2024年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学三模试卷（含解析）

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这是一份2024年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学三模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数2023的相反数是( )
A. −2023B. −12023C. 12023D. 2023
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.已知a−1>0，则下列结论正确的是( )
A. −1<−aC. −a<−14.若关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4m−1=0有两个实数根x1，x2，且(x1+2)(x2+2)−2x1x2=17，则m=( )
A. 2或6B. 2或8C. 2D. 6
5.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为( )
A. x+y=1000,47x+119y=999B. x+y=1000,74x+911y=999
C. x+y=1000,7x+9y=999D. x+y=1000,4x+11y=999
6.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A. 20mB. 28mC. 35mD. 40m
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.若代数式5x−2有意义，则实数x的取值范围是______．
8.分解因式：xy2−x= ．
9.一元二次方程x2−4x+3=0配方为(x−2)2=k，则k的值是______．
10.某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I=48R.当R=12Ω时，I的值为______A.
11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC=2，DE=1，则S△ACD= ______．
12.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程______．
13.如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5，AFFC=14，则AE的长为______．
14.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=3.若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是______．
15.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD=2：3，则△ABC与△DEF的周长比是______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为BC的中点，连接AE.DE.以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N.则图中阴影部分的面积为______(结果保留π)．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解不等式组：2+x>7−4x,x<4+x2.．
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：4sin60°+(13)−1+|−2|− 12．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−x+1x)÷x2−1x2−x，其中x= 2−1．
20.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
21.(本小题8分)
某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数).当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22.(本小题8分)
如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：AB=AM；
(3)若ME=1，∠F=30°，求BF的长．
23.(本小题8分)
某惯性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：
在某一局中，珍珍投中A区4次，B区2次.脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
24.(本小题8分)
如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)与函数y2=mx(x>0)的图象交于A(4,1),B(12,a)两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足y1−y2>0时x的取值范围；
(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P的坐标．
25.(本小题8分)
四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B，C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度).已知AD=BC，DH=208cm，测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少？(参考数据：sin54°≈0.8，cs54°≈0.6)
26.(本小题8分)
综合与探究
如图，二次函数y=−x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C．
(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①当PD=12OC时，求m的值；
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．
27.(本小题8分)
综合与实践：
【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：实数2023的相反数是−2023，
故选：A．
根据相反数的意义即可解答．
本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】B
【解析】解：∵a−1>0，
∴a>1，
∴−a<−1，
∴−a<−1<1故选：B．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4m−1=0有两个实数根x1，x2，
∴Δ=(−2m)2−4(m2−4m−1)≥0，即m≥−14，且x1x2=m2−4m−1，x1+x2=2m，
∵(x1+2)(x2+2)−2x1x2=17，
∴x1x2+2(x1+x2)+4−2x1x2=17，即2(x1+x2)+4−x1x2=17，
∴4m+4−m2+4m+1=17，即m2−8m+12=0，
解得：m=2或m=6．
故选：A．
利用根与系数的关系表示出x1x2与x1+x2，已知等式整理后代入计算即可求出m的值．
此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵共买了一千个苦果和甜果，
∴x+y=1000；
∵共买一千个苦果和甜果共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
∴47x+119y=999．
∴可列方程组为x+y=100047x+119y=999．
故选：A．
利用总价=单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可知，AB=37m，CD=7m，
设主桥拱半径为R m，
∴OD=OC−CD=(R−7)m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=372m，
在RtADO中，AD2+OD2=OA2，
∴(372)2+(R−7)2=R2，
解得R=156556≈28．
故选：B．
设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD=372，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题．
7.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
8.【答案】x(y−1)(y+1)
【解析】【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：xy2−x，
=x(y2−1)，
=x(y−1)(y+1)．
故答案为：x(y−1)(y+1)．
9.【答案】1
【解析】解：∵x2−4x+3=0，
∴x2−4x=−3，
∴x2−4x+4=−3+4，
∴(x−2)2=1，
∵一元二次方程x2−4x+3=0配方为(x−2)2=k，
∴k=1，
故答案为：1．
根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值．
本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．
10.【答案】4
【解析】解：当R=12Ω时，I=4812=4(A)．
故答案为：4．
直接将R=12代入I=48R中可得I的值．
此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=1，
∵AC=2，
∴S△ACD=12AC⋅DF
=12×2×1
=1，
故答案为：1．
过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE=DF=1，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12.【答案】301(1+x)2=500
【解析】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，
依题意得：301(1+x)2=500．
故答案为：301(1+x)2=500．
设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD//BC，
∵AB=3，AC=5，
∴BC= AC2−AB2= 52−32=4，
∵AD//BC，AFFC=14，
∴AEBC=AFFC=14，
∴AE4=14，
∴AE=1，
故答案为：1．
由矩形的性质得出∠ABC=90°，AD//BC，利用勾股定理求出BC=4，利用相似三角形的性质，即可求出AE的长．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
14.【答案】y=18x
【解析】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=3，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=CF=EF，
∵BC=2CD，
∴设CD=m，BC=2m，
∴B(3,2m)，E(3+m,m)，
设反比例函数的表达式为y=kx，
∴3×2m=(3+m)⋅m，
解得m=3或m=0(不合题意舍去)，
∴B(3,6)，
∴k=3×6=18，
∴这个反比例函数的表达式是y=18x，
故答案为：y=18x．
根据矩形的性质得到OC=AB=3，根据正方形的性质得到CD=CF=EF，设CD=m，BC=2m，得到B(3,2m)，E(3+m,m)，设反比例函数的表达式为y=kx，列方程即可得到结论．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
15.【答案】2：5
【解析】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD=2：3，
∴OA：OD=2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故答案为：2：5．
先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD=2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．
16.【答案】4−π
【解析】解：∵AD=2AB=4，E为BC的中点，
∴AB=2，BE=CE=2，
∴∠BAE=∠AEB=∠CDE=∠DEC=45°，
∴阴影部分的面积为12×4×2−2×45π×22360=4−π．
故答案为：4−π．
用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．
此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
17.【答案】解：由2+x>7−4x，得：x>1，
由x<4+x2，得：x<4，
则不等式组的解集为1【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
18.【答案】解：原式=4× 32+3+2−2 3
=2 3+3+2−2 3
=5．
【解析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．
本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式=x−(x+1)x·x(x−1)(x+1)(x−1)
=−1x·xx+1
=−1x+1，
当x= 2−1时，
原式=−1 2−1+1
=− 22．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF．
∴OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
∵OA=OC，
∴DB⊥EF，
∴平行四边形EBFD是菱形．
【解析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
(2)根据平行四边形的性质可得DA=DC，然后利用等腰三角形的性质可得DB⊥EF，进而可以证明四边形EBFD是菱形．
21.【答案】解：(1)设每天的销售量y(件)与每件售价x(元)函数关系式为：y=kx+b，
由题意可知：9k+b=10511k+b=95，
解得：k=−5b=150，
∴y与x之间的函数关系式为：y=−5x+150；
(2)(−5x+150)(x−8)=425，
解得：x1=13，x2=25(舍去)，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
(3)w=y(x−8)，
=(−5x+150)(x−8)，
=−5x2+190x−1200，
=−5(x−19)2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【解析】(1)根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
(2)根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；
(3)利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．
22.【答案】(1)证明：连接OD，则OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF=∠AED=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
(2)证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM=180°−∠ADB=90°，
∴∠M+∠DAM=90°，∠ABM+∠DAB=90°，
∵∠DAM=∠DAB，
∴∠M=∠ABM，
∴AB=AM．
(3)解：∵∠AEF=90°，∠F=30°，
∴∠BAM=60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M=60°，
∵∠DEM=90°，ME=1，
∴∠EDM=30°，
∴MD=2ME=2，
∴BD=MD=2，
∵∠BDF=∠EDM=30°，
∴∠BDF=∠F，
∴BF=BD=2．
【解析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
(1)连接OD，由∠ODA=∠OAD=∠DAC证明OD//AC，得∠ODF=∠AED=90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
(2)由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB=90°，再根据等角的余角相等证明∠M=∠ABM，则AB=AM；
(3))由∠AEF=90°，∠F=30°证明∠BAM=60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M=60°，则∠EDM=30°，所以BD=MD=2ME=2，再证明∠BDF=∠F，得BF=BD=2．
23.【答案】解：(1)由题意可得：4×3+2×1+4×(−2)=6(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
(2)由题意可得：3k+3×1+(10−k−3)×(−2)=6+13，
解得：k=6．
【解析】(1)根据题意列出算式可求解；
(2)由题意列出方程可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵反比例函数y2=mx(x>0)的图象经过点A(4,1)，
∴1=m4．
∴m=4．
∴反比例函数解析式为y2=4x(x>0)．
把B(12,a)代入y2=4x(x>0)，得a=8．
∴点B坐标为(12,8)，
∵一次函数解析式y1=kx+b，经过A(4,1)，B(12,8)，
∴4k+b=112k+b=8．
∴k=−2b=9．
故一次函数解析式为：y1=−2x+9．
(2)由y1−y2>0，
∴y1>y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，12(3)由题意，设P(p,−2p+9)且12≤p≤4，
∴Q(p,4p).
∴PQ=−2p+9−4p．
∴S△POQ=12(−2p+9−4p)⋅p=3．
解得p1=52，p2=2．
∴P(52,4)或(2,5)．
【解析】(1)将A点坐标代入即可得出反比例函数y2=mx(x>0)，求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1=kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
(2)由题意即求y1>y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围；
(3)由题意，设P(p,−2p+9)且12≤p≤4，则Q(p,4p)，求得PQ=−2p+9−4p，根据三角形面积公式得到S△POQ=12(−2p+9−4p)⋅p=3，解得即可．
本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
25.【答案】解：点C离地面的高度升高了，
理由：如图，当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，

∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC//AH，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ADC=∠GAE=60°，
∵点C离地面的高度为288cm，DH=208cm，
∴DK=288−208=80(cm)，
在Rt△CDK中，CD=DKcs60∘=8012=160(cm)，
如图，当∠GAE=54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，

在Rt△CDQ中，CD=160cm，
∴DQ=CD⋅cs54°≈160×0.6=96(cm)，
∴96−80=16(cm)，
∴点C离地面的高度升高约16cm．
【解析】当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，根据已知易得BC//AH，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得AB//CD，然后利用平行线的性质可得∠ADC=∠GAE=60°，再根据已知可得DK=80cm，最后在Rt△CDK中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长；当∠GAE=54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，在Rt△CDQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，然后进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，三角形的稳定性，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)由y=−x2+4x得，当y=0时，−x2+4x=0，
解得x1=0，x2=4，
∵点A在x轴正半轴上．
∴点A的坐标为(4,0)．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0)．
将A，B两点的坐标(4,0)，(1,3)分别代入y=kx+b，
得4k+b=0k+b=3，
解得k=−1b=4，
∴直线AB的函数表达式为y=−x+4．
将x=0代入y=−x+4，得y=4．
∴点C的坐标为(0,4)；
(2)①解：∵点P在第一象限内二次函数y=−x2+4x的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为m．
∴点P，D的坐标分别为P(m,−m2+4m)，D(m,−m+4)，
∴PE=−m2+4m.DE=−m+4，OE=m，
∵点C的坐标为(0,4)，
∴OC=4．PD=12OC，
∴PD=2．
如图1，当点P在直线AB上方时，PD=PE−DE=−m2+4m−(−m+4)=−m2+5m−4，

∵PD=2，
∴−m2+5m−4=2，
解得m1=2.m2=3．
如图2，当点P在直线AB下方时，PD=DE−PE=−m+4−(−m2+4m)=m2−5m+4，

∵PD=2，
∴m2−5m+4=2，
解得m=5± 172，
∵0综上所述，m的值为2或3或5− 172；
②解：如图3，

由(1)得，OE=m，PE=−m2+4m，DE=−m+4．
∵BQ⊥x轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为(1,3)，
∴OQ=1，
∵点P在直线AB上方，
∴EQ=m−1．
∵PE⊥x轴于点E，
∴∠OQF=∠OEP=90°，
∴FQ//DE，∠FOQ=∠POE，
∴△FOQ∽△POE，
∴FQPE=OQOE，
∴FQ−m2+4m=1m，
∴FQ=−m2+4mm=−m+4，
∴FQ=DE，
∴四边形FQED为平行四边形，
∵PE⊥x轴，
∴四边形FQED为矩形．
∴S=EQ+FQ=(m−1)(−m+4)，即S=−m2+5m−4=−(m−52)2+94，
∵−1<0，1∴当m=52时，S的最大值为94；
【解析】(1)利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
(2)①分当点P在直线AB上方和点P在直线AB下方时，两种情况讨论，根据PD=2列一元二次方程求解即可；
②证明△FOQ∽△POE，推出FQ=−m+4，再证明四边形FQED为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，特殊四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．
27.【答案】解：(1)四边形ABCD是正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵GD⊥DF，
∴∠FDG=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
又∵AG=CF，∠G=∠DFC=90°，
∴△ADG≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，
∴矩形ABCD是正方形；
(2)HF=AH+CF，
理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，
∴四边形HFDG是矩形，
∴∠G=∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
∴△ADG≌△CDF(AAS)，
∴AG=CF，DG=DF，
∴矩形HFDG是正方形，
∴HG=HF=AH+AG=AH+CF；
(3)连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，
∵AH⊥CE，AH=HM，
∴△AHM是等腰直角三角形，
∴∠HAM=45°，
∴∠HAB=∠MAC，
∵AHAM=ABAC= 22，
∴△AHB∽△AMC，
∴BHCM=AHAM= 22，
即BH= 22CM．
【解析】【分析】
(1)根据矩形的性质得到∠ADC=90°，得到∠ADG=∠CDF，根据全等三角形的判定和性质得到AD=CD，于是得到四边形ABCD是正方形；
(2)根据矩形的判定定理得到四边形HFDG是矩形，求得∠G=∠DFC=90°，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=90°，求得∠ADG=∠CDF，根据全等三角形的判定和性质得到AG=CF，DG=DF，根据正方形的判定定理得到矩形HFDG是正方形，于是得到HG=HF=AH+AG=AH+CF；
(3)连接AC，根据正方形的性质得到∠BAC=45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠HAM=45°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分(分)
3
1
−2