浙江省培优联盟2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式，得集合B，根据交集定义，即得解.
【详解】因为集合，
所以．
故选：D.
2. 等差数列满足，公差2，则（ ）
A. 96B. 90C. 84D. 78
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，然后利用等差数列的求和公式及等差数列的性质计算即可.
【详解】由题知数列是公差为2的等差数列，则，
所以．
故选：C.
3. 已知，，是三条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】由线面位置关系逐一判断各个选项即可.
【详解】对于A选项，由平行的传递性可知A选项成立；
对于B选项，直线，不一定相交，根据面面平行的判定定理易知面面平行不一定成立，错；
对于C选项，与也有可能相交，错；
对于D选项，直线不一定在平面外，也可能在面内，故不成立，错．
故选：A.
4. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.04B. 0.48C. 0.5D. 0.96
【答案】D
【解析】
【分析】由正态分布的性质求解即可.
【详解】由正态分布的对称性可知，，
所以．
故选：D
5. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理可得，即可利用余弦定理求解.
【详解】由正弦定理可得
因为，所以，，
由余弦定理可得．
故选：C
6. 已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式求相应的概率.
【详解】用表示女孩，表示男孩，
则样本空间．
分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件和事件，
则，，
所以．
故选：B
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由诱导公式、商数关系得，由二倍角公式即可得解.
【详解】因为，所以，
．
故选：D.
8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出直线的方程，与渐近线的方程联立，求出的坐标，由为的中点，，得为的中点，求出的坐标，代入双曲线的方程求解即可.
【详解】令，由对称性，不妨设直线的方程为，
由，解得，，即点坐标为，
由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为，
代入双曲线的方程，有，
即，，
解得，所以双曲线的离心率为．
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本初等函数的奇偶性判断即可.
【详解】对于A：为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：定义域为，且，所以为偶函数，故B正确；
对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C正确；
对于D：定义域为，且，
所以为偶函数，故D正确.
故选：BCD
10. 设，则下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由共轭复数的定义得到，然后使用复数的四则运算法则求解.
【详解】由可知.
，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A. 若圆关于直线对称，则
B. 的最小值为
C. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
D. 若，，，（为坐标原点）四点共圆，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据直线过圆心可得；对于B，由直线时弦可解；对于C，对曲线方程整理，结合圆系方程可得；对于D，由的垂直平分线确定圆心纵坐标，根据两圆方程求出直线方程，由直线过点D即可求解.
【详解】直线过定点，
圆，即，圆心为，半径．
对于A选项，若圆关于直线对称，则直线过圆心，得，故A错误．
对于B选项，圆的圆心为，半径为4，
圆心到直线的距离的最大值为，
所以的最小值为，故B正确．
对于C选项，当时，直线：，
曲线：，即，
所以曲线即为过直线与圆的交点的曲线方程，故C正确．
对于D选项，若，，，四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，
的中点为，所以的垂直平分线方程为：，所以，
圆的方程为，整理得，
直线是圆和圆的交线，所以直线的方程为，
将点坐标代入上式得，解得，
所以直线即直线的斜率为，所以，故D错误．
故选：BC
【点睛】结论点睛：过直线与圆交点的圆系方程为；
圆和圆的公共弦所在直线方程为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的函数式，代入求出函数值即得.
【详解】函数，所以.
故答案为：
13. 已知，，均为平面单位向量，且两两夹角为120°，则____．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用向量加减法化简，进而求得的值.
【详解】，，均为平面单位向量，夹角为120°，则
则．
故答案为：2
14. 圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径来求解.
【详解】球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径，即半径为，
所以球的表面积．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
（1）求该学生能通过自主招生初试的概率；
（2）若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，．
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解可得；
（2）根据超几何分布的概率公式求出概率即可得分布列，再由期望公式可得期望.
【小问1详解】
该学生通过自主招生初试的概率，
【小问2详解】
该学生答对题的数量的可能取值为2，3，4，
则，，，
所以的概率分布列为
．
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（1）证明：平面．
（2）若为线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，由平面，推出，再根据所给的边长，证明，根据线面垂直的判定定理证明平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.
【小问1详解】
取的中点，连接，易知且，
∴四边形为平行四边形，
∵，∴四边形为矩形，
∵，∴，
∴，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面．
【小问2详解】
以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，．
设平面的法向量为，
则即，取，
平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为．
（1）当切线与直线垂直时，求实数的值；
（2）当时，求的最大值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意，由此即可解出；
（2）先求出的表达式，然后利用导数求解即可.
【小问1详解】
，．
因为切线与直线垂直，，
所以．
【小问2详解】
，当时，，
所以切线方程为．
令得，令得，
因为，所以．
，
所以当时，，递增，
当时，，递减，
所以．
18. 已知在椭圆：上，左焦点在抛物线的准线上，为的左顶点，直线，分别与另交于，两点，直线，的斜率之积为.
（1）求的方程；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的准线可得，根据可得，即可求解椭圆方程，
（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据斜率关系可得或.即可根据弦长公式以及点到直线距离公式求解面积不等式，利用导数求解函数的单调性即可求解最值.
【小问1详解】
因为椭圆：过点，所以.
因为抛物线的准线方程为，所以，，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率不为0，
设，，直线的方程为，
联立消去，得，
所以，
得，，
则，，
因，所以，即，
所以，
即，解得或.
因为当时，直线的方程为，
则直线经过点，不符合题意，
所以，满足，此时直线的方程为，
所以直线过定点，记直线与轴的交点为，则点坐标为.
当时，，，
，
令，，则，
所以在上单调递增，
所以，
当且仅当，即时，的面积取得最大值.
.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19. 已知的数列满足，，成公差为1的等差数列，且满足，，成公比为的等比数列；的数列满足，，成公比为的等比数列，且满足，，成公差为1的等差数列．
（1）求，．
（2）证明：当时，．
（3）是否存在实数，使得对任意，？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算即可得解；
（2）通过构造等比数列求得，结合即可得解；
（3）分公比是否为1进行讨论即可，可以证明符合题意，时，可用反证法导出矛盾.
【小问1详解】
由题意得，，，，，，，．
【小问2详解】
，，
∴，则，
∴是首项为，公比为的等比数列，∴．
∵，∴，即．
【小问3详解】
存在满足条件．
当时，，显然不是减数列，∴．
下证，当时，不能满足条件．
若，，则．
由（2）得，，又，∴，从而．
考虑子数列，，
∵，，
则，则，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴．
若，则当时，，即，
∴不满足条件．
综上，满足条件的只有1个，即．
【点睛】关键点点睛：第3小问的关键是在讨论时，可用反证法导出矛盾，由此即可顺利得解.
2
3
4