2024年吉林省长春市九台区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年吉林省长春市九台区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在实数0，12，−2， 2中，最小的数是( )
A. −2B. 0C. 12D. 2
2.我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为( )
A. 0.3×106B. 3×107C. 3×106D. 30×105
3.下列运算正确的是( )
A. a3+a4=a7B. a3⋅a4=a12C. (a3)4=a7D. (−2a3)4=16a12
4.“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是( )
A. B. C. D.
5.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=122∘，∠2的度数为( )
A. 32∘
B. 58∘
C. 68∘
D. 78∘
6.如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为( )
A. 7sinα米
B. 7csα米
C. 7tanα米
D. 7sinα米
7.在△ABC中，∠ACB=90∘，ACA. B.
C. D.
8.如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上两点，若点D的坐标是(a,b)，则a−b的值为( )
A. 12
B. −34
C. 2
D. −2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式：x2+2xy=______.
10.已知关于x的一元二次方程2x2−x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______.
11.两片棉田，一片有m公顷，平均每公顷产棉花a千克；另一片有n公顷，平均每公顷产棉花b千克，则用式子表示两片棉田上棉花的总产量为______千克．
12.如图，A，B两点的坐标分别为A(4,3)，B(0,−3)，在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是______.
13.如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为______.
14.如图，P是抛物线y=x2−3x−4在第四象限的图象上一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______.
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
先化简，再求值：(a+b)2+(a+b)(a−b)−2a(a−b)，其中a=2，b=−12.
16.(本小题6分)
嘉嘉和琪琪周末各自参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图.嘉嘉和琪琪随机从两入口进入参观.
(1)参观前，嘉嘉从A口进入的概率是______.
(2)参观结束后，两个人各自从每个出口出来的机会均等，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率.
17.(本小题6分)
2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
18.(本小题7分)
如图，在边长为1的8×8正方形网格中，点A、B、C均在格点上，(用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹).
(1)在图①中，作△ABC的中线BM；
(2)在图②中，作△ABC的高线CN；
(3)在图③中，作以AB为直径的圆O的切线BE.
19.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AC平分∠DAB，AB=2CD，E为AB中点，连结CE.
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D=120∘，DC=2，求△ABC的面积．
20.(本小题7分)
为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.如图1是将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成.
(1)学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是______分.
(2)两次成绩均达到或高于90分的学生有______个.
(3)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图(数据分成8组：60≤x<65，65≤x<70，70≤x<75，75≤x<80，80≤x<85，85≤x<90，90≤x<95，95≤x≤100)，
在75≤x<80的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79，则这30位学生平均成绩的中位数是______.
(4)假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.
21.(本小题8分)
甲、乙两个工程组同时挖据沈白高铁某段隧道，两组每天挖据长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖据时间x(天)之间的关系如图所示.
(1)甲组比乙组多挖掘了______天.
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
(3)当甲组挖据的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数.
22.(本小题9分)
感知：如图①，若PA，PB是⊙O的两条弦，C是AB的中点，在弦AP上截取AF=PB，连接CA，CF，CP，CB，易证△FAC≌△PBC.(不需证明)
探究：如图②，若PA，PB是⊙O的两条弦，C是AB的中点，CE⊥PA于点E，求证：AE=PE+PB.
应用：如图③，BC是⊙O的直径，D是AC上一点，且满足∠DAC=45∘，若AB=12，⊙O的半径为10，则AD的长为______.
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度运动，当点P不与点B重合时，将线段PB绕点P旋转得到线段PQ，使点Q与点C始终在AB同侧，且∠BPQ=∠A，连结BQ，CQ.设点P的运动时间为t(秒)(t>0).
(1)AB的长为______；
(2)用含t的代数式表示PQ的长；
(3)当CQ//AB时，求t的值；
(4)当以点C、P、B、Q为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出t的值.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−3x(a是常数)经过点A(3,0)，若点E(m,3m)、F(m−5,3m)是坐标平面内两点，过点E作y轴的平行线与抛物线交于点P，以EF、EP为邻边构造矩形EPQF.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当m=4时，求tan∠PFE；
(3)当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
(4)当坐标轴x轴或y轴将矩形面积分为1：3两部分时，请直接写出m的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】
解：∵ 2>12>0>−2，
∴在实数0，12，−2， 2中，最小的数是−2.
故选：A.
2.【答案】C
【解析】解：3000000=3×106，
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A、a3与a4不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；
B、a3⋅a4=a7，故错误，不符合题意；
C、(a3)4=a12，故错误，不符合题意；
D、(−2a3)4=16a12，故正确，符合题意；
故选：D.
根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的法则计算即可．
本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟记法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，即看到的图形为，
故选C.
根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3=180∘，
∴∠3=180∘−∠1=180∘−122∘=58∘.
∵水中的两条光线平行，
∴∠2=∠3=58∘.
故选：B.
根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，sinα=ACAB，
则AB=ACsinα=7sinα(米)，
故选：D.
根据正弦的定义列式计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记正弦的定义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A.此选项是作直角∠ACB的平分线，∠α=12∠ACB=45∘，不符合题意；
B.此选项是作CA=CD，由∠ACB=90∘知∠CAD=∠CDA=∠α=45∘，不符合题意；
C.此选项是作∠CAB的平分线，由∠CAB<90∘知∠α=12∠ACB<45∘，符合题意；
D.此选项是作∠CAB和∠CBA的平分线，∠α=∠DAB+∠EBA=12∠CAB+12∠CBA=12(∠CAB+∠CBA)=45∘，不符合题意；
故选：C.
根据角平分线的尺规作图和等腰直角三角形、直角三角形的性质逐一判断即可．
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图与性质、直角三角形的性质．
8.【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD面积等于4.
∴AD=AB=2.
∵点D坐标是(a,b)，
∴B(a+2,b−2).
∵B、D是反比例函数上的点．
∴k=ab=(a+2)(b−2).
∴a−b=−2.
故选：D.
先根据正方形的面积可求出正方形的边长为2，利用点D坐标(a,b)，表示出点B，代入反比例函数即可求解．
本题考查反比例函数图象上点的特征、k的几何意义知识，关键在于利用正方形的边长表示出点的坐标．
9.【答案】x(x+2y)
【解析】解：原式=x(x+2y).
故答案为：x(x+2y).
提取公因式x，即可分解因式．
本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键．
10.【答案】m<18
【解析】解：∵关于x的一元二次方程2x2−x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1)2−4×2m=1−8m>0，
解得：m<18.
故答案为：m<18.
根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ>0”是解题的关键．
11.【答案】am+bn
【解析】解：∵一片有m公顷，平均每公顷产棉花a千克；另一片有n公顷，平均每公顷产棉花b千克，
∴两片棉田上棉花的总产量为：(am+bn)千克，
故答案为：am+bn.
根据一片有m公顷，平均每公顷产棉花a千克；另一片有n公顷，平均每公顷产棉花b千克，可以得到两片棉田上棉花的总产量，本题得以解决．
本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
12.【答案】(2,0)
【解析】解：如图，连接AB交x轴于点P′，
根据两点之间，线段最短可知：P′即为所求，
设直线AB的关系式为：y=kx+b，
把A(4,3)，B(0,−3)代入得
4k+b=3b=−3，
解得k=32b=−3，
∴y=32x−3，
当y=0时，x=2，
∴P′(2,0)，
故答案为：(2,0).
连接AB交x轴于点P′，求出直线AB的解析式与x轴交点坐标即可．
本题主要考查了轴对称知识，明白两点之间，线段最短是解题的关键．
13.【答案】π
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，BO=DO，AD=CD，∠DBE=45∘，
∴△AOD≌△COB(SSS)，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD= 22+22=2 2，
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即45π⋅(2 2)2360=π，
故答案为：π.
根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD=2 2，再由扇形面积公式求解即可．
本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BED的面积是解题的关键．
14.【答案】16
【解析】解：设P(x,x2−3x−4)，
∴四边形OAPB周长=2PA+2OA=−2(x2−3x−4)+2x=−2x2+8x+8=−2(x−2)2+16.
∴当x=2时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为16.
故答案为16.
依据题意，设P(x,x2−3x−4)根据矩形的周长公式得到C=−2(x−2)2+16，从而根据二次函数的性质来求最值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
15.【答案】解：(a+b)2+(a+b)(a−b)−2a(a−b)
=a2+2ab+b2+a2−b2−2a2+2ab
=4ab，
当a=2，b=−12时，
原式=4×2×(−12)=−4.
【解析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式、平方差公式的应用．
16.【答案】12
【解析】解：(1)一共有2个入口，嘉嘉从A入口进入的概率是12；
故答案为：12；
(2)
共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果有3种，
∴P(嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出)=39=13.
(1)由概率公式计算即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】 解： 设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，
则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，
根据题意，得200x=200x+0.6×4，
解得x=0.2，
经检验，x=0.2是原方程的解，且符合题意.
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元

【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设这款电动汽车平均每公里的充电费为 x 元，则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍"列分式方程，解方程即可求解。
18.【答案】解：(1)如图①中，线段BM即为所求；
(2)如图②中，线段CN即为所求；
(3)如图③中，线段BE即为所求．

【解析】(1)利用平行四边形的对角线互相平分解决问题即可；
(2)取格点T，连接CT交AB于点N，线段CN即为所求；
(3)取格点E，连接BE，线段BE即为所求．
本题考查了圆的综合题，作图-应用与设计作图，三角形的中线，角平分线，高等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)证明：∵E为AB中点，
∴AB=2AE=2BE，
∵AB=2CD，
∴CD=AE，
又∵AE//CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，
∵AB//CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
(2)∵四边形AECD是菱形，∠D=120∘，
∴AD=CD=CE=AE=2，∠D=120∘=∠AEC，
∴AE=CE=BE，∠CEB=60∘，
∴∠CAE=30∘=∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE=BC=EC=2，∠B=60∘，
∴∠ACB=90∘，
∴AC= 3BC=2 3，
∴S△ABC=12×AC×BC=12×2×2 3=2 3.
【解析】(1)由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的定义可证AD=CD，可得结论；
(2)由菱形的性质可求AE=BE=CE=2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质和角平分线的定义，灵活运用这些性质定义来解决问题是解题的关键．
20.【答案】75 7 79
【解析】解：(1)由图1得：该生第二次成绩是75分，
故答案为：75；
(2)横纵坐标都大于等于90的点有7个，
故答案为：7；
(3)这30位学生平均成绩的中位数是：79，
故答案为：79；
(4)930×1200=360(人)，
答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生有360人．
(1)根据统计图找坐标；
(2)根据统计图找出横纵坐标都岛屿等于90的点的个数；
(3)根据中位数的定义求解；
(4)利用样本的百分比估计总体的百分比．
本题考查了频数分布直方图，掌握中位数等基本概念是解题的关键．
21.【答案】30
【解析】解：(1)由图象可知，甲乙合作共挖掘了30天，甲单独挖掘了30天，即甲组比乙组多挖掘了30天．
读答案为：30.
(2)设乙组停工后y关于x的函数解析式为：y=kx+b，点(30,210)(60,300)在图象上，
30k+b=21060k+b=300，解得k=3b=120.
∴函数关系式为：y=3x+120(30≤x≤60).
(3)由(1)关系式可知，甲单独干了30天，挖掘的长度是=300−210=90，甲的工作效率是3m每天．
前30天是甲乙合作共挖掘了210m，则乙单独挖掘的长度是210−90=120.
当甲挖掘的长度是120m时，工作天数是120÷3=40(天)，
乙组已停工的天数是：40−30=10(天).
(1)读图直接写出答案；
(2)利用已知两点的坐标，待定系数求出k、b值，写出关系式，根据图上条件标出自变量取值范围；
(3)求出乙队的挖掘量，然后求出甲队在同等工作量的条件下实际工作的天数，减去合作的天数即可．
本题考查一次函数的实际应用，读懂题意是解决本题的关键．
22.【答案】2 2
【解析】解：探究：在AP上截取AF，使AF=PB，连接AC、CF、CP、CB，如图，
∵C是AB的中点，
∴CA=CB，
∴CA=CB，
在△AFC和△BPC中，
AF=PB∠CAP=∠CBPCA=CB，
∴△AFC≌△BPC(SAS)，
∴CF=CP.
∴△CFP是等腰三角形，
∵CE⊥AP，
∴FE=EP，
∴AE=AF+FE=PE+PB；
应用：∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90∘.
∵⊙O的半径为10，
∴BC=20.
∴AC= CB2−AB2= 202−122=16.
在CA上截取CF，使CF=AD，连接DC、DF、DB，如图，
∵BC是⊙O的直径，∠DAC=45∘，
∴点D为BC的中点，
∴DC=DB，
∴DC=DB.
在△DFC和△DAB中，
CD=BD∠DCA=∠DBACA=BA，
∴△DFC≌△DAB(SAS)，
∴DF=DA，
∴∠DFA=∠DAF=45∘，
∴△DFA为等腰直角三角形，
∴DA= 22AF= 22(AC−CF)= 22(16−12)=2 2.
故答案为：2 2.
探究：在AP上截取AF，使AF=PB，连接AC、CF、CP、CB，利用等弧对等弦的性质得到CA=CB，利用全等三角形的判定与性质得到CF=CP，再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可得出结论；
应用：利用圆周角定理和勾股定理求得AC的长度，在CA上截取CF，使CF=AD，连接DC、DF、DB，仿照探究中的方法证明△DFC≌△DAB，得到DF=DA，则△DFA为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键．
23.【答案】5
【解析】解：(1)∵∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
故答案为：5；
(2)根据题意得PA=t，
∴若点P与点B重合，则t=5，
当0当t>5时，PB=t−5，
由旋转得PQ=PB，
∴PQ=5−t(05)；
(3)如图1，CQ//AB，且点P在线段AB上，
∵∠BPQ=∠A，
∴PQ//AC，
∴四边形PQCA是平行四边形，
∴PQ=AC=3，
∴5−t=3，
解得t=2；
如图2，CQ//AB，且点P在线段AB的延长线上，
作QE⊥AP于点E，CF⊥AP于点F，则QE=CF，
∠PEQ=∠AFC=90∘，
∵∠QPE=∠A，
∴△PEQ≌△AFC(AAS)，
∴PQ=AC=3，
∴t−5=3，
解得t=8，
综上所述，t的值为2或8；
(4)t的值是52或335.理由如下：
如图3，点P在线段AB上，设PQ交BC于点H，
∵PQ//AC，
∴∠PHB=∠ACB=90∘，
∴PQ⊥BC，
当BH=CH时，则PQ垂直平分BC，
∴四边形轴对称图形，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠PAC+∠PBC=90∘，∠PCA+∠PCB=90∘，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PA=PC，
∴PA=PB=12AB=52，
∴t=52；
如图4，点P在线段AB的延长线上，连接BQ，PQ，PC，
∵PQ=PB，
∴当CQ=CB时，则点P、C都在BQ的垂直平分线上，
∴PC垂直平分BQ，
∴四边形PBCQ是轴对称图形，
作AI平分∠BAC交BC于点I，作IK⊥AB于点K，CL⊥AB于点L，则∠BKI=∠ALC=∠BLC=90∘，
∵IC⊥AC，
∴IK=IC，
∵IKIB=ACAB=sin∠ABC=35，
∴IB=53IK=53IC，
∴IC+53IC=4，
解得IC=32，
∵CLAC=BCAB=sin∠BAC=45，ALAC=ACAB=cs∠BAC=35，
∴CL=45AC=45×3=125，AL=35AC=35×3=95，
∵PQ=PB，PC⊥BQ，
∴∠BPC=∠QPC=12∠BPQ=12∠BAC=∠CAI，
∴CLPL=tan∠BPC=tan∠CAI=ICAC=323=12，
∴PL=2CL=2×125=245，
∴AP=AL+PL=95+245=335，
∴t=335，
综上所述，t的值是52或335.
(1)由∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，根据勾股定理得AB= AC2+BC2=5，于是得到问题的答案；
(2)由题意得PA=t，当05时，PQ=PB=t−5；
(3)分两种情况讨论，一是CQ//AB，且点P在线段AB上，由∠BPQ=∠A，得PQ//AC，则四边形PQCA是平行四边形，所以PQ=AC=4，得5−t=3；二是CQ//AB，且点P在线段AB的延长线上，作QE⊥AP于点E，CF⊥AP于点F，则QE=CF，可证明△PEQ≌△AFC，则PQ=AC=3，所以t−5=3，解方程求出相应的t值即可；
(4)分两种情况讨论，一是点P在线段AB上，设PQ交BC于点H，因为PQ⊥BC，所以当BH=CH时，则PQ垂直平分BC，此时四边形轴对称图形，由PB=PC，得∠PBC=∠PCB，可证明∠PAC=∠PCA，则PA=PC=PB=52，所以t=52；二是点P在线段AB的延长线上，连接BQ，当CQ=CB时，则PC垂直平分BQ，此时四边形PBCQ是轴对称图形，作AI平分∠BAC交BC于点I，作IK⊥AB于点K，CL⊥AB于点L，则IK=IC，由IKIB=ACAB=sin∠ABC=35，求得IB=53IK=53IC，则IC+53IC=4，求得IC=32，再求得CL=45AC=125，AL=35AC=95，可证明∠BPC=∠CAI，则CLPL=tan∠BPC=tan∠CAI=ICAC=12，所以PL=2CL=245，求得AP=335，则t=335.
此题重点考查勾股定理、旋转的性质、轴对称的性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形，解答本题的关键是熟练运用数形结合与分类讨论数学思想．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2−3x(a是常数)经过点A(3,0)，
∴9a−9=0，
解得：a=1，
∴该抛物线对应的函数表达式为y=x2−3x；
(2)当m=4时，E(4,12)，F(−1,12)，
∴EF//x轴，
∵点P在抛物线y=x2−3x上，PE//y轴，
∴P(4,4)，∠PEF=90∘，
∴EF=4−(−1)=5，PE=12−4=8，
∴tan∠PFE=PEEF=85；
(3)当m≤0时，如图，抛物线不可能在矩形的内部，不符合题意；
当m>0时，如图，
∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，
∴m>0(m−5)2−3(m−5)>m2−3m，
∴0综上所述，m的取值范围为0(4)当x轴将矩形EPQF面积分为1：3时，
若m<0，
则m2−3m=−9m或m2−3m=−m，
∴m=−6；
若0则−(m2−3m)=9m或−(m2−3m)=m，
∴m=2；
若m>3，矩形EPQF位于x轴上方，x轴不可能将矩形EPQF面积分为1：3；
当y轴将矩形EPQF面积分为1：3时，
若m≤0或m≥5，不成立；
若0则m=3(5−m)或3m=5−m，
解得：m=154或m=54；
综上所述，m的值为−6或2或154或54.
【解析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)由题意得E(4,12)，F(−1,12)，则EF//x轴，根据PE//y轴，可得P(4,4)，∠PEF=90∘，利用三角函数定义tan∠PFE=PEEF即可求得答案；
(3)分两种情况：当m≤0时，抛物线不可能在矩形的内部；当m>0时，可得m>0(m−5)2−3(m−5)>m2−3m，解不等式组即可；
(4)分两种情况：当x轴将矩形EPQF面积分为1：3时，当y轴将矩形EPQF面积分为1：3时，分别求得m的值即可．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，矩形的性质，三角函数定义等知识，解题的关键是理解题意，列不等式(组)解决数学问题，属于中考压轴题．