浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点核心考点01二次根式(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点核心考点01二次根式(原卷版+解析)，共82页。
考点一：二次根式的定义 考点二：二次根式有意义的条件
考点三：二次根式的性质与化简 考点四：最简二次根式
考点五：二次根式的乘除法 考点六：分母有理化
考点七：同类二次根式 考点八：二次根式的加减法
考点九：二次根式的混合运算 考点十：二次根式的化简求值
考点十一：二次根式的应用
考点考向
一．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
二．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
三．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
四．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
五．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
六．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
七．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
八．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
九．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
十．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
十一．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
考点精讲
一．二次根式的定义（共2小题）
1．（2023•西湖区校级开学）下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023春•鹿城区校级期中）当x＝3时，二次根式的值为 ．
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
3．（2023春•嘉善县校级月考）已知，x，y为实数，且满足y＝+﹣1，那么xy＝ ．
4．（2023春•诸暨市期末）已知x，y均为实数，y＝++5，则x+y的值为 ．
5．（2023春•镇海区期末）已知式子有意义，则x的取值范围是 ．
三．二次根式的性质与化简（共5小题）
6．（2023春•巴东县校级月考）化简：＝ ．
7．（2023春•金华期中）已知a＝1，b＝﹣10，c＝﹣15．求代数式的值．
8．（2023春•金华月考）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2
∴＝＝+
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
9．（2023春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：|x﹣1|+，其中x＝9．
小明同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+＝x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．
当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+＝x﹣1+10﹣x＝9．
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
10．（2023春•永嘉县校级期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n．
化简：．
∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
四．最简二次根式（共2小题）
11．（2023春•西湖区期中）以下各数是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春•宿城区期末）若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是 ．
五．二次根式的乘除法（共4小题）
13．（2014春•黄陂区期中）若，则（ ）
A．x≥6B．x≥0
C．0≤x≤6D．x为一切实数
14．（2023春•长兴县月考）计算：×÷＝ ．
15．（2023春•秭归县期中）代数式的值为 ．
16．（2023春•长兴县月考）计算：＝ ．
六．分母有理化（共3小题）
17．（2023春•临海市校级期中）实数2﹣的倒数是 ．
18．（2023春•义乌市期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故x＞0，由x2＝（）2＝＝2，解得x＝，即．根据以上方法，化简后的结果为 ．
19．（2023春•永嘉县校级期末）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，
（1）将分母有理化可得 ；
（2）关于x的方程3x﹣＝+++…+ 的解是 ．
七．同类二次根式（共2小题）
20．（2023春•柯桥区月考）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为 ．
21．（2023春•科尔沁区期末）若最简二次根式与能合并成一项，则a＝ ．
八．二次根式的加减法（共3小题）
22．（2023•永嘉县校级模拟）计算：．
23．（2023春•椒江区期末）计算：．
24．（2023春•西湖区期末）小明计算的解答过程如下：＝4．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
九．二次根式的混合运算（共3小题）
25．（2023春•吴兴区校级期中）计算：
（1）； （2）（﹣3）2+2﹣+|﹣|．
26．（2023秋•海曙区校级期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
（2）若且a，m，n均为正整数，求a值．
27．（2023春•东阳市校级月考）先阅读，再解答：由（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝3可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：＝＝+，请完成下列问题：
（1）+1的有理化因式是 ；
（2）化去分母中根号：＝ ；＝ ；
（3）比较大小：﹣ ﹣．
一十．二次根式的化简求值（共5小题）
28．（2023春•拱墅区期中）已知a＝，b＝，试求：
（1）ab；
（2）a2+b2﹣5+2ab．
29．（2023春•诸暨市月考）请阅读下列材料：
问题：已知x＝+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．
小敏的做法是：根据x＝+2得（x﹣2）2＝5，
∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1．
把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x＝，求代数式x3﹣2x+1的值．
30．（2023春•拱墅区校级月考）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）2x2+5xy+2y2．
31．（2023•拱墅区校级开学）（1）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝2，AB＝3．求Rt△ABC的周长和面积．
（2）已知a＝，b＝，求a2﹣ab+b2的值．
32．（2023春•仙居县期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为
A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系
（2）已知，，求的值；
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．
一十一．二次根式的应用（共5小题）
33．（2023春•杭州月考）点P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点A（1，0）为x轴上的一点．
（1）用二次根式表示点P与点A的距离；
（2）当x＝4，y＝时，连接OP、PA，求PA+PO；
（3）若点P位于第二象限，且满足函数表达式y＝x+1，求+的值．
34．（2023春•衢州期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
35．（2023春•盂县月考）阅读与计算：
古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量》一书中，给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝（a+b+c），则三角形的面积为：S△ABC＝（海伦公式），若△ABC中，BC＝4，AC＝5，AB＝6，请利用上面公式求出△ABC的面积．
36．（2023春•天河区校级月考）若矩形的长a＝，宽b＝．
（1）求矩形的面积和周长；
（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．
37．（2023春•余杭区期中）如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20cm．要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠）．图1和图2是两种不同裁法的示意图．
（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
（2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度；
（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？
巩固提升
一、单选题
1．（2023春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）式子有意义的实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023春·八年级单元测试）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·八年级课时练习）等于（ ）
A．3B． C．D．9
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
5．（2023春·八年级单元测试）与的值最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列运算正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023春·八年级单元测试）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如果是一个整数，那么最小正整数___________．
9．（2023春·浙江金华·八年级统考期中）已知，则 ___________ ．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）若，则的平方根是________．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）化简：_______．
12．（2023春·八年级单元测试），，，观察下列各式：请你找出其中规律，并将第个等式写出来_________________．
13．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）已知，则______．
14．（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
15．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B是x轴上一点．以为腰，作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为_________________．
三、解答题
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)．
17．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1) (2)
19．（2023春·八年级课时练习）已知，求的值．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知三条边的长度分别是记的周长为．
(1)当时，的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
22．（2023春·八年级单元测试）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
(1)求长方形的周长；
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
23．（2023春·浙江·八年级专题练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)运用分母有理化，化简：；
(2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
(3)计算：的值．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的：
，
．请你根据小华的解题过程，解决下列问题．
(1)填空：______；______．
(2)化简：．
(3)若，求的值．
25．（2023春·八年级单元测试）已知，求的值．
26．（2023秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，在中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）．
(1)若是直角三角形．
①当时，求的长；
②当时，求的长．
(2)如图2，点E在上（不与点A，B重合），且，若是直角三角形，求的长．
27．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：，
；
【类比归纳】
(1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
(2)若且a，m，n均为正整数，求a值．
28．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读下面的解题过程：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
解：因为与能合并，
所以为正整数）．
所以，
所以．
又为正整数，所以为偶数，
所以为奇数．
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）
请根据上面的信息，回答问题：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
29．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值.
30．（2023春·浙江·八年级专题练习）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ ．
31．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B和点C在x轴上，点A在y轴上，，，且a，b满足．
(1)证明为等边三角形；
(2)现有一动点P从点A沿y轴负方向运动，速度为1个单位长度每秒，连接，在的下方作等边三角形过点Q作轴，垂足为D，设点P的运动时间为t秒，的长度为d，求d与t之间的关系式；（用含t的式子表示d）
(3)在（2）问的条件下，已知，当为等腰直角三角形时，求t的值，并求出此时直线与x轴的交点E的坐标．
32．（2023春·八年级单元测试）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
核心考点01二次根式
目录
考点一：二次根式的定义 考点二：二次根式有意义的条件
考点三：二次根式的性质与化简 考点四：最简二次根式
考点五：二次根式的乘除法 考点六：分母有理化
考点七：同类二次根式 考点八：二次根式的加减法
考点九：二次根式的混合运算 考点十：二次根式的化简求值
考点十一：二次根式的应用
考点考向
一．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
二．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
三．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
四．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
五．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
六．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
七．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
八．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
九．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
十．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
十一．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
考点精讲
一．二次根式的定义（共2小题）
1．（2023•西湖区校级开学）下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
分析：根据二次根式的概念进行分析判断．
【解答】解：①是二次根式，
②没有意义，不是二次根式，
③是三次根式，不是二次根式，
④没有意义，不是二次根式，
⑤是二次根式，
⑥是二次根式，
∴①⑤⑥是二次根式，共3个，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的定义，理解二次根式的概念（形如，a≥0的式子叫做二次根式）是解题关键．
2．（2023春•鹿城区校级期中）当x＝3时，二次根式的值为 1 ．
分析：把x＝3代入二次根式，化简计算即可．
【解答】解：当x＝3时，．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的定义以及二次根式的性质．
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
3．（2023春•嘉善县校级月考）已知，x，y为实数，且满足y＝+﹣1，那么xy＝ ．
分析：根据二次根式有意义的条件先求出x＝2020，进而求出y＝﹣1，计算代数式的值即可．
【解答】解：∵x，y为实数，且满足y＝+﹣1，
∴，
∴x＝2020，
∴y＝0+0﹣1＝﹣1，
∴x．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
4．（2023春•诸暨市期末）已知x，y均为实数，y＝++5，则x+y的值为 7 ．
分析：直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵y＝++5，
∴x＝2，y＝5，
∴x+y＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
5．（2023春•镇海区期末）已知式子有意义，则x的取值范围是 x＜1 ．
分析：直接利用二次根式的性质得出x的取值范围．
【解答】解：∵二次根式子在实数范围内有意义，
∴1﹣x＞0，
解得：x＜1，
∴x的取值范围是：x＜1．
故答案为：x＜1．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．
三．二次根式的性质与化简（共5小题）
6．（2023春•巴东县校级月考）化简：＝ π﹣3 ．
分析：二次根式的性质：＝a（a≥0），根据性质可以对上式化简．
【解答】解：＝＝π﹣3．
故答案是：π﹣3．
【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．
7．（2023春•金华期中）已知a＝1，b＝﹣10，c＝﹣15．求代数式的值．
分析：把已知数据代入代数式，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：
＝
＝
＝4．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．（2023春•金华月考）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2
∴＝＝+
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
分析：（1）先根据完全平方公式得出4+2＝（+1）2，再根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）先根据完全平方公式得出7﹣2＝（﹣）2，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）∵4+2
＝3+1+2
＝（）2+12+2×1
＝（+1）2，
∴
＝
＝+1；
（2）∵7﹣2
＝5+2﹣2
＝（）2+（）2﹣2××
＝（﹣）2，
∴
＝
＝﹣．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：＝|a|＝．
9．（2023春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：|x﹣1|+，其中x＝9．
小明同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+＝x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．
当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+＝x﹣1+10﹣x＝9．
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
分析：根据二次根式的性质判断即可．
【解答】解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，
错在去掉根号：|x﹣1|+＝x﹣1+x﹣10（应为x﹣1+10﹣x）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：＝|a|＝．
10．（2023春•永嘉县校级期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n．
化简：．
∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
分析：（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，
∴＝＝1+；
（2）＝＝＝﹣．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
四．最简二次根式（共2小题）
11．（2023春•西湖区期中）以下各数是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
C、＝，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
12．（2023春•宿城区期末）若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是 ﹣2 ．
分析：根据最简二次根式的定义解答即可．
【解答】解：∵二次根式是最简二次根式，
∴2x+7＞0，
∴2x＞﹣7，
∴x＞﹣3.5，
∵x取整数值，
当x＝﹣3时，二次根式为＝1，不是最简二次根式，不合题意；
当x＝﹣2时，二次根式为，是最简二次根式，符合题意；
∴若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解答此题的关键．
五．二次根式的乘除法（共4小题）
13．（2014春•黄陂区期中）若，则（ ）
A．x≥6B．x≥0
C．0≤x≤6D．x为一切实数
分析：本题需注意的是二次根式的被开方数为非负数，由此可求出x的取值范围．
【解答】解：若成立，则，解之得x≥6；
故选：A．
【点评】本题需要注意二次根式的双重非负性：≥0，a≥0．
14．（2023春•长兴县月考）计算：×÷＝ 12 ．
分析：直接利用二次根式的乘除运算法则即可求解．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
15．（2023春•秭归县期中）代数式的值为 1 ．
分析：利用二次根式有意义的条件得出a的取值范围，进而化简得出答案．
【解答】解：由二次根式有意义的条件，可得：2﹣a≥0，
解得：a≤2，
则原式＝3﹣a﹣（2﹣a）
＝3﹣a﹣2+a
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
16．（2023春•长兴县月考）计算：＝ 4 ．
分析：直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：＝＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
六．分母有理化（共3小题）
17．（2023春•临海市校级期中）实数2﹣的倒数是 2+ ．
分析：利用倒数的定义，以及分母有理化性质计算即可．
【解答】解：实数2﹣的倒数是＝＝2+．
故答案为：2+．
【点评】此题考查了分母有理化，以及倒数，熟练找到有理化因式也是解本题的关键．
18．（2023春•义乌市期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故x＞0，由x2＝（）2＝＝2，解得x＝，即．根据以上方法，化简后的结果为 ．
分析：令x＝﹣，可求x2＝6，再由x＜0，可得﹣＝﹣，再将所求式子化简即可．
【解答】解：令x＝﹣，
∴x2＝（﹣）2
＝6﹣3+6+3﹣2
＝12﹣6
＝6，
∵＜，
∴x＝﹣，
∴﹣＝﹣，
∴
＝﹣
＝5+2﹣
＝5+，
故答案为：5+．
【点评】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，灵活应用完全平方公式是解题的关键．
19．（2023春•永嘉县校级期末）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，
（1）将分母有理化可得 ﹣1 ；
（2）关于x的方程3x﹣＝+++…+ 的解是 ．
分析：（1）根据材料进行分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．
【解答】解：（1）＝＝﹣1
故答案为：﹣1；
（2）3x﹣＝+++…+，
3x﹣＝+++…+，
3x﹣＝+++…+，
3x﹣＝（+），
6x﹣1＝﹣1+，
6x＝3，
x＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分母有理化和解一元一次方程，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化．
七．同类二次根式（共2小题）
20．（2023春•柯桥区月考）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为 3 ．
分析：根据同类项的定义得出2x﹣1＝5，然后求解即可得出答案．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴2x﹣1＝5，
∴x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
21．（2023春•科尔沁区期末）若最简二次根式与能合并成一项，则a＝ ﹣1 ．
分析：由题意可知该二次根式为同类二次根式．
【解答】解：由题意可知：＝2，
∴a+3＝2，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确运用同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
八．二次根式的加减法（共3小题）
22．（2023•永嘉县校级模拟）计算：．
分析：直接利用二次根式的性质化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2+4×﹣×3+3×
＝2+2﹣2+
＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
23．（2023春•椒江区期末）计算：．
分析：先化简，再算加减即可．
【解答】解：
＝
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24．（2023春•西湖区期末）小明计算的解答过程如下：＝4．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
分析：根据二次根式的加减法的法则进行分析即可．
【解答】解：有错误，
＝3
＝2．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对二次根式的加减法的法则的掌握．
九．二次根式的混合运算（共3小题）
25．（2023春•吴兴区校级期中）计算：
（1）；
（2）（﹣3）2+2﹣+|﹣|．
分析：（1）先计算二次根式的乘除法，再算减法，即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝2﹣
＝；
（2）（﹣3）2+2﹣+|﹣|
＝9+2﹣2+
＝7+3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26．（2023秋•海曙区校级期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
（2）若且a，m，n均为正整数，求a值．
分析：（1）根据所给的方法进行求解即可；
（2）利用所给的方法进行分析，即可求解．
【解答】解：（1）
＝（2+5）+2
＝（）2+（）2+2
＝（）2；
（2）∵，
∴a+2＝（）2，
a+2＝（）2，
∴a＝3+7＝10或a＝21+1＝22．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
27．（2023春•东阳市校级月考）先阅读，再解答：由（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝3可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：＝＝+，请完成下列问题：
（1）+1的有理化因式是 ﹣1 ；
（2）化去分母中根号：＝ ；＝ 3﹣ ；
（3）比较大小：﹣ ＜ ﹣．
分析：（1）根据题意和平方差公式可以解答本题；
（2）根据分母有理化的方法可以解答本题；
（3）先将式子变形，然后即可解答本题．
【解答】解：（1）+1的有理化因式是﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）＝，＝＝＝＝3﹣，
故答案为：3﹣；
（3）∵﹣＝，﹣＝，+＞+，
∴＜，
∴﹣＜﹣，
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
一十．二次根式的化简求值（共5小题）
28．（2023春•拱墅区期中）已知a＝，b＝，试求：
（1）ab；
（2）a2+b2﹣5+2ab．
分析：（1）把a与b的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式化简后，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a＝+，b＝﹣，
∴ab＝（+）×（﹣）
＝7﹣6
＝1；
（2）∵a＝+，b＝﹣，
∴a+b＝++﹣＝2，
则a2+b2﹣5+2ab
＝（a+b）2﹣5
＝28﹣5
＝23．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，因式分解﹣分组分解法，以及平方差公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
29．（2023春•诸暨市月考）请阅读下列材料：
问题：已知x＝+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．
小敏的做法是：根据x＝+2得（x﹣2）2＝5，
∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1．
把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x＝，求代数式x3﹣2x+1的值．
分析：（1）原式配方变形后，将x的值代入计算即可求出值；
（2）求出x2的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵x＝﹣2，
∴x+2＝，
则原式＝（x2+4x+4）﹣14
＝（x+2）2﹣14
＝（）2﹣14
＝5﹣14
＝﹣9；
（2）∵x＝，
∴x2＝（）2＝＝，
则原式＝x（x2﹣2）+1
＝×（﹣2）+1
＝×+1
＝+1
＝﹣1+1
＝0．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
30．（2023春•拱墅区校级月考）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）2x2+5xy+2y2．
分析：（1）利用完全平方公式，结合二次根式的加减法和乘除法运算法则计算x+y，xy的值，从而代入求值；
（2）利用完全平方公式，结合二次根式的加减法和乘除法运算法则计算x+y，xy的值，从而代入求值．
【解答】解：（1）原式＝（x+y）2﹣2xy，
∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝+1+﹣1＝2，
xy＝（+1）（﹣1）＝3﹣1＝2，
∴原式＝（2）2﹣2×2
＝12﹣4
＝8；
（2）原式＝2（x2+2xy+y2）+xy
＝2（x+y）2+xy，
∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝+1+﹣1＝2，
xy＝（+1）（﹣1）＝3﹣1＝2，
∴原式＝2×（2）2+2
＝2×12+2
＝24+2
＝26．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
31．（2023•拱墅区校级开学）（1）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝2，AB＝3．求Rt△ABC的周长和面积．
（2）已知a＝，b＝，求a2﹣ab+b2的值．
分析：（1）根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．
（2）原式利用完全平方公式变形后，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝2，AB＝3，
∴BC＝＝，
∴Rt△ABC的周长＝2+3+＝5+，
Rt△ABC的面积＝×＝2．
（2）∵a＝，b＝，
∴a+b＝2，ab＝1，
则原式＝（a+b）2﹣3ab＝12﹣3＝9．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，以及勾股定理的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
32．（2023春•仙居县期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为 B
A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系
（2）已知，，求的值；
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．
分析：（1）求出（2+）与（2﹣）的积即可得出结论；
（2）求出x+y，x﹣y，xy的值，再根据因式分解，代入计算即可；
（3）根据“对偶式”的性质求出t的值，再将两个方程联立得到＝5，再由算术平方根的意义求解即可．
【解答】解：（1）∵（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1，
∴2+与2﹣互为倒数，
故答案为：B；
（2）∵＝＝+2，＝＝﹣2，
∴x+y＝+2+﹣2＝2，
x﹣y＝+2﹣+2＝4，
xy＝（+2）（﹣2）＝1
∴＝＝＝；
（3）设，
∵①，
∴（+）（﹣）＝2t，
即24﹣x﹣8+x＝2t，
解得t＝8，
∴+＝8 ②，
①+②得，2＝10，
即＝5，
∴24﹣x＝25，
∴x＝﹣1．
【点评】本题考查二次根式的化简，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义，理解“对偶式”的性质是正确解答的关键．
一十一．二次根式的应用（共5小题）
33．（2023春•杭州月考）点P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点A（1，0）为x轴上的一点．
（1）用二次根式表示点P与点A的距离；
（2）当x＝4，y＝时，连接OP、PA，求PA+PO；
（3）若点P位于第二象限，且满足函数表达式y＝x+1，求+的值．
分析：（1）利用两点间的距离公式进行解答；
（2）利用两点间的距离公式求得OP、PA，然后求PA+PO；
（3）把y＝x+1代入所求的代数式进行解答．
【解答】解：（1）点P与点A的距离：；
（2）∵x＝4，y＝，P（x，y），A（1，0），
∴P（4，），
∴PA＝＝2，PO＝＝3，则
PA+PO＝2+3；
（3）∵点P位于第二象限，
∴x＜0，y＞0，
又∵y＝x+1，
∴+＝|x|+|y|＝﹣x+y＝﹣x+x+1＝1．即+的值是1．
【点评】本题考查了二次根式的应用．熟记两点间的距离公式是解题的难点．
34．（2023春•衢州期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的木条．
分析：（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出3和范围，根据题意解答．
【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，
∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm2）；
（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．
35．（2023春•盂县月考）阅读与计算：
古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量》一书中，给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝（a+b+c），则三角形的面积为：S△ABC＝（海伦公式），若△ABC中，BC＝4，AC＝5，AB＝6，请利用上面公式求出△ABC的面积．
分析：先求出p，再代入海伦公式中计算即可．
【解答】解：∵BC＝4，AC＝5，AB＝6，
∴p＝（4+5+6）＝，
∴S＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是读懂题意，理解公式的意思．
36．（2023春•天河区校级月考）若矩形的长a＝，宽b＝．
（1）求矩形的面积和周长；
（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．
分析：（1）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案；
（2）直接利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）∵矩形的长a＝，宽b＝．
∴矩形的面积为：（+）（﹣）
＝6﹣5
＝1；
矩形的周长为：2（++﹣）＝4；
（2）a2+b2﹣20+2ab
＝（a+b）2﹣20
＝（++﹣）2﹣20
＝（2）2﹣20
＝24﹣20
＝4．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
37．（2023春•余杭区期中）如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20cm．要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠）．图1和图2是两种不同裁法的示意图．
（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
（2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度；
（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？
分析：（1）如图3，过点C作CD⊥AB于D，利用CD的长÷5可得如图1裁法最多能得到的长方形纸条的条数，利用AC的长÷5可得如图2裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
（2）根据等腰直角三角形的性质分别计算如图1和如图2中长方形纸条的总长度；
（3）因为四边形EFGH是正方形，所以它的面积为边长的平方，所以比较两种裁法的边长即可，根据两种裁法的总长可得如图4中的PG的长，最后计算FG的长即可解答．
【解答】解：（1）如图3，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝BC＝20，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝×20＝40cm，
∴CD＝AB＝20cm，
＝＝2，且2＜2＜3，
∴如图1裁法最多能得到2条长方形纸条；
20÷5＝4，
∴如图2裁法最多能得到3条长方形纸条；
（2）如图1，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝5cm，
∴EQ＝40﹣5﹣5＝（40﹣10）cm，
同理得：DP＝40﹣10﹣10＝（40﹣20）cm，
∴如图1裁法得到长方形纸条的总长度＝EQ+DP＝40﹣10+40﹣20＝（80﹣30）cm；
如图2，
同理可知△PEB是等腰直角三角形，且BE＝5cm，
∴PD＝20﹣5＝15cm，QG＝15﹣5＝10cm，•••，
∴如图2裁法得到长方形纸条的总长度＝15+10+5＝30（cm）；
（3）如图4，
如图1裁法：PG＝＝（20﹣）cm，
FG＝PG﹣PF＝20﹣﹣5＝（20﹣）cm，
如图2裁法：PG＝＝cm，
FG＝PG﹣PF＝﹣5＝cm，
∵20﹣＜，
∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为（）2＝12.5（cm2）．
【点评】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，正方形及矩形的性质等知识，要仔细观察图形，掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2023春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）式子有意义的实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
答案:D
分析：直接利用分式与二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：∵式子有意义，
∴且，
∴，
解得：，
故选D．
【点睛】此题主要考查了分式与二次根式有意义的条件，正确把握代数式有意义的条件是解题关键．
2．（2023春·八年级单元测试）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；
B、，，故一定是二次根式，符合题意；
C、，若时，无意义，不合题意；
D、是三次根式，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
3．（2023春·八年级课时练习）等于（ ）
A．3B． C．D．9
答案:A
分析：根据实数的性质即可化简．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知实数的运算法则．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
答案:D
分析：直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
【详解】解：
故选: D.
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确化简二次根式是解题关键．
5．（2023春·八年级单元测试）与的值最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案:C
分析：先估算出的范围，即可得出选项．
【详解】解：，
，
在4和5之间，并且接近5，
故选：C．
【点睛】本次考查了无理数的估算，熟练运用夹逼法是解题的关键．
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列运算正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:C
分析：根据二次根式的运算法则分别判断即可．
【详解】解：①不能合并，故错误；
②，故正确；
③，故正确；
④，故正确；
⑤，故错误；
⑥，故错误；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘除运算，零指数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2023春·八年级单元测试）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A. ，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义是解题的关键．
二、填空题
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如果是一个整数，那么最小正整数___________．
答案:2
分析：根据二次根式的定义，可得答案．
【详解】解：由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的性质是解题关键．
9．（2023春·浙江金华·八年级统考期中）已知，则 ___________ ．
答案:
分析：根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）若，则的平方根是________．
答案:
分析：根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据平方根的定义解答．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且，
∴，
∴，
∴，
∵20的平方根是，
∴的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及平方根的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）化简：_______．
答案:##
分析：先利用二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是：先把除法运算转化为乘法运算．
12．（2023春·八年级单元测试），，，观察下列各式：请你找出其中规律，并将第个等式写出来_________________．
答案:
分析：根据等式的左边，根号内为加上，等式的右边，根号外的数字为，根号内的数字为，找到规律即可求解．
【详解】解：由，，，
则第个等式为：，
故答案为：
【点睛】本题考查了数字类规律题，二次根式的性质，找到规律是解题的关键．
13．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）已知，则______．
答案:1
分析：根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
，
故答案为：1
【点睛】此题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
14．（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
答案:##
分析：二次根式要有意义，那么被开方数为非负数，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练二次根式的性质是解题的关键．
15．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B是x轴上一点．以为腰，作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为_________________．
答案:
分析：如图所示，过点C作轴于D，设点B的坐标为，证明，得到，进而求出点C的坐标为，利用勾股定理得到，则的最小值即为点到点的距离的倍，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作轴于D，设点B的坐标为，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，，
∴
，
∴的最小值可以看做在x轴上的一点到点和到点的距离之和的最小值的倍，
∴的最小值，
由对称性可知，当，同理可证的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
答案:(1)
(2)
分析：（1）根据二次根式的减法进行计算即可求解；
（2）根据平方差公式以及二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：

；
（2）解：

．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
17．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
答案:(1)
(2)
(3)
(4)
分析：（1）先将二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可得到结果
（2）先将二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可得到结果
（3）先将二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算即可得到结果
（4）先将二次根式用平方差公式和完全平方公式展开，然后进行二次根式的加减运算即可得到结果
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)
(2)
答案:(1)
(2)
分析：（1）先利用二次根式的性质进行化简，再利用二次根式的加减法进行计算即可．
（2）先利用二次根式的性质进行化简，把除法改为乘法，再利用二次根式的加法即可求解．
【详解】（1）解：（
=
= ．
（2）
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及化简、分母有理化，熟练掌握利用二次根式的性质化简及二次根式的混合运算法则是解题的关键．
19．（2023春·八年级课时练习）已知，求的值．
答案:
分析：根据非负数的意义求出、的值，再把进行变形，最后把、的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵
∴，，
解得：，，
∵
，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查非负数的性质，代数式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的性质．理解和掌握绝对值，二次根式的性质是解题的关键．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
答案:(1)
(2)
分析：（1）仿照例题，根据，即可求解；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】（1）解：∵，
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知三条边的长度分别是记的周长为．
(1)当时，的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
答案:(1)3
(2)
(3)
分析：（1）依据三条边的长度分别是，，，即可得到当时，的最长边的长度；
（2）依据根式有意义可得，进而化简得到的周长；
（3）依据（2）可得，且，由于x为整数，且要使取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积．
【详解】（1）解：当是，，，
∴的最长边的长度是3；
故答案为：3．
（2）解：由题知：，
解得：，
∴，，
∴
．
（3）解：∵，且，
又∵x为整数，且有最大值，
∴，
∴当时，三边长度分别为1，4，，但，不满足三角形三边关系
∴x≠4
当时，三边长度分别为2，2，3，满足三角形三边关系．此时的最大值为7，
不妨设，，，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．
22．（2023春·八年级单元测试）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
(1)求长方形的周长；
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
答案:(1)
(2)元
分析：（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可；
（2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案．
【详解】（1）长方形的周长
，
答：长方形的周长是；
（2）购买地砖需要花费
（元；
答：购买地砖需要花费元．
【点睛】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的的化简与运算是解本题的关键．
23．（2023春·浙江·八年级专题练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)运用分母有理化，化简：；
(2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
(3)计算：的值．
答案:(1)2
(2)
(3)9
分析：（1）根据分母有理化是要求把原式化为再计算即可得到答案；
（2）根据分子有理化的要求把原式变形为 ，再计算出结果，再比较大小即可；
（3）依次把每一项分母有理化，再合并即可．
【详解】（1）解：

（2）



由

（3）

【点睛】本题考查的是分母有理化，分子有理数，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即可．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的：
，
．请你根据小华的解题过程，解决下列问题．
(1)填空：______；______．
(2)化简：．
(3)若，求的值．
答案:(1)，
(2)
(3)
分析：（1）利用分母有理化进行计算即可；
（2）先分母有理化再进行加减计算即可；
（3）先分母有理化，得到，从而可得，利用整体代入的方法计算即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：原式
（3）解：，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是先化简再求值，运用整体代入的方法简化计算．
25．（2023春·八年级单元测试）已知，求的值．
答案:
分析：先利用平方差公式因式分解，再把a、b的值代入计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和求值的应用，关键是因式分解后可以简化运算．
26．（2023秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，在中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）．
(1)若是直角三角形．
①当时，求的长；
②当时，求的长．
(2)如图2，点E在上（不与点A，B重合），且，若是直角三角形，求的长．
答案:(1)①6；②；
(2)或8
分析：（1）①根据等腰三角形的性质和勾股定理即可解答；
②如图，作于点E，设，则，根据勾股定理即可得到关于x 的方程，求出x，再根据勾股定理即可解答；
（2）分两种情况：当时，如图，同②小题的方法可求出，再根据勾股定理求出，即可求出；当时，根据已知条件和直角三角形的性质可得出，再由①的结果即得答案．
【详解】（1）解：①当时，∵，，
∴，
则在直角三角形中，；
②如图，当时，作于点E，则由①知：，
设，则，
则在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
即，
解得：，
∴；
（2）∵，
∴若是直角三角形，则或，
当时，如图，同②小题的方法可求出，则，
∴；
当时，如图，则，
∵，
∴，
∴，即，
则由①知：．
综上，当是直角三角形时，CD的长为或8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及二次根式的计算，熟练掌握上述知识、正确分类是解题的关键．
27．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：，
；
【类比归纳】
(1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
(2)若且a，m，n均为正整数，求a值．
答案:(1)；
(2)或10．
分析：（1）将7看成是，则，由此求解即可；
（2）根据，，可以得到，，再根据a，m，n均为正整数，则，由此求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，，
∴，，
∵a，m，n均为正整数，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
28．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读下面的解题过程：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
解：因为与能合并，
所以为正整数）．
所以，
所以．
又为正整数，所以为偶数，
所以为奇数．
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）
请根据上面的信息，回答问题：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
答案:1，21，61（答案不唯一）
分析：根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可．
【详解】解：与能合并，
为正整数），
，
，
又为正整数，
为偶数，
为奇数，
当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
29．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值.
答案:，，.
分析：由A、B、C是可以合并的最简二次根式可得A、B、C的被开方数相等，由此可得关于a、b的方程，解出a、b的值后，即可求出的值.
【详解】解：∵，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，
∴ .
∴，则，，且.
∴，则.
故.
【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义以及合并同类二次根式的法则，正确理解题意，得出关于a、b的方程是求解的关键.
30．（2023春·浙江·八年级专题练习）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ ．
答案:（1）；（2）或；（3）
分析：（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简；
（3）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解．
【详解】（1）解：，
∵，且均为整数，
，
故答案为：
（2）解：，
∵，
∴ ，
又∵均为正整数，
∴ 或，
即或；
（3）解：
＝
＝
＝，
故答案为：
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
31．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B和点C在x轴上，点A在y轴上，，，且a，b满足．
(1)证明为等边三角形；
(2)现有一动点P从点A沿y轴负方向运动，速度为1个单位长度每秒，连接，在的下方作等边三角形过点Q作轴，垂足为D，设点P的运动时间为t秒，的长度为d，求d与t之间的关系式；（用含t的式子表示d）
(3)在（2）问的条件下，已知，当为等腰直角三角形时，求t的值，并求出此时直线与x轴的交点E的坐标．
答案:(1)证明见解析
(2)
(3)，或，
分析：（1）根据非负数的性质，求出a，b可得AB=AC=BC，即可求证；
（2）过点P作PG⊥AC于G，证明，可得CD=CG，DQ=PG，从而得到AP=2DQ，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点P在线段OA上，当点P在AO的延长线上，即可求解．
【详解】（1）证明∶∵，
∴a-2=0，b-4=0，
∴a=2，b=4，
∴AB=4，OB=OC=2，
∴OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵BC=OB+OC=4，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：根据题意得：AP=t，
如图，过点P作PG⊥AC于G，
由（1）知，△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵AO⊥BC，
∴，
∴AP=2PG，
∵△CPQ为等边三角形，
∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，
∴∠PCG=∠DCQ，
在△CGP和△CDQ中，
∵，
∴，
∴CD=CG，DQ=PG，
∴AP=2DQ，
∵QD的长度为d，
∴；
（3）解：根据题意得：AP=t，
∵为等腰直角三角形，且∠POC=90°，
∴OP=OC=2，
当点P在线段OA上，即时，则，即，点P（0，2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线PQ的解析式为 ，
∴，
解得：，
∴直线PQ的解析式为 ，
当y=0时， ，
∴点；
当点P在AO的延长线上，即时，则，即，点P（0，-2），过点P作PF⊥AC交AC延长线于点F，
由（1）知，△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵AO⊥BC，
∴，
∴AP=2PF，
∵△CPQ为等边三角形，
∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，
∴∠PCF=∠DCQ，
在△CEP和△CDQ中，
∵，
∴，
∴CD=CF，DQ=PF，
∴AP=2DQ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线PQ的解析式为 ，
∴，
解得：，
∴直线PQ的解析式为 ，
当y=0时， ，
∴点；
综上所述，，或，．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，解本题的关键是判断出点Q的坐标．
32．（2023春·八年级单元测试）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
答案:(1)
(2)m=2
(3)
分析：（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出再由进行变形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果
【详解】（1）原式
，
（2）∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．