还剩37页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第2章一元二次方程分类专项训练(原卷版+解析)
展开
这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第2章一元二次方程分类专项训练(原卷版+解析)，共40页。
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）一元二次方程的二次项系数为1，则它的常数项为（ ）
A．1B． C．3D．
6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）在一次同学聚会上，参加聚会的每两个同学都要握手一次．若所有参加聚会的同学共握手45次，则参加此次聚会的同学有_____人．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）用因式分解法解一元二次方程时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是____________，一元二次方程的解是____________．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）若一元二次方程有一根为，则的值为___________．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为______．
11．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）写出一个根为和的一元二次方程：______ ．
12．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为______．
13．（2023春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）方程的根是_________．
14．（2023春·浙江·八年级专题练习）将代数式变形为（其中，为常数），则______．
三、解答题
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）用合适的方法解下列方程：
(1)； (2)．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
17．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）解下列一元二次方程：
(1) (2)
18．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）根据要求解下列方程
(1)（用配方法）； (2)．
19．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）解方程：
(1) (2)
20．（2023春·浙江绍兴·八年级校考期中）解方程：
(1) (2)
21．（2023春·浙江金华·八年级浦江县实验中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程有一个根为2，求方程的另一根．
22．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
【典型】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级期末）一元二次方程的解为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2023春·浙江嘉兴·八年级校联考期中）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱的定价为x元，则x满足的关系式为（ ）
A．(x−2500)(8+4×)=5000B．(2900−x−2500)(8+4×)=5000
C．(x−2500)(8+4×)=5000 D．(2900−x)(8+4×)=5000
二、填空题
3．春·浙江·八年级期中）已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝_____．
4．春·浙江杭州·八年级统考期末）用一块长80cm，宽60cm的纸板，在四个角截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为1500cm2的无盖长方体纸盒，则截去的小正方形的边长为___________.
5．春·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）若，则的值为__________．
6．春·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）请写出以 2 和 3 为根，且二次项系数为－1 的一元二次方程__________．
三、解答题
7．（2011·浙江绍兴·八年级竞赛）某单位通过旅行社组织职工去上海世博会.下面是领队与旅行社导游收费标准的一段话：
领队：每人的收费标准是多少？
导游：如果人数不超过30人，人均旅游费用为120元.
领队：超过30人怎样优惠呢？
导游：如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用就降低2元，但人均旅游费用不得低于90元.
该单位按旅行社的收费标准组团参观世博会后，共支付给旅行社4000元.请你根据上述信息，求该单位这次参观世博会的共有几人？
【易错】
一．选择题（共4小题）
1．（2023春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
2．（2023春•杭州期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．+x﹣1＝0B．3x+1＝5x+4C．x2+y＝0D．x2−2x+1＝0
3．（2023春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0有一个根是1，则m的值是（ ）
A．﹣2B．2C．0D．±2
4．（2023春•杭州月考）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥﹣B．k＞﹣C．k≥﹣且k≠0D．k＜﹣
二．填空题（共1小题）
5．（2023春•乐清市校级月考）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ ．
三．解答题（共4小题）
6．（2023春•东阳市期末）解方程：
（1）x2﹣7x+2＝0； （2）2y（y﹣3）+y＝3．
7．（2023春•柯桥区期末）解下列方程：
（1）x2﹣6x＝1； （2）2x2﹣5x+2＝0．
8．（2023春•余姚市期末）解方程：
（1）（x﹣1）2＝16； （2）2x2+3x﹣1＝0．
9．（2023春•海曙区期中）解方程：
（1）x2﹣6x＝0； （2）x2﹣4x﹣12＝0．
【压轴】
一．选择题（共1小题）
1．（2023春•杭州期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
二．填空题（共2小题）
2．（2023春•柯桥区期中）三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则三角形的周长是 ．
3．（2023春•拱墅区月考）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝
三．解答题（共10小题）
4．（2023春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值，并求出此时方程的两根．
5．（2023春•杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
6．（2023春•余杭区期中）一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本．据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90，第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y，写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元；
（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等；
（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和．
7．（2023春•拱墅区校级月考）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
8．（2023春•永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2满足2x1＝|x2|+1，求m的值．
9．（2023春•永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值
10．（2023春•新昌县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．
（1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示）
（2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？
11．（2023秋•孝南区月考）百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五•一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？
12．（2023春•诸暨市月考）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
13．（2023春•金华期中）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，
（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
第2章 一元二次方程（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据一元二次方程的定义，方程中最高次项的指数为，二次项系数不能为零， 由此即可求解．
【详解】解：方程中最高次项为，且次数为二次，
∴，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，理解和掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
答案:C
分析：根据题意可设这个方程为，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两根是，
可设这个方程为，
∴这个方程可以为．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：由一元二次方程没有实数根得到判别式，解该不等式即可求出m的取值范围．
【详解】解：由题意可知：，，．
判别式，
∵方程没有实数根，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式的应用，对应一元二次方程，若判别式，则方程有两个不相等的实数根；若判别式，则方程有两个相等的实数根；若判别式，则方程没有实数根．
4．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
答案:B
分析：先根据题意求出每支球队进行场比赛，再根据每个队之间比赛一场即可表示总的场次，然后根据总的比赛场次（场）列出方程即可．
【详解】根据题意可知．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是列方程的关键．
5．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）一元二次方程的二次项系数为1，则它的常数项为（ ）
A．1B． C．3D．
答案:D
分析：方程整理后为一般形式，找出二次项系数与常数项即可．
【详解】解：方程整理得：，其中二次项系数为1，常数项为．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，将一元二次方程化为一般式，再进行判断是解题的关键．
6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
二、填空题
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）在一次同学聚会上，参加聚会的每两个同学都要握手一次．若所有参加聚会的同学共握手45次，则参加此次聚会的同学有_____人．
答案:10
分析：设参加此次聚会的同学有x人，根据每两个同学都要握手一次，所有参加聚会的同学共握手45次列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设参加此次聚会的同学有x人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴参加此次聚会的同学有10人．
故答案为：10．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）用因式分解法解一元二次方程时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是____________，一元二次方程的解是____________．
答案: ，
分析：根据，方程可以分解成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是，解这两个一元一次方程即可得一元二次方程的解．
【详解】解：∵，
∴要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是；
由得，由得，
故一元二次方程的解是，，
故答案为：；，
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）若一元二次方程有一根为，则的值为___________．
答案:
分析：直接把代入一元二次方程中即可得到的值．
【详解】解：一元二次方程有一根为，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；关键是把方程的解代入方程并正确计算．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为______．
答案:
分析：设每件降价元，表示出每件盈利元，平均每天可销售件，根据总利润与单件利润的关系立方程即可．
【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可销售件，
依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际问题——销售问题；根据所设未知数表示出每件利润和每天的销售量是解题的关键．
11．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）写出一个根为和的一元二次方程：______ ．
答案:答案不唯一
分析：一个根为和的一元二次方程有无数个，只要含有因式和的一元二次方程都有一个根为和．
【详解】解：一个根为和的一元二次方程：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，有一个根为和的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．
12．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为______．
答案:
分析：把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
13．（2023春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）方程的根是_________．
答案:
分析：先移项，再利用直接开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵，即
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
14．（2023春·浙江·八年级专题练习）将代数式变形为（其中，为常数），则______．
答案:
分析：利用完全平方公式配方可求得的值，进一步计算即可求解．
【详解】解：
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
三、解答题
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）用合适的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
答案:(1)，
(2)，
分析：（1）移项后，利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：移项得，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
或
或 ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
答案:②③⑥.
分析：直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①不是方程；
④ 不是整式方程；
⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；
⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程，
②③⑥符合一元二次方程的定义．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．
17．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）解下列一元二次方程：
(1)
(2)
答案:(1)
(2)
分析：（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：
，
，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）根据要求解下列方程
(1)（用配方法）；
(2)．
答案:(1)，
(2)
分析：（1）根据配方法解一元二次方程即可求出解；（2）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【详解】（1）方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2）方程整理得：，
这里，，，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤和求根公式是解题的关键．
19．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
答案:(1)
(2)
分析：（1）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可；
（2）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可．
（1）
解：
移项，得
，
提公因式，得
，
，
或，
，；
（2）
解：
，
或，
，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程—因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（2023春·浙江绍兴·八年级校考期中）解方程：
(1)
(2)
答案:(1)
(2)
分析：（1）先移项，再提取公因式，解两个一元一次方程即可得答案．
（2）原方程可变形为，得到，求出x的值即可．
【详解】（1）解：
解得：．
（2）解：
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法，公式法，因式分解法，配方法，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题的关键．
21．（2023春·浙江金华·八年级浦江县实验中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程有一个根为2，求方程的另一根．
答案:(1)k≥﹣1；
(2)方程的另一根为﹣4．
分析：（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案；
（2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案．
【详解】（1）解：（1）∵方程有两个实数根，
∴，即
∴ ；
（2）解： 方程有一个根为2，设方程的另一根
所以可方程的另一根为
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
答案:（1）AB=-2x+44；（2）6；32
分析：（1）根据题意，可知AD+BC-2+AB-2=40且有AD=BC=x，整理即可得出用含x的代数式表示矩形的长AB的式子；
（2）根据矩形场地面积为192平方米列出方程，解出此时x的值即可．
【详解】解：（1）∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，
∴AB=-2x+44；
（2）由题意得，（-2x+44）•x=192，
即2x2-44x+192=0，
解得x1=6，x2=16，
∵x2=16＞（舍去），
∴AD=6，
∴AB=-2×6+44=32．
答：AD长为6米，AB长为32米．
【典型】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级期末）一元二次方程的解为（ ）
A．B．C．或D．或
答案:D
分析：先移项，再因式分解，即可得出答案.
【详解】解：
∴
故答案选择D.
【点睛】本题考查的是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解题方法是本题的关键.
2．（2023春·浙江嘉兴·八年级校联考期中）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱的定价为x元，则x满足的关系式为（ ）
A．(x−2500)(8+4×)=5000B．(2900−x−2500)(8+4×)=5000
C．(x−2500)(8+4×)=5000 D．(2900−x)(8+4×)=5000
答案:C
分析：销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数=5000元，即可列方程求解．
【详解】设每台冰箱的定价应为x元，根据题意得：
（x﹣2500）（8+•4）=5000
故选C．
【点睛】本题关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
二、填空题
3．春·浙江·八年级期中）已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝_____．
答案:
分析：根据一元二次方程根的定义得到a、b是一元二次方程的两根，得到a和b的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果．
【详解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b
∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴由韦达定理得：a+b＝3，ab＝1，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二次方程根的定义的理解是解题的关键．
4．春·浙江杭州·八年级统考期末）用一块长80cm，宽60cm的纸板，在四个角截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为1500cm2的无盖长方体纸盒，则截去的小正方形的边长为___________.
答案:15cm
分析：根据题意，将纸板的四个角截去四个相同的小正方形后，得到一个底面积为1500的无盖长方体纸盒，设截去的小正方形的边长为，根据底面的面积公式，列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设截去的小正方形的边长为，由题意得，，
整理得，
解得．
当时，＜0, ＜0，不符合题意，应舍去；
当时，＞0，＞0，符合题意，所以=15．
故截去的小正方形的边长为15cm．
故答案为：15cm
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意将无盖长方体纸盒的底面面积表示出来，列关于ｘ的一元二次方程求解即可．
5．春·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）若，则的值为__________．
答案:4
分析：考虑运用“换元法”将原式变形，通过解一元二次方程可求得.
【详解】设
∴原式=
（舍去），
∵
所以，
【点睛】本题旨在考查利用“换元法”的方程的求解，熟练掌握换元法及一元二次方程的解法是关键.
6．春·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）请写出以 2 和 3 为根，且二次项系数为－1 的一元二次方程__________．
答案: 5x 6= 0
分析：利用一元二次方程根与系数的关系，原方程可化为便可得.
【详解】∵原方程可化为， ；
∴可得，
又∵根据题意二次项系数为－1
所以该一元二次方程为 .
【点睛】本题旨在考查一元二次方程的根与系数的关系知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
三、解答题
7．（2011·浙江绍兴·八年级竞赛）某单位通过旅行社组织职工去上海世博会.下面是领队与旅行社导游收费标准的一段话：
领队：每人的收费标准是多少？
导游：如果人数不超过30人，人均旅游费用为120元.
领队：超过30人怎样优惠呢？
导游：如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用就降低2元，但人均旅游费用不得低于90元.
该单位按旅行社的收费标准组团参观世博会后，共支付给旅行社4000元.请你根据上述信息，求该单位这次参观世博会的共有几人？
答案:30X120="3600" ∵3600小于4000，∴参观的人数大于30人
设共有x人，则人均旅游费为【120-2（x-30）】元
由题意得：x【120-2（x-30）】=4000
整理得：x1＝40,x2＝50
当x=40时，120—2（40-30）=100大于90
当x=50时，120—2（50.30）=80.小于90（不合，舍去）
答：该单位这次参观世博会共又40人
分析：本题要先判断出人数的大致范围，判断是否超过30人，根据对话中给出的条件来套用合适的等量关系：人均旅游费×人数＝4000元，即可列出方程求解．
【详解】30×120＝3600．
∵3600＜4000，∴参观的人数大于30人，设共有x人，则人均旅游费为[120﹣2（x﹣30）]元，由题意得：
x[120﹣2（x﹣30）]＝4000
解得：x1＝40，x2＝50．
当x＝40时，120﹣2（40﹣30）＝100＞90；
当x＝50时，120﹣2（50﹣30）＝80＜90（不合，舍去）．
答：该单位这次参观世博会共有40人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是首先要弄清题意，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【易错】
一．选择题（共4小题）
1．（2023春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
分析：先计算Δ的值，利用k的值，可作判断．
【解答】解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，
Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得方程没有实数解．故此选项错误；
C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；
D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，计算Δ的值判断方程根的情况是解题的关键．
2．（2023春•杭州期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．+x﹣1＝0B．3x+1＝5x+4C．x2+y＝0D．x2−2x+1＝0
分析：根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且得是整式方程，即可判断．
【解答】解：A．该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
B．该方程中未知数的最高次数不是2次，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程中含有两个未知数，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．
3．（2023春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0有一个根是1，则m的值是（ ）
A．﹣2B．2C．0D．±2
分析：把x＝1代入方程中进行计算可得m＝±2，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝1代入（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0中可得，
（m﹣2）﹣2+m2﹣m＝0，
解得：m＝±2，
∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的二次项系数不为0是解题的关键．
4．（2023春•杭州月考）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥﹣B．k＞﹣C．k≥﹣且k≠0D．k＜﹣
分析：由于k的取值不确定，故应分k＝0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
【解答】解：（1）当k＝0时，x﹣1＝0，解得：x＝1；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4k×（k﹣1）≥0，
解得k≥﹣，
由（1）和（2）得，k的取值范围是k≥﹣．
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k＝0和k≠0两种情况进行讨论．
二．填空题（共1小题）
5．（2023春•乐清市校级月考）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ 6 ．
分析：设x2+y2＝t．则原方程转化为关于t的一元二次方程t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0；然后解关于t的方程即可．
【解答】解：设x2+y2＝t（t≥0）．则
t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0，
解得，t＝6或t＝﹣1（不合题意，舍去）；
故x2+y2＝6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意x2+y2＝t中的t的取值范围：t≥0．
三．解答题（共4小题）
6．（2023春•东阳市期末）解方程：
（1）x2﹣7x+2＝0；
（2）2y（y﹣3）+y＝3．
分析：（1）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣7x+2＝0，
Δ＝（﹣7）2﹣4×1×2＝49﹣8＝41，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）2y（y﹣3）+y＝3，
2y（y﹣3）+y﹣3＝0，
（y﹣3）（2y+1）＝0，
y﹣3＝0或2y+1＝0，
y1＝3，y2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
7．（2023春•柯桥区期末）解下列方程：
（1）x2﹣6x＝1；
（2）2x2﹣5x+2＝0．
分析：（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣6x＝1，
x2﹣6x+9＝1+9，
（x﹣3）2＝10，
x﹣3＝±，
x﹣3＝或x﹣3＝﹣，
x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）2x2﹣5x+2＝0，
（x﹣2）（2x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或2x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
8．（2023春•余姚市期末）解方程：
（1）（x﹣1）2＝16；
（2）2x2+3x﹣1＝0．
分析：（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝16，
x﹣1＝±4，
x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，
x1＝5，x2＝﹣3；
（2）2x2+3x﹣1＝0，
Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法，公式法是解题的关键．
9．（2023春•海曙区期中）解方程：
（1）x2﹣6x＝0；
（2）x2﹣4x﹣12＝0．
分析：（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）利用十字相乘法，进行分解即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣6x＝0，
x（x﹣6）＝0，
x＝0或x﹣6＝0，
x1＝0，x2＝6；
（2）x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
x﹣6＝0或x+2＝0，
x1＝6，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【压轴】
一．选择题（共1小题）
1．（2023春•杭州期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
分析：按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
2．（2023春•柯桥区期中）三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则三角形的周长是 6或12或10 ．
分析：首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，进行分情况计算．
【解答】解：由方程x2﹣6x+8＝0，得x＝2或4．
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2＝4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2＝10．
综上所述此三角形的周长是6或12或10．
【点评】本题一定要注意判断是否能构成三角形的三边．
3．（2023春•拱墅区月考）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝ ﹣．
分析：由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．
【解答】解：∵方程有实根，
∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，
化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，
∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，
∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，
所以＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力．
三．解答题（共10小题）
4．（2023春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值，并求出此时方程的两根．
分析：（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）根据根与系数的关系求得x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1；然后由已知条件“|x1﹣x2|＝2”可以求得（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1，
∵|x1﹣x2|＝2∴（x1﹣x2）2＝（2）2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝8，
∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）＝8∴m2+2m﹣3＝0，
解得：m1＝﹣3，m2＝1．
当m＝﹣3时，原方程化为：x2﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣，
当m＝1时，原方程化为：x2+4x+2＝0，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．（2023春•杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
分析：（1）先计算出Δ＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1＝k，x2＝k+1，然后分类讨论：AB＝k，AC＝k+1，当AB＝BC或AC＝BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的解为x＝，即x1＝k，x2＝k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB＝k，AC＝k+1，且AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5；
当AB＝k，AC＝k+1，且AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1＝5，解得k＝4，
综合上述，k的值为5或4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
6．（2023春•余杭区期中）一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本．据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90，第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y，写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元；
（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等；
（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和．
分析：（1）因为使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90，所以y＝xw＝x（10x+90）；要求前几个月的利润和＝700万元，可令y＝700，利用方程即可解决问题；
（2）因为原来每月利润为120万元，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等，所以有y＝120x，解之即可求出答案；
（3）因为使用回收净化设备后第一、二年的利润＝12×（10×12+90），求出它们的和即可．
【解答】解：（1）y＝xw＝x（10x+90）＝10x2+90x，
10x2+90x＝700，
解得：x1＝5或x2＝﹣14（不合题意，舍去），
答：前5个月的利润和等于700万元；
（2）10x2+90x＝120x，
解得：x1＝3，x2＝0（不合题意，舍去），
答：当x为3时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等；
（3）第一年全年的利润是：12（10×12+90）＝2520（万元），
前11个月的总利润是：11（10×11+90）＝2200（万元），
∴第12月的利润是2520﹣2200＝320（万元），
第二年的利润总和是12×320＝3840（万元），
2520+3840＝6360（万元）．
答：使用回收净化设备后两年的利润总和是6360万元．
【点评】本题需正确理解题意，找出数量关系，列出函数关系式进一步求解．
7．（2023春•拱墅区校级月考）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
分析：（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
【解答】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．
【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
8．（2023春•永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2满足2x1＝|x2|+1，求m的值．
分析：（1）根据根的判别式即可求解；
（2）根据根与系数的关系，分情况讨论即可求得m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根，
∴△≥0，即9﹣4（m﹣2）≥0
解得m≤．
答：m的求值范围为m≤．
（2）根据根与系数的关系：
x1+x2＝3，x1•x2＝m﹣2，
∵x1，x2满足2x1＝|x2|+1，
①当x2≥0时，2x1＝x2+1
把x2＝3﹣x1代入，得
2x1＝3﹣x1+1
解得x1＝，
∴x2＝，
∴m﹣2＝x1•x2＝
∴m＝．
②当x2＜0时，2x1＝﹣x2+1
∴2x1+3﹣x1＝1
解得x1＝﹣2，x2＝5，
∵2x1＝|x2|+1，
∴x1＝﹣2，x2＝5（不符合题意，舍去）
答：m的值为．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，解决本题的关键是熟练运用根与系数的关系和根的判别式．
9．（2023春•永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值
分析：（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到Δ＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，然后求出不等式的解即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，加上k≤，则可判断2k﹣2＜0，所以|x1+x2|＝x1x2﹣1，可化简为：k2+2k﹣3＝0，然后解方程求出k的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，
∵k≤，
∴2k﹣2＜0，
又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣1，可化简为：k2+2k﹣3＝0．
解得k＝1（不合题意，舍去）或k＝﹣3，
∴k＝﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
10．（2023春•新昌县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．
（1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示）
（2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？
分析：（1）设出运动所求的时间，可将PC和CQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
（2）需要对点P的不同位置进行分类讨论：①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC，得，
②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC；
③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC．
【解答】解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3平方厘米，
则有PC＝t cm，CQ＝3t cm，
依题意，得：t×3t＝3，
t2＝2，
解得，（舍去），
由勾股定理，得：PQ＝．
答：秒后△PCQ的面积为3平方厘米，此时PQ的长是；
（2）①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2
S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC
，
解得，
②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，
S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC
9t＝22，
解得；
③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，
S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC
（不符合题意，舍去），（或者得，，都不符合题意，舍去），
综上：或．
答，经过秒或秒，以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．此题是根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．
11．（2023秋•孝南区月考）百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五•一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？
分析：根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以求得每件童装应定价多少元，注意商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，也就意味着在获得相同利润的前提下，要降价多的那种情况．
【解答】解：设每件童装应降价x元，由题意得：
（100﹣60﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，
∴x＝20，
∴每件童装应定价为：100﹣20＝80（元），
答：每件童装应定价80．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意要联系实际情况．
12．（2023春•诸暨市月考）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
分析：（1）根据题意，可知AD+BC﹣2+AB﹣2＝40，且有AD＝BC＝x，整理即可得出用含x的代数式表示矩形的长AB的式子；
（2）根据矩形场地面积为192平方米列出方程，解出此时x的值即可．
【解答】解：（1）∵AD+BC﹣2+AB﹣2＝40，AD＝BC＝x，
∴AB＝﹣2x+44；
（2）由题意得﹣2x+44＞x，
解得x＜，
由题意得（﹣2x+44）•x＝192，
即2x2﹣44x+192＝0，
解得x1＝6，x2＝16，
∵x2＝16＞（舍去），
∴AD＝6，
∴AB＝﹣2×6+44＝32．
答：AD长为6米，AB长为32米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
13．（2023春•金华期中）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，
（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
分析：（1）若要证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明Δ＞0．
（2）若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，AB2+AC2＝25，再根据根与系数的关系求得k的值即可．
（3）此题要分两种情况进行讨论，若AB＝BC＝5时，把5代入方程即可求出k的值，若AB＝AC时，则Δ＝0，列出关于k的方程，解出k的值即可．
【解答】解：（1）因为Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）根据根与系数的关系：AB+AC＝2k+3，AB•AC＝k2+3k+2，
则AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB•AC＝25，
即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，
解得k＝2或k＝﹣5．
根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积k2+3k+2＞0，
∴k＝2．
（3）若AB＝BC＝5时，5是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的实数根，把x＝5代入原方程，得k＝3或k＝4．
由（1）知，无论k取何值，Δ＞0，所以AB≠AC，故k只能取3或4．
根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB+AC＝2k+3，当k＝3时，AB+AC＝9，则周长是9+5＝14；
当k＝4时，AB+AC＝8+3＝11．则周长是11+5＝16．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件．
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）一元二次方程的二次项系数为1，则它的常数项为（ ）
A．1B． C．3D．
6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）在一次同学聚会上，参加聚会的每两个同学都要握手一次．若所有参加聚会的同学共握手45次，则参加此次聚会的同学有_____人．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）用因式分解法解一元二次方程时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是____________，一元二次方程的解是____________．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）若一元二次方程有一根为，则的值为___________．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为______．
11．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）写出一个根为和的一元二次方程：______ ．
12．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为______．
13．（2023春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）方程的根是_________．
14．（2023春·浙江·八年级专题练习）将代数式变形为（其中，为常数），则______．
三、解答题
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）用合适的方法解下列方程：
(1)； (2)．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
17．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）解下列一元二次方程：
(1) (2)
18．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）根据要求解下列方程
(1)（用配方法）； (2)．
19．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）解方程：
(1) (2)
20．（2023春·浙江绍兴·八年级校考期中）解方程：
(1) (2)
21．（2023春·浙江金华·八年级浦江县实验中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程有一个根为2，求方程的另一根．
22．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
【典型】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级期末）一元二次方程的解为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2023春·浙江嘉兴·八年级校联考期中）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱的定价为x元，则x满足的关系式为（ ）
A．(x−2500)(8+4×)=5000B．(2900−x−2500)(8+4×)=5000
C．(x−2500)(8+4×)=5000 D．(2900−x)(8+4×)=5000
二、填空题
3．春·浙江·八年级期中）已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝_____．
4．春·浙江杭州·八年级统考期末）用一块长80cm，宽60cm的纸板，在四个角截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为1500cm2的无盖长方体纸盒，则截去的小正方形的边长为___________.
5．春·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）若，则的值为__________．
6．春·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）请写出以 2 和 3 为根，且二次项系数为－1 的一元二次方程__________．
三、解答题
7．（2011·浙江绍兴·八年级竞赛）某单位通过旅行社组织职工去上海世博会.下面是领队与旅行社导游收费标准的一段话：
领队：每人的收费标准是多少？
导游：如果人数不超过30人，人均旅游费用为120元.
领队：超过30人怎样优惠呢？
导游：如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用就降低2元，但人均旅游费用不得低于90元.
该单位按旅行社的收费标准组团参观世博会后，共支付给旅行社4000元.请你根据上述信息，求该单位这次参观世博会的共有几人？
【易错】
一．选择题（共4小题）
1．（2023春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
2．（2023春•杭州期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．+x﹣1＝0B．3x+1＝5x+4C．x2+y＝0D．x2−2x+1＝0
3．（2023春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0有一个根是1，则m的值是（ ）
A．﹣2B．2C．0D．±2
4．（2023春•杭州月考）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥﹣B．k＞﹣C．k≥﹣且k≠0D．k＜﹣
二．填空题（共1小题）
5．（2023春•乐清市校级月考）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ ．
三．解答题（共4小题）
6．（2023春•东阳市期末）解方程：
（1）x2﹣7x+2＝0； （2）2y（y﹣3）+y＝3．
7．（2023春•柯桥区期末）解下列方程：
（1）x2﹣6x＝1； （2）2x2﹣5x+2＝0．
8．（2023春•余姚市期末）解方程：
（1）（x﹣1）2＝16； （2）2x2+3x﹣1＝0．
9．（2023春•海曙区期中）解方程：
（1）x2﹣6x＝0； （2）x2﹣4x﹣12＝0．
【压轴】
一．选择题（共1小题）
1．（2023春•杭州期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
二．填空题（共2小题）
2．（2023春•柯桥区期中）三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则三角形的周长是 ．
3．（2023春•拱墅区月考）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝
三．解答题（共10小题）
4．（2023春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值，并求出此时方程的两根．
5．（2023春•杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
6．（2023春•余杭区期中）一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本．据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90，第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y，写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元；
（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等；
（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和．
7．（2023春•拱墅区校级月考）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
8．（2023春•永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2满足2x1＝|x2|+1，求m的值．
9．（2023春•永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值
10．（2023春•新昌县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．
（1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示）
（2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？
11．（2023秋•孝南区月考）百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五•一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？
12．（2023春•诸暨市月考）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
13．（2023春•金华期中）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，
（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
第2章 一元二次方程（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据一元二次方程的定义，方程中最高次项的指数为，二次项系数不能为零， 由此即可求解．
【详解】解：方程中最高次项为，且次数为二次，
∴，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，理解和掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
答案:C
分析：根据题意可设这个方程为，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两根是，
可设这个方程为，
∴这个方程可以为．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：由一元二次方程没有实数根得到判别式，解该不等式即可求出m的取值范围．
【详解】解：由题意可知：，，．
判别式，
∵方程没有实数根，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式的应用，对应一元二次方程，若判别式，则方程有两个不相等的实数根；若判别式，则方程有两个相等的实数根；若判别式，则方程没有实数根．
4．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
答案:B
分析：先根据题意求出每支球队进行场比赛，再根据每个队之间比赛一场即可表示总的场次，然后根据总的比赛场次（场）列出方程即可．
【详解】根据题意可知．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是列方程的关键．
5．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）一元二次方程的二次项系数为1，则它的常数项为（ ）
A．1B． C．3D．
答案:D
分析：方程整理后为一般形式，找出二次项系数与常数项即可．
【详解】解：方程整理得：，其中二次项系数为1，常数项为．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，将一元二次方程化为一般式，再进行判断是解题的关键．
6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
二、填空题
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）在一次同学聚会上，参加聚会的每两个同学都要握手一次．若所有参加聚会的同学共握手45次，则参加此次聚会的同学有_____人．
答案:10
分析：设参加此次聚会的同学有x人，根据每两个同学都要握手一次，所有参加聚会的同学共握手45次列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设参加此次聚会的同学有x人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴参加此次聚会的同学有10人．
故答案为：10．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）用因式分解法解一元二次方程时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是____________，一元二次方程的解是____________．
答案: ，
分析：根据，方程可以分解成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是，解这两个一元一次方程即可得一元二次方程的解．
【详解】解：∵，
∴要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是；
由得，由得，
故一元二次方程的解是，，
故答案为：；，
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）若一元二次方程有一根为，则的值为___________．
答案:
分析：直接把代入一元二次方程中即可得到的值．
【详解】解：一元二次方程有一根为，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；关键是把方程的解代入方程并正确计算．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为______．
答案:
分析：设每件降价元，表示出每件盈利元，平均每天可销售件，根据总利润与单件利润的关系立方程即可．
【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可销售件，
依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际问题——销售问题；根据所设未知数表示出每件利润和每天的销售量是解题的关键．
11．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）写出一个根为和的一元二次方程：______ ．
答案:答案不唯一
分析：一个根为和的一元二次方程有无数个，只要含有因式和的一元二次方程都有一个根为和．
【详解】解：一个根为和的一元二次方程：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，有一个根为和的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．
12．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为______．
答案:
分析：把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
13．（2023春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）方程的根是_________．
答案:
分析：先移项，再利用直接开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵，即
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
14．（2023春·浙江·八年级专题练习）将代数式变形为（其中，为常数），则______．
答案:
分析：利用完全平方公式配方可求得的值，进一步计算即可求解．
【详解】解：
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
三、解答题
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）用合适的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
答案:(1)，
(2)，
分析：（1）移项后，利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：移项得，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
或
或 ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
答案:②③⑥.
分析：直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①不是方程；
④ 不是整式方程；
⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；
⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程，
②③⑥符合一元二次方程的定义．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．
17．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）解下列一元二次方程：
(1)
(2)
答案:(1)
(2)
分析：（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：
，
，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）根据要求解下列方程
(1)（用配方法）；
(2)．
答案:(1)，
(2)
分析：（1）根据配方法解一元二次方程即可求出解；（2）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【详解】（1）方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2）方程整理得：，
这里，，，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤和求根公式是解题的关键．
19．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
答案:(1)
(2)
分析：（1）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可；
（2）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可．
（1）
解：
移项，得
，
提公因式，得
，
，
或，
，；
（2）
解：
，
或，
，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程—因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（2023春·浙江绍兴·八年级校考期中）解方程：
(1)
(2)
答案:(1)
(2)
分析：（1）先移项，再提取公因式，解两个一元一次方程即可得答案．
（2）原方程可变形为，得到，求出x的值即可．
【详解】（1）解：
解得：．
（2）解：
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法，公式法，因式分解法，配方法，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题的关键．
21．（2023春·浙江金华·八年级浦江县实验中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程有一个根为2，求方程的另一根．
答案:(1)k≥﹣1；
(2)方程的另一根为﹣4．
分析：（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案；
（2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案．
【详解】（1）解：（1）∵方程有两个实数根，
∴，即
∴ ；
（2）解： 方程有一个根为2，设方程的另一根
所以可方程的另一根为
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
答案:（1）AB=-2x+44；（2）6；32
分析：（1）根据题意，可知AD+BC-2+AB-2=40且有AD=BC=x，整理即可得出用含x的代数式表示矩形的长AB的式子；
（2）根据矩形场地面积为192平方米列出方程，解出此时x的值即可．
【详解】解：（1）∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，
∴AB=-2x+44；
（2）由题意得，（-2x+44）•x=192，
即2x2-44x+192=0，
解得x1=6，x2=16，
∵x2=16＞（舍去），
∴AD=6，
∴AB=-2×6+44=32．
答：AD长为6米，AB长为32米．
【典型】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级期末）一元二次方程的解为（ ）
A．B．C．或D．或
答案:D
分析：先移项，再因式分解，即可得出答案.
【详解】解：
∴
故答案选择D.
【点睛】本题考查的是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解题方法是本题的关键.
2．（2023春·浙江嘉兴·八年级校联考期中）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱的定价为x元，则x满足的关系式为（ ）
A．(x−2500)(8+4×)=5000B．(2900−x−2500)(8+4×)=5000
C．(x−2500)(8+4×)=5000 D．(2900−x)(8+4×)=5000
答案:C
分析：销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数=5000元，即可列方程求解．
【详解】设每台冰箱的定价应为x元，根据题意得：
（x﹣2500）（8+•4）=5000
故选C．
【点睛】本题关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
二、填空题
3．春·浙江·八年级期中）已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝_____．
答案:
分析：根据一元二次方程根的定义得到a、b是一元二次方程的两根，得到a和b的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果．
【详解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b
∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴由韦达定理得：a+b＝3，ab＝1，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二次方程根的定义的理解是解题的关键．
4．春·浙江杭州·八年级统考期末）用一块长80cm，宽60cm的纸板，在四个角截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为1500cm2的无盖长方体纸盒，则截去的小正方形的边长为___________.
答案:15cm
分析：根据题意，将纸板的四个角截去四个相同的小正方形后，得到一个底面积为1500的无盖长方体纸盒，设截去的小正方形的边长为，根据底面的面积公式，列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设截去的小正方形的边长为，由题意得，，
整理得，
解得．
当时，＜0, ＜0，不符合题意，应舍去；
当时，＞0，＞0，符合题意，所以=15．
故截去的小正方形的边长为15cm．
故答案为：15cm
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意将无盖长方体纸盒的底面面积表示出来，列关于ｘ的一元二次方程求解即可．
5．春·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）若，则的值为__________．
答案:4
分析：考虑运用“换元法”将原式变形，通过解一元二次方程可求得.
【详解】设
∴原式=
（舍去），
∵
所以，
【点睛】本题旨在考查利用“换元法”的方程的求解，熟练掌握换元法及一元二次方程的解法是关键.
6．春·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）请写出以 2 和 3 为根，且二次项系数为－1 的一元二次方程__________．
答案: 5x 6= 0
分析：利用一元二次方程根与系数的关系，原方程可化为便可得.
【详解】∵原方程可化为， ；
∴可得，
又∵根据题意二次项系数为－1
所以该一元二次方程为 .
【点睛】本题旨在考查一元二次方程的根与系数的关系知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
三、解答题
7．（2011·浙江绍兴·八年级竞赛）某单位通过旅行社组织职工去上海世博会.下面是领队与旅行社导游收费标准的一段话：
领队：每人的收费标准是多少？
导游：如果人数不超过30人，人均旅游费用为120元.
领队：超过30人怎样优惠呢？
导游：如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用就降低2元，但人均旅游费用不得低于90元.
该单位按旅行社的收费标准组团参观世博会后，共支付给旅行社4000元.请你根据上述信息，求该单位这次参观世博会的共有几人？
答案:30X120="3600" ∵3600小于4000，∴参观的人数大于30人
设共有x人，则人均旅游费为【120-2（x-30）】元
由题意得：x【120-2（x-30）】=4000
整理得：x1＝40,x2＝50
当x=40时，120—2（40-30）=100大于90
当x=50时，120—2（50.30）=80.小于90（不合，舍去）
答：该单位这次参观世博会共又40人
分析：本题要先判断出人数的大致范围，判断是否超过30人，根据对话中给出的条件来套用合适的等量关系：人均旅游费×人数＝4000元，即可列出方程求解．
【详解】30×120＝3600．
∵3600＜4000，∴参观的人数大于30人，设共有x人，则人均旅游费为[120﹣2（x﹣30）]元，由题意得：
x[120﹣2（x﹣30）]＝4000
解得：x1＝40，x2＝50．
当x＝40时，120﹣2（40﹣30）＝100＞90；
当x＝50时，120﹣2（50﹣30）＝80＜90（不合，舍去）．
答：该单位这次参观世博会共有40人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是首先要弄清题意，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【易错】
一．选择题（共4小题）
1．（2023春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
分析：先计算Δ的值，利用k的值，可作判断．
【解答】解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，
Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得方程没有实数解．故此选项错误；
C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；
D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，计算Δ的值判断方程根的情况是解题的关键．
2．（2023春•杭州期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．+x﹣1＝0B．3x+1＝5x+4C．x2+y＝0D．x2−2x+1＝0
分析：根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且得是整式方程，即可判断．
【解答】解：A．该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
B．该方程中未知数的最高次数不是2次，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程中含有两个未知数，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．
3．（2023春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0有一个根是1，则m的值是（ ）
A．﹣2B．2C．0D．±2
分析：把x＝1代入方程中进行计算可得m＝±2，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝1代入（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0中可得，
（m﹣2）﹣2+m2﹣m＝0，
解得：m＝±2，
∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的二次项系数不为0是解题的关键．
4．（2023春•杭州月考）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥﹣B．k＞﹣C．k≥﹣且k≠0D．k＜﹣
分析：由于k的取值不确定，故应分k＝0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
【解答】解：（1）当k＝0时，x﹣1＝0，解得：x＝1；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4k×（k﹣1）≥0，
解得k≥﹣，
由（1）和（2）得，k的取值范围是k≥﹣．
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k＝0和k≠0两种情况进行讨论．
二．填空题（共1小题）
5．（2023春•乐清市校级月考）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ 6 ．
分析：设x2+y2＝t．则原方程转化为关于t的一元二次方程t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0；然后解关于t的方程即可．
【解答】解：设x2+y2＝t（t≥0）．则
t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0，
解得，t＝6或t＝﹣1（不合题意，舍去）；
故x2+y2＝6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意x2+y2＝t中的t的取值范围：t≥0．
三．解答题（共4小题）
6．（2023春•东阳市期末）解方程：
（1）x2﹣7x+2＝0；
（2）2y（y﹣3）+y＝3．
分析：（1）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣7x+2＝0，
Δ＝（﹣7）2﹣4×1×2＝49﹣8＝41，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）2y（y﹣3）+y＝3，
2y（y﹣3）+y﹣3＝0，
（y﹣3）（2y+1）＝0，
y﹣3＝0或2y+1＝0，
y1＝3，y2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
7．（2023春•柯桥区期末）解下列方程：
（1）x2﹣6x＝1；
（2）2x2﹣5x+2＝0．
分析：（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣6x＝1，
x2﹣6x+9＝1+9，
（x﹣3）2＝10，
x﹣3＝±，
x﹣3＝或x﹣3＝﹣，
x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）2x2﹣5x+2＝0，
（x﹣2）（2x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或2x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
8．（2023春•余姚市期末）解方程：
（1）（x﹣1）2＝16；
（2）2x2+3x﹣1＝0．
分析：（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝16，
x﹣1＝±4，
x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，
x1＝5，x2＝﹣3；
（2）2x2+3x﹣1＝0，
Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法，公式法是解题的关键．
9．（2023春•海曙区期中）解方程：
（1）x2﹣6x＝0；
（2）x2﹣4x﹣12＝0．
分析：（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）利用十字相乘法，进行分解即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣6x＝0，
x（x﹣6）＝0，
x＝0或x﹣6＝0，
x1＝0，x2＝6；
（2）x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
x﹣6＝0或x+2＝0，
x1＝6，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【压轴】
一．选择题（共1小题）
1．（2023春•杭州期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
分析：按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
2．（2023春•柯桥区期中）三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则三角形的周长是 6或12或10 ．
分析：首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，进行分情况计算．
【解答】解：由方程x2﹣6x+8＝0，得x＝2或4．
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2＝4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2＝10．
综上所述此三角形的周长是6或12或10．
【点评】本题一定要注意判断是否能构成三角形的三边．
3．（2023春•拱墅区月考）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝ ﹣．
分析：由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．
【解答】解：∵方程有实根，
∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，
化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，
∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，
∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，
所以＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力．
三．解答题（共10小题）
4．（2023春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值，并求出此时方程的两根．
分析：（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）根据根与系数的关系求得x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1；然后由已知条件“|x1﹣x2|＝2”可以求得（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1，
∵|x1﹣x2|＝2∴（x1﹣x2）2＝（2）2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝8，
∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）＝8∴m2+2m﹣3＝0，
解得：m1＝﹣3，m2＝1．
当m＝﹣3时，原方程化为：x2﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣，
当m＝1时，原方程化为：x2+4x+2＝0，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．（2023春•杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
分析：（1）先计算出Δ＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1＝k，x2＝k+1，然后分类讨论：AB＝k，AC＝k+1，当AB＝BC或AC＝BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的解为x＝，即x1＝k，x2＝k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB＝k，AC＝k+1，且AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5；
当AB＝k，AC＝k+1，且AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1＝5，解得k＝4，
综合上述，k的值为5或4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
6．（2023春•余杭区期中）一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本．据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90，第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y，写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元；
（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等；
（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和．
分析：（1）因为使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90，所以y＝xw＝x（10x+90）；要求前几个月的利润和＝700万元，可令y＝700，利用方程即可解决问题；
（2）因为原来每月利润为120万元，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等，所以有y＝120x，解之即可求出答案；
（3）因为使用回收净化设备后第一、二年的利润＝12×（10×12+90），求出它们的和即可．
【解答】解：（1）y＝xw＝x（10x+90）＝10x2+90x，
10x2+90x＝700，
解得：x1＝5或x2＝﹣14（不合题意，舍去），
答：前5个月的利润和等于700万元；
（2）10x2+90x＝120x，
解得：x1＝3，x2＝0（不合题意，舍去），
答：当x为3时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等；
（3）第一年全年的利润是：12（10×12+90）＝2520（万元），
前11个月的总利润是：11（10×11+90）＝2200（万元），
∴第12月的利润是2520﹣2200＝320（万元），
第二年的利润总和是12×320＝3840（万元），
2520+3840＝6360（万元）．
答：使用回收净化设备后两年的利润总和是6360万元．
【点评】本题需正确理解题意，找出数量关系，列出函数关系式进一步求解．
7．（2023春•拱墅区校级月考）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
分析：（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
【解答】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．
【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
8．（2023春•永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2满足2x1＝|x2|+1，求m的值．
分析：（1）根据根的判别式即可求解；
（2）根据根与系数的关系，分情况讨论即可求得m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根，
∴△≥0，即9﹣4（m﹣2）≥0
解得m≤．
答：m的求值范围为m≤．
（2）根据根与系数的关系：
x1+x2＝3，x1•x2＝m﹣2，
∵x1，x2满足2x1＝|x2|+1，
①当x2≥0时，2x1＝x2+1
把x2＝3﹣x1代入，得
2x1＝3﹣x1+1
解得x1＝，
∴x2＝，
∴m﹣2＝x1•x2＝
∴m＝．
②当x2＜0时，2x1＝﹣x2+1
∴2x1+3﹣x1＝1
解得x1＝﹣2，x2＝5，
∵2x1＝|x2|+1，
∴x1＝﹣2，x2＝5（不符合题意，舍去）
答：m的值为．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，解决本题的关键是熟练运用根与系数的关系和根的判别式．
9．（2023春•永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值
分析：（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到Δ＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，然后求出不等式的解即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，加上k≤，则可判断2k﹣2＜0，所以|x1+x2|＝x1x2﹣1，可化简为：k2+2k﹣3＝0，然后解方程求出k的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，
∵k≤，
∴2k﹣2＜0，
又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣1，可化简为：k2+2k﹣3＝0．
解得k＝1（不合题意，舍去）或k＝﹣3，
∴k＝﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
10．（2023春•新昌县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．
（1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示）
（2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？
分析：（1）设出运动所求的时间，可将PC和CQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
（2）需要对点P的不同位置进行分类讨论：①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC，得，
②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC；
③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC．
【解答】解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3平方厘米，
则有PC＝t cm，CQ＝3t cm，
依题意，得：t×3t＝3，
t2＝2，
解得，（舍去），
由勾股定理，得：PQ＝．
答：秒后△PCQ的面积为3平方厘米，此时PQ的长是；
（2）①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2
S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC
，
解得，
②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，
S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC
9t＝22，
解得；
③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，
S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC
（不符合题意，舍去），（或者得，，都不符合题意，舍去），
综上：或．
答，经过秒或秒，以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．此题是根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．
11．（2023秋•孝南区月考）百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五•一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？
分析：根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以求得每件童装应定价多少元，注意商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，也就意味着在获得相同利润的前提下，要降价多的那种情况．
【解答】解：设每件童装应降价x元，由题意得：
（100﹣60﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，
∴x＝20，
∴每件童装应定价为：100﹣20＝80（元），
答：每件童装应定价80．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意要联系实际情况．
12．（2023春•诸暨市月考）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
分析：（1）根据题意，可知AD+BC﹣2+AB﹣2＝40，且有AD＝BC＝x，整理即可得出用含x的代数式表示矩形的长AB的式子；
（2）根据矩形场地面积为192平方米列出方程，解出此时x的值即可．
【解答】解：（1）∵AD+BC﹣2+AB﹣2＝40，AD＝BC＝x，
∴AB＝﹣2x+44；
（2）由题意得﹣2x+44＞x，
解得x＜，
由题意得（﹣2x+44）•x＝192，
即2x2﹣44x+192＝0，
解得x1＝6，x2＝16，
∵x2＝16＞（舍去），
∴AD＝6，
∴AB＝﹣2×6+44＝32．
答：AD长为6米，AB长为32米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
13．（2023春•金华期中）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，
（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
分析：（1）若要证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明Δ＞0．
（2）若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，AB2+AC2＝25，再根据根与系数的关系求得k的值即可．
（3）此题要分两种情况进行讨论，若AB＝BC＝5时，把5代入方程即可求出k的值，若AB＝AC时，则Δ＝0，列出关于k的方程，解出k的值即可．
【解答】解：（1）因为Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）根据根与系数的关系：AB+AC＝2k+3，AB•AC＝k2+3k+2，
则AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB•AC＝25，
即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，
解得k＝2或k＝﹣5．
根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积k2+3k+2＞0，
∴k＝2．
（3）若AB＝BC＝5时，5是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的实数根，把x＝5代入原方程，得k＝3或k＝4．
由（1）知，无论k取何值，Δ＞0，所以AB≠AC，故k只能取3或4．
根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB+AC＝2k+3，当k＝3时，AB+AC＝9，则周长是9+5＝14；
当k＝4时，AB+AC＝8+3＝11．则周长是11+5＝16．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件．
相关试卷
浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第6章反比例函数分类专项训练(原卷版+解析)： 这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第6章反比例函数分类专项训练(原卷版+解析)，共73页。
浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第5章特殊平行四边形分类专项训练(原卷版+解析)： 这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第5章特殊平行四边形分类专项训练(原卷版+解析)，共71页。
浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第4章平行四边形分类专项训练(原卷版+解析)： 这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第4章平行四边形分类专项训练(原卷版+解析)，共73页。
