浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第5章特殊平行四边形【单元提升卷】(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第5章特殊平行四边形【单元提升卷】(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共26题等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、单选题
1．若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填（ ）
A．平行四边形，矩形B．矩形，菱形
C．菱形，正方形D．正方形，平行四边形
2．下列说法错误的有几个（ ）
①线段是轴对称图形，②平行四边形是轴对称图形，③五边形有五条对称轴，
④关于某直线成轴对称的两个图形一定全等．⑤等腰三角形的对称轴是底边上的高．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在边长为12的正方形中，E是上一点，，且，则（ ）
A．8B．10C．12D．16
4．如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是（ ）
A．1B．C．D．2
5．如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A．24米2B．36米2C．48米2D．72米2
6．如图，将矩形纸片剪去一个角后，得到五边形，则的值为( )
A．B．C．D．
7．如图，在中，点、分别是、的中点，与交于点，与交于点，下列说法：①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形；③当时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形，其中正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
8．如图，在正方形网格中，线段绕点O旋转一定的角度后与线段重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为，点B的坐标为，则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
二、填空题
10．菱形的两条对角线分别是，，则菱形的边长为________，面积为________．
11．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是__________．（填写一个即可）
12．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF， 则下列结论：
①△EBF≌△DFC；
②四边形AEFD为平行四边形；
③当AB=AC，∠BAC=1200时，四边形AEFD是正方形．
其中正确的结论是_________．（请写出正确结论的番号）．
13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边OD，BC的中点，连接EF、AE，EF交OC于点G，则GE的长为 _____．
14．如图，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，点在上，连接BE，∠BEC＝2∠ADB，于点，且EF＝BC，若CD＝5，则BE的长为_____．
15．如图，在▱ ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BF⊥CD，已知BF=8，EF=5，则▱ ABCD的周长为_____．
16．定义：在平面内， 一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离． 如图， 在平面内有一个正方形， 边长为3 ， 中心为， 在正方形外有点，， 当正方形绕着点 旋转时， 则点到正方形的最短距离的取值范围为____________．
17．如图，在矩形中，，，点E为上一动点（不与点C重合），将沿所在直线折叠，点C的对应点恰好落在上，则的长是_______________．
18．在如图所示的方格纸中有一个菱形，，，四点均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则该菱形的面积为________．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且、满足．同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点D，C，连接AC，BD，AB，如图1．
(1)求点C，D的坐标；
(2)同时将（1）点C，D分别向右平移2个单位，得到如图2四边形ABCD，且点E是CD的中点，点G在边AB上，是腰长为5的等腰三角形，求点G的坐标．
20．我国水资源比较缺乏，人均水量约为世界人均水量的四分之一，其中西北地区缺水尤为严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为280cm，宽为160cm（如图）．
（1）若水箱的底面积为16000cm2，请求出切去的小正方形边长；
（2）对（1）中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升？（注：1升水=1000cm3水）
21．如图，四边形是果农王大爷家的果园平面图，王大爷准备沿将果园分为和两个区域，分别种植两种不同的果树．经测量，，米，米，米，求区域的面积．
22．如图，已知，，交于点，．
(1)证明：；
(2)若，，连接，求的长．
23．如图，，，．求证：．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AB=5，OE=，求AE的长．
25．已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC
(1)如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
(2)若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．
26．如图，长方形ABCD绕点C旋转到长方形CEFG处，点B的对应点E落在AD边上，
(1)若，，如图（1），连接DF．
①求DE的长；
②求的面积．
(2)若，，如图（2），连接BG，BG交EC于点H，连接DH，求的面积．
第5章 特殊平行四边形【单元提升卷】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、单选题
1．若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填（ ）
A．平行四边形，矩形B．矩形，菱形
C．菱形，正方形D．正方形，平行四边形
答案:D
分析：将各选项填入后，根据平行四边形、特殊平行四边形的关系逐一判断即可得．
【详解】A、若四边形是平行四边形，则四边形一定是矩形，此命题是假命题，则此项不符题意；
B、若四边形是矩形，则四边形一定是菱形，此命题是假命题，则此项不符题意；
C、若四边形是菱形，则四边形一定是正方形，此命题是假命题，则此项不符题意；
D、若四边形是正方形，则四边形一定是平行四边形，此命题是真命题，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、特殊平行四边形，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．
2．下列说法错误的有几个（ ）
①线段是轴对称图形，②平行四边形是轴对称图形，③五边形有五条对称轴，
④关于某直线成轴对称的两个图形一定全等．⑤等腰三角形的对称轴是底边上的高．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案:C
【详解】解：①线段是轴对称图形，正确，不合题意；
②平行四边形是轴对称图形，错误，符合题意；
③五边形有五条对称轴，错误，符合题意；
④关于某直线成轴对称的两个图形一定全等，正确，不合题意；
⑤等腰三角形的对称轴是底边上的高，高是线段，对称轴是直线，故此选项错误，符合题意．
故选C．
3．如图，在边长为12的正方形中，E是上一点，，且，则（ ）
A．8B．10C．12D．16
答案:B
分析：延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由条件可以得出∠BCE+∠DCG=45°，就可以得出∠DCG+∠DCF=45°，就有∠ECG=∠FCG=45°，通过证明△GCE≌△GCF就可以得出GE=GF，在R△AEG中，由勾股定理就可以得出GE的长．
【详解】解：延长AD至F，使DF=BE，连接CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠CDF=∠B=90°．
在△CBE和△CDF中，，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠DCG+∠DCF=45°，
∴∠ECG=∠FCG．
在△GCE和△GCF中，
∴GCE≌△GCF(SAS)，
∴GE=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=GD+BE，
∴GE=BE+GD；
∵AB=BC=12，BE=4，
∴AE=8．
设AG=x，由（2）可知：GF=GE=16-x．
在Rt△AGE中，由勾股定理，得：x2+64=(16-x)2，
解得：x=6，
∴GE=16-x=16-6=10．
故选：
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
4．如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是（ ）
A．1B．C．D．2
答案:C
分析：由正方形的性质得出，，由证得，即可得出答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
∵在中，，
，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：（负值舍去），
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
5．如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A．24米2B．36米2C．48米2D．72米2
答案:B
分析：连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．
【详解】连接AC，则由勾股定理得AC=5米，
∵52+122=132
即AC2+DC2=AD2，
∴∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=36米2．
故选B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．
6．如图，将矩形纸片剪去一个角后，得到五边形，则的值为( )
A．B．C．D．
答案:B
分析：可利用多边形的内角和，求出五边形的内角和，再减去3个直角的度数．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵五边形的内角和为，
∴．
故选∶B．
【点睛】本题考查了矩形的性质及多边形的内角和定理．解决本题亦可通过外角关系．
7．如图，在中，点、分别是、的中点，与交于点，与交于点，下列说法：①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形；③当时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形，其中正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
答案:B
分析：根据平行四边形、矩形的判定与性质，菱形的判定，结合题中条件证明．解每个小问时，先画出对应图形，再证明．
【详解】解：①如图
四边形是是平行四边形
，
又 、分别是、的中点


又 即
四边形是平行四边形
故①正确．
②如图
连接，由题意得：
，，
四边形，都为平行四边形且两者全等

又平行四边形对角线互相平分


又由①可知，四边形是平行四边形，

四边形是平行四边形；
故②正确．
③如图
，四边形是平行四边形
平行四边形是矩形，
四边形是矩形，

又 矩形对角线互相平分

结合②四边形为平行四边形
四边形为菱形
故③正确．
④如图，
由①②可得：，，而，
∴，
∴四边形不是矩形
故④不正确．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质(一组对边平行且相等，对角线互相平分)，矩形的判定和性质(对角线互相平分)，菱形判定(有一组邻边相等的平行四边形为菱形) 等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
8．如图，在正方形网格中，线段绕点O旋转一定的角度后与线段重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为，点B的坐标为，则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：先对应点A与C、B与D连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：作、的垂直平分线交于点O，
点O即为旋转中心，，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
9．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
答案:C
分析：利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】是AD的中点，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，故正确；
延长EF，交CD延长线于M．
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
为AD中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，故错误；
设，则，
，
，
，
，
，故正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是得出．
二、填空题
10．菱形的两条对角线分别是，，则菱形的边长为________，面积为________．
答案:
分析：根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求菱形的面积即可．
【详解】∵菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，
∴对角线的一半分别为3cm，4cm，
∴根据勾股定理可得菱形的边长为： =5cm，
∴面积S= ×6×8=24cm2．
故答案为5；24．
【点睛】本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，熟记菱形的性质是解决本题的关键．
11．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是__________．（填写一个即可）
答案:（答案不唯一）
分析：先证明四边形是平行四边形，再添加对角线相等即可求解．
【详解】解：∵平行四边形中，对角线与相交于点，
∴，
又∵，
∴
即
∴四边形是平行四边形，
添加条件：，可得四边形是矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
12．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF， 则下列结论：
①△EBF≌△DFC；
②四边形AEFD为平行四边形；
③当AB=AC，∠BAC=1200时，四边形AEFD是正方形．
其中正确的结论是_________．（请写出正确结论的番号）．
答案:①②．
【详解】试题分析：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，∵AB=EB，∠CBA=∠FBE，BC=BF，∴△ABC≌△EBF（SAS），选项①正确；
∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD，同理可得AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；
若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，
故答案为①②．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定；4．正方形的判定．
13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边OD，BC的中点，连接EF、AE，EF交OC于点G，则GE的长为 _____．
答案:
分析：由“AAS”可证△OEG≌△HFG，可得OG＝GH，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点F作FH⊥OC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝2，∠ACB＝45°，ACAB＝4，OD＝AO＝OC＝BO＝2，
∵点E，F分别是边OD，BC的中点，
∴BF＝FC，DE＝OE＝1，
∵FH⊥OC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠HFC＝45°，
∴FH＝HC＝1，
∴OH＝1＝OE＝FH，
在△OEG和△HFG中，
，
∴△OEG≌△HFG（AAS），
∴OG＝GH，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．
14．如图，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，点在上，连接BE，∠BEC＝2∠ADB，于点，且EF＝BC，若CD＝5，则BE的长为_____．
答案:/7.5
分析：在BC上取CP=CF，连接AP，可证得△ACP≌△BAE，得BE=AP，∠AEB=∠CPA，即有∠BEC=∠APB，再由可得AP=DP，在Rt△DCF中，可求得CD、CF的长，从而求得DP的长，即BE的长．
【详解】在BC上取CP=CF，连接AP
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，∠BAE=∠ACP=60°
∵EF=BC
∴EF=AC
即AE+EC=EC+CF
∴AE=CF
∴AE=CP
在△ACP和△BAE中
∴△ACP≌△BAE（SAS）
∴BE=AP，∠AEB=∠CPA
即∠BEC=∠APB
∵，∠APB=∠ADB+∠DAP
∴∠ADB=∠DAP
∴AP=DP
∵∠DCF=∠ACP=60°，
∴∠CDF=30°
∴在Rt△DCF中，CF=
∴CP=2.5
∴BE=DP=CD+CP=5+2.5=7.5
故答案为：7.5
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，作辅助线得到两个全等三角形是解题的关键及难点．
15．如图，在▱ ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BF⊥CD，已知BF=8，EF=5，则▱ ABCD的周长为_____．
答案:
分析：连接AC、过点C作交AB的延长线于点M，根据矩形的判定，得出四边形BMCF为矩形，得出△AMC为直角三角形，根据勾股定理求出AM长，即可得出AB的长，再在直角三角形BFC中根据勾股定理求出BC的长，即可求出平行四边形的周长．
【详解】解：连接AC、过点C作交AB的延长线于点M，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形BMCF为矩形，
，，，
、分别为AD、CD的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形中位线性质，作出辅助线，构造直角三角形，求出AB的长度是解题的关键．
16．定义：在平面内， 一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离． 如图， 在平面内有一个正方形， 边长为3 ， 中心为， 在正方形外有点，， 当正方形绕着点 旋转时， 则点到正方形的最短距离的取值范围为____________．
答案:
分析：由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，d最大，OP过正方形的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案．
【详解】解：如图：设的中点是E，过点E时，点O与边上所有点的连线中，最小，此时最大，过顶点A时，点O与边上所有点的连线中，最大，此时最小，
如图①：∵正方形边长为3，O为正方形中心，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图②：∵正方形边长为3，O为正方形中心，
∴，
∴，
∵OP=3，
∴；
∴d的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点P的位置是解题的关键．
17．如图，在矩形中，，，点E为上一动点（不与点C重合），将沿所在直线折叠，点C的对应点恰好落在上，则的长是_______________．
答案:1
分析：由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得，，由勾股定理得出，设，利用勾股定理解Rt△ABE即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴，
设，
在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4，
由勾股定理得：，
解得：x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
18．在如图所示的方格纸中有一个菱形，，，四点均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则该菱形的面积为________．
答案:12
分析：如图：菱形的两对角线分别为6、4，根据菱形的面积计算公式可求解．
【详解】解：由图可得，菱形的两对角线长分别为6、4，则该菱形的面积为．
故答案为：12．
【点睛】主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，还考查了学生的读图能力．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且、满足．同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点D，C，连接AC，BD，AB，如图1．
(1)求点C，D的坐标；
(2)同时将（1）点C，D分别向右平移2个单位，得到如图2四边形ABCD，且点E是CD的中点，点G在边AB上，是腰长为5的等腰三角形，求点G的坐标．
答案:(1)，
(2)或或
分析：（1）利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论；
（2）分两种情形：OG=5，EG=5，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵（a-4）2+|b-10|=0，
∴a=4，b=10，
∴A（0，4），B（10，4），
∵将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点D，C，
∴D（-2，0），C（8，0）；
（2）如图，
则
∵点C，D分别向右平移2个单位，
∴C（10，0）， OE=EC，
∴DE=5，
当OG=5时，
∴G（3，4），
当EG=5时，设
即
或，
解得：
G（2，4）或（8，4），
综上所述，点G的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，非负数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．我国水资源比较缺乏，人均水量约为世界人均水量的四分之一，其中西北地区缺水尤为严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为280cm，宽为160cm（如图）．
（1）若水箱的底面积为16000cm2，请求出切去的小正方形边长；
（2）对（1）中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升？（注：1升水=1000cm3水）
答案:（1）切去的小正方形边长为40cm；（2）这时水量为640升．
【详解】试题分析：（1）设切去的小正方形的边长为xcm，然后用含x的式子表示水箱底面的长和宽，然后依据矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）依据正方体的体积=底面积×高求得水的体积，然后再依据1升水=1000cm3水求解即可．
试题解析：（1）设切去的小正方形的边长为xcm．
根据题意，得：=16000，
化简整理，得：x2﹣220x+7200=0，
解得x=40或x=180（舍去），
答：切去的小正方形边长为40cm；
（2）在（1）的条件下，水箱的容积=16000×40=640000cm3，
640000÷1000=640（升），
答：这时水量为640升．
21．如图，四边形是果农王大爷家的果园平面图，王大爷准备沿将果园分为和两个区域，分别种植两种不同的果树．经测量，，米，米，米，求区域的面积．
答案:3000平方米；
分析：过点B作BE⊥AC于E，Rt△ACD中勾股定理可得AD，由等腰三角形三线合一的性质可得AE，Rt△ABE中由勾股定理可得BE，进而可得△ABC面积；
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC于E，
Rt△ACD中，∠ACD=90°，AD=100米，CD=60米，
∴AC=米，
△BCA中，BA=BC，BE⊥AC，
∴AE=EC=AC=40米，
Rt△ABE中，BE=米，
∴△ABC面积=AC•BE=×80×75=3000(平方米)；
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，二次根式的性质等知识；结合平方差公式计算求值是解题关键．
22．如图，已知，，交于点，．
(1)证明：；
(2)若，，连接，求的长．
答案:(1)见解析
(2)的长为2
分析：（1）由等腰三角形的三线合一得到，从而得到，由，得到，再根据三角形内角和定理得到，从而得到；
（2）先由等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，通过证明，得出，最后由勾股定理计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
为等边三角形，
由（1）得：，，
在中，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
的长为2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理、等边三角形的性质与判定、三角形全等的性质与判定、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理、等边三角形的性质与判定、三角形全等的性质与判定是解题的关键．
23．如图，，，．求证：．
答案:证明见解析
分析：先证明，可得，再证明，即可证得．
【详解】证明：在与中，
∵，
∴（），
∴
在与中，
∵，
∴（）
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握证明三角形全等的条件是解决问题的关键．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AB=5，OE=，求AE的长．
答案:(1)见解析
(2)4
分析：（1）根据菱形的性质可得AD∥BC且AD=BC，进而证明四边形AEFD是平行四边形，根据AE⊥BC，即可证明四边形AEFD是矩形；
（2）根据菱形的性质以及已知条件，勾股定理求得的长，进而根据等面积法即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD∥BC且AD=BC，
∵ BE=CF，
∴ BC=EF，
∴ AD=EF，
∵ AD∥EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形，
∵ AE⊥BC， 即 ∠AEF=90°，
∴ 四边形AEFD是矩形
（2）
解：∵ 四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴ BC=AB=5，AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵ AE⊥BC，即∠AEC=90°，
∴ OE=AC=OA=，AC=2OE=2，
∴ ，
∴ BD=2OB=4，
∵ 菱形ABCD的面积=BD×AC=BC×AE，
即×4×2=5×AE，
解得：AE=4．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键．
25．已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC
(1)如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
(2)若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．
答案:（1）详见解析；（2）△ACE为直角三角形，理由见解析；（3）∠AEC=45°．
【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理易证△APE≌△CFE，由全等三角形的性质即可得结论；（2）①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质即可判定△ACE为直角三角形；②根据PE∥CF，得到，代入a、b的值计算求出a：b，根据角平分线的判定定理得到∠HCG=∠BCG，证明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度数．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AC
∵四边形BPEF为正方形
∴∠P=∠F=90°，PE=EF=FB=BP
∵AP=AB+BP,CF=BC+BF
∴CF=AP
在△APE和△CFE中：EP="EF," ∠P="∠F=90°," AP= CF
∴△APE≌△CFE
∴EA=EC
（2）①∵P为AB的中点，
∴PA=PB，又PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a
∵PE∥CF，
∴，即，
解得，a=b；
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG=AG=×（2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．
∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．
考点：四边形综合题．
26．如图，长方形ABCD绕点C旋转到长方形CEFG处，点B的对应点E落在AD边上，
(1)若，，如图（1），连接DF．
①求DE的长；
②求的面积．
(2)若，，如图（2），连接BG，BG交EC于点H，连接DH，求的面积．
答案:(1)①8；②
(2)
分析：（1）①在中，利用勾股定理可直接进行计算求出；
②过点作于，可证，则，得，代入计算即可得出面积；
（2）过点作于，过点作，交的延长线于，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，通过可证，设，则，在中由勾股定理得，解得：，得
，，从而得出点的坐标，求出直线、的函数解析式，联立得出点的坐标，即可解决问题．
（1）
解：①长方形绕点旋转到长方形处，
，
在中，由勾股定理得，
；
②过点作于，
，
，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）
解：过点作于，过点作，交的延长线于，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，
，
由（1）知，
，
在和中，
，
，
，
设，
则，
在中由勾股定理得，
，
，
解得：，
，
，
由（1）可得：，
可得，
直线的函数解析式为，
根据，
，，
直线的函数解析式为，
联立得，
点到的距离为，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是建立直角坐标系，运用代数方法解决几何问题．