浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点重难点01一元二次方程的应用(5种题型)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点重难点01一元二次方程的应用(5种题型)(原卷版+解析)，共60页。试卷主要包含了增长率问题公式，几何图形问题，数字问题，传播问题，利率等内容，欢迎下载使用。
题型一：增长率问题
题型二：几何图形问题
题型三：数字问题
题型四：传播问题
题型五：利率、利润问题
技巧方法
一、增长率问题公式：
增长（降低）率问题
基本公式： ．
表示增长（降低）前的数，表示增长（降低）率，表示增长（降低）后的数，要列出这类方程关键在于找出、．
二、几何图形问题：
（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；
（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式
三、数字问题：
主要考察的是对数的表示如：
两位数 = 十位数字10+个位数字；
三位数 = 百位数字100+十位数字10+个位数字．
四、传播问题
1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
2、传播问题：
，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．
五、利率、利润问题
1、利率问题
基本公式：利息=本金*利率*期数
2、利润问题
基本公式：
单件利润=售价-成本；
利润=（售价-成本）*销售的件数．
能力拓展
题型一：增长率问题
一、解答题
1．（2023春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率．
(2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
2．（2023春·浙江杭州·八年级杭州春蕾中学校考期中）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率．
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
3．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）某玩具销售商试销某一品种的玩具（成本为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个．现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来8月份平均销售量的基础上，经过市场调查，10月份调整价格后，月销售额达到5760元．已知该玩具价格每下降1元，月销售量将增加10个．
(1)求8月份到10月份销售额的月平均增长率．
(2)求10月份该玩具的销售量．
4．（2023春·八年级统考阶段练习）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
5．（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考阶段练习）小明同学在寒假社会调查实践活动中，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：
①该厂一月份罐头加工量为a吨：
②该厂三月份的加工量比一月份增长了44%；
③该厂第一季度共加工罐头182吨；
④该厂从四月份开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降；
⑤六月份设备整修更新完毕，此月加工量为一月份的2.1倍，与五月份相比增长了46.68吨．
利用以上信息求：
(1)该厂第一季度加工量的月平均增长率；
(2)该厂一月份的加工量a的值；
(3)该厂第二季度的总加工量．
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
(1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，则平均每年下降的百分率是 ；
(2)2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
7．（2023春·浙江舟山·八年级校考期中）为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400盒．若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元，
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
(2)该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利4250元？
8．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）金华市区某超市以原价为40元/瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元/瓶．
(1)求平均每次降价的百分率．
(2)金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液(超过200瓶)．该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元/瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由．
9．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
10．（2023春·八年级课时练习）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
11．（2023春·八年级课时练习）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
题型二：与图形有关问题
一、解答题
1．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
(1)如图1，问为多少米时，矩形的面积为200平方米？
(2)如图2，矩形的面积比（1）中的矩形面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长比图①中矩形的长少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
2．（2023春·浙江丽水·八年级统考期末）如图，以，为边长的矩形面积为，以为边长的正方形面积为，已知．
（1）当时，则的值是______；
（2）若为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是______．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）图1，图2是小明家厨房的效果图和装修平面图（长方形），设计师将厨房按使用功能分为三个区域，区域Ⅰ摆放冰箱，区域Ⅱ为活动区，区域Ⅲ为台面区，其中区域Ⅰ、区域Ⅱ为长方形．现测得FG与墙面BC之间的距离等于HG与墙面CD之间的距离，比EF与墙面AB之间的距离少0.1m．设AE为x（m），回答下列问题：
(1)用含x的代数式表示FG，则FG= m．
(2)当AE为何值时，区域Ⅱ的面积能达到2.34m2？
(3)测得JF=0.35m，在（2）的条件下，在下列几款冰箱中选择安装，要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm的散热空间，则选择购买 款冰箱更合适．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供65m长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案：
（1）如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？
（2）如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，将一张长方形纸板剪去四个边角（阴影部分）后制作成一个有盖的长方体纸盒（无缝衔接），在剪去的四个边角中，左侧两个是边长为的正方形，右侧两个是有一边长为的长方形，且，设．
（1）请用含的代数式分别表示长方体纸盒底面的长和宽：___，____；
（2）若所制作的长方体纸盒的容积为，求长方体纸盒的表面积．
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
(1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）；
若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值．
7．（2023·浙江绍兴·模拟预测）新定义：如果一个角形的三条边长为a，b，c，假设其大小关系为，同时满足，我们就称这样的三角形为奇异三角形，例如等边三角形就是一个奇异三角形．
（1）判断边长分别为2，，4的三角形是否为奇异三角形，并说明用理由；
（2）如图1，为奇异三角形，，，且，求的长；
（3）如图2，在奇异三角形中，，，点D是边上的中点，连结，将分割成2个三角形，其中是奇异三角形，是以为底的等腰三角形，求的长．
题型三：数字问题
一、解答题
1．（2023春·八年级课时练习）子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩．”—《论语·第十二章·为政篇》
列方程解决下面问题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
2．（2023春·八年级课时练习）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
题型四：传播问题
一、解答题
1．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
2．（2023春·八年级课时练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
3．（2023春·浙江杭州·八年级统考期中）为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请个好友转发，每个好友转发之后，又邀请个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有个 人参与了本次活动．
（1）x的值是多少？
（2）再经过几轮转发后，参与人数会超过人？
4．（2023春·浙江温州·八年级统考期中）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．约半数患者多在一周后出现呼吸困难，严重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍．
(1)在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)后来举国上下众志成城，全都隔离在家．小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨．香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤．在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤．为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？
5．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为非典型肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有225人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
7．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
题型五：利率、利润问题
一、解答题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）某校把每个月6号定为全校幸福日，某班家委准备在那天给孩子们送幸福餐．A、B两店均有销售原价为20元/份的幸福餐，并各有优惠方案，A店：每份按8.5折销售；B店：当销售份数超过20份且不超过48份时，每增加1份，每份价格减少0.25元；当销售份数超过48份时，每份价格为13元．设现在需购买x份幸福餐（x＞20）．
(1)当x=40时，若去B店购买，则总共花费 元；
(2)请根据信息填表：
(3)去B店购买能否比去A店购买节省260元? 若能，求此时购买的份数；若不能，请说明理由．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）天猫双十一活动期间，某旗舰店优惠活动如图1所示，现该店促销一款标价为899元/把的电动牙刷.根据图1的优惠活动，给出的优惠明细如图2所示：
按上述优惠，平均每天可卖600把牙刷，通过市场调查发现，不改变优惠券2的情况下，若优惠券1每满200每多减1元，日销售量增加5把．（如：每满200多减1元，即每满200减21，电动牙刷日销售量为605把）．
(1)优惠券1设置为每满200减22元，求使用优惠券后该牙刷的购买价格是多少元/把？
(2)若要使日销售总额达到364000元，则优惠券1应设置为每满200减多少元？
3．（2023春·浙江温州·八年级温州绣山中学校考阶段练习）温州某学校的学生进行综合实践活动时，探究每盆植株培育株数与市场销售价格之间的关系，通过实验和市场调查发现，每盆植株在5株以内（含5株），植株的品质较高，单株售价3元，超过5株后，每盆每多种1株，单株售价降低0.3元，当每盆种植株株数超过12株后，植株品质较低，市场统一收购价单株0.8元，每盆最多可种植18株．
(1)设每盆种植株，
①则单株售价___________元，每盆售价___________元（用含x的代数式表示）；
②当每盆售价为16.2元时，求x的值．
(2)该学生实验小组共种植了40盆，每盆培育所需费用y（元）与每盆种植株数x（株）之间满足，每盆植株除培育费用外无其他支出．该小组将其中10盆赠送给学校，其余放至市场出售，全部售出后销售所得扣除培育费用后还剩余100元，求每盆的种植株数．
4．（2023秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，某汽车店销售某种型号的电动汽车，每辆进货价为19万元，该店经过一段时间的市场调研发现：当销售价为25万元时，平均每月能售出18辆，而当销售价每降低万元时，平均每月能多售出3辆．该店要想平均每月的销售利润为120万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车应降价多少万元？
5．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）某商家购进一批产品，成本为元/件，分为线上和线下两种销售方式．调查发现：售价为元时，线下月销量为件，售价每增加元，线下月销量就减少件；线上售价与线下售价始终保持一致，但线上月销量固定为件，且每件产品商家需多付元快递费．设线下月销量件，售价为每件元．
(1)求关于的函数关系式．
(2)当售价为多少时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠？
6．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）杭州某公司研发生产了一款新型空气净化器，每台的成本是4400元，某专卖网店从该公司购进10000台空气净化器，同时向国内、国外进行在线发售，第一周，国内销售每台售价5400元，国内获利100万元，国外销售也售出了相同数量的空气净化器，但每台的成本增加了400元，国外销售每台获得的利润是国内销售每台利润的6倍．
(1)该专卖网店国外销售空气净化器第一周的售价是每台多少元？
(2)受贸易环境的影响，第二周，国内销售每台售价在第一周的基础上降低，销量上张，国外销售每台售价在第一周的基础上上涨，并且在第二周将剩下的空气净化器全部卖完，结果第二周国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求a的值．
7．（2023春·浙江湖州·八年级校联考阶段练习）某商场“宝乐”牌童装的进价为160元/件，若每件这种童装以200元出售，则每天可售出20件．为了庆祝该品牌童装上市二周年，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装每降价0.5元，那么平均每天就可多售出1件．
(1)若每件这种童装以180元出售，那么每天销售这种童装可盈利多少元？
(2)销售这种童装每天可盈利1248元吗？如果可以，请求出每件童装的销售价格；如果不能，请说明理由；
(3)数学的问题解决中，有一种“配方”的方法可以求某些代数式的最大值，例如：
∵，∴，∴的最大值为-3，
即的最大值为-3．
请你利用题中的条件，结合上述代数式的“配方”的方法，求出这种童装每天可盈利的最大值．
8．（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）某水果店购进一批优质芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过30元/千克，市场调查发现当售价为30元/千克时，每天可售出40千克，售价每降低0.5元，每天可多售出1千克．设售价为x元/千克，解决以下问题：
(1)当天该芒果的销售量为_________千克（用x的代数式表示）
(2)若水果店该天获利750元，求这天芒果的售价．
(3)该水果店的日盈利能否达到1000元？请说明理由．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
(1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
10．（2023·浙江金华·八年级期中）第五届中国机器人峰会将于5月9日在余姚开幕，某公司购买一种T恤衫参加此次峰会．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件(含60件)以上时，一律每件80元．
(1)如果购买件(10＜＜60)，每件的单价为元，请写出关于的函数关系式；
(2)如果该公司共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，求第一批T恤衫的购买数量．
11．（2023春·浙江·八年级期末）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表：
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价；
（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元）
方案
每份售价（元）
销售数量（份）
A店

x
B店

（用含x的代数式表示）
20< x ≤ 48
13
x > 48
普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20
重难点01一元二次方程的应用（5种题型）
目录
题型一：增长率问题
题型二：几何图形问题
题型三：数字问题
题型四：传播问题
题型五：利率、利润问题
技巧方法
一、增长率问题公式：
增长（降低）率问题
基本公式： ．
表示增长（降低）前的数，表示增长（降低）率，表示增长（降低）后的数，要列出这类方程关键在于找出、．
二、几何图形问题：
（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；
（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式
三、数字问题：
主要考察的是对数的表示如：
两位数 = 十位数字10+个位数字；
三位数 = 百位数字100+十位数字10+个位数字．
四、传播问题
1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
2、传播问题：
，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．
五、利率、利润问题
1、利率问题
基本公式：利息=本金*利率*期数
2、利润问题
基本公式：
单件利润=售价-成本；
利润=（售价-成本）*销售的件数．
能力拓展
题型一：增长率问题
一、解答题
1．（2023春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率．
(2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
答案:(1)三、四这两个月的月平均增长率为．
(2)当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
分析：（1）直接利用二月销量四月的销量进而求出答案．
（2）首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，再解即可．
【详解】（1）解：（1）设三、四这两个月的月平均增长率为x
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：三、四这两个月的月平均增长率为．
（2）设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
根据题意可得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
2．（2023春·浙江杭州·八年级杭州春蕾中学校考期中）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率．
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
答案:(1)二、三这两个月的月平均增长率为
(2)当商品降价5元时，商品获利4250元．
分析：（1）由题意可得，一月份的销售量为：256件；设二、三这两个月的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：；三月份的销售量为：，又知三月份的销售量为：400件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，利用销量×每件商品的利润，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
，
解得：， (不合题意舍去)，
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
，
解得：， (不合题意舍去)，
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程，解方程．
3．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）某玩具销售商试销某一品种的玩具（成本为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个．现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来8月份平均销售量的基础上，经过市场调查，10月份调整价格后，月销售额达到5760元．已知该玩具价格每下降1元，月销售量将增加10个．
(1)求8月份到10月份销售额的月平均增长率．
(2)求10月份该玩具的销售量．
答案:(1)两个月销售额的月平均增长率为20%
(2)10月份该玩具的销售量为180个
分析：（1）根据题意，找出等量关系，列出方程求解即可，10月销售额=8月销售额×（1+平均增长率）；
（2）根据“销售额=单价×数量”列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设这两个月销售额的月平均增长率为，
由题意得：，
解之得：，（舍），
答：这两个月销售额的月平均增长率为20%．
（2）设10月份该玩具的销售价格为元，
由题意得：，
解之得：，（舍），
当时，，
答：10月份该玩具的销售量为180个．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解．
4．（2023春·八年级统考阶段练习）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
答案:(1)两次下降的百分率为10%
(2)每件商品应降价2.5元
分析：（1）设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可．
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，有销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x．
，
即：，
x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去），
答：两次下降的百分率为10%；
（2）解：设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，
由题意，得（40－30－y）（4×2y+48）＝510，
化简得：，
解得：，，
∵有利于减少库存，
∴y＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
5．（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考阶段练习）小明同学在寒假社会调查实践活动中，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：
①该厂一月份罐头加工量为a吨：
②该厂三月份的加工量比一月份增长了44%；
③该厂第一季度共加工罐头182吨；
④该厂从四月份开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降；
⑤六月份设备整修更新完毕，此月加工量为一月份的2.1倍，与五月份相比增长了46.68吨．
利用以上信息求：
(1)该厂第一季度加工量的月平均增长率；
(2)该厂一月份的加工量a的值；
(3)该厂第二季度的总加工量．
答案:(1)20%
(2)50
(3)228.12
分析：（1）设该厂第一季度加工量的月平均增长率x，列一元二次方程解答即可；
（2）根据该厂第一季度共加工罐头182吨列方程解答；
（3）先求出六月份产量，五月份产量，设从三月到五月逐月下降的百分率为y，列一元二次方程解答求出y，即可求出第二季度总产量．
（1）
解：设该厂第一季度加工量的月平均增长率x，则
解得（不合题意，舍去），
答：该厂第一季度加工量的月平均增长率20%；
（2）
a+（1+20%）a+（1+44%）a=182，
解得a=50；
（3）
六月份产量为50×2.1 = 105吨，五月份产量为105 - 46.68 = 58.32吨，
设从三月到五月逐月下降的百分率为y，
由题意得50×1.44× = 58.32，
解得 (不合题意，舍去)，
从三月到五月逐月下降的百分率为10%，
四月产量为72×0.9 = 64.8(吨)，
第二季度总产量为64.8 + 58.32 + 105 = 228.12(吨)，
答：该厂第二季度的总加工量是228.12吨．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用—增长率问题，正确掌握增长率问题的计算公式及理解题意列得方程是解题的关键．
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
(1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，则平均每年下降的百分率是 ；
(2)2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
答案:(1)10%
(2)单价应降低15元
分析：（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价=2019年该类电脑显卡的出厂价×(1-下降率)，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38-m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【详解】（1）解：设平均下降率为x，
依题意得：，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
故答案为：10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2023春·浙江舟山·八年级校考期中）为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400盒．若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元，
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
(2)该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利4250元？
答案:(1)三、四月份两个月的平均增长率为25%
(2)当农产品每盒降价5元时，这种农产品在五月份可获利4250元
分析：（1）直接利用2月销量× =4月的销量进而求出答案；
（2）首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量=总利润列出方程，再解即可．
【详解】（1）解：设三、四月份两个月的平均增长率为x，由题得：
，
解得（不合题意，舍去），
∴三、四月份两个月的平均增长率为25%；
（2）设每盒降价m元时，五月份获利4250元，由题得：
（40-25-m）（400+5m）=4250，
解得（不合题意，舍去），
∴当农产品每盒降价5元时，这种农产品在五月份可获利4250元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
8．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）金华市区某超市以原价为40元/瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元/瓶．
(1)求平均每次降价的百分率．
(2)金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液(超过200瓶)．该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元/瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由．
答案:(1)平均每次降价的百分率为
(2)当购买洗手液大于200瓶而小于400瓶时，学校选择方案一更省钱；当购买400瓶洗手液时，学校选择方案一、方案二的费用相同；当购买洗手液超过400瓶时，学校选择方案二更省钱．
分析：（1）根据“售价原价（平均每次降价的百分率）2”建立方程，解方程即可得；
（2）设学校购进这种洗手液瓶，先分别求出两种方案所需的费用，再比较大小，解方程或不等式即可得．
（1）
解：设平均每次降价的百分率为，
由题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率为．
（2）
解：设学校购进这种洗手液瓶，
则选择方案一所需费用为（元），
选择方案二所需费用为（元），
①当时，
解得，
∴当时，学校选择方案二更省钱；
②当时，解得，
∴当时，学校选择方案一、方案二的费用相同；
③当时，解得，
∴当时，学校选择方案一更省钱；
综上，当购买洗手液大于200瓶而小于400瓶时，学校选择方案一更省钱；当购买400瓶洗手液时，学校选择方案一、方案二的费用相同；当购买洗手液超过400瓶时，学校选择方案二更省钱．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式和一元一次方程的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．
9．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
答案:(1)20%
(2)要使每天销售旅游纪念章获利2800元，售价应降低元
分析：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设售价应降低m元，根据每个的利润乘以销售量，等于2800，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意，得5000（1+x）2=7200，
解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）．
答：平均增长率为20%；
（2）设售价应降低m元，则每天的销量为个，根据题意得，
解得，
为了让游客尽可能得到优惠，则．
答：要使每天销售旅游纪念章获利2800元，售价应降低元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．
10．（2023春·八年级课时练习）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
答案:(1)4月份再生纸的产量为500吨
(2)的值20
(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
分析：（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
【详解】（1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得：，
解得：或（不合题意，舍去）
∴，
∴的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．
11．（2023春·八年级课时练习）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
答案:(1)20%
(2)18个
分析：（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
题型二：与图形有关问题
一、解答题
1．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
(1)如图1，问为多少米时，矩形的面积为200平方米？
(2)如图2，矩形的面积比（1）中的矩形面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长比图①中矩形的长少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
答案:(1)10米
(2)不正确，理由见解析
分析：（1）设米，则米，根据矩形的面积为200平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）代入可求出的长，由，可求出的长，结合篱笆要全部用完，可求出的长，再利用矩形的面积计算公式，即可求出矩形的面积，将其与比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设米，则米，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：为10米时，矩形的面积为200平方米．
（2）由（1）可知：．
（米），
（米），
矩形的面积（平方米），，
小明的想法不正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023春·浙江丽水·八年级统考期末）如图，以，为边长的矩形面积为，以为边长的正方形面积为，已知．
（1）当时，则的值是______；
（2）若为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是______．
答案: 2 28或6+6
分析：根据矩形与正方形的面积公式可得S1＝ab，S2＝c2，代入S1+4S2＝32，得出ab+4c2＝32．
（1）将a＝b＝2c代入ab+4c2＝32，解方程即可求出c的值；
（2）由2a﹣b+4＝0可得b＝2a+4．代入ab+4c2＝32，变形得出c2＝，根据c为整数，求出c可能为2或1．再求出a的值，进而得到矩形和正方形的周长之和．
【详解】解：由题意可得S1＝ab，S2＝c2，
∵S1+4S2＝32，
∴ab+4c2＝32．
（1）当a＝b＝2c时，
4c2+4c2＝32，
解得c＝±2（负值舍去），
即c＝2．
故答案为：2；
（2）∵2a﹣b+4＝0，
∴b＝2a+4．
∴S1+4S2＝ab+4c2＝a（2a+4）+4c2＝2a2+4a+4c2＝32，
∴a2+2a+2c2＝16，
∴c2＝，
∵c为整数，
∴c2可能取值有：4或1，
∴c可能为2或1．
当c＝2时，解得a＝2（负根舍去）；
当c＝1时，解得a＝﹣1（负根舍去），
∴矩形和正方形的周长之和为：
2a+2b+4c＝2a+2（2a+4）+4c＝6a+8+4c．
当c＝2，a＝2时，6a+8+4c＝6×2+8+4×2＝28；
当c＝1，a＝﹣1时，6a+8+4c＝6×（﹣1）+8+4×1＝6+6．
故答案为：28或6+6．
【点睛】本题考查了整式的加减，矩形与正方形的面积、周长公式，解一元二次方程，不等式的性质．掌握运算法则是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）图1，图2是小明家厨房的效果图和装修平面图（长方形），设计师将厨房按使用功能分为三个区域，区域Ⅰ摆放冰箱，区域Ⅱ为活动区，区域Ⅲ为台面区，其中区域Ⅰ、区域Ⅱ为长方形．现测得FG与墙面BC之间的距离等于HG与墙面CD之间的距离，比EF与墙面AB之间的距离少0.1m．设AE为x（m），回答下列问题：
(1)用含x的代数式表示FG，则FG= m．
(2)当AE为何值时，区域Ⅱ的面积能达到2.34m2？
(3)测得JF=0.35m，在（2）的条件下，在下列几款冰箱中选择安装，要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm的散热空间，则选择购买 款冰箱更合适．
答案:(1)3.2-2x
(2)0.7
(3)B
分析：（1）用含x的代数式表示出DH的长，根据FG=AD-AE-DH，代入化简，可表示出FG的长．
（2）用含x的代数式表示出GH的长，再根据长方形的面积=长×宽，可得到关于x的方程，解方程求出x的值．
（3）将x的值代入计算求出EF，EJ的长，根据要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm的散热空间，利用A，B，C三款冰箱的尺寸，可得答案．
【详解】（1）3100mm=3.1m，1900mm=1.9m
∵AE=xm，DH=（x-0.1）m，
∴FG=AD-AE-DH=3.1-x-（x-0.1）=3.2-2x
故答案为：3.2-2x
（2）解：GH=1.9-（x-0.1）=（2-x）m，
∴（3.2-2x）（2-x）=2.34
解之：x1=0.7，x2=2.9（舍去）
∴x=0.7，
∴当AE=0.7时，区域Ⅱ的面积能达到2.34m2．
（3）由（2）得
EF=GH=2-x=2-0.7=1.3m
EJ=EF-JF=1.3-0.35=0.95m，
EJ=950mm，AE=0.7=700mm，
950-2×20=910mm，
∵910＞908且700-20＞677，
∴应该选择B冰箱更合适．
故答案为：B．
【点睛】一元二次方程的实际应用-几何问题，解题的关键是读懂题意，看清图形，根据题意设未知数，根据等量关系列一元二次方程．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供65m长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案：
（1）如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？
（2）如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长．
答案:（1）在墙AB上借用的CF的长度为20m；（2）BF的长为5m．
分析：（1）设CF的长度为x m，则CD=m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙AB的长为25m，即可确定x的值；
（2）设BF的长为y m，则AD=（20-y）m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：（1）设CF的长度为xm，则CD＝m，
依题意得：x•＝450，
解得：x1＝20，x2＝45．
∵墙AB的长为25m，
∴x＝45不合题意，舍去，
∴CF＝20．
答：在墙AB上借用的CF的长度为20m．
（2）设BF的长为ym，则AD＝＝（20﹣y）m，
依题意得：（25+y）（20﹣y）＝450，
解得：y1＝5，y2＝﹣10（不合题意，舍去），
∴BF＝5m．
答：BF的长为5m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，将一张长方形纸板剪去四个边角（阴影部分）后制作成一个有盖的长方体纸盒（无缝衔接），在剪去的四个边角中，左侧两个是边长为的正方形，右侧两个是有一边长为的长方形，且，设．
（1）请用含的代数式分别表示长方体纸盒底面的长和宽：___，____；
（2）若所制作的长方体纸盒的容积为，求长方体纸盒的表面积．
答案:（1）x-5；x-10；（2）950
分析：（1）根据图形的特点即可求解；
（2）根据长方体纸盒的容积为列出方程求出x，故可求出长方体纸盒的表面积．
【详解】（1）∵左侧两个是边长为的正方形，
∴x-10，EH=x-5
故答案为：x-5；x-10；
（2）∵长方体纸盒的容积为
∴5（x-5）（x-10）=1500
解得x=25(-10舍去)
∴，
∴长方体纸盒的表面积25×50-2×52-2×5×25=950．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解．
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
(1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）；
若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值．
答案:(1)①②长为米，宽为米
(2)或
分析：（1）①②根据两条小路的面积之和两个长方形的面积重叠的正方形的面积表示即可；②根据草坪的总面积为，列一元二次方程，求解即可；
（2）根据草坪的总面积为平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的和的值，即可求出的值．
【详解】（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和平方米，
故答案为：平方米；
②根据题意，得，
又∵，
，
原方程化为，
解得（不符合题意，舍去），，
（米），
答：原来矩形场地的长为米，宽为米；
（2）解：根据题意，得，
整理得，
，为正整数，
是正整数且是的约数，是正整数且是的约数，
当时，，
，，
；
当时，，
，，
；
当时，，
，，
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
7．（2023·浙江绍兴·模拟预测）新定义：如果一个角形的三条边长为a，b，c，假设其大小关系为，同时满足，我们就称这样的三角形为奇异三角形，例如等边三角形就是一个奇异三角形．
（1）判断边长分别为2，，4的三角形是否为奇异三角形，并说明用理由；
（2）如图1，为奇异三角形，，，且，求的长；
（3）如图2，在奇异三角形中，，，点D是边上的中点，连结，将分割成2个三角形，其中是奇异三角形，是以为底的等腰三角形，求的长．
答案:（1）是，理由见解析；（2）；（3）
分析：（1）根据奇异三角形的定义证明即可；
（2）由题意得出BC2+AC2=AB2=9，再由BC2+ AB2=2AC2，得出2AC2-9=9-AC2，解方程即可得出结果；
（3）由题意得出BC2+AB2=2AC2=8，推出12+AB2=2BC2或BC2+AB2=2×12=2，分类计算即可得出结果．
【详解】解：（1）△ABC是奇异三角形，理由如下：
∵三角形三边分别为2，，4，
∴22+42=20=2（）2，
即该三角形是奇异三角形；
（2）∵，
∵∠C=90°，AB=3，
∴BC2+AC2=AB2=9，
∵BC2+ AB2=2AC2，
∴BC2+9=2AC2，
∴2AC2-9=9-AC2，
解得：AC=；
（3）∵△ABC是奇异三角形，且AC=2，
∴BC2+AB2=2AC2=8，
由题知：AD=CD=1，BC=BD，
∵△ADB是奇异三角形，且AB＞BC，AB＞1，
∴12+AB2=2BC2或BC2+AB2=2×12=2，
①当12+AB2=2BC2时，
12+AB2=2（8-AB2），
解得：AB=，
②当BC2+AB2=2时，与BC2+AB2=2AC2=8矛盾，不合题意舍去．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义、勾股定理、等腰三角形的性质、解方程、分类讨论等知识，正确理解新定义“奇异三角形”是解题的关键．
题型三：数字问题
一、解答题
1．（2023春·八年级课时练习）子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩．”—《论语·第十二章·为政篇》
列方程解决下面问题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
答案:周瑜的年龄是36岁．
分析：设周瑜逝世的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，根据个位平方等于年龄，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由而立之年督东吴可确定x的值，此题得解．
【详解】解：设周瑜逝世的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，
根据题意得：10（x-3）+x=x2，
解得：x1=5，x2=6，
当x1=5时，周瑜的年龄是25岁，
∵25非而立之年，
∴不符合题意，舍去；
当x2=6时，周瑜的年龄是36岁，符合题意．
答：周瑜的年龄是36岁．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
答案:x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4，一般形式为：2x2－19x+24=0．
分析：等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．
【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：
x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
整理得：2x2－19x+24=0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是找等量关系．
题型四：传播问题
一、解答题
1．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
答案:(1)每轮传染中，平均一个人传染了10个人
(2)第三轮将新增1210名感染者
分析：（1）设平均一个人传染了x个人，第一轮传染了x人，第一轮传染后一共有（1+x）名感染者；第二轮传染时这（1+x）人每人又传染了x人，则第二轮传染了x（1+x）人，列出方程求解即可；
（2）根据（1）中的结果进行计算即可．
【详解】（1）解：设平均一个人传染了x个人．
则可列方程：．
解得，（舍去）．
答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人．
（2）（名）．
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确地理解题意，找出题目中的等量关系列出方程求解是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
答案:9．
分析：设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91列出方程，解方程即可．
【详解】解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91，
解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去），
答：每个支干长出9小分支．
3．（2023春·浙江杭州·八年级统考期中）为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请个好友转发，每个好友转发之后，又邀请个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有个 人参与了本次活动．
（1）x的值是多少？
（2）再经过几轮转发后，参与人数会超过人？
答案:（1）10；（2）再经过两轮转发后，参与人数会超过人．
分析：（1）第一轮转发了x个人，第二轮转发了x2个人，根据两轮转发共有111人参与列出方程求解即可；
（2）根据103=1000，104=10000可得第四轮转发后参与人数会超过人，即可得答案．
【详解】（1）∵第一轮转发了x个人，第二轮转发了x2个人，
∴1+x+x2=111，
解得：，（舍），
∴的值为．
（2）∵103=1000，104=10000，1+102+103＜10000，
∴第四轮转发后参与人数会超过人，
∴再经过两轮转发后，参与人数会超过人．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数根据两轮总人数为111人建立方程是关键．
4．（2023春·浙江温州·八年级统考期中）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．约半数患者多在一周后出现呼吸困难，严重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍．
(1)在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)后来举国上下众志成城，全都隔离在家．小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨．香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤．在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤．为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？
答案:(1)11人；
(2)5元
分析：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出（80+10×）斤，根据总利润＝每斤的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
(1)
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了11人．
(2)
解：设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出（80+10×）斤，
依题意，得：（y﹣4）（80+10×）＝100，
整理，得：y2﹣14y+45＝0，
解得：y1＝5，y2＝9（不合题意，舍去）．
答：小玲应该将售价定为5元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
答案:（1）每轮传染中平均每个人传染了12个人；（2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
分析：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有169人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+12），即可求出结论．
【详解】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为非典型肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有225人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
答案:（1）是“超级传播者”，过程见解析；（2）3375人
分析：（1）设每人每轮传染x人，根据经过两轮传染后共有225人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数=经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1+每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【详解】解：（1）设每人每轮传染x人，
依题意，得：1+x+（1+x）x=225，
解得：x1=14，x2=-16（不合题意，舍去），
∵14＞10，
∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，
（2）225×（1+14）=3375（人），
答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有3375人成为新冠肺炎病毒的携带者．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
答案:（1）5；（2）180
分析：（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．
【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：
x+1+（x+1）x＝36，
解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；
（2）根据题意得：5×36＝180（个），
答：第三轮将又有180人被传染．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.
题型五：利率、利润问题
一、解答题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）某校把每个月6号定为全校幸福日，某班家委准备在那天给孩子们送幸福餐．A、B两店均有销售原价为20元/份的幸福餐，并各有优惠方案，A店：每份按8.5折销售；B店：当销售份数超过20份且不超过48份时，每增加1份，每份价格减少0.25元；当销售份数超过48份时，每份价格为13元．设现在需购买x份幸福餐（x＞20）．
(1)当x=40时，若去B店购买，则总共花费 元；
(2)请根据信息填表：
(3)去B店购买能否比去A店购买节省260元? 若能，求此时购买的份数；若不能，请说明理由．
答案:(1)600
(2)17，25-0.25x
(3)能，购买65份
分析：（1）当x=40时，若去B店购买，每份价格为20-（40-20）×0.25=15（元），然后算出总花费即可；
（2）根据A店每份按8.5折销售，可表示出A店每份售价，根据题意，得B店每份售价为20-0.25（x-20），填空即可；
（3）分2048时，根据“去B店购买比去A店购买节省260元”列方程求解即可．
【详解】（1）解：当x=40时，若去B店购买，根据题意，总共花费=40×[20-（40-20）×0.25]=600元．
故答案为：600．
（2）解：当销售份数为x份，根据题意：A店每份售价为20×0.85=17（元）
当2020)元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
使用优惠券后该牙刷的购买价格是：899-219-22×4=592元，
∴惠券1设置为每满200减22元，求使用优惠券后该牙刷的购买价格592元/把；
（2）设优惠券1应设置为每满200减x(x>20)元，则在20元的基础上多减了(x-20)元，
根据题意得：，
解得：，，
∴优惠券1应设置为每满200减30元或40元．
【点睛】题目主要考查有理数运算的应用及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
3．（2023春·浙江温州·八年级温州绣山中学校考阶段练习）温州某学校的学生进行综合实践活动时，探究每盆植株培育株数与市场销售价格之间的关系，通过实验和市场调查发现，每盆植株在5株以内（含5株），植株的品质较高，单株售价3元，超过5株后，每盆每多种1株，单株售价降低0.3元，当每盆种植株株数超过12株后，植株品质较低，市场统一收购价单株0.8元，每盆最多可种植18株．
(1)设每盆种植株，
①则单株售价___________元，每盆售价___________元（用含x的代数式表示）；
②当每盆售价为16.2元时，求x的值．
(2)该学生实验小组共种植了40盆，每盆培育所需费用y（元）与每盆种植株数x（株）之间满足，每盆植株除培育费用外无其他支出．该小组将其中10盆赠送给学校，其余放至市场出售，全部售出后销售所得扣除培育费用后还剩余100元，求每盆的种植株数．
答案:(1)①，②
(2)12株或15株
分析：（1）①根据盆植株在5株以内（含5株），植株的品质较高，单株售价3元，超过5株后，每盆每多种1株，单株售价降低0.3元列代数式即可确定弹珠售价；然后再根据单珠售价再乘以数量x即可；②令，然后解一元二次方程即可解答；
（2）分和两种情况，分别根据“全部售出后销售所得扣除培育费用后还剩余100元”列方程求解即可．
【详解】（1）解：①设每盆种植株,
单株售价为
每盆售价
故答案为： ；
②令的值为16.2，则
解得．
答：当每盆售价为16.2元时，x=6或9．
（2）解：当时，

化简，整理得 （舍去）
当时，，解得
综上所述，每盆种植12株或15株时，还剩余100元．
【点睛】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
4．（2023秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，某汽车店销售某种型号的电动汽车，每辆进货价为19万元，该店经过一段时间的市场调研发现：当销售价为25万元时，平均每月能售出18辆，而当销售价每降低万元时，平均每月能多售出3辆．该店要想平均每月的销售利润为120万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车应降价多少万元？
答案:每辆汽车降价1万元
分析：根据题意，找出等量关系，列出方程求解即可．总利润=单个利润×数量．
【详解】解：设每辆汽车降价x万元，根据题意得：
，
解得，
当时，总成本为（万元），
当时，总成本为（万元），
∵使成本尽可能的低，
∴，
答：每辆汽车降价1万元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解．
5．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）某商家购进一批产品，成本为元/件，分为线上和线下两种销售方式．调查发现：售价为元时，线下月销量为件，售价每增加元，线下月销量就减少件；线上售价与线下售价始终保持一致，但线上月销量固定为件，且每件产品商家需多付元快递费．设线下月销量件，售价为每件元．
(1)求关于的函数关系式．
(2)当售价为多少时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠？
答案:(1)
(2)当售价为时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠
分析：（1）结合题意，根据一次函数的性质，设关于的函数关系式为，通过计算即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，首先得到线上和线下的月利润总和，在结合题意列一元二次方程并求解，即可得到答案.
【详解】（1）∵售价每增加元，线下月销量就减少件，
∴设关于的函数关系式为
∵售价为元时，线下月销量为件，
∵，
∴，
∴关于的函数关系式为；
（2）根据题意，线上和线下的月利润总和
依题意得：，
整理得：，
∴
∴，，
要让顾客得到更多优惠，
∴
∴当售价为时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠．
【点睛】本题考查了一次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解.
6．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）杭州某公司研发生产了一款新型空气净化器，每台的成本是4400元，某专卖网店从该公司购进10000台空气净化器，同时向国内、国外进行在线发售，第一周，国内销售每台售价5400元，国内获利100万元，国外销售也售出了相同数量的空气净化器，但每台的成本增加了400元，国外销售每台获得的利润是国内销售每台利润的6倍．
(1)该专卖网店国外销售空气净化器第一周的售价是每台多少元？
(2)受贸易环境的影响，第二周，国内销售每台售价在第一周的基础上降低，销量上张，国外销售每台售价在第一周的基础上上涨，并且在第二周将剩下的空气净化器全部卖完，结果第二周国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求a的值．
答案:(1)10800元
(2)10
分析：（1）利用售价＝成本价＋利润，即可求出结论；
（2）由销售数量＝总利润每台空气净化器的利润，可求出第一周国内(外)的销售数量，根据销售总额＝销售单价销售数量结合第二周国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，即可得出关于的一元二次方程，求解即可得出结论．
【详解】（1）（元）
答：该专卖网店国外销售空气净化器第一周的售价是每台10800元．
（2）第一周国内(外)的销售数量为
(台)
依题意得：
，
整理得，
解得，或(不合题意，舍去)
答：的值为10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2023春·浙江湖州·八年级校联考阶段练习）某商场“宝乐”牌童装的进价为160元/件，若每件这种童装以200元出售，则每天可售出20件．为了庆祝该品牌童装上市二周年，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装每降价0.5元，那么平均每天就可多售出1件．
(1)若每件这种童装以180元出售，那么每天销售这种童装可盈利多少元？
(2)销售这种童装每天可盈利1248元吗？如果可以，请求出每件童装的销售价格；如果不能，请说明理由；
(3)数学的问题解决中，有一种“配方”的方法可以求某些代数式的最大值，例如：
∵，∴，∴的最大值为-3，
即的最大值为-3．
请你利用题中的条件，结合上述代数式的“配方”的方法，求出这种童装每天可盈利的最大值．
答案:(1)1200元
(2)每件这种童装按184元或186元出售，每天销售这种童装可盈利1248元
(3)1250元
分析：（1）利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装的利润，列式即可；
（2）设降价x元，根据每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装的利润，列出方程解答即可；
（3）仿照题目中的配方法即可求解．
（1）
解：元
（2）
设每件这种童装降x元出售，每天销售这种童装可盈利1248元，
则有，
解得：，，
200-16=184或200-14=186
答：每件这种童装销售价格为184元或186元时，每天销售这种童装可盈利1248元．
（3）
由（2）可知，每天销售这种童装盈利可表示为，
而
∵，
∴，
∴的最大值为1250，即这种童装每天可盈利的最大值为1250元．
【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）某水果店购进一批优质芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过30元/千克，市场调查发现当售价为30元/千克时，每天可售出40千克，售价每降低0.5元，每天可多售出1千克．设售价为x元/千克，解决以下问题：
(1)当天该芒果的销售量为_________千克（用x的代数式表示）
(2)若水果店该天获利750元，求这天芒果的售价．
(3)该水果店的日盈利能否达到1000元？请说明理由．
答案:(1)
(2)这天芒果的售价为25元
(3)该水果店的日盈利不能达到1000元，理由见解析
分析：（1）利用日销售量，即可用含x的代数式表示出日销售量；
（2）利用水果店该天销售芒果获得的利润等于每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）该水果店的日盈利不能达到1000元，利用水果店该天销售芒果获得的利润等于每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-400 < 0，可得出该方程无实数根，即该水果店的日盈利不能达到1000元．
(1)
当天该芒果的销售量为（千克），
故答案为：．
(2)
由题意得，，
整理得，
解得或35（舍去），
答：这天芒果的售价为25元．
(3)
该水果店的日盈利不能达到1000元，理由如下：
由题意得，，
整理得，
，
该方程无实数根，
所以，该水果店的日盈利不能达到1000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，涉及根的判别式，准确理解题意，找准等量关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
(1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
答案:(1)每盒售价最高为15元；
(2)1．
【详解】（1）设每盒“冰墩墩”售价的为x元，
，
解得，
故每盒售价最高为15元．
（2）根据题意可得方程：
，
，
，（舍去）
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意正确列出一元一次不等式和一元二次方程．
10．（2023·浙江金华·八年级期中）第五届中国机器人峰会将于5月9日在余姚开幕，某公司购买一种T恤衫参加此次峰会．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件(含60件)以上时，一律每件80元．
(1)如果购买件(10＜＜60)，每件的单价为元，请写出关于的函数关系式；
(2)如果该公司共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，求第一批T恤衫的购买数量．
答案:（1）y＝150－x；（2）40件
分析：（1）若购买x件（10＜x＜60），每件的单价=140-（购买数量-10），依此可得y关于x的函数关系式；
（2）设第一批购买x件，则第二批购买（100-x）件，分两种情况：①当30＜x≤40时，则60≤100-x＜100；②当40＜x＜60时，则40＜100-x＜60；根据购买两批T恤衫一共花了9200元列出方程求解即可．
【详解】(1)购买x件(10＜x＜60)时，y＝140－(x－10)＝150－x．
故y关于x的函数关系式是y＝150－x；
(2)设第一批购买x件，则第二批购买(100－x)件.
①当30＜x≤40时，则60≤100－x＜100，则x(150－x)＋80(100－x)＝9200，
解得＝30(舍去)，＝40；
②当40＜x＜60时，则40＜100－x＜60，
则x(150－x)+(100-x) [150-(100-x)]＝9200，
解得x＝30或x=70,但40＜x＜60，所以无解；
答：第一批购买数量为40件．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
11．（2023春·浙江·八年级期末）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表：
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价；
（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元）
答案:（1）普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为12元和28元；（2）10元；（3）32
分析：（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元，建立二元一次方程组，求解即可得到答案；
（2）设普通口罩每包售价降低 a 元；根据当天的利润=每个普通口罩的利润当日普通口罩销售量的关系，列出并求解方程，即可得到答案；
（3）设N95口罩每包售价是x元；根据总售价-总成本=总利润的关系，列出方程，再结合a的取值范围，求解不等式，即可完成求解．
【详解】（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元
由题意得，
解得，
∴普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 12 元和 28 元.
（2）设普通口罩每包售价降低 a 元
由题意得
解得：a=2，a=-4（舍去）
∴此时普通口罩每包售价为 12-2=10元;
（3）设N95口罩每包售价是x元
由题意得
∴
∵
∴
∴
∴
即
x=32或33．
当x=33时，a不是整数，
∴N95口罩每包售价是32元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的性质，从而完成求解．
方案
每份售价（元）
销售数量（份）
A店

x
B店

（用含x的代数式表示）
20< x ≤ 48
13
x > 48
普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20