2024年天津市和平区中考数学二模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年天津市和平区中考数学二模试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.估计 37的值在( )
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
2.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”.数据218000000用科学记数法表示为( )
A. 0.218×109B. 2.18×108C. 21.8×102D. 218×106
5.计算(−3)−(−5)的结果等于( )
A. 8B. −8C. 2D. −2
6.若点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)都在反比例函数y=−4x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y37. 32+3tan30∘的值等于( )
A. 7 32B. 3 32C. 3D. 5 36
8.若x1，x2是方程5x−1=4x2的两个根，则( )
A. x1+x2=54，x1x2=14B. x1+x2=54，x1x2=−14
C. x1+x2=−54，x1x2=−14D. x1+x2=−54，x1x2=14
9.化简1a−3−6a2−9的结果是( )
A. 1a+3B. a−3C. a+3D. 1a−3
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP与BC相交于点D，若CD=8，AB=15，则△ABD的面积是( )
A. 120B. 100C. 60D. 30
11.如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，将△ABC以点C为中心顺时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是( )
A. ∠ABC=12∠ADC
B. CB=CD
C. DE+DC=BC
D. AB//CD
12.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点O在线段AC上，且AC⊥BD，AB=5，BC=3，若AC+BD=10.有下列结论：①AC的取值范围是2A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.不透明袋子中装有7个球，其中有3个绿球、4个红球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______.
14.计算：( 7+ 2)( 7− 2)的结果是______.
15.计算(−5a2b)⋅(−3a)=______.
16.若直线y=2x−3a(a为常数)经过点(2,−2)，则它与x轴的交点坐标为______.
17.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，BE=32，作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90∘.
(Ⅰ)CF的长为______；
(Ⅱ)若M为AF的中点，连接DM，则DM的长为______.
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AB是圆的直径，且点A在格点上，圆与网格线相交于点B和点C.
(Ⅰ)∠ACB=______(度)；
(Ⅱ)在AB上找一点P，满足CP⊥AB.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)______.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解不等式组{x−3(x−2)⩽4①4x−1⩽x+8②.
请结合题意填空，完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①，得______；
(Ⅱ)解不等式②，得______；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为______.
20.(本小题8分)
为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了a名学生的实验操作得分(满分为10分)，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)填空：a的值为______，图①中 m的值为______；
(Ⅱ)求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数；
(Ⅲ)根据统计的这组九年级学生的理化生实验操作得分的样本数据，若该校九年级共有800名学生，估计该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数.
21.(本小题10分)
已知AB是半圆O的直径，C是BD的中点.
(Ⅰ)如图①，若∠BAD=40∘，求∠ABC和∠ADC的大小；
(Ⅱ)如图②，过点C作半圆O的切线CM，过点O作OE⊥CD与CM相交于点E，若CD//AB，AB=4，求CE的长.
22.(本小题10分)
综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度.
如图，建筑物DE前有个斜坡AB，已知∠BAH=30∘，AB=12m，A，E，H在同一条水平直线上.
某学习小组在A处测得广告牌底部D的仰角为45∘，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为27∘，广告牌CD=3m.
(Ⅰ)求点B到地面距离BH的长；
(Ⅱ)设建筑物DE的高度为h(单位：m)；
①用含有h的式子表示线段EH的长(结果保留根号)；
②求建筑物DE的高度(tan27∘取0.5， 3取1.7，结果取整数)
23.(本小题10分)
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校7.2km，陈列馆离学校12km.小明从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店，在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆，在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校，回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校.下面图中x表示时间，y表示离学校的距离.图象反映了这个过程中小明离学校的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息，回答下列问题：
(Ⅰ)①填表：
②填空：小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______km/h；
③填空：当小明离学校的距离为3km时，他离开学校的时间为______ h；
④当0≤x≤1.5时，请直接写出小明离学校的距离y关于时间x的函数解析式；
(Ⅱ)当小明到达书店前0.1h时，同学小红从书店出发匀速直接前往陈列馆，如果小红步行的速度为3.2km/h，那么她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是多少？(直接写出结果即可)
24.(本小题10分)
将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点B(6,0)，点D(−3,3 3)，AD与y轴相交于点M，点Q在边AD上(点Q不与点A，D重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与x轴相交于点P，且∠QPB=60∘，点A，B的对应点分别为点A′，B′.
(Ⅰ)如图①，当点B′落在线段OM上时，求∠OB′P的大小和点B′的坐标；
(Ⅱ)设BP=t，纸片折叠后与矩形OCDM的重叠部分的面积为S.
①如图②，若折叠后与矩形OCDM的重叠部分是四边形时，B′P与边OM相交于点E，试用含有t的式子表示B′E的长，并直接写出t的取值范围；
②当92≤t≤10时，求S的取值范围(直接写出结果即可).
25.(本小题10分)
已知抛物线y=−x2−bx+c(b,c为常数，c>0)的顶点为P，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C.直线x=m(m是常数，0(Ⅰ)若b=−2，c=3.
①求点P和点B的坐标；
②若抛物线的对称轴与BC相交于点D，当PD=ME时，求m的值；
(Ⅱ)若点B的坐标为(c,0)，过点M作MN⊥BC，垂足为N，过点N作NF⊥x轴，垂足为F，当直线MN经过点P，且ME=NF，求抛物线的解析式.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵ 36< 37< 49，
∴6< 37<7，
∴ 37的值在6和7之间．
故选：D.
先估算出 37的范围，再得出选项即可．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出 37的范围是解此题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：从正面看，共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、2、1.
故选：A.
根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
本题考查的是几何体简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、C、D的汉字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项的汉字中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】B
【解析】解：将218000000用科学记数法表示为2.18×108.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】C
【解析】解：(−3)−(−5)=−3+5=5−3=2.
故选：C.
根据减去一个数等于加上这个数的相反数，可得答案．
本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：反比例函数y=−4x的k=−4<0，函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵C(2,y3)在第四象限，
∴y3<0，
∵−3<−1，
∴0∴y3故选：C.
根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
7.【答案】B
【解析】解： 32+3tan30∘
= 32+3× 33
= 32+ 3
=3 32.
故选：B.
首先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算加法，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
8.【答案】A
【解析】解：4x2−5x+1=0，
所以x1+x2=−−54=54，x1x2=14.
故选：A.
先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.
9.【答案】A
【解析】解：1a−3−6a2−9
=a+3(a+3)(a−3)−6(a+3)(a−3)
=a+3−6(a+3)(a−3)
=a−3(a+3)(a−3)
=1a+3，
故选：A.
根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．
本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，
即点D到AB的距离为CD的长，
∴点D到AB的距离为8，
∴△ABD的面积=12×15×8=60.
故选：C.
利用基本作图得到AD平分∠BAC，根据角平分线的性质得到点D到AB的距离为CD的长，即点D到AB的距离为8，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
11.【答案】D
【解析】解：由旋转的性质可知，∠BAC=∠EDC=120∘，
∵A，D，E共线，
∴∠ADC=180∘−∠EDC=60∘，
∵CA=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60∘，
∴∠BAE=∠BAC=∠DAC=60∘，
∴∠BAE=∠ADC，
∴AB//CD.
故选：D.
判断出△ADC是等边三角形，可得结论．
本题考查旋转的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，有三角形的三边关系可知，AB−BC∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ACB=12AC×OD+12AC×OB=12AC(OD+OB)=12AC×BD，
又AC+BD=10，
∴BD=10−AC，
∴四边形ABCD的面积=12AC(10−AC)=−12AC2+AC=−12(AC−5)2+252，
当AC=5时，有最大值252，故③正确；
当−12(AC−5)2+252=12时，
−12(AC−5)2=−12，
∴(AC−5)2=1，
∴AC=4或6，
∴AC的长有两个不同的值满足四边形ABCD面积为12.
故②正确，
故选：D.
利用三角形的三边关系可判定①，先表示出S四边形ABCD=−12(AC−5)2+252，再利用二次函数的性质即可判定③，解−12(AC−5)2+252=12的方程，可判定②，进而可得答案．
本题主要考查了三角形的三边关系，解一元二次方程，二次函数的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
13.【答案】37
【解析】解：∵透明袋子中装有7个球，其中有3个绿球、4个红球，
∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率为37，
故答案为：37.
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．随机概率公式是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：原式=7−2，
=5.
故答案为：5
运用平方差公式进行计算二次根式的计算就可以得出结论．
本题考查了运用平方差公式进行二次根式的计算，解答时观察算式的结构选择合适的方法是解答的关键．
15.【答案】15a3b
【解析】【分析】
本题考查了单项式乘以单项式，解决本题的关键是熟记单项式乘以单项式．
根据单项式乘以单项式，即可解答．
【解答】
解：(−5a2b)⋅(−3a)=15a3b，
故答案为：15a3b.
16.【答案】(3,0)
【解析】解：将(2,−2)，代入y=2x−3a，得：4−3a=−2，
解得：a=2，
∴直线的解析式为y=2x−6.
当y=0时，2x−6=0，
解得：x=3，
∴x轴的交点的坐标为(3,0).
故答案为：(3,0).
由点(2,−2)的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=2x−3a是解题的关键．
17.【答案】3 22 5 24
【解析】解：(Ⅰ)过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，如图，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90∘，
∴∠BEA+∠FEG=90∘，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=4，∠B=90∘，
∴∠BAE+∠BEA=90∘，
∴∠BAE=∠FEG.
在△BAE和△GEF中，
∠BAE=∠FEG∠B=∠EGF=90∘AE=EF，
∴△BAE≌△GEF(AAS)，
∴BE=FG=32，AB=EG=4，
∴BE+EC=EC+CG，
∴BE=CG=32.
∵FG⊥BC，
∴FC= CG2+FG2=3 22.
故答案为：3 22；
(Ⅱ)过点M作MH⊥BC于点H，延长HM交AD于点K，如图，
∵AB⊥BC，MH⊥BC，FG⊥BC，
∴AB//MH//FG，
∵M为AF的中点，
∴MH为梯形ABGF的中位线，
∴MH=12(AB+FG)=114，BH=12BG=12(BC+CG)=114.
∵∠DAB=∠B=90∘，MH⊥BC，
∴四边形ABHK为矩形，
∴AK=BH=114，HK=AB=4，∠AKH=90∘，
∴MK=HK−MH=54，DK=AD−AK=54.
∵∠MKD=90∘，
∴DM= MK2+DK2=54 2.
故答案为：5 24.
(Ⅰ)过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质求得FG，再利用勾股定理解答即可；
(Ⅱ)过点M作MH⊥BC于点H，延长HM交AD于点K，利用梯形的中位线定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18.【答案】90 延长AC与网格线相交于点D，即C为AD的中点，连接DB，与网格线相交于点E，即E为BD的中点，连接CE与圆相交于点F，故CE是△ABD的中位线，即CF//AB，取AB与网格线的交点O，即圆心为点O，连接FO并延长与圆相交于点G，即FG为直径，连接CG，即∠GCF=90∘，故CG⊥CF，由于CF//AB，故CG⊥AB，CG与AB相交于点P，即CP⊥AB，则点P即为所求．
【解析】(1)∵AB是圆的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90∘.
(2)如图：
延长AC与网格线相交于点D，即C为AD的中点，
连接DB，与网格线相交于点E，即E为BD的中点，
连接CE与圆相交于点F，
故CE是△ABD的中位线，即CF//AB，
取AB与网格线的交点O，即圆心为点O，
连接FO并延长与圆相交于点G，即FG为直径，
连接CG，即∠GCF=90∘，故CG⊥CF，
由于CF//AB，故CG⊥AB，
CG与AB相交于点P，即CP⊥AB，则点P即为所求．
(1)用直径所对的圆周角为直角可解．
(2)延长AC与网格线相交于点D，即C为AD的中点，连接DB，与网格线相交于点E，即E为BD的中点，故CE是△ABD的中位线，连接CE与圆相交于点F，即CF//AB，取AB与网格线的交点O，即圆心为点O，连接FO并延长与圆相交于点G，即FG为直径，连接CG，即∠GCF=90∘，故CG⊥CF，CG⊥AB，CG与AB相交于点P，则点P即为所求．
本题考查了圆周角，中位线，作图等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键．(
19.【答案】x≥1x≤31≤x≤3
【解析】解：(Ⅰ)解不等式①：去括号得x−3x+6≤4，
移项、合并同类项得−2x≤−2，
解得x≥1.
故答案为：x≥1.
(Ⅱ)解不等式②：移项得4x−x≤8+1，
合并同类项得3x≤9，
解得x≤3.
故答案为：x≤3.
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示．
(Ⅳ)原不等式组的解集为1≤x≤3.
故答案为：1≤x≤3.
(Ⅰ)根据不等式的解法计算即可．
(Ⅱ)根据不等式的解法计算即可．
(Ⅲ)根据不等式①和②的解集直接在数轴上表示即可．
(Ⅳ)根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】40 15
【解析】解：(1)由题意得，a=4÷10%=40.
m%=6÷40×100%=15%，
∴m=15.
故答案为：40；15.
(2)统计的这组学生实验操作得分数据的平均数为(4×6+6×7+11×8+12×9+7×10)÷40=8.3(分).
由条形统计图可知，统计的这组学生实验操作得分数据的众数为9分．
将40名学生的实验操作得分按照从小到大的顺序排列，排在第20和21名学生的得分为8分，8分，
∴统计的这组学生实验操作得分数据的中位数为(8+8)÷2=8(分).
(3)800×(30%+17.5%)=380(人).
∴估计该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数约380人．
(1)用条形统计图中6分的人数除以扇形统计图中6分的百分比可得a的值；用条形统计图中7分的人数除以a的值再乘以100%可得m%，即可得m的值．
(2)根据平均数、众数、中位数的定义计算即可．
(3)根据用样本估计总体，用800乘以扇形统计图中9分和10分的百分比的和，即可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键．
21.【答案】解：(Ⅰ)如图①，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵C是BD的中点．
即CD=CB，
∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=12×40∘=20∘，
∴∠ABC=90∘−20∘=70∘，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180∘−∠ABC=180∘−70∘=110∘；
(Ⅱ)连接OC、OD、BC，如图，
∵CD//AB，
∴∠BAC=∠DCA，
由(Ⅰ)∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴AD=CD，
∴AD=CD=BC，
∴∠AOB=∠DOC=∠BOC=13×180∘=60∘，
∵OE⊥CD，CD//AB，
∴OE⊥AB，
∴∠BOE=90∘，
∴∠COE=30∘，
∵CM为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，
∴∠OCE=90∘，
在Rt△OCE中，∵∠COE=30∘，OC=12AB=2，
∴CE= 33OC=2 33.
【解析】(Ⅰ)如图①，先根据圆周角定理得到∠ACB=90∘，∠BAC=∠DAC=20∘，再利用互余计算出∠ABC=70∘，然后根据圆内接四边形的性质计算出∠ADC的度数；
(Ⅱ)连接OC、OD、BC，如图，先证明∠DAC=∠DCA得到AD=CD，则AD=CD=BC，所以∠AOB=∠DOC=∠BOC=60∘，再证明∠COE=30∘，接着根据切线的性质得到∠OCE=90∘，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出CE的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．
22.【答案】解：(Ⅰ)由题意得：BH⊥AH，
在Rt△ABH中，∠BAH=30∘，AB=12m，
∴BH=12AB=6(m)，
∴点B到地面距离BH的长为6m；
(Ⅱ)①在Rt△ABH中，∠BAH=30∘，
∴AH= 3BH=6 3(m)，
在Rt△ADE中，∠DAE=45∘，DE=hm，
∴AE=DEtan45∘=h(m)，
∴EH=AH+AE=(6 3+h)m，
∴线段EH的长为(6 3+h)m；
②过点B作BF⊥CE，垂足为F，
由题意得：BH=EF=6m，BF=EH=(6 3+h)m，
在Rt△BCF中，∠CBF=27∘，
∴CF=BF⋅tan27∘≈0.5(6 3+h)m，
∵CF+EF=DE，
∴CF+DF=CD+DE，
∴0.5(6 3+h)+6=3+h，
解得：h=6 3+6，
∴DE≈16m，
∴建筑物DE的高度约为16m.
【解析】(Ⅰ)根据题意可得：BH⊥AH，然后在Rt△ABH中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
(Ⅱ)①在Rt△ABH中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AH的长，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
②过点B作BF⊥CE，垂足为F，根据题意可得：BH=EF=6m，BF=EH=(6 3+h)m，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再根据CF+DF=CD+DE，列出关于h的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】或5.125
【解析】解：(Ⅰ)①小明离开学校的时间为0.3h时，离学校的距离是7.20.6×0.3=3.6(km)，
由图象可得小明离开学校的时间为0.8h时，离学校的距离是7.2km；小明离开学校的时间为5h时，离学校的距离是4km；
故答案为：3.6，7.2，4；
②小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为12−45−4.5=16(km/h)；
故答案为：16；
③∵3÷(h)，5+(4−3)÷45.5−5=5.125(h)，
∴当小明离学校的距离为3km时，他离开学校的时间为0.25h或5.125h；
故答案为：0.25或5.125；
④当0≤x≤0.6时，y=；
当0.6当1∴y=12x(0≤x≤0.6)7.2(0.6(Ⅱ)设她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是x km，
根据题意得：x−−7.2(12−7.2)÷0.5+0.1+0.4，
解得x=9.6，
∴她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是9.6km.
(Ⅰ)①小明离开学校的时间为0.3h时，离学校的距离是7.20.6×0.3=3.6(km)，由图象可得小明离开学校的时间为0.8h时，离学校的距离是7.2km；小明离开学校的时间为5h时，离学校的距离是4km；
②小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为12−45−4.5=16(km/h)；
③分两种情况，列式计算即可；
④分三种情况，分别求出解析式即可；
(Ⅱ)设她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是xkm，根据题意可得：x−−7.2(12−7.2)÷0.5+0.1+0.4，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
24.【答案】解：(1)由折叠的性质可得：
∠BPQ=∠QPB=60∘，PB′=PB，
∠OPB′=180∘−∠B′PQ−∠QPB=60∘
∠OB′P=90∘−∠OPB′=30∘，
在Rt△OPB′中，PB=2OP，OB′= 3OP，
∵OB=OP+PB=OP+PB′=3OP=6，
∴OP=2，0B′= 3OP=2 3，
∴点B′的坐标为：B′(0,2 3)；
(2)①∵BP=t，
∴OP=OB−BP=6一t，
由折叠的性质可得：∠B′PQ=∠QPB=60∘，
PB′=PB=t，
∠OPB′=180∘−∠B′PQ−∠QPB=60∘
∠OBP=90∘−∠OPB′=30∘，在Rt△OPE中，
PE=2OP=2(6−t)=12−2t，
OE= 3OP− 3(6−t)=6 3− 3t，
BE=PB′−PE=t−(12−2t)=3t−12
t的取值范围是：5②当t=29时，S=12×32× 32=3 38，
当6≤t≤9时，
S=3×3 3−32(t−6)× 3(t−6)−32(9−t)× 3(9−t)
=− 3(t−152)2+27 34
当t=152时，S为最大值27 34，
故答案为：3 38≤S≤27 34.
【解析】(1)根据折叠的性质和30∘的直角三角形的性质直接求解即可；
(2)①利用Rt△OPE，表示PE，即可求出B′E的长；
②将92≤t≤10代入即可求得．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、角平分线的判定定理、等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理，
25.【答案】解：(Ⅰ)①若b=−2，c=3，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3，
则点P(1,4)，点C(0,3)，
令y=−x2+2x+3=0，
则x=−1或3，
即点A、B的坐标分别为：(−1,0)、(3,0)，
即点P、B的坐标分别为：(1,4)、(3,0)；
②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=−x+3，
则点D(1,2)，则PD=2，
M(m,−m2+2m+3)，则点E(m,−m+3)，
则ME=−m2+2m+3−(−m+3)=2，
解得：m=1(舍去)或2，
即m=2；
(Ⅱ)将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=−c2−bc+c，
则b=1−c或c=1−b，
则点P(c−12,(c+1)24)，
由点B、C(0,c)的坐标知，直线BC的表达式为：y=−x+c，
则∠OCB=∠OBC=45∘=∠NME，
则△MNE、△EHB、△BNF均为等腰直角三角形，
则NF=FB，ME=NF，
设点M(m,−m2−bm+c)，则点E(m,−m+c)，
则ME=−m2−bm+c−(−m+c)=−m2+cm，
则NF=BF=2FH=2BH=2(c−m)=2c−2m，
∵ME=NF，
则ME=NF=MH−EH，
即2c−2m=−m2+cm，
解得：m=2(不合题意的值已舍去)，
即点M(2,3c−6)，
∵BC和x轴负半轴的夹角为45∘，MN⊥BC，
则直线MN和x轴的夹角为45∘，
则直线MN的表达式为：y=x−2+3c−6=x+3c−8，
将点P的坐标代入上式得：(c+1)24=c−12+3c−8，
解得：c=5(舍去)或7，
故抛物线的表达式为：y=−x2+6x+7.
【解析】(Ⅰ)①若b=−2，c=3，则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3，即可求解；
②M(m,−m2+2m+3)，则点E(m,−m+3)，则ME=−m2+2m+3−(−m+3)=PD，即可求解；
(Ⅱ)设点M(m,−m2−bm+c)，则点E(m,−m+c)，则ME=−m2−bm+c−(−m+c)=−m2+cm，则NF=BF=2FH=2BH=2(c−m)=2c−2m，得到ME=NF=MH−EH，求出M(2,3c−6)，进而求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．小明离开学校的时间/h
0.3
0.6
0.8
5
小明离学校的距离/km
______
7.2
______
______