
则AB= 50=5 2，
∵BC2=42+22=20，
∴BC=2 5，
∵CD2=22+12=5，
∴CD= 5，
∵AD2=32+42=25，
∴AD=5，
四边形ABCD的面积为：7×5−12(1×7+4×2+2×1+4×3)−3=35−17.5=17.5；
(2)∠BCD是直角，理由如下：
由(1)得：BC2=20，CD2=5，而BD2=32+42=25，
故DC 2+BC2=BD2，
则∠BCD=90°．
【解析】(1)直接利用勾股定理得出各边长，进而利用四边形所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
(2)利用勾股定理的逆定理得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及其逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
16.【答案】证明：∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，
∴AD=CB，AD//BC，
∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
AF=CE∠DAF=∠BCEAD=CB，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴EB=DF．
【解析】根据平行四边形的性质得到AD=CB，AD//BC，求得∠DAF=∠BCE，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图(1)，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交CD于点F，连接BF，
则BF即为所求．
(2)如图(2)，连接AC，BD相交于点O，AC交DE于点M，连接EO并延长，交CD于点F，连接BM并延长，交AD于点G，连接BF，BG，FG，
则点F，G以及等腰△BFG即为所求．
【解析】(1)结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交CD于点F，连接BF即可．
.(2)结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接AC，BD相交于点O，AC交DE于点M，连接EO并延长，交CD于点F，连接BM并延长，交AD于点G，连接BF，BG，FG即可．
本题考查作图—复杂作图、菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)A城市会受到这次台风的影响，理由如下：
如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=320千米，
∴AD=12AB=160千米，
∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为：25×(13−5)=200(千米)，
∵160千米<200千米，
∴A城市会受到这次台风的影响；
(2)如图2，以A为圆心，200千米为半径作⊙A交BC于E、F，
则AE=AF=200千米，
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=2 AE2−AD2=2 2002−1602=240(千米)，
∴台风影响该市的持续时间t=240÷20=12(小时)．
【解析】(1)过点A作AD⊥BC于点D，由直角三角形的性质得AD=12AB=160千米，再求出受台风影响范围的半径长，然后比较即可；
(2)以A为圆心，200千米为半径作⊙A交BC于E、F，则AE=AF=200千米，由勾股定理求出DE的长，即可解决问题
本题考查了勾股定理的应用、含30°角的直角三角形的性质以及方向角等知识，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出直角三角形．
19.【答案】(1)证明：∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴EF=EB；
(2)解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AEF≌△DEB，
∴AF=BD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=DC，
∴AF=DC，
又AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=DC，
∴四边形ADCF是菱形；
【解析】(1)由“AAS”证得△AEF≌△DEB，即可得出结论；
(2)先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
20.【答案】 n+1− n
【解析】解：(1)原式= n+1− n( n+1+ n)( n+1− n)= n+1− n；
故答案为： n+1− n；
(2)原式= 2−1+ 3− 2+2− 3+…+ 2024− 2023
= 2024−1
=2 506−1；
(3)∵a=13+2 2=3−2 2，
∴3a2−18a+1=3(a2−6a+9−9)+1=3(a−3)2−26=3×(3−2 2−3)2−26=−2．
(1)模仿例题分母有理化即可；
(2)分母有理化，再合并同类二次根式；
(3)利用整体代入的思想解决问题即可．
本题考查二次根式的化简求值，平方差公式，分母有理化等知识，解题的关键是学会分母有理化．
21.【答案】4 3 5
【解析】解：(1)∵A(4,6)，B(4,2)，C(1,2)，
∴AB=|2−6|=4，
BC=|1−4|=3，
AC= (1−4)2+(2−6)2=5，
故答案为：4，3，5；
(2)画出图象如下：其中点A′是点A关于x轴的对称点，
由将军饮马模型，可知AP+PB的最小值就是A′B的长，
∵A(3,1)，
∴A′(3,−1)，
∵B(6,3)，
∴A′B= (6−3)2+(3+1)2=5，
∴AP+PB的最小值为5；
(3)直角三角形．
理由：∵D(2,4)，E(−2,2)，F(3,2)，
∴DE= (−2−2)2+(2−4)2=2 5，
EF=|3+2|=5，
DF= (3−2)2+(2−4)2= 5，
∵DE2+DF2=20+5=25，EF2=25，
∴DE2+DF2=EF2，
根据勾股定理的逆定理，知此三角形是直角三角形．
(1)直接根据所给两点之间的距离公式计算即可；
(2)利用将军饮马模型，确定点A关于x轴的对称点坐标，再利用两点之间的距离公式即可求出AP+PB的最小值；
(3)直接根据所给两点之间的距离公式计算出这个三角形的三边长，再根据三边长之间的关系判断此三角形的形状即可．
本题以阅读给出的平面直角坐标系中的两点间的距离公式，考查轴对称−最短路线问题，勾股定理的逆定理，理解公式，并能灵活运用相关知识是解题的关键．
22.【答案】解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=x cm，则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm．
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=43，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=43秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0)．
【解析】(1)先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
(2)①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
23.【答案】解：(1)如图，四边形ABCD即为所求；
(2)解：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED，
∴∠AEB=∠AED，
∵∠AFE=∠B，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE(AAS)，
∴BE=EF，
∴四边形ABEF是“等邻边四边形”；
(3)解：在矩形ABCD中，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，∠ADE=∠CDE=45°，
∴∠CED=∠CDE=45°，
∴CE=CD=AB=3，
∴AD=BC=BE+CE=4，
DE= 32+32=3 2，
∵四边形ABEF是“等邻边四边形”，
当EB=EF时，DF=DE−EF=3 2−1；
当AF=AB=3时，作AG⊥DE于G，
∵∠ADE=45°，
∴AG=DG=2 2
在Rt△AGF中，由勾股定理得，FG= 32−(2 2)2=1，
∴DF=DG−FG=2 2−1或DF=DG+FG=2 2+1；
当AF=FE时，作FH⊥AE于H，则EH=12AE，
∵AB=3，BE=1，∠B=90°，
∴AE= 12+32= 10，
∵S△AEF=12AE×FH=12EF×AG，
∴FH=2 55EF，
在Rt△EFH中，EF2=EH2+FH2，即EF2=( 102)2+(2 55EF)2，
解得EF=5 22，
∴DF=DE−EF= 22，
综上，DF的长度为 22或2 2−1或2 2+1或3 2−1．
【解析】(1)根据”等邻边四边形”的定义，直接画出符合题意的图形即可；
(2)利用AAS证明△ABE≌△AFE，得BE=EF，可证明结论；
(3)首先求出DE的长，再分EB=EF或AF=AB或AF=FE三种情形，分别画出图形，从而解决问题．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键．
1.下列各等式成立的是( )
A. (− 5)2=−5B. (−3)2=−3C. ( 3)2=3D. (−2)2=±2
2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是( )
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 7，8，9D. 9，40，41
3.下列计算不正确的是( )
A. 2× 3= 6B. 1 2= 22
C. 2 2+3 2=5 2D. 22+32=2+3
4.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若▱ABCD的周长为20，则△ABE的周长为( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
5.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为( )
A. 10−1B. 10C. 10+1D. 2− 10
6.如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
①四边形EFGH一定是平行四边形；
②若AC=BD，则四边形EFGH是菱形；
③若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是( )
A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.比较大小：4 3______3 5．
8.一个圆柱体的高为10，体积为10π，则它的底面半径是______．
9.已知等腰△ABC的底边BC=5，D是腰AB上一点，且CD=4，BD=3，则AD的长为______．
10.如图，“赵爽弦图”曾作为国际数学大会会标，它是由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为36，小正方形的面积为9，则(a+b)2的值为______．
11.如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=6 3，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是______．
12.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=1，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G.当△ADG为等腰三角形时，AD= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c).这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦---九韶公式”完成下列问题：
如图，在△ABC中，a=7，b=5，c=6．
(1)求△ABC的面积；
(2)设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
计算：
(1) 18− 32+ 2；
(2) 12÷3 2+( 3− 2)2．
15.(本小题6分)
如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形ABCD的面积和各边边长．
(2)∠BCD是直角吗？说明理由．
16.(本小题6分)
已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF.求证：EB=DF．
17.(本小题6分)
如图，菱形ABCD的边AB上的一点E(不与A，B重合)，请仅用无刻度的直尺画图．
(1)在菱形ABCD的边上找一点F，连接BF，使BF=DE(保留画图痕迹)；
(2)在菱形ABCD的边上找点F，G，使BF=BG=DE，并作出等腰△BFG．
18.(本小题8分)
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响.试问：
(1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．
(1)求证：EF=EB；
(2)若∠BAC=90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
20.(本小题8分)
小明在解决问题：已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值.他是这样分析与解的：
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3，∴a−2=− 3，∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3，
∴a2−4a=−1，∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出1 n+1+ n= ______；
(2)化简1 2+1+1 3+ 2+12+ 3+⋯+1 2024+ 2023；
(3)若a=13+2 2，求3a2−18a+1的值．
21.(本小题9分)
已知：在平面直角坐标系中，任意两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其两点之间的距离公式为MN= (x2−x1)2+(y2−y1)2.如：已知A(1,5)，B(−3,6)，则AB= (−3−1)2+(6−5)2= 17.同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为|x2−x1|或|y2−y1|.如：已知A(0,5)，B(0,−6)，则AB=|(−6)−5|=11．
(1)若点A的坐标为(4,6)，点B的坐标为(4,2)，点C的坐标为(1,2)则AB= ______，BC= ______，AC= ______；
(2)若点A的坐标为(3,1)，点B的坐标为(6,3)，点P是x轴上的动点，求出AP+PB的最小值；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为D(2,4)，E(−2,2)，F(3,2)，请判断此三角形的形状，并说明理由．
22.(本小题9分)
已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
(1)如图1，连接AF、CE，求AF的长；
(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm，ab≠0)，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
23.(本小题12分)
问题背景：我们已经学过平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉.在我们身边还有一种特殊的四边形--等邻边四边形，即：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
(1)如图1，四边形ABCD的顶点A、B、C在网格格点上，请你在5×7的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD要求顶点D在网格格点上．
(2)如图2，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，F是DE上一点，AD=DE，∠AFE=∠B，请说明四边形ABEF是“等邻边四边形”；
(3)如图3，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，AB=3，BE=1，F是线段DE上一点，当四边形ABEF是“等邻边四边形”时，请直接写出DF的长度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A．(− 5)2=5，故该选项不正确，不符合题意；
B. (−3)2=3，故该选项不正确，不符合题意；
C. ( 3)2=3，故该选项正确，符合题意；
D. (−2)2=2，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的性质逐项分析即可求解．
本题考查了算术平方根，二次根式的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
2.【答案】D
【解析】解：A、22+32≠42，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、72+82≠92，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、92+402=412，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D．
根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
3.【答案】D
【解析】解：A、 2× 3= 6，故选项A不符合题意；
B、利用分母有理化，1 2= 22，故选项B不符合题意；
C、根据二次根式的加法，2 2+3 2=5 2，故选项C不符合题意；
D、 22+32= 4+9= 13，故选项D符合题意；
故选：D．
利用二次根式的乘法，加法以及分母有理化分别判断即可．
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法，加法以及分母有理化法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵在▱ABCD中，对角线相互平分，
∴O是BD中点，
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，即EB=ED，
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+DE+AE=AB+AD，
∵▱ABCD的周长为20，
∴AB+AD=10，即△ABE的周长为10，
故选：B．
根据平行四边形性质，由▱ABCD的周长为20可得AB+AD=10，再由对角线相互平分及OE⊥BD即可得到OE是线段BD的中垂线，从而EB=ED，从而△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+DE+AE=AB+AD=10，即可得到答案．
本题考查平行四边形性质求线段长，涉及中垂线的判定与性质，熟记几何性质及判定是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=1，
∴AC= AB2+BC2= 32+12= 10，
∴AM=AC= 10．
∵A点表示−1，
∴M点表示的数为： 10−1，
故选：A．
首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示−1，可得M点表示的数．
此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
6.【答案】D
【解析】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH//BD，GF//BD，EF//AC，EH=12BD，EF=12AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故选：D．
根据三角形中位线定理得到EH//BD，GF//BD，EF//AC，EH=12BD，EF=12AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】>
【解析】解：∵(4 3)2=48，
(3 5)2=45，
∵48>45，
∴4 3>3 5，
故答案为：>．
由于题干所给的两个数中含有根号并且都为正数，则首先取两个数的平方值进行比较，平方值较大的数较大，由此即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，对于含有根号的两个正数比较大小，可以通过比较他们平方值的大小从而得到两数的大小关系．
8.【答案】1
【解析】解：设圆柱体的底面半径是r(r>0)，
则πr2×10=10π，
解得：r=1，
即它的底面半径是1，
故答案为：1．
设圆柱体的底面半径是r，然后利用算术平方根的定义解得r的值即可．
本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
9.【答案】76
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得∠ADC=90°是解答本题的关键．
根据勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，即∠ADC=90°，设AB=AC=a，在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2=(a−3)2+42，求出a即可．
【解答】
解：设AB=AC=a，
∵BC=5cm，CD=4，BD=3，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，即∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2，
即a2=(a−3)2+42，
解得：a=256，
即AD=256−3=76．
故答案为76．
10.【答案】63
【解析】解：由图可知，(b−a)2=9，
4×12ab=36−9=27，
∴2ab=27，
∴(a+b)2=(b−a)2+4ab=9+2×27=63．
故答案为：63
根据图形表示出小正方形的边长为(b−a)，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
11.【答案】32
【解析】解：如图，连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE=12CM．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．
∵∠C=120°，AC=BC，
∴AM=BM=12AB=3 3，∠A=∠B=30°，
∴AC=2CM，
由勾股定理得：AC2=AM2+CM2，
∴4CM2=27+CM2，
∴CM=3，
∴DE=12CM=32．
故答案为：32．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
12.【答案】1或 3或 33．
【解析】解：①AG=DG，
作GI⊥AD，
∴I为AD中点，AD=2AI，
∵点E、F分别是AB和CD的中点，AB=1，
∴在矩形ABCD中，
EF//AD//BC，
即∠DAE=∠AEF=∠EFD=∠ADF=90°，
四边形AEFD为矩形，
∴IG=AE=12AB=12，
∵△ADG由△ABH沿AH折叠而成，
∴AG=AB=1，
∴AI= AG2−IG2= 1−14= 32，
∴AD=2AI= 3，
②AD=AG，
∴AD=AG=AB=1，
③AD=DG，
EG= AG2−AE2= 1−14= 32，
设AD=DG=x，
∴FG=x− 32，
连接DG，
∵DG2=DF2+GF2，
∴x2=14+(x− 32)2，
化简得1− 3x=0，
解得x= 33，
∴AD= 33，
故答案为：1或 3或 33．
分情况讨论：①AG=DG时，作GI⊥AD，可得四边形AEFD为矩形，IG=12AB=12，△ADG由△ABH沿AH折叠而成，由折叠性质知AG=AB=1，在Rt△AIG中，由勾股定理得AI= 32，即可得AD= 3；
②AD=AG时，由折叠性质知AD=1；
③AD=DG时，在Rt△AEG中，由勾股定理得EG= 32，设AD=DG=x，由边的关系得FG=AD−GE，连接DG，在Rt△DGF中，由勾股定理得DG2=DF2+GF2，即可得AD的值．
本题主要考查了折叠、勾股定理、矩形的性质与判断、分类讨论的数学思想等，解决问题的关键是画出对应的图形．
13.【答案】解．(1)根据题意知p=a+b+c2=9
所以S= p(p−a)(p−b)(p−c)= 9×(9−7)×(9−5)×(9−6)=6 6
∴△ABC的面积为6 6；
(2)∵S=12ch1=12bh2=6 6
∴12×6h1=12×5h2=6 6
∴h1=2 6，h2=125 6
∴h1+h2=225 6．
【解析】(1)根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
(2)按照三角形的面积等于 12×底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．
本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．
14.【答案】解：(1)原式=3 2−4 2+ 2
=0；
(2)原式=13 6+3−2 6+2
=5−53 6．
【解析】(1)先化简各二次根式，再计算加减即可；
(2)先利用二次根式的除法法则和完全平方公式展开，再计算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解决本题的关键．
15.【答案】解：(1)由勾股定理可得：AB2=32+32=18，
则AB= 50=5 2，
∵BC2=42+22=20，
∴BC=2 5，
∵CD2=22+12=5，
∴CD= 5，
∵AD2=32+42=25，
∴AD=5，
四边形ABCD的面积为：7×5−12(1×7+4×2+2×1+4×3)−3=35−17.5=17.5；
(2)∠BCD是直角，理由如下：
由(1)得：BC2=20，CD2=5，而BD2=32+42=25，
故DC 2+BC2=BD2，
则∠BCD=90°．
【解析】(1)直接利用勾股定理得出各边长，进而利用四边形所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
(2)利用勾股定理的逆定理得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及其逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
16.【答案】证明：∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，
∴AD=CB，AD//BC，
∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
AF=CE∠DAF=∠BCEAD=CB，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴EB=DF．
【解析】根据平行四边形的性质得到AD=CB，AD//BC，求得∠DAF=∠BCE，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图(1)，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交CD于点F，连接BF，
则BF即为所求．
(2)如图(2)，连接AC，BD相交于点O，AC交DE于点M，连接EO并延长，交CD于点F，连接BM并延长，交AD于点G，连接BF，BG，FG，
则点F，G以及等腰△BFG即为所求．
【解析】(1)结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交CD于点F，连接BF即可．
.(2)结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接AC，BD相交于点O，AC交DE于点M，连接EO并延长，交CD于点F，连接BM并延长，交AD于点G，连接BF，BG，FG即可．
本题考查作图—复杂作图、菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)A城市会受到这次台风的影响，理由如下：
如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=320千米，
∴AD=12AB=160千米，
∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为：25×(13−5)=200(千米)，
∵160千米<200千米，
∴A城市会受到这次台风的影响；
(2)如图2，以A为圆心，200千米为半径作⊙A交BC于E、F，
则AE=AF=200千米，
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=2 AE2−AD2=2 2002−1602=240(千米)，
∴台风影响该市的持续时间t=240÷20=12(小时)．
【解析】(1)过点A作AD⊥BC于点D，由直角三角形的性质得AD=12AB=160千米，再求出受台风影响范围的半径长，然后比较即可；
(2)以A为圆心，200千米为半径作⊙A交BC于E、F，则AE=AF=200千米，由勾股定理求出DE的长，即可解决问题
本题考查了勾股定理的应用、含30°角的直角三角形的性质以及方向角等知识，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出直角三角形．
19.【答案】(1)证明：∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴EF=EB；
(2)解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AEF≌△DEB，
∴AF=BD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=DC，
∴AF=DC，
又AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=DC，
∴四边形ADCF是菱形；
【解析】(1)由“AAS”证得△AEF≌△DEB，即可得出结论；
(2)先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
20.【答案】 n+1− n
【解析】解：(1)原式= n+1− n( n+1+ n)( n+1− n)= n+1− n；
故答案为： n+1− n；
(2)原式= 2−1+ 3− 2+2− 3+…+ 2024− 2023
= 2024−1
=2 506−1；
(3)∵a=13+2 2=3−2 2，
∴3a2−18a+1=3(a2−6a+9−9)+1=3(a−3)2−26=3×(3−2 2−3)2−26=−2．
(1)模仿例题分母有理化即可；
(2)分母有理化，再合并同类二次根式；
(3)利用整体代入的思想解决问题即可．
本题考查二次根式的化简求值，平方差公式，分母有理化等知识，解题的关键是学会分母有理化．
21.【答案】4 3 5
【解析】解：(1)∵A(4,6)，B(4,2)，C(1,2)，
∴AB=|2−6|=4，
BC=|1−4|=3，
AC= (1−4)2+(2−6)2=5，
故答案为：4，3，5；
(2)画出图象如下：其中点A′是点A关于x轴的对称点，
由将军饮马模型，可知AP+PB的最小值就是A′B的长，
∵A(3,1)，
∴A′(3,−1)，
∵B(6,3)，
∴A′B= (6−3)2+(3+1)2=5，
∴AP+PB的最小值为5；
(3)直角三角形．
理由：∵D(2,4)，E(−2,2)，F(3,2)，
∴DE= (−2−2)2+(2−4)2=2 5，
EF=|3+2|=5，
DF= (3−2)2+(2−4)2= 5，
∵DE2+DF2=20+5=25，EF2=25，
∴DE2+DF2=EF2，
根据勾股定理的逆定理，知此三角形是直角三角形．
(1)直接根据所给两点之间的距离公式计算即可；
(2)利用将军饮马模型，确定点A关于x轴的对称点坐标，再利用两点之间的距离公式即可求出AP+PB的最小值；
(3)直接根据所给两点之间的距离公式计算出这个三角形的三边长，再根据三边长之间的关系判断此三角形的形状即可．
本题以阅读给出的平面直角坐标系中的两点间的距离公式，考查轴对称−最短路线问题，勾股定理的逆定理，理解公式，并能灵活运用相关知识是解题的关键．
22.【答案】解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=x cm，则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm．
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=43，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=43秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0)．
【解析】(1)先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
(2)①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
23.【答案】解：(1)如图，四边形ABCD即为所求；
(2)解：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED，
∴∠AEB=∠AED，
∵∠AFE=∠B，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE(AAS)，
∴BE=EF，
∴四边形ABEF是“等邻边四边形”；
(3)解：在矩形ABCD中，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，∠ADE=∠CDE=45°，
∴∠CED=∠CDE=45°，
∴CE=CD=AB=3，
∴AD=BC=BE+CE=4，
DE= 32+32=3 2，
∵四边形ABEF是“等邻边四边形”，
当EB=EF时，DF=DE−EF=3 2−1；
当AF=AB=3时，作AG⊥DE于G，
∵∠ADE=45°，
∴AG=DG=2 2
在Rt△AGF中，由勾股定理得，FG= 32−(2 2)2=1，
∴DF=DG−FG=2 2−1或DF=DG+FG=2 2+1；
当AF=FE时，作FH⊥AE于H，则EH=12AE，
∵AB=3，BE=1，∠B=90°，
∴AE= 12+32= 10，
∵S△AEF=12AE×FH=12EF×AG，
∴FH=2 55EF，
在Rt△EFH中，EF2=EH2+FH2，即EF2=( 102)2+(2 55EF)2，
解得EF=5 22，
∴DF=DE−EF= 22，
综上，DF的长度为 22或2 2−1或2 2+1或3 2−1．
【解析】(1)根据”等邻边四边形”的定义，直接画出符合题意的图形即可；
(2)利用AAS证明△ABE≌△AFE，得BE=EF，可证明结论；
(3)首先求出DE的长，再分EB=EF或AF=AB或AF=FE三种情形，分别画出图形，从而解决问题．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键．
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