2024年北京市东城区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年北京市东城区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是( )
A. B. C. D.
2.2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为( )
A. 1.33×107B. 13.3×105C. 1.33×106D. 0.13×107
3.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2)，B(−1,0)，C(2,0)为▱ABCD的顶点，则顶点D的坐标为( )
A. (−3,2)B. (2,2)C. (3,2)D. (2,3)
4.若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是( )
A. |a|<|b|B. a+1C. a2−b
5.在平面直角坐标系xOy中，点P(1,2)在反比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是( )
A. (−2,0)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (1,−2)
6.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E.在下列结论中，不一定成立的是( )
A. AE=BEB. ∠CBD=90∘
C. ∠COB=2∠DD. ∠COB=∠C
7.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3.随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为( )
A. 12B. 13C. 16D. 19
8.2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热+光伏”试点项目，一万多面定日镜(如图1)全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜(如图2)的形状可近似看作正五边形，面积约为48m2，则该正五边形的边长大约是( )
(结果保留一位小数，参考数据：tan36∘≈0.7，tan54∘≈1.4， 42≈6.5， 21≈4.6)
A. 5.2mB. 4.8mC. 3.7mD. 2.6m
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若二次根式 x−1有意义，则实数x的取值范围是__________.
10.因式分解：2xy2−18x=__________.
11.方程3x=2x−3的解为 __________.
12.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________.
13.为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间(单位：时)，随机抽取了50名学生进行调查，结果如表所示：
以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有___________人．
14.在Rt△ABC中，∠A=90∘，点D在AC上，DE⊥BC于点E，且DE=DA，连接DB.若∠C=20∘，则∠DBE的度数为__________ ∘.
15.阅读材料：
如图，已知直线l及直线l外一点P.
按如下步骤作图：
①在直线l上任取两点A，B，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AP于点C；
②连接BC，分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，交BC于点Q；
③作直线PQ.
回答问题：
(1)由步骤②得到的直线MN是线段BC的___________；
(2)若△CPQ与△CAB的面积分别为S1，S2，则S1：S2=__________.
16.简单多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．
(1)四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如表：
在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是___________；
(2)数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．
小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共__________个．
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
17.计算： 48−2cs30∘+(π−1)0−|−2|.
18.解不等式组：x+2<65x+13−1≥x−62.
四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
已知2x−y−9=0，求代数式6x−3y4x2−4xy+y2的值．
20.(本小题5分)
如图，四边形ABCD是菱形．延长BA到点E，使得AE=AB，延长DA到点F，使得AF=AD，连接BD，DE，EF，FB.
(1)求证：四边形BDEF是矩形；
(2)若∠ADC=120∘，EF=2，求BF的长．
21.(本小题5分)
每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB的长为x米，BC的长为y米．
测量数据(精确到0.1米)如表所示：
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是 ____________，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是__________；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y=10，则钟楼的高度约为__________米．
22.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k为常数，k≠0)的图象由函数y=13x的图象平移得到，且经过点A(3,2)，与x轴交于点B.
(1)求这个一次函数的解析式及点B的坐标；
(2)当x>−3时，对于x的每一个值，函数y=x+m的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23.(本小题6分)
某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高(单位：cm)，数据整理如下：
a.1班：168 171 172 174 174 176 177 179
2班：168 170 171 174 176 176 178 183
b.每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值；
(2)如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是_________班(填“1”或“2”)；
(3)1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177.如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是________cm.
24.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠EAC=∠CAB，直线CD⊥AE于点D，交AB的延长线于点F.
(1)求证：直线CD为⊙O的切线；
(2)当tanF=12，CD=4时，求BF的长．
25.(本小题6分)
小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB=1.5m.
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=−0.2(x−2.5)2+2.35.
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)的几组数据如下：
根据上述信息，回答下列问题：
(1)直接写出击球点的高度；
(2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；
(3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，则d1 d2(填“>”，“<”或“=”).
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+1(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x=t.
(1)若点(2,1)在该抛物线上，求t的值；
(2)当t≤0时，对于x2>2，都有y127.(本小题6分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D，E是BC边上的点，DE=12BC，连接AD.过点D作AD的垂线，过点E作BC的垂线，两垂线交于点F.连接AF交BC于点G.
(1)如图1，当点D与点B重合时，直接写出∠DAF与∠BAC之间的数量关系；
(2)如图2，当点D与点B不重合(点D在点E的左侧)时，
①补全图形；
②∠DAF与∠BAC在(1)中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
(3)在(2)的条件下，直接用等式表示线段BD，DG，CG之间的数量关系．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ和直线l1，l2，线段PQ关于直线l1，l2的“垂点距离”定义如下：过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥l2于点N，连接MN，称MN的长为线段PQ关于直线l1和l2的“垂点距离”，记作d.
(1)已知点P(2,1)，Q(1,2)，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为____；
(2)如图1，线段PQ在直线y=−x+3上运动(点P的横坐标大于点Q的横坐标)，若PQ= 2，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为____；
(3)如图2，已知点A(0,2 3)，⊙A的半径为1，直线y= 33x+b与⊙A交于P，Q两点(点P的横坐标大于点Q的横坐标)，直接写出线段PQ关于x轴和直线y=− 3x的“垂点距离”d的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、长方体的俯视图是矩形，故此选项符合题意；
C、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项不合题意；
D、圆柱的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B.
2.【答案】C
【解析】解：1330000=1.33×106.
故选：C.
3.【答案】C
【解析】解：如图，
∵点A(0,2)，B(−1,0)，C(2,0)为▱ABCD的顶点，
∴AD=BC=3，AD//BC，
∴顶点D的坐标为(3,2)，
故选：C.
4.【答案】B
【解析】解：根据数轴，可得−2∴1<|a|<2，0<|b|<1，
∴|a|>|b|，∴选项A不符合题意；
∵−2∴a∴选项B符合题意；
∵−2∴1∴a2>b2，
∴选项C不符合题意；
∵0∵−2∴a<−b，
∴选项D不符合题意．
故选：B.
5.【答案】C
【解析】解：根据题意得，k=xy=1×2=2，
∴将A，B，C，D四个选项中点的坐标代入得到k=2的点在反比例函数的图象上．
故选：C.
6.【答案】D
【解析】解：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE=BE，∠CBD=90∘，∠COB=2∠D，∠CBO=∠C，
故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D.
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，
所以两次摸出的小球标号相同的概率是39=13，
故选：B.
8.【答案】A
【解析】解：如图：设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠AOB=360∘5=72∘，△AOB的面积=15正五边形的面积=485m2，
∵OA=OB，OF⊥AB，
∴∠AOF=12∠AOB=36∘，AB=2AF，
设OF=xm，在Rt△OAF中，AF=OF⋅tan36∘≈0.7xm，
∴AB=2AF=1.4xm，
∴12AB⋅OF=485，12⋅1.4x⋅x=485，解得：x≈3.71，
∴AB=1.4x≈5.2(m)，
∴该正五边形的边长大约是5.2m.
故选：A.
9.【答案】x≥1
【解析】解：由题可知，x−1≥0，
解得x≥1.
故答案为：x≥1.
10.【答案】2x(y+3)(y−3)
【解析】解：2xy2−18x=2x(y2−9)=2x(y+3)(y−3).
故答案为：2x(y+3)(y−3).
11.【答案】x=9
【解析】解：3x=2x−3
方程两边都乘x(x−3)，得3(x−3)=2x，
去括号，得3x−9=2x，
移项，得3x−2x=9，
合并同类项，得x=9，
检验：当x=9时，x(x−3)≠0，
所以分式方程的解是x=9.
故答案为：x=9.
12.【答案】m<1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×m=4−4m>0，
解得：m<1.
故答案为：m<1.
13.【答案】240
【解析】解：估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有500×19+550=240(人)，
故答案为：240.
14.【答案】35
【解析】解法一：∵∠A=90∘，∠C=20∘，
∴∠ABC=90∘−∠C=70∘，
∵DE⊥BC于点E，
∴∠BED=90∘，
在Rt△EBD和Rt△ABD中，
BD=BDDE=DA，
∴Rt△EBD≌Rt△ABD(HL)，
∴∠DBE=∠DBA=12∠ABC=35∘，
故答案为：35.
解法二：∵∠A=90∘，∠C=20∘，
∴∠ABC=90∘−∠C=70∘，
∵∠A=90∘，
∴DA⊥BA，
∵DE⊥BC，且DE=DA，
∴点D在∠ABC的平分线上，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠DBA=12∠ABC=35∘，
故答案为：35.
15.【答案】垂直平分线
14

【解析】解：(1)由作图过程可知，步骤②得到的直线MN是线段BC的垂直平分线．
故答案为：垂直平分线．
(2)由作图过程可知，AP=CP，
∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴CQ=BQ，
∴CPAC=CQBC=12，
∵∠PCQ=∠ACB，
∴△PCQ∽△ACB，
∴S1：S2=(12)2=14.
故答案为：14.
16.【答案】V+F−E=2
32

【解析】解：(1)四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F−E=2；
故答案为：V+F−E=2；
(2)设小张同学需要准备正三角形和正五边形材料各x个， y个，
∵每个顶点有4条棱，且每个顶点在四个面里面，
∴一共有3x+5y4个顶点，
∴一共有3x+5y4×4÷2=3x+5y2条棱，
∵V+F−E=2，
∴3x+5y4+x+y−3x+5y2=2，
∴x−y=8;
∵每个正三角形与三个五边形相邻，而每个五边形与五个正三角形相邻，
∴y=3x5，
∴x−35x=8，
∴x=20，
∴y=12，
∴x+y=32，
∴小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共32个，
故答案为：32
17.【答案】解：原式=4 3−2× 32+1−2
=4 3- 3+1−2
=3 3−1.

【解析】见答案
18.【答案】解：{x+2<6①5x+13−1⩾x−62②，
解不等式①，得：x<4，
解不等式②，得：x≥−2，
∴原不等式组的解集为−2≤x<4.

【解析】见答案
19.【答案】解：∵2x−y−9=0，
∴2x−y=9，
∴6x−3y4x2−4xy+y2
=3(2x−y)(2x−y)2
=32x−y，
当2x−y=9时，原式=39=13.

【解析】见答案
20.【答案】(1)证明：∵AE=AB，AF=AD，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∴AE=AB=AF=AD，
∴BE=DF，
∴平行四边形BDEF是矩形．
(2)解：由(1)可知，AB=AD，四边形BDEF是矩形，
∴∠DBF=90∘，BD=EF=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=12∠ADC=60∘，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=2，
∴DF=2AD=4，
∴BF= DF2−BD2= 42−22=2 3，
即BF的长为2 3.

【解析】见答案
21.【答案】解：(1)由同一时刻测量，可得直杆高度直杆影长=ABBD，
第一次测量：10.6=x15.8+y，化简得，y=0.6x−15.8，
第二次测量：10.7=x20.1+y，化简得，y=0.7x−20.1，
故答案为：y=0.6x−15.8，y=0.7x−20.1；
(2)对于y=0.6x−15.8，代入y=10，得，0.6x−15.8=10，
解得：x=43，
∴钟楼AB=43米，
故答案为：43.

【解析】见答案
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象由函数y=13x的图象平移得到，且经过点A(3,2)，
∴k=133k+b=2，解得k=13b=1，
∴一次函数的解析式为y=13x+1；
在y=13x+1中，令y=0得0=13x+1，
解得x=−3，
∴B的坐标为(−3,0).
(2)当x=−3时，y=x+m=−3+m，y=13x+1=13×(−3)+1=0，
∵当x>−3时，对于x的每一个值，函数y=x+m的值大于一次函数y=13x+1的值，
∴−3+m≥0，
解得m≥3，
∴m的取值范围是m≥3.

【解析】见答案
23.【答案】解：(1)2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183.
从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，
所以这组数据的中位数为(174+176)÷2=175，故m=175；
其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故n=176；
故答案为：175；176.
(2)根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．
1班的身高分布于168−179，2班的身高分布于168−183，
从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，
故答案为：1.
(3)(171+172+174+174+176+177)÷6=174(厘米)
设2班第六位选手的身高为x厘米，
则(171+174+176+176+178+x)÷6≥174，
x≥169，
据此，第六位可选的人员身高为170、183，
若为170时，2班的身高数据分布于170−178，若为183时，2班的身高数据分布于171−183，
从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，
所以第六位选手的身高应该是170厘米，
故答案为：170.

【解析】见答案
24.【答案】(1)证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵∠EAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OC//AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD为⊙O的切线．
(2)解：∵tanF=12，
∴OCCF=12，
设OC=x，则CF=2x，AO=OB=x，
∴OF= OC2+CF2= 5x，
∵OC//AD，
∴△AFD∽△OFC，
∴CFDF=OFAF，
∴2x2x+4= 5x 5x+x，
∴x=2 5，
∴BF=OF−OB=10−2 5.

【解析】见答案
25.【答案】解：(1)当x=0时，y=−0.2(0−2.5)2+2.35=1.1，
故击球点的高度为1.1m；
(2)由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为(3,2)，
设抛物线的解析式为：y=a(x−3)2+2，
过点(4,1.9)，
∴1.9=a(4−3)2+2，
解得a=−0.1，
∴抛物线的解析式为：y=−0.1(x−3)2+2，
(3)∵第一次练习时，当y=0时，0=−0.2(x−2.5)2+2.35.
解得x1= 11.75+2.5，x2=− 11.75+2.5<0(舍去)，
∴d1= 11.75+2.5−1.5= 11.75+1，
∵第二次练习时，当y=0时，0=−0.1(x−3)2+2.
解得x1=2 5+3，x2=−2 5+3<0(舍去)，
∴d2=2 5+3−1.5=2 5+1.5，
∵ 11.75+1<2 5+1.5，
∴d1故答案为：<

【解析】见答案
26.【答案】解：(1)∵点(2,1)在该抛物线y=ax2+bx+1(a>0)上，
∴4a+2b+1=1，
∴b=−2a，
∴t=−b2a=1.
(2)∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∴当x>t时，y随x增大而增大，当x当0≤x1≤2时，
∵t≤x1∴此时满足y1当−2≤x1≤0时，
∵t≤0，
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，
∴此时满足y1当x1>2时，一定会有x2的值满足x1>x2，此时y1>y2，不符合题意;
当x1<−2时，若t=0，且x1=−x2时，此时y1=y2，不符合题意;
综上所述，−2≤x1≤2.

【解析】见答案
27.【答案】解：(1)当点D与点B重合时，∠DAF=12∠BAC，理由如下：
如图1，
∵点D与点B重合，点D，E是BC边上的点，且DE=12BC，
∴E是BC的中点，
∵∠BAC=90∘，AB=AC，
∴AE⊥BC，∠BAE=12∠BAC，
∵EF⊥BC，
∴∠AEB=∠BEF=90∘，
∴∠AEB+∠BEF=180∘，即A、E、F在同一条直线上，
∴∠BAF=12∠BAC，即∠DAF=12∠BAC；
(2)①补全图形如图2所示：
②∠DAF=12∠BAC仍然成立，理由如下：
如图3，过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHD=90∘，
∵∠DEF=90∘，
∴∠AHD=∠DEF，
∵∠ADH+∠FDE=∠ADH+∠DAH=90∘，
∴∠DAH=∠FDE，
∵∠BAC=90∘，AB=AC，AH⊥BC，
∴AH=12BC，
∵DE=12BC，
∴AH=DE，
∴△ADH≌△DFE，
∴AD=DF，
∵∠ADF=90∘，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠DAF=45∘，
∴∠DAF=12∠BAC；
(3)BD2+CG2=DG2，理由如下：
如图4，将△ACG绕点A顺时针旋转90∘得到△ABG′，
则BG′=CG，AG′=AG，∠ABG′=∠ACG，∠BAG′=∠CAG，
∵∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACG=45∘，
∴∠ABC+∠ABG′=90∘，即∠DBG′=90∘，
∴BD2+BG′2=DG′2，
由(2)知∠DAF=45∘，即∠DAG=45∘，
∴∠BAD+∠CAG=45∘，
∴∠BAD+∠BAG′=45∘，即∠DAG′=45∘，
∴∠DAG′=∠DAG，
在△ADG′和△ADG中，
AG′=AG∠DAG′=∠DAGAD=AD，
∴△ADG′≌△ADG(SAS)，
∴DG′=DG，
∴BD2+CG2=DG2.

【解析】见答案
28.【答案】解：(1)∵点P(2,1)，Q(1,2)，
∵M(2,0)，N(0,2)，
∴MN=2 2，
故答案为：2 2；
(2)如图1，
延长NQ，MP交于点A，
∵QN⊥y轴，PM⊥x轴，
∴∠ANO=∠AMO=90∘，
∵∠MON=90∘，
∴四边形ANOM是矩形，
∴∠NAM=90∘，MN=AO，
∵线段PQ在直线y=−x+3上运动，
∴∠AQP=∠APQ=45∘，
∴AQ=AP=1，
设Q(m,−m+3)，则A(m+1,−m+3)，
∴OA= AM2+AN2= (m+1)2+(−m+3)2= 2(m−1)2+8，
∴当m=1时，OA最小=2 2，
∴MN的最小值为：2 2，
故答案为：2 2；
(3)解：设直线QP与x轴交于点B，与直线NO交于点D，延长NQ、MP交于点C，作直线AC与x轴交于点F，连接OC，作OC中点E，连接EM，EN，AP，AQ，
∵直线NO的解析式为：y=− 3x，
∴tan∠NOF=|yNxN|=|− 3xNxN|= 3，∠NOF=60∘，
∵直线QP的解析式为：y=− 33x+b，
∴当x=0时，y=b，当y=0时，0=− 33x+b，即：x= 3b，
∴tan∠PBM=|OAOB|=|b 3b|= 33，∠PBM=30∘，
∴∠QDN=∠NOF−∠PBM=60∘−30∘=30∘，
∵QN⊥DN，PM⊥MB，
∴∠CQP=∠DQN=90∘−∠QDN=90∘−30∘=60∘，∠CPQ=∠BPM=90∘−∠PBM=90∘−30∘=60∘，
∴ΔCQP是等边三角形，
∴∠NCM=60∘，CP=CQ，
∵AP=AQ，
∴AC是线段PQ的垂直平分线，
∴∠ACP=12∠QCP=12×60∘=30∘，
∵OA//CM，
∴∠FAO=30∘，
∴FO= 33AO= 33×2 3=2，
设直线AC的解析式为：y=kx+a，则：2 3=a0=−2k+a解得：k= 3a=2 3，
∴直线AC的解析式为：y= 3x+2 3，
当点M在点O右侧时，∠NOM=180∘−60∘=120∘，
∴∠NOM+∠NCM=180∘，
∴N，O，M，C四点共圆，
当点M在点O左侧时，
∴∠NOM=∠NCM=60∘，
∴N，O，M，C四点共圆，
∵∠CMO=90∘，点E为CO中点，∠NCM=60∘，
∴CO为⊙E的直径，∠NEM=2∠NCM=2×60∘=120∘，EN=EM=12CO，
∴ΔENM是顶角为120∘的等腰三角形，
∴NM= 3EN= 3×12CO= 32CO，
设点M(m,0)，则C(m, 3m+2 3)，
∴CO= (m−0)2+( 3m+2 3−0)2= 4(m+32)2+3
∵直线y=− 33x+b与⊙A交于P，Q两点，
∴|m|≤AP=1，即−1≤m≤1，
∵点P的横坐标大于点Q的横坐标，
∴点P在直线AC下方，
当∠FAP=0∘时，∠PAO=30∘，sin∠PAO=−mAP=sin30∘=12，解得：m=−12，
∴−12∴ 4(−12+32)2+3∴ 32× 7故答案为： 212
【解析】见答案锻炼时间x/时
5≤x<6
6≤x<7
7≤x<8
x≥8
学生人数
10
16
19
5
名称
图形
顶点数(V)
面数(F)
棱数(E)
三棱锥

4
4
6
长方体

8
6
12
五棱柱

10
7
15
正八面体

6
8
12
直杆高度
直杆影长
CD的长
第一次
1.0
0.6
15.8
第二次
1.0
0.7
20.1
班级
平均数
中位数
众数
1班
173.875
174
174
2班
174.5
m
n
水平距离x/m
0
1
2
3
4
飞行高度y/m
1.1
1.6
1.9
2
1.9