浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第1章二次根式【单元提升卷】(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第1章二次根式【单元提升卷】(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共26题，下列二次根式中最简根式是，下列计算正确的是，已知，，则代数式的值为，计算的结果为【 】，估算的值在，化简等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、单选题
1．已知，则a+b=【 】
A．﹣8B．﹣6C．6D．8
2．化简：=（ ）
A．2x﹣6B．0C．6﹣2xD．2x+6
3．下列二次根式中最简根式是（ ）
A．B．C．D．
4．下列根式中，与为同类二次根式的是( )
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．=±5B．C．3﹣=3D．=7
6．已知，，则代数式的值为（ ）
A．9B．C．3D．5
7．计算的结果为【 】
A．B．C．3D．5
8．下列计算正确的是（ ）
A．+=B．﹣=﹣1C．×=6D．÷=3
9．估算的值在( )
A．4与5之间B．5与6之间C．6与7之间D．7与8之间
10．化简：（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
12．若最简二次根式与是同类二次根式，则__________．
13．计算：（ +1）（﹣1）=________．
14．请用“，，”符号比较大小：__________．
15．把进行化简，得到的最简结果是_______（结果保留根号）．
16．对正实数a，b定义运算法则，若，则x的值是______.
17．已知a+b=﹣3,ab=2,则=__________．
18．已知，则代数式的值为_________．
三、解答题
19．计算：
(1)(7＋4)(7－4)－(－1)2; (2) ·(－)÷3；
20．如图，字母b的取值如图所示，化简|b－2|＋.
21．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：

22．已知x＝，y＝，求的值．
23．设，，．
（1）当x取什么实数时，a，b，c都有意义；
（2）若Rt△ABC三条边的长分别为a，b，c，求x的值．
24．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处．
(1)求AB的长；
(2)求点C到AB边的距离．
25．问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上：________.
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别为a，a，a(a＞0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为，，(m＞0，n＞0，且m≠n)，试运用构图法画出示意图并求出这三角形的面积．
26．先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：.
例如化简：.
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以.
根据上述方法化简：.
第1章 二次根式【单元提升卷】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、单选题
1．已知，则a+b=【 】
A．﹣8B．﹣6C．6D．8
答案:B
【详解】非负数的性质，绝对值，算术平方，求代数式的值．
∵，，∴a﹣1=0，7+b=0，解得a=1，b=﹣7．
∴a+b=1+（﹣7）=﹣6．故选B．
2．化简：=（ ）
A．2x﹣6B．0C．6﹣2xD．2x+6
答案:B
【详解】分析：首先根据有意义，得到，然后根据二次根式的性质进行化简即可．
详解：有意义，，
故
故选B.
点睛：考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件.
3．下列二次根式中最简根式是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
【详解】试题分析： 选项A； 选项B； 选项D .根据最简二次根式的定义本题答案选C.
考点：最简二次根式的定义.
4．下列根式中，与为同类二次根式的是( )
A．B．C．D．
答案:A
分析：先把二次根式与化为最简二次根式，再进行判断．
【详解】解：∵=，
∴四个选项中只有 A与被开方数相同，是同类二次根式．
故选A．
5．下列计算正确的是（ ）
A．=±5B．C．3﹣=3D．=7
答案:D
【详解】试题解析：A、原式=5，错误；
B、原式=-2，错误；
C、原式=2，错误；
D、原式=，正确.
故选D.
6．已知，，则代数式的值为（ ）
A．9B．C．3D．5
答案:C
分析：计算出m−n及mn的值，再运用完全平方公式可把根号内的算式用m−n及mn的代数式表示，整体代入即可完成求值．
【详解】∵，，
∴，mn=-1，
∴
=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，对被开方数进行变形并运用整体代入法求值是关键．
7．计算的结果为【 】
A．B．C．3D．5
答案:C
【详解】针对二次根式化简，零指数幂2个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：
．故选C．
8．下列计算正确的是（ ）
A．+=B．﹣=﹣1C．×=6D．÷=3
答案:D
分析：根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A、B与不能合并，所以A、B选项错误；
C、原式= ×=，所以C选项错误；
D、原式==3，所以D选项正确.
故选D.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9．估算的值在( )
A．4与5之间B．5与6之间C．6与7之间D．7与8之间
答案:D
分析：直接利用特殊值法得出的取值范围即可．
【详解】解：∵＜＜，
∴的大小应在7与8之间．
故选D．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题关键．
10．化简：（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：因为（）2=，再利用的性质进行化简.
【详解】解; =| |=
故选B.
【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键是利用完全平方公式化简二次根式.
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
答案:且
分析：根据分母不等于0，且被开方数是非负数列式求解即可.
【详解】由题意得
x-1≥0且x-2≠0，
解得
且
故答案为：且
【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．若最简二次根式与是同类二次根式，则__________．
答案:2
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴7a－1＝6a＋1，
解得：a＝2．
故答案为2．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
13．计算：（ +1）（﹣1）=________．
答案:1
分析：利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（ +1）（﹣1）
=（）2﹣12
=2﹣1
=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、平方差公式，熟记平方差公式是解答的关键．
14．请用“，，”符号比较大小：__________．
答案:＞
分析：求出，再比较大小即可．
【详解】解：，
∵18＞12，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
15．把进行化简，得到的最简结果是_______（结果保留根号）．
答案:2．
分析：首先将其进行分母有理数，然后再进行二次根式求和．
【详解】解：原式==+=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次根式的化简．
16．对正实数a，b定义运算法则，若，则x的值是______.
答案:.
分析：根据新定义，将方程3*x=10转化，再解无理方程．
【详解】根据新定义，方程3*x=10转化为+6+x=10，
移项，整理得x-4=-，
两边平方，得（x-4）2=3x，
即x2-11x+16=0，
解得x=，
经检验x=符合题意．
故答案为．
【点睛】本题是一道新定义的题目，考查了无理方程，以及一元二次方程的解法，难度不大．
17．已知a+b=﹣3,ab=2,则=__________．
答案:1.
分析：首先利用完全平方公式将已知变形，进而得出（a-b）2=1，即可得出答案．
【详解】∵a+b=-3，ab=2，
∴（a+b）2=9，
∴a2+b2+2ab=9，
∴a2+b2=5，
∴（a-b）2+2ab=5，
故（a-b）2=1，
∴==1．
故答案为1．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
18．已知，则代数式的值为_________．
答案:95
【详解】，
，
，，
=，
故答案为：95．
三、解答题
19．计算：
(1)(7＋4)(7－4)－(－1)2;
(2) ·(－)÷3；
答案:（1）2-5；（2）-a2b
分析：（1）利用平方差公式和完全平方公式计算；
（2）根据二次根式乘除法及分母有理化的知识解答即可.
【详解】解：(1)原式＝49-48-5+2-1= 2-5
(2)原式＝=-a2b
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算.熟悉二次根式乘除法的法则是解题的关键.
20．如图，字母b的取值如图所示，化简|b－2|＋.
答案:3
分析：直接根据图得出的取值范围，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.
【详解】解：有已知可得，，
所以，原式＝|b－2|+|b－5|
=b-2+5-b
=3
【点睛】此题主要考查了绝对值以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键.
21．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：
(1)2x2＋5xy＋2y2;
(2)x3y＋xy3.
答案:（1）26；（2）16
分析：（1）先求x2+y2，xy的值，然后代入原式=2（x2+y2）+5xy计算可得；
（2）将、的值代入原式计算可得.
【详解】（1）∵x＝＋1，y＝－1，
∴x2+y2=3+2+1+3-2+1=8, xy=3-1=2
∴原式=2（x2+y2）+5xy=16+10=26
（2）原式
.
【点睛】本题主要考查整式的变形和二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式及二次根式的性质是解题的关键.
22．已知x＝，y＝，求的值．
答案:
分析：先化简x，y，计算出x+y，x-y，xy的值，把分式化简后，代入计算即可．
【详解】∵x＝＝＝5＋2，
y＝＝＝5－2．
∴ x＋y＝10，x－y＝4，xy＝52－(2)2＝1．
＝＝＝＝．
23．设，，．
（1）当x取什么实数时，a，b，c都有意义；
（2）若Rt△ABC三条边的长分别为a，b，c，求x的值．
答案:（1）；（2）x=或2．
分析：（1）根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求解；
（2）根据a、b、c分别作直角三角形的斜边，由勾股定理分别求解．
【详解】解：（1）由二次根式的性质，得 ,
解得；
（2）当c为斜边时，由a2+b2=c2，
即8-x+3x+4=x+2，
解得x=-10，
当b为斜边时，a2+c2=b2，
即8-x+x+2=3x+4，
解得x=2，
当a为斜边时，b2+c2=a2，
即3x+4+x+2=8-x，
解得x=
∵
∴x=或2．
【点睛】本题考查二次根式的性质及勾股定理的运用．在没有指定直角三角形的斜边的情况下，注意分类讨论．
24．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处．
(1)求AB的长；
(2)求点C到AB边的距离．
答案:（1）；（2）
分析：（1）直接利用勾股定理求出的长；
（2）利用的面积得出点到边距离.
【详解】(1)；
(2)S△ABC＝7，设点C到AB边的距离为h，
则×2·h＝7，∴h＝，即点C到AB边的距离为.
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确利用勾股定理是解题关键.
25．问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上：________.
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别为a，a，a(a＞0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为，，(m＞0，n＞0，且m≠n)，试运用构图法画出示意图并求出这三角形的面积．
答案:（1）；（2）3a2；（3）7mn
分析：（1）的面积；
（2）是直角边长为，的直角三角形的斜边；是直角边长为，的直角三角形的斜边；是直角边长为，的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边.同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积.
【详解】解：(1)；
故答案为；
(2)如图1，在边长为a的正方形网格中，△ABC即为所求作三角形，S△ABC＝2a×4a－×2a×2a－×2a×a－×4a×a＝3a2
(3)如图2，在每个小长方形的长为m、宽为n的网格中，△ABC即为所求作三角形，其中AB＝、AC＝、BC＝，S△ABC＝4m×4n－×m×4n－×3m×2n－×4m×2n＝7mn.
【点睛】此题主要考查了勾股定理应用、利用了数形综合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键.关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答.
26．先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：.
例如化简：.
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以.
根据上述方法化简：.
答案:见解析
分析：应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．
【详解】根据题意，可知，，
由于，，
所以，，
所以.
【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得，.