浙江省培优联盟2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第8章.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则的虚部是（ ）
A. B. C. 2D.
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D. 1
4. 正方体的平面展开图如图所示，，，，为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
5. 在中，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数则函数的零点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知函数在上有最大值，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段（不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线异面的是（ ）
A B. C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. B. 在上只有1个零点
C. 在上单调递增D. 直线为图象的一条对称轴
11. 如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记．下列结论正确的是（ ）
A. 设，，若，则
B. 设，，若，则
C. 设，则
D. 设，，若与的夹角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，，则在复平面内对应的点位于第________象限．
13. 已知函数，若，则________．
14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求当时，的解析式；
（2）求在上的值域.
16. 如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上．
（1）若点为线段上靠近的三等分点，求的值；
（2）求取值范围．
17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，且是锐角三角形，求面积的最大值．
18. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点.
（1）证明：平面
（2）求异面直线与所成角的大小.
（3）求直线与平面所成角的正切值.
19. 当且时，对一切，恒成立．学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究．
（1）若正数，满足，当时，求的值；
（2）除整数对，请再举出一个整数对满足；
（3）证明：当时，只有一对正整数对使得等式成立．