2023-2024学年浙江省金华市永康三中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省金华市永康三中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是( )
A. B. C. D.
2.如图，属于同位角是( )
A. ∠1和∠2B. ∠1和∠3C. ∠1和∠4D. ∠2和∠3
3.下列是二元一次方程的是( )
A. x2+y=0B. x+y3−2y=0C. y=1x+2D. y+12x
4.下列运算正确的是( )
A. x2+x3=x5B. (x2)3=x5C. x2⋅x3=x5D. x6÷x2=x3
5.下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
A. (3x+5y)(5y−3x)B. (m−n)(n−m)
C. (p+q)(−p−q)D. (2a+3b)(3a−2b)
6.如果x2−2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为( )
A. 6B. ±6C. ±3D. 3
7.下列四组值中，不是二元一次方程x−2y=1的解的是( )
A. x=1y=1B. x=0y=−0.5C. x=1y=0D. x=−1y=−1
8.若a−b=2，则a2−b2−4b的值是( )
A. 2B. 0C. 4D. 6
9.如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1=30°，则∠BMC的度数为( )
A. 130°
B. 120°
C. 110°
D. 105°
10.如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y).则①x−y=n；②xy=m2+n24；③x2−y2=mn；④x2+y2=m2−n22中，正确的是( )
A. ①③④
B. ②④
C. ①③
D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：x2−4=______．
12.已知二元一次方程2x+y=5，若用含x的代数式表示y，则y= ______．
13.如图，直线a，b被直线c所截，若a/​/b，∠1=70°，则∠2的度数是______．
14.已知am=3，an=7，则a2m+n= ______．
15.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺.依题意，列方程组得______．
16.如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC(B在C的左侧)，伸展主臂CD，支撑臂EF构成.在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．
(1)当∠EFH=56°，BC/​/EF时，∠ABC= ______度；
(2)如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH=70°，此时∠ABC= ______度.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算．
(1)−12020−2−1+(π−4)0；
(2)x⋅(x2)3⋅(x3)2．
18.(本小题6分)
解方程组．
(1)x=2y3x−2y=8；
(2)x+3y=3x−y=1．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(2a−3)(2a+3)−4a(a−2)+9，其中a=3．
20.(本小题8分)
如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，DF/​/AC，∠1+∠2=180°．
(1)试说明：DE/​/AB；
(2)若∠C=60°，DF平分∠BDE，求∠1的度数．
21.(本小题8分)
如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，按要求回答问题．
(1)画出平移后的△A′B′C′．
(2)平移后，AB和A′B′两条线段之间的关系______．
(3)在平移过程中，求出线段AB扫过的面积．
22.(本小题10分)
某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金7600元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
23.(本小题10分)
用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式.例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是(a+b)2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到(a+b)2=a2+2ab+b2．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______；
(2)利用(1)中的结论解决以下问题：已知a+b+c=10，ab+ac+bc=38，求a2+b2+c2的值；
(3)如图3，由正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD，DF，若a−b=2，ab=3，求图3中阴影部分的面积．
24.(本小题12分)
如图，直线PQ//MN一副三角尺(∠ABC=∠CDE=90°,∠ACB=30°,∠BAC=60°,∠DCE=∠DEC=45°)按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
(1)求∠DEQ的度数．
(2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F，G)，设旋转时间为t(s)(0≤t≤60)
①在旋转过程中，若边BF//DE，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E每秒2度的速度按顺时针方向旋转(C,D对应点为H，K)请求出当边BG/​/HK时t的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：只有选项B的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，A、C、D都不能通过平移得到，
故选：B．
根据平移的性质，结合图形对小题进行一一分析，选出正确答案．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移后所得图形与原图形形状、大小不变是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由同位角的定义可知，∠1和∠4是同位角，
故选：C．
根据两条直线被第三条直线所截，位于这两条直线的同侧和截线的同旁，这样的两个角为同位角进行判断即可．
本题考查同位角的定义，理解同位角的意义是正确判断的前提．
3.【答案】B
【解析】解：A、该方程含有两个未知数，但是未知数的最高次数是2，不属于二元一次方程，故本选项错误；
B、该方程中符合二元一次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故本选项错误；
D、它不是方程，故本选项错误．
故选：B．
根据“二元一次方程的定义是含有两个未知数且未知数的次数都为1”进行判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程．
4.【答案】C
【解析】解：A.x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.(x2)3=x6，故本选项不合题意；
C.x2⋅x3=x5，故本选项符合题意；
D.x6÷x2=x4，故本选项不合题意．
故选：C．
分别根据合并同类项法则，幂的乘法运算法则，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、5y是相同的项，互为相反项是3x与−3x，符合平方差公式的要求；
B、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；
C、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；
D、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；
故选：A．
运用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵x2−2mx+9=x2−2mx+32是关于x的完全平方式，
∴−2mx=±2⋅x⋅3，
∴m=±3，
故选：C．
完全平方式a2±2ab+b2的特点是首平方，尾平方，首尾数积的两倍在中央，这里首末两项是x和3的平方，那么中间项为加上或减去x和3的乘积的2倍．
本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
7.【答案】A
【解析】【分析】
将各项中x与y的值代入方程检验即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【解答】
解：x−2y=1，解得：x=2y+1，
当y=1时，x=2+1=3≠1，不是二元一次方程x−2y=1的解，选项A合题意；
当y=−0.5时，x=−1+1=0，是二元一次方程x−2y=1的解，选项B不合题意；
当y=0时，x=1，是二元一次方程x−2y=1的解，选项C不合题意；
当y=−1时，x=−1，是二元一次方程x−2y=1的解，选项D不合题意，
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查代数式求值及平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式和利用整体代入的方法．
根据平方差公式进行转化，即可解答．
【解答】
解：∵a−b=2，
∴a2−b2−4b
=(a+b)(a−b)−4b
=2(a+b)−4b
=2a−2b
=2(a−b)
=2×2=4．
故选：C．
9.【答案】D
【解析】解：∵∠1=30°，
∴∠AMA1+∠DMD1=180°−30°=150°．
由折叠得：∠AMB=∠BMA1，∠DMC=∠CMD1，
∴∠BMA1+∠CMD1=75°．
∴∠BMC=∠BMA1+∠CMD1+∠1=30°+75°=105°．
故选：D．
利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定义求出角的度数．
本题考查了折叠的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
10.【答案】C
【解析】解：由拼图可知，m=x+y，n=x−y，
因此①正确；
由于mn=(x+y)(x−y)=x2−y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，xy=S大正方形−S小正方形4=m2−n24，
因此②不正确；
由于x2+y2=(x+y)2−2xy
=m2−2×m2−n24
=m2+n22，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故选：C．
根据拼图中各个部分的长度、面积之间的关系逐项进行判断即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
11.【答案】(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
本题考查了利用平方差公式进行因式分解，
先把式子写成x2−22，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】
解：x2−4=x2−22=(x+2)(x−2)．
故答案为：(x+2)(x−2)．
12.【答案】5−2x
【解析】解：∵2x+y=5，
∴移项得：y=5−2x，
故答案为：5−2x．
根据2x+y=5，可知y=5−2x，本题得以解决．
本题考查了二元一次方程，掌握移项用一个未知数表示另一个未知数是解题的关键．
13.【答案】110°
【解析】解：∵1=70°，
∴∠3=70°，
∵a/​/b，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=110°，
故答案为：110°．
要求∠2的度数，只需根据平行线的性质求得其对顶角的度数．
考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补的性质及对顶角相等的性质是解题的关键．
14.【答案】63
【解析】解：∵am=3，an=7，
∴a2m+n=a2m⋅an
=(am)2⋅an
=32×7
=9×7
=63．
故答案为：63．
先根据同底数幂的乘法进行计算，再根据幂的乘方进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，能正确根据同底数幂的乘法和幂的乘方进行变形是解此题的关键．
15.【答案】x−y=4.512x+1=y
【解析】解：设绳子长x尺，木长y尺，
根据题意得：x−y=4.512x+1=y，
故答案为：x−y=4.512x+1=y．
设绳子长x尺，木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
16.【答案】124 160
【解析】解：(1)如图2，延长CB、HG相交于点K，
∵BC/​/EF，∠EFH=56°，
∴∠K=∠EFH=56°，
∵AB//KH，
∴∠ABK=∠K=56°，
∴∠ABC=180°−56°=124°，
故答案为：124．
(2)如图3，延长BC，FE相交于点P，根据题意则有BP⊥EP，延长AB交EP延长线于点Q，
∵AB/​/FH，∠EFH=70°，
∴∠Q=∠EFH=70°，
∵∠BPQ=90°，
∴∠ABC=90°+70°=160°．
故答案为：160°．
(1)延长CB、HG相交于点K，根据平行线性质解答即可；
(2)延长BC，FE相交于点P，根据题意则有BP⊥EP，延长AB交EP延长线于点Q，根据平行线和外角性质解答即可．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是关键．
17.【答案】解：(1)−12020−2−1+(π−4)0
=−1−12+1
=−12．
(2)x⋅(x2)3⋅(x3)2
=x⋅x6⋅x6
=x13．
【解析】(1)首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
(2)首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序，幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，零指数幂的运算方法，以及负整数指数幂的运算方法，解答此题的关键是要明确：(1)①(am)n=amn(m,n是正整数)；②(ab)n=anbn(n是正整数)；(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(3)①a0=1(a≠0)；②00≠1；(4)a−p=1ap(a≠0,p为正整数)．
18.【答案】解：(1)x=2y①3x−2y=8②，
将①代入②得：6y−2y=8，
解得：y=2，
将y=2代入①得：x=4，
故原方程组的解为x=4y=2；
(2)x+3y=3①x−y=1②，
①−②得：4y=2，
解得：y=0.5，
将y=0.5代入②得：x−0.5=1，
解得：x=1.5，
故原方程组的解为x=1.5y=0.5．
【解析】(1)利用代入消元法解方程组即可；
(2)利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
19.【答案】解：原式=4a2−9−(4a2−8a)+9
=4a2−9−4a2+8a+9
=8a，
当a=3时，原式=8×3=24．
【解析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵DF//AC，
∴∠1+∠A=180°
∵∠1+∠2=180°，
∴∠A=∠2，
∴DE/​/AB；
(2)解：∵DF//AC，∠C=60°．
∴∠C=∠FDB=60°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠FDB=∠FDE=60°，
∵DE//AB，
∴∠1=180°−∠FDE=180°−60°=120°．
【解析】(1)根据平行线的判定与性质即可证明结论；
(2)根据角平分线定义和平行线的判定与性质即可求出结果．
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
21.【答案】AB=A′B′且AB/​/A′B′
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(2)观察图形，结合平移的性质可知：AA′=BB′且AA′/​/BB′，
故答案为：AB=A′B′且AB/​/A′B′；
(3)∵△ABC先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得△A′B′C′，
∴AB/​/A′B′，AB=A′B′，
∴四边形AA′B′B是平行四边形，
连接AA′，BB′，取格点E，
线段AB扫过的面积为：
S平行四边形AA′B′B=S△AA′E+S△A′B′E+S△BB′E=12×3×2+12×3×3+12×3×1=9．
(1)根据平移的性质作图即可；
(2)根据平移的性质，即可得出结论；
(3)连接AA′，BB′，取格点E，则线段AB扫过的面积为S平行四边形AA′B′B=S△AA′E+S△A′B′E+S△BB′E，结合三角形面积公式可得答案．
本题考查作图−平移变换、平行线的判定与性质，熟练掌握平移的性质、平行线的判定与性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，
依题意得：a+2b=1104a+b=125，
解得：a=20b=45．
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生．
(2)①依题意得：20x+45y=400，
∴x=20−94y.
又∵x，y均为非负整数，
∴x=20y=0或x=11y=4或x=2y=8，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用小客车20辆；
方案2：租用小客车11辆，大客车4辆；
方案3：租用小客车2辆，大客车8辆．
②租车方案1所需租金为4000×20=80000(元)，
租车方案2所需租金为4000×11+7600×4=74400(元)，
租车方案3所需租金为4000×2+7600×8=68800(元)．
∵80000>74400>68800，
∴最省钱的租车方案为租用小客车2辆，大客车8辆，最少租金为68800元．
【解析】(1)设每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，根据“用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)①根据“一次运送400名学生，且恰好每辆车都坐满”，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可得出各租车方案；
②利用总租金=每辆车的租金×租车辆数，可分别求出3种租车方案所需总租金，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)①找准等量关系，正确列出二元一次方程；②利用总租金=每辆车的租金×租车辆数，分别求出各租车方案所需总租金．
23.【答案】(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
【解析】解：(1)图2中正方形的面积可以表示为：(a+6+c)²．
还可以表示为：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．
.∴(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．
故答案为：(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．
(2)由(2)知：a²+b²+c²=(a+b+c)²−2ab−2ac−2bc=100−2(ab+ac+bc)=100−76=24．
(3)S阴影=SABCD−S△DGF−S△ABD−SFECG=AB⋅AD−12FG⋅DG−12AB⋅AD−EC⋅CG=a2−1zb(a−b)−12a2−b2=12a2−12ab−12b2=12(a2−b2)−12ab=12(a+b)(a−b)−12ab．
∵a−b=2，ab=3且(a+b)2=(a−b)2+4ab..
∵a+b>0，
∴a+b=4．
∴S阴影=12×4×2−12×3=52．
(1)用两种方法表示图中正方形面积即可
(2)找到三个代数式的关系，整体代换求值．
(3)先表示阴影部分面积，再求值．
本题考查用面积表示代数恒等式，用两种不同方泛表示同一个图形面积是求解本题的关键．
24.【答案】解：(1)如图①中，

∵∠ACB=30°，
∴∠ACN=180°−∠ACB=150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN=12∠ACN=75°，
∵PQ/​/MN，
∴∠QEC+∠ECN=180°，
∴∠QEC=180°−75°=105°，
∴∠DEQ=∠QEC−∠CED=105°−45°=60°．
(2)①如图②中，

∵BG//CD，
∴∠GBC=∠DCN，
∵∠DCN=∠ECN−∠ECD=75°−45°=30°，
∴∠GBC=30°，
∴3t=30，
∴t=10s．
∴在旋转过程中，若边BG/​/CD，t的值为10s．
②如图③中，当BG/​/HK时，延长KH交MN于R．

∵BF/​/DE
∴BG//KR，
∴∠GBN=∠KRN，
∵∠QEK=60°+2t，∠K=∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN=90°−(60°+2t)=30°−2t，
∴3t=30°−2t，
∴t=6s．
如图③−1中，当BG/​/HK时，延长HK交MN于R．

∵BG/​/KR，
∴∠GBN+∠KRM=180°，
∵∠QEK=60°+2t，∠EKR=∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM=90°−(180°−60°−2t)=2t−30，
∴3t+2t−30=180°，
∴t=42s．
综上所述，满足条件的t的值为6s或42s．
【解析】(1)利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
(2)①首先证明∠GBC=∠DCN=30°，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当BF//DE，延长KH交MN于R.根据∠GBN=∠KRN构建方程即可解决问题．如图③−1中，当BG/​/HK时，延长HK交MN于R.根据∠GBN+∠KRM=180°构建方程即可解决问题．
本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．