还剩52页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第1章二次根式分类专项训练(原卷版+解析)
展开
这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第1章二次根式分类专项训练(原卷版+解析)，共55页。
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·八年级单元测试）正方形的面积是13，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）要使二次根式有意义，x的值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
5．（2023春·八年级课时练习）当a为实数时，下列各式、、、、、是二次根式的有多少个（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
6．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．x为一切实数
7．（2023春·八年级单元测试）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023春·八年级单元测试）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式_____________．（不与原数相等）
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）若与的被开方数相同，则 ______ ．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）的定义域为______．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如果和小数部分分别为a，b，那么______．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）若一个长方形的长为，面积为，则它的宽为__________cm（保留根式）．
三、解答题
14．（2023春·浙江金华·八年级统考期中）计算：
(1)； (2)．
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)．
17．（2023秋·浙江·八年级专题练习）求下列函数的自变量x的取值范围：
(1)； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）当时，求二次根式的值．
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵
∴，∴，
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)_____________的解答过程是错误的；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________；
(3)先化简，再求值： ，其中．
【常考】
一．选择题（共6小题）
1．（2017春•下城区校级月考）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x＜5C．x≤5D．x≥5
2．（2023秋•海曙区校级期末）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春•拱墅区月考）已知a满足|2021﹣a|+＝a，则a﹣20212＝（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
4．（2023春•椒江区校级期中）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春•椒江区月考）若＝﹣a，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a≤0B．a≤0C．a＜0D．a≥﹣3
6．（2023春•嘉善县校级月考）当时，代数式x2+2x+2的值是（ ）
A．23B．24C．25D．26
二．填空题（共7小题）
7．（2023秋•江北区期末）当a＝﹣1时，二次根式的值为 ．
8．（2023春•椒江区校级月考）若最简二次根式3与5可以合并，则m＝ ．
9．（2023春•余杭区期末）已知a＝+，b＝﹣，则a2﹣b2的值是 ．
10．（2023春•余杭区月考）若是整数，则最小正整数n的值为 ．
11．（2023春•鄞州区校级期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2023春•渑池县期中）如果y＝++2，那么xy的值是 ．
13．（2023•临海市开学）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ．
三．解答题（共8小题）
14．（2023春•柯桥区期末）化简
（1））2﹣ （2）（1+）（1﹣）﹣（2+）2
15．（2023春•嵊州市期末）计算：
（1）（﹣1）×（）； （2）．
16．（2023春•拱墅区校级期中）计算：
（1）2﹣+3； （2）（﹣）2+（+）（﹣）．
17．（2023春•鄞州区期中）计算：
（1）﹣+； （2）×﹣（+）（﹣）．
18．（2023春•拱墅区校级月考）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处．
（1）求AB的长；
（2）求点C到AB边距离．
19．（2023春•临平区月考）（1）化简：；
（2）已知，求3a2﹣6a﹣1的值．
20．（2023春•金华月考）阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；
还可以用以下方法分母有理化：．
（1）请用不同的方法分母有理化：；
（2）化简：．
21．（2023•义乌市校级开学）在解决问题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：．
（2）若a＝，求2a2﹣12a+1的值．
【易错】
一．选择题（共7小题）
1．（2023春•拱墅区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A．（）2＝﹣7B．（﹣）2＝﹣3C．＝±6D．＝3
2．（2023春•丽水期末）化简结果正确的是（ ）
A．4B．﹣2C．2D．
3．（2023春•嘉兴期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春•萧山区期中）在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（ ）
A．3a+b﹣cB．﹣a﹣3b+3cC．a+3b﹣3cD．2a
5．（2023•椒江区校级开学）若，则（x+y）2022等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
6．（2023春•杭州月考）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（ ）
A．nB．nC．nD．n+
7．（2023春•兰溪市校级月考）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2B．﹣4x﹣2C．﹣2D．2
二．填空题（共3小题）
8．（2023•江北区开学）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2023春•拱墅区月考）已知xy＜0，化简：x＝ ．
10．（2023春•乐清市校级月考）已知y＝+8x，则的算术平方根为 ．
【压轴】
一、填空题
1．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）如图，已知AB//CD，AD//BC，AD=BC=4，AB=CD=8，∠A=60°，
将点A翻折到CD边上得到点A'，此时折痕交AB边于点M.
①当点A'与点C重合时，AM=_____________.
②当点A'从点D运动至点C时，点M相应的运动路径长为_____________.
2．（2023春·八年级单元测试）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值_____________．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为________．
3．（2023春·浙江台州·八年级校联考期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索：
如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2，
（1）请写出图象上点的坐标（1，______）
（2）根据图象，当的取值范围为______时，的周长大于的周长．
二、解答题
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）阅读下列解题过程
．
．
请回答下列问题
（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
的值．
（3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①的最小值______；
②的最小值为______．
6．（2023秋·浙江杭州·八年级翠苑中学校联考期中）如图，是等腰直角三角形，在线段上，是线段的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．
(1)如图1，求证：．
(2)当、、三点共线时，如图2，若，求的长．
(3)如图3，若，连接，当运动到使得时，求的面积．
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为正整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当，，．均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数；，，，填空： ；
(3)若，且，，均为正整数，求的值．
8．（2023春·八年级课时练习）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①；②；③；④__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①；②；③；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①；
②．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，直线AB交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足．
（1）若于点H，AH交OB于点P．
①如图1，求证：
②如图2，连接OH，求证：；
（2）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，的值是否发生改变？如发生改变，直接写出该值的变化范围；若不改变，直接写出该值．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b）
例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即，
∴=
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：．
13．（2023秋·浙江·八年级期末）已知中，，，中，，，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当在上，在的延长线上，直线、相交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若是中点，若，求的长．
第1章 二次根式（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】解：A、与的被开方数不相同，故与不是同类二次根式；
B、与的被开方数不相同，故与不是同类二次根式；
C、与的被开方数不相同，故与不是同类二次根式；
D、与的被开方数相同，故与是同类二次根式；
故选：D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．（2023春·八年级单元测试）正方形的面积是13，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
答案:B
分析：先设正方形的边长等于a，再根据其面积公式求出a的值，估算出a的取值范围即可．
【详解】解：正方形的面积是13，
它的边长是，
，
，
即，
即它的边长的大小在3与4之间，
故选：B．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，解题的关键是估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:D
分析：根据二次根式的乘法法则计算即可做出判断．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）要使二次根式有意义，x的值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
答案:A
分析：根据二次根式有意义的条件，即：即可得出结果．
【详解】由题意可知：，
∴，
∴x的值可以是2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式，属于基础题，理解有意义的条件是解题的关键．
5．（2023春·八年级课时练习）当a为实数时，下列各式、、、、、是二次根式的有多少个（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
答案:B
分析：直接利用二次根式的定义，进行分析得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴、、、四个是二次根式，
因为a是实数时，、不能保证是非负数，因此与不一定是二次根式，
故选：B.
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，形如的代数式是二次根式，正确把握定义是解题关键．
6．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．x为一切实数
答案:A
分析：利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．
7．（2023春·八年级单元测试）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：求出的长度，再求出点C所表示的数．
【详解】解：，
∵，A所表示的实数为，点C在点A的右侧，
∴点C所表示的数为：，
故选：B．
【点睛】考查数轴表示数的意义，准确进行计算是解决问题的关键．
二、填空题
9．（2023春·八年级单元测试）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式_____________．（不与原数相等）
答案:（答案不唯一）
分析：根据同类二次根式的概念和最简二次根式的概念即可求解．
【详解】∵，
∴与是同类二次根式的最简二次根式有（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念和最简二次根式的概念，解题的关键是能够掌握同类二次根式的概念和最简二次根式的概念．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）若与的被开方数相同，则 ______ ．
答案:
分析：根据被开方数相同列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）的定义域为______．
答案:且
分析：根据二次根式的性质，分式的性质即可求解．
【详解】解：，解不等式组得，，
∴定义域为且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查二次根式，分式的性质，掌握二次根式中被开方数必须是非负数，分式中分母不能为零是解题的关键．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如果和小数部分分别为a，b，那么______．
答案:3
分析：先估算，进而求得、的值，再代值计算便可．
【详解】解：，
，，
和小数部分分别为，，
，，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式除法运算，正确估算无理数的大小是解题的关键．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）若一个长方形的长为，面积为，则它的宽为__________cm（保留根式）．
答案:
分析：根据长方形的面积等于长乘以宽，利用二次根式的除法运算.
【详解】解：由题意可得：长方形宽，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的除法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键.
三、解答题
14．（2023春·浙江金华·八年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
答案:(1)
(2)
分析：（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先用乘法分配律去括号化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）原式，
（2）原式，
【点睛】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
答案:(1)
(2)
分析：（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
答案:(1)
(2)
分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后再合并即可．
（2）利用多项式乘法展开，然后再合并即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事倍功半．
17．（2023秋·浙江·八年级专题练习）求下列函数的自变量x的取值范围：
(1)；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
答案:(1)全体实数
(2)全体实数
(3)
(4)
(5)且
分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0，列式计算即可得解．
【详解】（1）自变量x的取值范围是全体实数；
（2）自变量x的取值范围是全体实数；
（3）依题意有，
解得；
（4）依题意有，
解得；
（5）依题意有且，
解得且．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）当时，求二次根式的值．
答案:1
分析：根据二次分式的性质即可求解．
【详解】解：当时，
．
【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解．
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵
∴，∴，
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
答案:(1)
(2)1
分析：（1）把分子分母同乘，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化得到，再移项平方得到，接着把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）；
（2）∵，
∴，
∴，，
∴，
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)_____________的解答过程是错误的；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________；
(3)先化简，再求值： ，其中．
答案:(1)小亮
(2)（或）
(3)
分析：（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的；
（2）错误原因是：二次根式的性质的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可．
【详解】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的，
故答案为：小亮；
（2）二次根式的性质为：（或），
故答案为：（或）；
（3）解：原式，
，
，
原式
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，要熟练掌握二次根式的性质：．
【常考】
一．选择题（共6小题）
1．（2017春•下城区校级月考）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x＜5C．x≤5D．x≥5
分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．（2023秋•海曙区校级期末）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据最简二次根式即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2，故A不选；
（B）原式＝，故B不选；
（D）原式＝，故D不选；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式，本题属于基础题型．
3．（2023春•拱墅区月考）已知a满足|2021﹣a|+＝a，则a﹣20212＝（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
分析：根据二次根式（a≥0）确定a的范围，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
a﹣2022≥0，
∴a≥2022，
∴2021﹣a＜0，
∵|2021﹣a|+＝a，
∴a﹣2021+＝a，
∴＝2021，
∴a﹣2022＝20212，
∴a﹣20212＝2022，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．
4．（2023春•椒江区校级期中）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
分析：各式化简为最简二次根式后，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、＝2，不符合题意；
B、＝3，符合题意；
C、＝3，不符合题意；
D、＝4，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
5．（2023春•椒江区月考）若＝﹣a，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a≤0B．a≤0C．a＜0D．a≥﹣3
分析：直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的性质得出a的取值范围．
【解答】解：∵＝﹣a，
∴，
解得：﹣3≤a≤0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，正确得出关于a的不等式组是解题关键．
6．（2023春•嘉善县校级月考）当时，代数式x2+2x+2的值是（ ）
A．23B．24C．25D．26
分析：将x的值代入原式＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1计算即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，
原式＝x2+2x+1+1
＝（x+1）2+1
＝（）2+1
＝（）2+1
＝23+1
＝24，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则及完全平方公式．
二．填空题（共7小题）
7．（2023秋•江北区期末）当a＝﹣1时，二次根式的值为 3 ．
分析：直接把a的值代入进而得出答案．
【解答】解：当a＝﹣1时，二次根式＝＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
8．（2023春•椒江区校级月考）若最简二次根式3与5可以合并，则m＝ 4 ．
分析：根据同类二次根式定义可得2m+5＝4m﹣3，再解即可．
【解答】解：由题意得：2m+5＝4m﹣3，
解得：m＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则称为同类二次根式．
9．（2023春•余杭区期末）已知a＝+，b＝﹣，则a2﹣b2的值是 4 ．
分析：直接利用平方差公式以及二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵a＝+，b＝﹣，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝（++﹣）（+﹣+）
＝2×2
＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
10．（2023春•余杭区月考）若是整数，则最小正整数n的值为 5 ．
分析：首先化简二次根式进而得出n的最小值．
【解答】解：∵是整数，
∴最小正整数n的值是：5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键．
11．（2023春•鄞州区校级期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x ．
分析：要使代数式有意义，需使被开方数≥0，分母≠0，得3x﹣1＞0，即可知答案．
【解答】解：由题意知：3x﹣1＞0，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是被开方数≥0，分母≠0，再进行求解．
12．（2023春•渑池县期中）如果y＝++2，那么xy的值是 25 ．
分析：根据二次根式有意义的条件列不等式组求解确定x和y的值，从而代入求值．
【解答】解：由题意可得，
解得：x＝5，
∴y＝＝2，
∴原式＝52＝25，
故答案为：25．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
13．（2023•临海市开学）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 5 ．
分析：因为是整数，且＝＝2，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
【解答】解：∵＝＝2，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案是：5．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键．
三．解答题（共8小题）
14．（2023春•柯桥区期末）化简
（1））2﹣
（2）（1+）（1﹣）﹣（2+）2
分析：（1）先利用二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝3+7﹣8
＝2；
（2）原式＝1﹣3﹣（4+4+3）
＝﹣2﹣7﹣4
＝﹣9﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．（2023春•嵊州市期末）计算：
（1）（﹣1）×（）；
（2）．
分析：（1）先化简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣1）×2
＝2﹣2；
（2）原式＝2+4﹣
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．（2023春•拱墅区校级期中）计算：
（1）2﹣+3；
（2）（﹣）2+（+）（﹣）．
分析：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝4﹣+3
＝6；
（2）原式＝5﹣2+3+5﹣3
＝10﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．（2023春•鄞州区期中）计算：
（1）﹣+；
（2）×﹣（+）（﹣）．
分析：（1）根据二次根式的加减法可以解答本题；
（2）根据二次根式的乘法、平方差公式可以解答本题．
【解答】解：（1）﹣+
＝
＝；
（2）×﹣（+）（﹣）
＝
＝3﹣2
＝1．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18．（2023春•拱墅区校级月考）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处．
（1）求AB的长；
（2）求点C到AB边距离．
分析：（1）直接利用勾股定理求出AB的长；
（2）利用△ABC的面积得出点C到AB边距离．
【解答】解：（1）AB＝＝2；
（2）S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×2×3﹣×1×4＝7，
设点C到AB边距离为h，则×h×AB＝7，
解得：h＝＝．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确利用勾股定理是解题关键．
19．（2023春•临平区月考）（1）化简：；
（2）已知，求3a2﹣6a﹣1的值．
分析：（1）利用平方差公式进行二次根式分母有理化的计算；
（2）利用平方差公式进行二次根式分母有理化的计算，然后结合完全平方公进行变形，从而利用整体思想代入求值．
【解答】解：（1）原式＝
＝+；
（2）∵a＝
＝
＝，
∴a−1＝，
∴3a2−6a﹣1
＝3（a2−2a+1）﹣4
＝3（a−1）2−4
＝3（）2−4
＝3×2﹣4
＝6﹣4
＝2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
20．（2023春•金华月考）阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；
还可以用以下方法分母有理化：．
（1）请用不同的方法分母有理化：；
（2）化简：．
分析：（1）仿照阅读材料分母有理化即可；
（2）先将各数分母有理化，再计算即可得答案．
【解答】解：（1）＝＝；
＝＝＝﹣；
（2）原式＝+++
＝+++
＝1．
【点评】本题考查二次根式化简，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
21．（2023•义乌市校级开学）在解决问题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：．
（2）若a＝，求2a2﹣12a+1的值．
分析：（1）分子、分母都乘以3+，再进一步计算即可；
（2）将a的值的分子、分母都乘以3﹣2得a＝3﹣2，据此先后求出a﹣3、（a﹣3）2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入计算可得答案．
【解答】解：（1）＝＝＝3+；
（2）∵a＝＝＝＝3﹣2，
∴a﹣3＝﹣2，
∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，
∴a2﹣6a＝﹣1，
∴2a2﹣12a＝﹣2，
则2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点．
【易错】
一．选择题（共7小题）
1．（2023春•拱墅区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A．（）2＝﹣7B．（﹣）2＝﹣3C．＝±6D．＝3
分析：根据（）2＝a（a≥0）判断A，B选项；根据＝|a|判断C选项；根据算术平方根的定义判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝7，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝3，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝6，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝3，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握（）2＝a（a≥0）和＝|a|是解题的关键．
2．（2023春•丽水期末）化简结果正确的是（ ）
A．4B．﹣2C．2D．
分析：根据二次根式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．（2023春•嘉兴期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4．（2023春•萧山区期中）在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（ ）
A．3a+b﹣cB．﹣a﹣3b+3cC．a+3b﹣3cD．2a
分析：根据在△ABC中，三边分别为a，b，c，得a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，再根据绝对值的性质化简．
【解答】解：∵在△ABC中，三边分别为a，b，c，
∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，
原式＝|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|
＝a﹣b+c﹣2（a+b﹣c）
＝a﹣b+c﹣2a﹣2b+2c
＝3c﹣a﹣3b；
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系，掌握二次根式性质与化简的应用，绝对值的性质化简是解题关键．
5．（2023•椒江区校级开学）若，则（x+y）2022等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
分析：根据二次根式有意义的条件得x＝2，从而求得y＝﹣3，进而解决此题．
【解答】解：∵，
∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．
∴x≥2，x≤2．
∴x＝2．
∴＝0+0﹣3＝﹣3．
∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式、有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
6．（2023春•杭州月考）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（ ）
A．nB．nC．nD．n+
分析：认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．
【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，
所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．
故选：A．
【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．
7．（2023春•兰溪市校级月考）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2B．﹣4x﹣2C．﹣2D．2
分析：根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
【点评】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握．
二．填空题（共3小题）
8．（2023•江北区开学）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x＞1 ．
分析：根据二次根式（a≥0），以及分母不能为0，进行计算即可．
【解答】解：由题意可得：
x﹣1＞0，
∴x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．
9．（2023春•拱墅区月考）已知xy＜0，化简：x＝ ．
分析：根据题意可知，y＜0，然后对二次根式进行化简，根据xy＜0，去绝对值号．
【解答】解：∵二次根式，
∴y＜0，
∵xy＜0，
∴x＞0，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简、不等式的性质，关键在于认真观察题意得出x，y的符号．
10．（2023春•乐清市校级月考）已知y＝+8x，则的算术平方根为 2 ．
分析：根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式求出的值，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
∴x＝，
∴y＝+8x＝0+0+8×＝4，
∴＝＝4，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的定义．
【压轴】
一、填空题
1．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）如图，已知AB//CD，AD//BC，AD=BC=4，AB=CD=8，∠A=60°，
将点A翻折到CD边上得到点A'，此时折痕交AB边于点M.
①当点A'与点C重合时，AM=_____________.
②当点A'从点D运动至点C时，点M相应的运动路径长为_____________.
答案: 5.6## 9.6－4
分析：①作，交延长线于，根据含30°角的直角三角形的性质可得，的长度，设，则，在中，利用勾股定理列方程，即可得出答案；
②分：当与重合时，和当时，最短，和当与重合时，最大，三种情况进行讨论，分别得出的长度，从而解决问题．
【详解】解：①如图，作，交延长线于，
∴
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
设，则，
在中，，
，
解得:，
∴，
故答案为：；
②当与重合时，如图甲所示，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
当时，所图乙所示，此时最短为，故最短为，
当与重合时，如图丙所示，此时最大，
由①可知：此时最大为，
∴点的运动路径长为，
故答案为：．
图甲 图乙 图丙
【点睛】此题主要考查了翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，掌握折叠前后线段相等以及利用图形的特殊性求出线段长度是解题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值_____________．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为________．
答案: 112 3
分析：温故知新：由，可得，即，根据整数k只有一个得，即可得n的最大值为112；
阅读理解：．
【详解】解：温故知新：
∵，
∴，
∴，即，
∵整数k只有一个，
∴，
解得：，
当时，或均符合，与整数k只有一个矛盾，舍去；
当时，符合，与整数k只有一个相符；
此时n的最大值为112；
故答案为：112；
阅读理解：
，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式和二次根式的变形求值，解决本题的关键是读懂题意，灵活运用分式的基本性质．
3．（2023春·浙江台州·八年级校联考期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索：
如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2，
（1）请写出图象上点的坐标（1，______）
（2）根据图象，当的取值范围为______时，的周长大于的周长．
答案:
分析：（1）把的横坐标代入，求解点的纵坐标即可；
（2）先分别求解的周长，的周长，可得：当的周长的周长时，即，再画出直线的图象，直线过点、，观察函数图象可得答案.
【详解】解：（1）当时，，
故点的坐标为，
故答案为1；
（2）由，得：，
由题意得：，，
则的周长，
而的周长，
则当的周长的周长时，
即，
由（1）知，当时，，当时，，
则在原图象的基础上，画出直线的图象如下，直线过点、，
从图象看，当时，，即的周长大于的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，二次根式的化简，理解图象上点的横坐标与纵坐标的含义，利用两个函数图象的交点坐标解决有关不等关系问题是解题的关键.
二、解答题
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）阅读下列解题过程
．
．
请回答下列问题
（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
的值．
（3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
答案:（1）；（2）9；（3）
分析：（1）由解题过程可以看出该解题过程运用的是分母有理化运算，有理化后分母为1，分子则为分母的有理化因式，由此可直接写出的值；
（2）中各项按规律化简后相加可以消除互为相反数的项，没有抵消的计算得到结果．
（3）利用倒数关系比较大小．
【详解】解：（1）由上面的解题规律可直接写出．
（2）由（1）得，原式=．
（3），
同理．
又，
，
．
【点睛】本题是规律型的，由分母有理化得出规律，以及考查了二次根式的化简在多项式求和和比较大小中的应用．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①的最小值______；
②的最小值为______．
答案:(1)见解析
(2)；
(3)①；②
分析：（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出的长度，根据勾股定理求出即为最小值；
（3）①根据题意可知的最小值，计算即可；
②将转换为，然后根据上述规律求最小值即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所作：
；
（2）过点作，交与点,
则，，
，
设为，则，
则，
即，
解得，
，当时，最小值为，
故答案为：；；
（3）①的最小值，
故答案为：；
②
的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键．
6．（2023秋·浙江杭州·八年级翠苑中学校联考期中）如图，是等腰直角三角形，在线段上，是线段的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．
(1)如图1，求证：．
(2)当、、三点共线时，如图2，若，求的长．
(3)如图3，若，连接，当运动到使得时，求的面积．
答案:(1)见解析
(2)
(3)
分析：（1）如图1中，根据证明即可．
（2）利用全等三角形的性质，证明，再利用勾股定理即可解决问题．
（3）如图3中，作于．证明是底角为的等腰三角形，求出，，，即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
，都是等腰三角形，
，，，
，
，
（2）解：如图2中，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图2中，作于．
，
，
，
，，
，，
，，
，，，
，，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为正整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当，，．均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数；，，，填空： ；
(3)若，且，，均为正整数，求的值．
答案:(1)
(2)，
(3)a的值是7或13
分析：（1）将等号右边展开，比较即可得到答案；
（2）取一组，的值，结合（1）算出，的值即可；
（3）由，可得，即得，或，，代入，可得的值为13或7．
【详解】（1），
，
，，
故答案为：，；
（2）当，时，，，
，，，，
故答案为：4，2，1，1（答案不唯一）；
（3），
，，
，
，均为正整数，
，或，，
当，时，，
当，时，，
的值为13或7．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂阅读材料，仿照材料解答．
8．（2023春·八年级课时练习）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①；②；③；④__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①；②；③；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①；
②．
答案:（1）10；（2）；（3）①5050；②41075
分析：(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；
(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；
(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．
【详解】解：（1）10；
（2）；
（3）①原式
；
②原式
．
【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
答案:（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．
分析：（1）利用完全平方公式展开得到，再利用对应值相等即可用m、n表示出a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵，
则．
【点睛】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键.
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，直线AB交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足．
（1）若于点H，AH交OB于点P．
①如图1，求证：
②如图2，连接OH，求证：；
（2）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，的值是否发生改变？如发生改变，直接写出该值的变化范围；若不改变，直接写出该值．
答案:（1）见详解；②∠OHP＝45°；（2）S△BDM−S△ADN的值不发生改变，等于4．
分析：（1）①先依据非负数的性质求得a、b的值，从而可得到OA＝OB，然后再∠COB＝∠POA＝90°，∠OAP＝∠OBC，最后，依据ASA可证明△OAP≌△OBC；
②证明△COM≌△PON（AAS），则OM＝ON，而OM⊥CB，ON⊥HA，则HO平分∠CHA，即∠OHP＝∠CHA＝45°；
（2）连接OD，易证△ODM≌△ADN，从而有S△ODM＝S△ADN，由此可得S△BDM−S△ADN＝S△BDM−S△ODM＝S△BOD＝S△AOB．
【详解】解：（1）①∵．
∴a＋b＝0，a−4＝0，
∴a＝4，b＝−4，
则OA＝OB＝4．
∵AH⊥BC，则∠AHC＝90°，∠COB＝90°，
∴∠HAC＋∠ACH＝∠OBC＋∠OCB＝90°，
∴∠HAC＝∠OBC．
在△OAP和△OBC中，
∴△OAP≌△OBC（AAS）；
②过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点．
在四边形OMHN中，∠MON＝360°−3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°−∠MOP．
在△COM和△PON中 ，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP＝∠CHA＝45°；
（2）S△BDM−S△ADN的值不发生改变，等于4．
理由如下：如图：连接OD．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°＋45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠MOD．
∵MD⊥ND即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°−∠MDA．
在△ODM和△ADN中，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，
∴S△BDM−S△ADN＝S△BDM−S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO•BO＝××4×4＝4．
【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
答案:（1）；（2）的最大值为2，最小值为．
分析：（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b）
例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即，
∴=
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：．
答案:（1） ， ；（2）
分析：（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1，化简时，根据范例确定a，b值为4和5，再根据范例求解.（2）化简时，根据范例确定a，b值为15和4，再根据范例求解.
【详解】解：（1）在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3
即，
∴=；
首先把化为，这里m＝9，n＝20，由于4+5＝9，4×5＝20
即，
∴=
（2）首先把化为，这里m＝19，n＝60，由于15+4＝19，15×4＝60
即，
∴=
【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键.
13．（2023秋·浙江·八年级期末）已知中，，，中，，，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当在上，在的延长线上，直线、相交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若是中点，若，求的长．
答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）12
分析：（1）由证得，即可得出结论；
（2）由证得，得出，由三角形外角的性质得出，即可得出结论；
（3），，通过，求得，则，而，解得：，则．即可求解．
【详解】解：（1）证明：
，，
，
在和中，，，，
，
；
（2）证明：在和中，，，，
，
，
为、的外角，
，
，
；
（3）如图3，设，
是的中点，则，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
即，
即，解得，
则，
而，解得：，
则．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，二次根式的除法运算等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键．
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·八年级单元测试）正方形的面积是13，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）要使二次根式有意义，x的值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
5．（2023春·八年级课时练习）当a为实数时，下列各式、、、、、是二次根式的有多少个（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
6．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．x为一切实数
7．（2023春·八年级单元测试）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023春·八年级单元测试）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式_____________．（不与原数相等）
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）若与的被开方数相同，则 ______ ．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）的定义域为______．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如果和小数部分分别为a，b，那么______．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）若一个长方形的长为，面积为，则它的宽为__________cm（保留根式）．
三、解答题
14．（2023春·浙江金华·八年级统考期中）计算：
(1)； (2)．
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)．
17．（2023秋·浙江·八年级专题练习）求下列函数的自变量x的取值范围：
(1)； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）当时，求二次根式的值．
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵
∴，∴，
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)_____________的解答过程是错误的；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________；
(3)先化简，再求值： ，其中．
【常考】
一．选择题（共6小题）
1．（2017春•下城区校级月考）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x＜5C．x≤5D．x≥5
2．（2023秋•海曙区校级期末）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春•拱墅区月考）已知a满足|2021﹣a|+＝a，则a﹣20212＝（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
4．（2023春•椒江区校级期中）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春•椒江区月考）若＝﹣a，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a≤0B．a≤0C．a＜0D．a≥﹣3
6．（2023春•嘉善县校级月考）当时，代数式x2+2x+2的值是（ ）
A．23B．24C．25D．26
二．填空题（共7小题）
7．（2023秋•江北区期末）当a＝﹣1时，二次根式的值为 ．
8．（2023春•椒江区校级月考）若最简二次根式3与5可以合并，则m＝ ．
9．（2023春•余杭区期末）已知a＝+，b＝﹣，则a2﹣b2的值是 ．
10．（2023春•余杭区月考）若是整数，则最小正整数n的值为 ．
11．（2023春•鄞州区校级期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2023春•渑池县期中）如果y＝++2，那么xy的值是 ．
13．（2023•临海市开学）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ．
三．解答题（共8小题）
14．（2023春•柯桥区期末）化简
（1））2﹣ （2）（1+）（1﹣）﹣（2+）2
15．（2023春•嵊州市期末）计算：
（1）（﹣1）×（）； （2）．
16．（2023春•拱墅区校级期中）计算：
（1）2﹣+3； （2）（﹣）2+（+）（﹣）．
17．（2023春•鄞州区期中）计算：
（1）﹣+； （2）×﹣（+）（﹣）．
18．（2023春•拱墅区校级月考）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处．
（1）求AB的长；
（2）求点C到AB边距离．
19．（2023春•临平区月考）（1）化简：；
（2）已知，求3a2﹣6a﹣1的值．
20．（2023春•金华月考）阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；
还可以用以下方法分母有理化：．
（1）请用不同的方法分母有理化：；
（2）化简：．
21．（2023•义乌市校级开学）在解决问题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：．
（2）若a＝，求2a2﹣12a+1的值．
【易错】
一．选择题（共7小题）
1．（2023春•拱墅区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A．（）2＝﹣7B．（﹣）2＝﹣3C．＝±6D．＝3
2．（2023春•丽水期末）化简结果正确的是（ ）
A．4B．﹣2C．2D．
3．（2023春•嘉兴期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春•萧山区期中）在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（ ）
A．3a+b﹣cB．﹣a﹣3b+3cC．a+3b﹣3cD．2a
5．（2023•椒江区校级开学）若，则（x+y）2022等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
6．（2023春•杭州月考）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（ ）
A．nB．nC．nD．n+
7．（2023春•兰溪市校级月考）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2B．﹣4x﹣2C．﹣2D．2
二．填空题（共3小题）
8．（2023•江北区开学）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2023春•拱墅区月考）已知xy＜0，化简：x＝ ．
10．（2023春•乐清市校级月考）已知y＝+8x，则的算术平方根为 ．
【压轴】
一、填空题
1．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）如图，已知AB//CD，AD//BC，AD=BC=4，AB=CD=8，∠A=60°，
将点A翻折到CD边上得到点A'，此时折痕交AB边于点M.
①当点A'与点C重合时，AM=_____________.
②当点A'从点D运动至点C时，点M相应的运动路径长为_____________.
2．（2023春·八年级单元测试）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值_____________．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为________．
3．（2023春·浙江台州·八年级校联考期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索：
如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2，
（1）请写出图象上点的坐标（1，______）
（2）根据图象，当的取值范围为______时，的周长大于的周长．
二、解答题
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）阅读下列解题过程
．
．
请回答下列问题
（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
的值．
（3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①的最小值______；
②的最小值为______．
6．（2023秋·浙江杭州·八年级翠苑中学校联考期中）如图，是等腰直角三角形，在线段上，是线段的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．
(1)如图1，求证：．
(2)当、、三点共线时，如图2，若，求的长．
(3)如图3，若，连接，当运动到使得时，求的面积．
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为正整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当，，．均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数；，，，填空： ；
(3)若，且，，均为正整数，求的值．
8．（2023春·八年级课时练习）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①；②；③；④__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①；②；③；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①；
②．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，直线AB交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足．
（1）若于点H，AH交OB于点P．
①如图1，求证：
②如图2，连接OH，求证：；
（2）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，的值是否发生改变？如发生改变，直接写出该值的变化范围；若不改变，直接写出该值．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b）
例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即，
∴=
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：．
13．（2023秋·浙江·八年级期末）已知中，，，中，，，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当在上，在的延长线上，直线、相交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若是中点，若，求的长．
第1章 二次根式（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】解：A、与的被开方数不相同，故与不是同类二次根式；
B、与的被开方数不相同，故与不是同类二次根式；
C、与的被开方数不相同，故与不是同类二次根式；
D、与的被开方数相同，故与是同类二次根式；
故选：D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．（2023春·八年级单元测试）正方形的面积是13，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
答案:B
分析：先设正方形的边长等于a，再根据其面积公式求出a的值，估算出a的取值范围即可．
【详解】解：正方形的面积是13，
它的边长是，
，
，
即，
即它的边长的大小在3与4之间，
故选：B．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，解题的关键是估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:D
分析：根据二次根式的乘法法则计算即可做出判断．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）要使二次根式有意义，x的值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
答案:A
分析：根据二次根式有意义的条件，即：即可得出结果．
【详解】由题意可知：，
∴，
∴x的值可以是2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式，属于基础题，理解有意义的条件是解题的关键．
5．（2023春·八年级课时练习）当a为实数时，下列各式、、、、、是二次根式的有多少个（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
答案:B
分析：直接利用二次根式的定义，进行分析得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴、、、四个是二次根式，
因为a是实数时，、不能保证是非负数，因此与不一定是二次根式，
故选：B.
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，形如的代数式是二次根式，正确把握定义是解题关键．
6．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．x为一切实数
答案:A
分析：利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．
7．（2023春·八年级单元测试）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：求出的长度，再求出点C所表示的数．
【详解】解：，
∵，A所表示的实数为，点C在点A的右侧，
∴点C所表示的数为：，
故选：B．
【点睛】考查数轴表示数的意义，准确进行计算是解决问题的关键．
二、填空题
9．（2023春·八年级单元测试）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式_____________．（不与原数相等）
答案:（答案不唯一）
分析：根据同类二次根式的概念和最简二次根式的概念即可求解．
【详解】∵，
∴与是同类二次根式的最简二次根式有（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念和最简二次根式的概念，解题的关键是能够掌握同类二次根式的概念和最简二次根式的概念．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）若与的被开方数相同，则 ______ ．
答案:
分析：根据被开方数相同列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）的定义域为______．
答案:且
分析：根据二次根式的性质，分式的性质即可求解．
【详解】解：，解不等式组得，，
∴定义域为且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查二次根式，分式的性质，掌握二次根式中被开方数必须是非负数，分式中分母不能为零是解题的关键．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如果和小数部分分别为a，b，那么______．
答案:3
分析：先估算，进而求得、的值，再代值计算便可．
【详解】解：，
，，
和小数部分分别为，，
，，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式除法运算，正确估算无理数的大小是解题的关键．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）若一个长方形的长为，面积为，则它的宽为__________cm（保留根式）．
答案:
分析：根据长方形的面积等于长乘以宽，利用二次根式的除法运算.
【详解】解：由题意可得：长方形宽，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的除法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键.
三、解答题
14．（2023春·浙江金华·八年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
答案:(1)
(2)
分析：（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先用乘法分配律去括号化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）原式，
（2）原式，
【点睛】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
答案:(1)
(2)
分析：（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
答案:(1)
(2)
分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后再合并即可．
（2）利用多项式乘法展开，然后再合并即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事倍功半．
17．（2023秋·浙江·八年级专题练习）求下列函数的自变量x的取值范围：
(1)；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
答案:(1)全体实数
(2)全体实数
(3)
(4)
(5)且
分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0，列式计算即可得解．
【详解】（1）自变量x的取值范围是全体实数；
（2）自变量x的取值范围是全体实数；
（3）依题意有，
解得；
（4）依题意有，
解得；
（5）依题意有且，
解得且．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）当时，求二次根式的值．
答案:1
分析：根据二次分式的性质即可求解．
【详解】解：当时，
．
【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解．
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵
∴，∴，
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
答案:(1)
(2)1
分析：（1）把分子分母同乘，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化得到，再移项平方得到，接着把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）；
（2）∵，
∴，
∴，，
∴，
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)_____________的解答过程是错误的；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________；
(3)先化简，再求值： ，其中．
答案:(1)小亮
(2)（或）
(3)
分析：（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的；
（2）错误原因是：二次根式的性质的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可．
【详解】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的，
故答案为：小亮；
（2）二次根式的性质为：（或），
故答案为：（或）；
（3）解：原式，
，
，
原式
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，要熟练掌握二次根式的性质：．
【常考】
一．选择题（共6小题）
1．（2017春•下城区校级月考）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x＜5C．x≤5D．x≥5
分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．（2023秋•海曙区校级期末）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据最简二次根式即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2，故A不选；
（B）原式＝，故B不选；
（D）原式＝，故D不选；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式，本题属于基础题型．
3．（2023春•拱墅区月考）已知a满足|2021﹣a|+＝a，则a﹣20212＝（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
分析：根据二次根式（a≥0）确定a的范围，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
a﹣2022≥0，
∴a≥2022，
∴2021﹣a＜0，
∵|2021﹣a|+＝a，
∴a﹣2021+＝a，
∴＝2021，
∴a﹣2022＝20212，
∴a﹣20212＝2022，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．
4．（2023春•椒江区校级期中）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
分析：各式化简为最简二次根式后，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、＝2，不符合题意；
B、＝3，符合题意；
C、＝3，不符合题意；
D、＝4，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
5．（2023春•椒江区月考）若＝﹣a，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a≤0B．a≤0C．a＜0D．a≥﹣3
分析：直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的性质得出a的取值范围．
【解答】解：∵＝﹣a，
∴，
解得：﹣3≤a≤0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，正确得出关于a的不等式组是解题关键．
6．（2023春•嘉善县校级月考）当时，代数式x2+2x+2的值是（ ）
A．23B．24C．25D．26
分析：将x的值代入原式＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1计算即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，
原式＝x2+2x+1+1
＝（x+1）2+1
＝（）2+1
＝（）2+1
＝23+1
＝24，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则及完全平方公式．
二．填空题（共7小题）
7．（2023秋•江北区期末）当a＝﹣1时，二次根式的值为 3 ．
分析：直接把a的值代入进而得出答案．
【解答】解：当a＝﹣1时，二次根式＝＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
8．（2023春•椒江区校级月考）若最简二次根式3与5可以合并，则m＝ 4 ．
分析：根据同类二次根式定义可得2m+5＝4m﹣3，再解即可．
【解答】解：由题意得：2m+5＝4m﹣3，
解得：m＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则称为同类二次根式．
9．（2023春•余杭区期末）已知a＝+，b＝﹣，则a2﹣b2的值是 4 ．
分析：直接利用平方差公式以及二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵a＝+，b＝﹣，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝（++﹣）（+﹣+）
＝2×2
＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
10．（2023春•余杭区月考）若是整数，则最小正整数n的值为 5 ．
分析：首先化简二次根式进而得出n的最小值．
【解答】解：∵是整数，
∴最小正整数n的值是：5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键．
11．（2023春•鄞州区校级期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x ．
分析：要使代数式有意义，需使被开方数≥0，分母≠0，得3x﹣1＞0，即可知答案．
【解答】解：由题意知：3x﹣1＞0，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是被开方数≥0，分母≠0，再进行求解．
12．（2023春•渑池县期中）如果y＝++2，那么xy的值是 25 ．
分析：根据二次根式有意义的条件列不等式组求解确定x和y的值，从而代入求值．
【解答】解：由题意可得，
解得：x＝5，
∴y＝＝2，
∴原式＝52＝25，
故答案为：25．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
13．（2023•临海市开学）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 5 ．
分析：因为是整数，且＝＝2，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
【解答】解：∵＝＝2，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案是：5．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键．
三．解答题（共8小题）
14．（2023春•柯桥区期末）化简
（1））2﹣
（2）（1+）（1﹣）﹣（2+）2
分析：（1）先利用二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝3+7﹣8
＝2；
（2）原式＝1﹣3﹣（4+4+3）
＝﹣2﹣7﹣4
＝﹣9﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．（2023春•嵊州市期末）计算：
（1）（﹣1）×（）；
（2）．
分析：（1）先化简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣1）×2
＝2﹣2；
（2）原式＝2+4﹣
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．（2023春•拱墅区校级期中）计算：
（1）2﹣+3；
（2）（﹣）2+（+）（﹣）．
分析：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝4﹣+3
＝6；
（2）原式＝5﹣2+3+5﹣3
＝10﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．（2023春•鄞州区期中）计算：
（1）﹣+；
（2）×﹣（+）（﹣）．
分析：（1）根据二次根式的加减法可以解答本题；
（2）根据二次根式的乘法、平方差公式可以解答本题．
【解答】解：（1）﹣+
＝
＝；
（2）×﹣（+）（﹣）
＝
＝3﹣2
＝1．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18．（2023春•拱墅区校级月考）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处．
（1）求AB的长；
（2）求点C到AB边距离．
分析：（1）直接利用勾股定理求出AB的长；
（2）利用△ABC的面积得出点C到AB边距离．
【解答】解：（1）AB＝＝2；
（2）S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×2×3﹣×1×4＝7，
设点C到AB边距离为h，则×h×AB＝7，
解得：h＝＝．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确利用勾股定理是解题关键．
19．（2023春•临平区月考）（1）化简：；
（2）已知，求3a2﹣6a﹣1的值．
分析：（1）利用平方差公式进行二次根式分母有理化的计算；
（2）利用平方差公式进行二次根式分母有理化的计算，然后结合完全平方公进行变形，从而利用整体思想代入求值．
【解答】解：（1）原式＝
＝+；
（2）∵a＝
＝
＝，
∴a−1＝，
∴3a2−6a﹣1
＝3（a2−2a+1）﹣4
＝3（a−1）2−4
＝3（）2−4
＝3×2﹣4
＝6﹣4
＝2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
20．（2023春•金华月考）阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；
还可以用以下方法分母有理化：．
（1）请用不同的方法分母有理化：；
（2）化简：．
分析：（1）仿照阅读材料分母有理化即可；
（2）先将各数分母有理化，再计算即可得答案．
【解答】解：（1）＝＝；
＝＝＝﹣；
（2）原式＝+++
＝+++
＝1．
【点评】本题考查二次根式化简，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
21．（2023•义乌市校级开学）在解决问题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：．
（2）若a＝，求2a2﹣12a+1的值．
分析：（1）分子、分母都乘以3+，再进一步计算即可；
（2）将a的值的分子、分母都乘以3﹣2得a＝3﹣2，据此先后求出a﹣3、（a﹣3）2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入计算可得答案．
【解答】解：（1）＝＝＝3+；
（2）∵a＝＝＝＝3﹣2，
∴a﹣3＝﹣2，
∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，
∴a2﹣6a＝﹣1，
∴2a2﹣12a＝﹣2，
则2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点．
【易错】
一．选择题（共7小题）
1．（2023春•拱墅区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A．（）2＝﹣7B．（﹣）2＝﹣3C．＝±6D．＝3
分析：根据（）2＝a（a≥0）判断A，B选项；根据＝|a|判断C选项；根据算术平方根的定义判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝7，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝3，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝6，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝3，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握（）2＝a（a≥0）和＝|a|是解题的关键．
2．（2023春•丽水期末）化简结果正确的是（ ）
A．4B．﹣2C．2D．
分析：根据二次根式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．（2023春•嘉兴期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4．（2023春•萧山区期中）在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（ ）
A．3a+b﹣cB．﹣a﹣3b+3cC．a+3b﹣3cD．2a
分析：根据在△ABC中，三边分别为a，b，c，得a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，再根据绝对值的性质化简．
【解答】解：∵在△ABC中，三边分别为a，b，c，
∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，
原式＝|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|
＝a﹣b+c﹣2（a+b﹣c）
＝a﹣b+c﹣2a﹣2b+2c
＝3c﹣a﹣3b；
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系，掌握二次根式性质与化简的应用，绝对值的性质化简是解题关键．
5．（2023•椒江区校级开学）若，则（x+y）2022等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
分析：根据二次根式有意义的条件得x＝2，从而求得y＝﹣3，进而解决此题．
【解答】解：∵，
∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．
∴x≥2，x≤2．
∴x＝2．
∴＝0+0﹣3＝﹣3．
∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式、有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
6．（2023春•杭州月考）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（ ）
A．nB．nC．nD．n+
分析：认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．
【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，
所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．
故选：A．
【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．
7．（2023春•兰溪市校级月考）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2B．﹣4x﹣2C．﹣2D．2
分析：根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
【点评】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握．
二．填空题（共3小题）
8．（2023•江北区开学）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x＞1 ．
分析：根据二次根式（a≥0），以及分母不能为0，进行计算即可．
【解答】解：由题意可得：
x﹣1＞0，
∴x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．
9．（2023春•拱墅区月考）已知xy＜0，化简：x＝ ．
分析：根据题意可知，y＜0，然后对二次根式进行化简，根据xy＜0，去绝对值号．
【解答】解：∵二次根式，
∴y＜0，
∵xy＜0，
∴x＞0，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简、不等式的性质，关键在于认真观察题意得出x，y的符号．
10．（2023春•乐清市校级月考）已知y＝+8x，则的算术平方根为 2 ．
分析：根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式求出的值，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
∴x＝，
∴y＝+8x＝0+0+8×＝4，
∴＝＝4，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的定义．
【压轴】
一、填空题
1．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）如图，已知AB//CD，AD//BC，AD=BC=4，AB=CD=8，∠A=60°，
将点A翻折到CD边上得到点A'，此时折痕交AB边于点M.
①当点A'与点C重合时，AM=_____________.
②当点A'从点D运动至点C时，点M相应的运动路径长为_____________.
答案: 5.6## 9.6－4
分析：①作，交延长线于，根据含30°角的直角三角形的性质可得，的长度，设，则，在中，利用勾股定理列方程，即可得出答案；
②分：当与重合时，和当时，最短，和当与重合时，最大，三种情况进行讨论，分别得出的长度，从而解决问题．
【详解】解：①如图，作，交延长线于，
∴
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
设，则，
在中，，
，
解得:，
∴，
故答案为：；
②当与重合时，如图甲所示，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
当时，所图乙所示，此时最短为，故最短为，
当与重合时，如图丙所示，此时最大，
由①可知：此时最大为，
∴点的运动路径长为，
故答案为：．
图甲 图乙 图丙
【点睛】此题主要考查了翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，掌握折叠前后线段相等以及利用图形的特殊性求出线段长度是解题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值_____________．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为________．
答案: 112 3
分析：温故知新：由，可得，即，根据整数k只有一个得，即可得n的最大值为112；
阅读理解：．
【详解】解：温故知新：
∵，
∴，
∴，即，
∵整数k只有一个，
∴，
解得：，
当时，或均符合，与整数k只有一个矛盾，舍去；
当时，符合，与整数k只有一个相符；
此时n的最大值为112；
故答案为：112；
阅读理解：
，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式和二次根式的变形求值，解决本题的关键是读懂题意，灵活运用分式的基本性质．
3．（2023春·浙江台州·八年级校联考期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索：
如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2，
（1）请写出图象上点的坐标（1，______）
（2）根据图象，当的取值范围为______时，的周长大于的周长．
答案:
分析：（1）把的横坐标代入，求解点的纵坐标即可；
（2）先分别求解的周长，的周长，可得：当的周长的周长时，即，再画出直线的图象，直线过点、，观察函数图象可得答案.
【详解】解：（1）当时，，
故点的坐标为，
故答案为1；
（2）由，得：，
由题意得：，，
则的周长，
而的周长，
则当的周长的周长时，
即，
由（1）知，当时，，当时，，
则在原图象的基础上，画出直线的图象如下，直线过点、，
从图象看，当时，，即的周长大于的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，二次根式的化简，理解图象上点的横坐标与纵坐标的含义，利用两个函数图象的交点坐标解决有关不等关系问题是解题的关键.
二、解答题
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）阅读下列解题过程
．
．
请回答下列问题
（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
的值．
（3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
答案:（1）；（2）9；（3）
分析：（1）由解题过程可以看出该解题过程运用的是分母有理化运算，有理化后分母为1，分子则为分母的有理化因式，由此可直接写出的值；
（2）中各项按规律化简后相加可以消除互为相反数的项，没有抵消的计算得到结果．
（3）利用倒数关系比较大小．
【详解】解：（1）由上面的解题规律可直接写出．
（2）由（1）得，原式=．
（3），
同理．
又，
，
．
【点睛】本题是规律型的，由分母有理化得出规律，以及考查了二次根式的化简在多项式求和和比较大小中的应用．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①的最小值______；
②的最小值为______．
答案:(1)见解析
(2)；
(3)①；②
分析：（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出的长度，根据勾股定理求出即为最小值；
（3）①根据题意可知的最小值，计算即可；
②将转换为，然后根据上述规律求最小值即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所作：
；
（2）过点作，交与点,
则，，
，
设为，则，
则，
即，
解得，
，当时，最小值为，
故答案为：；；
（3）①的最小值，
故答案为：；
②
的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键．
6．（2023秋·浙江杭州·八年级翠苑中学校联考期中）如图，是等腰直角三角形，在线段上，是线段的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．
(1)如图1，求证：．
(2)当、、三点共线时，如图2，若，求的长．
(3)如图3，若，连接，当运动到使得时，求的面积．
答案:(1)见解析
(2)
(3)
分析：（1）如图1中，根据证明即可．
（2）利用全等三角形的性质，证明，再利用勾股定理即可解决问题．
（3）如图3中，作于．证明是底角为的等腰三角形，求出，，，即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
，都是等腰三角形，
，，，
，
，
（2）解：如图2中，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图2中，作于．
，
，
，
，，
，，
，，
，，，
，，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为正整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当，，．均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数；，，，填空： ；
(3)若，且，，均为正整数，求的值．
答案:(1)
(2)，
(3)a的值是7或13
分析：（1）将等号右边展开，比较即可得到答案；
（2）取一组，的值，结合（1）算出，的值即可；
（3）由，可得，即得，或，，代入，可得的值为13或7．
【详解】（1），
，
，，
故答案为：，；
（2）当，时，，，
，，，，
故答案为：4，2，1，1（答案不唯一）；
（3），
，，
，
，均为正整数，
，或，，
当，时，，
当，时，，
的值为13或7．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂阅读材料，仿照材料解答．
8．（2023春·八年级课时练习）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①；②；③；④__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①；②；③；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①；
②．
答案:（1）10；（2）；（3）①5050；②41075
分析：(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；
(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；
(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．
【详解】解：（1）10；
（2）；
（3）①原式
；
②原式
．
【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
答案:（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．
分析：（1）利用完全平方公式展开得到，再利用对应值相等即可用m、n表示出a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵，
则．
【点睛】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键.
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，直线AB交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足．
（1）若于点H，AH交OB于点P．
①如图1，求证：
②如图2，连接OH，求证：；
（2）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，的值是否发生改变？如发生改变，直接写出该值的变化范围；若不改变，直接写出该值．
答案:（1）见详解；②∠OHP＝45°；（2）S△BDM−S△ADN的值不发生改变，等于4．
分析：（1）①先依据非负数的性质求得a、b的值，从而可得到OA＝OB，然后再∠COB＝∠POA＝90°，∠OAP＝∠OBC，最后，依据ASA可证明△OAP≌△OBC；
②证明△COM≌△PON（AAS），则OM＝ON，而OM⊥CB，ON⊥HA，则HO平分∠CHA，即∠OHP＝∠CHA＝45°；
（2）连接OD，易证△ODM≌△ADN，从而有S△ODM＝S△ADN，由此可得S△BDM−S△ADN＝S△BDM−S△ODM＝S△BOD＝S△AOB．
【详解】解：（1）①∵．
∴a＋b＝0，a−4＝0，
∴a＝4，b＝−4，
则OA＝OB＝4．
∵AH⊥BC，则∠AHC＝90°，∠COB＝90°，
∴∠HAC＋∠ACH＝∠OBC＋∠OCB＝90°，
∴∠HAC＝∠OBC．
在△OAP和△OBC中，
∴△OAP≌△OBC（AAS）；
②过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点．
在四边形OMHN中，∠MON＝360°−3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°−∠MOP．
在△COM和△PON中 ，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP＝∠CHA＝45°；
（2）S△BDM−S△ADN的值不发生改变，等于4．
理由如下：如图：连接OD．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°＋45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠MOD．
∵MD⊥ND即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°−∠MDA．
在△ODM和△ADN中，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，
∴S△BDM−S△ADN＝S△BDM−S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO•BO＝××4×4＝4．
【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
答案:（1）；（2）的最大值为2，最小值为．
分析：（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b）
例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即，
∴=
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：．
答案:（1） ， ；（2）
分析：（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1，化简时，根据范例确定a，b值为4和5，再根据范例求解.（2）化简时，根据范例确定a，b值为15和4，再根据范例求解.
【详解】解：（1）在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3
即，
∴=；
首先把化为，这里m＝9，n＝20，由于4+5＝9，4×5＝20
即，
∴=
（2）首先把化为，这里m＝19，n＝60，由于15+4＝19，15×4＝60
即，
∴=
【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键.
13．（2023秋·浙江·八年级期末）已知中，，，中，，，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当在上，在的延长线上，直线、相交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若是中点，若，求的长．
答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）12
分析：（1）由证得，即可得出结论；
（2）由证得，得出，由三角形外角的性质得出，即可得出结论；
（3），，通过，求得，则，而，解得：，则．即可求解．
【详解】解：（1）证明：
，，
，
在和中，，，，
，
；
（2）证明：在和中，，，，
，
，
为、的外角，
，
，
；
（3）如图3，设，
是的中点，则，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
即，
即，解得，
则，
而，解得：，
则．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，二次根式的除法运算等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键．
相关试卷
浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第6章反比例函数分类专项训练(原卷版+解析)： 这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第6章反比例函数分类专项训练(原卷版+解析)，共73页。
浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第5章特殊平行四边形分类专项训练(原卷版+解析)： 这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第5章特殊平行四边形分类专项训练(原卷版+解析)，共71页。
浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第4章平行四边形分类专项训练(原卷版+解析)： 这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第4章平行四边形分类专项训练(原卷版+解析)，共73页。
