2024年天津市河西区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年天津市河西区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.比2℃低5℃的温度为( )
A. 3℃B. −3℃C. 7℃D. −7℃
2.下列无理数中，大小在2与3之间的是( )
A. 7B. 10C. 17D. 26
3.在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
4.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功.C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为( )
A. 0.186×105B. 1.86×105C. 18.6×104D. 186×103
6.2cs45∘+ 2的值等于( )
A. 1+ 2B. 2C. 2 2D. 2
7.计算xx2−1−1x+1的结果等于( )
A. 1xB. 1x+1C. 1x−1D. 1x2−1
8.若点A(x1,−1)，B(x2,1)C(x3,5)都在反比例函数y=−5x的图象上，则x1，x2，x3大小关系是( )
A. x39.一个矩形，它的长边比短边长6cm，面积为27cm2，则这个矩形的周长为( )
A. 18cmB. 24cmC. 28cmD. 32cm
10.如图，△ABC中，AC=5，BE=4，∠B=45∘，分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；作直线MN，与边AB于点E，则AE的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，将△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，连接BE与AC相交于点F.则下列结论一定正确的是( )
A. ∠ABF=∠ACE
B. ∠ACB=∠D
C. BF=EF
D. BE=BC
12.把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论：
①当AF的长是12cm时，BC的长为8cm；
②这两个正方形的面积之和可以是198cm2；
③这两个正方形的面积之和可以是288cm2.
其中，正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算(m2n)4的结果为______.
14.不透明袋子中装有6个球，其中有1个粉色球和5个蓝色球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是蓝色球的概率为______.
15.计算( 10+ 3)( 10− 3)的结果为______.
16.若点(a,b)在一次函数y=−x+3的图象上，则这个点可以是______(任意写出一个具体的点即可).
17.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接对角线AC、BD，AC=10，BD=8，若E为AB的中点，F为CD的中点，连接EF.
(Ⅰ)四边形ABCD的面积为______；
(Ⅱ)EF的长为______.
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形ABC内接于圆，点A，B均在格点上，点C在格线上，且AB=AC，点D是CB与格线的交点，点E是线段AD与格线的交点.
(Ⅰ)线段BC的长等于______；
(Ⅱ)请分别在边AC，BC上找到点M，N，使得△EMN周长最短，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的(不要求证明)______.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解不等式组：{2x+1>x−3①5x⩽3x+2②.
请结合题意填空，完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①，得______；
(Ⅱ)解不等式②，得______；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(Ⅳ)原不等式组的解集为______.
20.(本小题8分)
在某中学开展的读书活动中，为了解年七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数.根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②.请整根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次接受调查的学生人数为______，图①中 m的值为______；
(Ⅱ)这组数据的众数和中位数分别为______；求统计的这组数据的平均数；
(Ⅲ)根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数.
21.(本小题10分)
在⊙O中，直径BD垂直于弦AC，垂足为E，连接AB，BC，CD，DA.
(Ⅰ)如图①，若∠ABC=110∘，求∠BAE和∠CAD的大小；
(Ⅱ)如图②，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F.若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长.
22.(本小题10分)
为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16∘，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45∘时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1米；参考数据：sin16∘≈0.28，cs16∘≈0.96，tan16∘≈0.29)
23.(本小题10分)
已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，张强从宿舍出发跑步去体育场，在体育场锻炼一阵后又到文具店买笔，然后散步返回宿舍.下面的图象反映了在这个过程中张强离宿舍的距离y(单位：km)与时间x(单位：min)之间的对应关系.
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
②填空：张强从文具店回到家的平均速度为______km/min；
③当40≤x≤60时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
(Ⅱ)当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.08km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？(直接写出结果即可)
24.(本小题10分)
将直角三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点O(0,0)，点A(0,2)，∠ABO=30∘，点C在边OB上(C不与点O，B重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点C，并与边AB交于点D，且∠BCD=60∘，点B的对应点为点E.设BC=t.
(1)如图①，当t=1时，求∠OCE的大小和点E的坐标；
(Ⅱ)如图②，若折叠后重合部分为四边形，CE与OA交于点F，试用含有t的式子表示FE的长，并直接写出t的取值范围；
(Ⅲ)请直接写出折叠后重合部分面积的最大值.
25.(本小题10分)
已知点P是直线l：y=−2x−2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A，B两点(点A在点B的左侧).
(1)若点P的横坐标为−2.
①当直线m//x轴，求A，B两点的坐标；
②当PA=AB时，求A，B两点的坐标；
(Ⅱ)试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA=AB成立.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵2−5=−3(℃)，
∴比2℃低5℃的温度为−3℃.
故选：B.
用2减去5，求出比2℃低5℃的温度即可．
此题主要考查了有理数的减法的运算方法，要明确有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
2.【答案】A
【解析】解：A、∵4<7<9，
∴2< 7<3，符合题意；
B、∵9<10<16，
∴3< 10<4，不符合题意；
C、∵16<17<25，
∴4< 17<5，不符合题意；
D、∵25<26<36，
∴5< 26<6，不符合题意，
故选：A.
根据估算无理数大小的法则解答即可．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【解答】
解：H、I、N是中心对称图形，
所以是中心对称图形的有3个．
故选：B.
【分析】
根据中心对称图形的定义，抓住所给图案的特征，可找出图中成中心对称图形的字母．
此题主要考查了中心对称图形，要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后图形可重合．
4.【答案】C
【解析】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、1.
故选：C.
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】B
【解析】解：将186000用科学记数法表示为：1.86×105.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6.【答案】C
【解析】解：原式=2× 22+ 2
= 2+ 2
=2 2，
故选：C.
利用特殊锐角三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：xx2−1−1x+1
=xx2−1−x−1x2−1
=1x2−1.
故选：D.
首先通分，然后根据同分母分式加减法法则计算即可．
此题主要考查了分式加减法的运算方法，要熟练掌握同分母、异分母分式加减法法则．
8.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=−5x中，k=−5<0，
∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A(x1,−1)在第四象限，
∴x1>0，
∵1<5，
∴x2故选：D.
先确定反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据增减性判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
9.【答案】B
【解析】解：设这个矩形的宽为x cm，则长为(x+6)cm，
根据题意得：x(x+6)=27，
整理得：x2+6x−27=0，
解得：x1=3，x2=−9(不符合题意，舍去)，
∴2(x+6+x)=2×(3+6+3)=24(cm)，
∴这个矩形的周长为24cm.
故选：B.
设这个矩形的宽为xcm，则长为(x+6)cm，根据这个矩形的面积为27cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入2(x+6+x)中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：连接CE，如图，
由作法得MN垂直平分BC，
∴CE=BE=4，
∴∠ECB=∠B=45∘，
∴∠AEC=∠ECB+∠B=90∘，
在Rt△ACE中，∵AC=5，CE=4，
∴AE= 52−42=3.
故选：A.
连接CE，如图，先利用基本作图得到MN垂直平分BC，则根据线段垂直平分线的性质得CE=BE=4，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质计算出∠AEC=90∘，然后利用勾股定理可计算出AE的长．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
11.【答案】D
【解析】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC，
∴BC=CE，∠BCE=60∘，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，
故选：D.
由旋转的性质可得BC=CE，∠BCE=60∘，可得△BCE是等边三角形，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：①当AF的长是12cm时，BC的长是(80−12×4)÷4=8(cm)，结论①正确；
②假设这两个正方形的面积之和可以是198cm2，
设AF的长为x cm，则BC的长为(80−4x)÷4=(20−x)cm，
根据题意得：x2+(20−x)2=198，
整理得：x2−20x+101=0，
∵Δ=(−20)2−4×101=−4<0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是198cm2，结论②不正确；
③假设这两个正方形的面积之和可以是288cm2，
设AF的长为y cm，则BC的长为(80−4y)÷4=(20−y)cm，
根据题意得：y2+(20−y)2=288，
整理得：y2−20y+56=0，
解得：y1=10−2 11，y2=10+2 11，
∵0<10−2 11<10+2 11<20，
∴符合题意，
∴假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是288cm2，结论③正确．
∴正确的结论有2个．
故选：C.
①利用BC的长=(绳子的长度−4×AF的长)÷4，即可求出BC的长；
②假设这两个正方形的面积之和可以是198cm2，设AF的长为xcm，则BC的长为(80−4x)÷4=(20−x)cm，根据这两个正方形的面积之和是198cm2，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=−4<0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是198cm2；
③假设这两个正方形的面积之和可以是288cm2，设AF的长为ycm，则BC的长为(80−4y)÷4=(20−y)cm，根据这两个正方形的面积之和是288cm2，解之可得出y的值，结合0<10−2 11<10+2 11<20，可得出假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是288cm2.
本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】m8n4
【解析】解：原式=m8n4.
故选：m8n4.
根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14.【答案】56
【解析】解：∵不透明袋子中装有6个球，其中有1个粉色球和5个蓝色球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是蓝色球的概率为56.
故答案为：56.
利用概率公式直接求解即可．
本题主要考查概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
15.【答案】7
【解析】解：原式=( 10)2−( 3)2
=10−3
=7.
故答案为：7.
利用平方差公式进行计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算及平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．
16.【答案】(1,2)(答案不唯一)
【解析】解：∵点(a,b)在一次函数y=−x+3的图象上，
∴−a+3=b，即a+b=3，
点的坐标满足纵横坐标之和为3就符合题意，
不妨取(1,2).
故答案为：(1,2)(答案不唯一).
根据一次函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键．
17.【答案】40 41
【解析】解：(Ⅰ)如图，BD交AC于点O，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC垂直平分BD，
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC=12AC⋅OB+12AC⋅OD=12AC(OB+OD)=12AC⋅BD，
∵AC=10，BD=8，
∴四边形ABCD的面积=12×10×8=40，
故答案为：40；
(Ⅱ)取BC的中点M，连接EM、FM，
∵E为AB的中点，F为CD的中点，
∴EM、FM分别是△ABC、△BCD的中位线，
∴EM//AC，EM=12AC=5，FM//BD，FM=12BD=4，
∵AC⊥BD，
∴EM⊥FM，
∴EM2+FM2=EF2，
∴EF2=52+42=41，
∴EF= 41(负值已舍)，
故答案为： 41.
(Ⅰ)根据线段垂直平分线的判定定理推出AC垂直平分BD，再根据四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC=12AC⋅OB+12AC⋅OD=12AC(OB+OD)=12AC⋅BD求解即可；
(Ⅱ)取BC的中点M，连接EM、FM，根据三角形中位线的判定与性质求出EM//AC，EM=12AC=5，FM//BD，FM=12BD=4，结合AC⊥BD，求出EM⊥FM，再根据勾股定理求解即可．
此题考查了勾股定理、三角形中位线定理，熟练运用勾股定理、三角形中位线定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
18.【答案】2 3 连结BE并延长交圆于点F，延长AD交圆于点G，连结FG交AC于点M，交BC于点N，则M，N点即为所求
【解析】解：(Ⅰ)如图，过点C作CH⊥⊥AB于点H.
∵AC=AB=3，AH=1，
∴CH= AC2−AH2= 32−12=2 2，
∴BC= CH2+BH2= (2 2)2+22=2 3.
故答案为：2 3
(Ⅱ)连结BE并延长交圆于点F，延长AD交圆于点G，连结FG交AC于点M，交BC于点N，则M，N点即为所求．
故答案为：连结BE并延长交圆于点F，延长AD交圆于点G，连结FG交AC于点M，交BC于点N，则M，N点即为所求．
(Ⅰ)如图，过点C作CH⊥⊥AB于点H.利用勾股定理求出CH，再利用勾股定理求出BC；
(Ⅱ)连结BE并延长交圆于点F，延长AD交圆于点G，连结FG交AC于点M，交BC于点N，则M，N点即为所求．
本题考查作图-复杂作图，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】x>−4x≤1−4【解析】解：(Ⅰ)解不等式①，得：x>−4；
故答案为：x>−4；
(Ⅱ)解不等式②，得：x≤1；
故答案为：x≤1；
(Ⅲ)在数轴上表示为：
(Ⅳ)原不等式组的解集为：−4故答案为：−4分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】40 25 3和3
【解析】解：(Ⅰ)本次接受调查的学生人数为：4÷10%=40(人)，
m%=1040×100%=25%，
即图①中的m的值是25，
故答案为：40，25；
(Ⅱ)平均数：x−=1×4+2×8+3×15+4×10+5×340=3(册)，
∵3出现的次数最多，
∴众数是3册，
被抽查的40个学生读书册数从小到大排列，排在第20和21位的两个数分别为3，
故中位数是3册．
即本次调查获取的样本数据的平均数是3册、众数是3册、中位数是3册．
故答案为：3，3；
(Ⅲ)∵3×400=1200，
∴根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数为1200册．
(Ⅰ)由两个统计图可知，读书1册的有4人，占调查人数的10%，可求出调查人数；进而求出读书4册的人数的所占的百分比，确定m的值；
(Ⅱ)根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；
(Ⅲ)样本估计总体，计算样本读书的总数，估计总体即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：(Ⅰ)∵直径BD⊥AC于E点，
∴AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=12×110∘=55∘，
∴∠CAD=∠CBD=55∘，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90∘，
∴∠BAE=90∘−∠CAD=90∘−55∘=35∘；
(Ⅱ)连接OC，如图②，
∵BD⊥AC，
∴AE=CE，
即BD垂直平分AC，
∴DA=DC，
又∵AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=∠CAD=60∘，
∴∠FBC=∠ADC=60∘，∠CBD=∠CAD=60∘，
又∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=OC，∠BCO=60∘.
∵FC切⊙O于点C，
∴OC⊥FC，
∴∠FCO=90∘，
∴∠FCB=90∘−∠BCO=90∘−60∘=30∘，
∴∠F=180∘−∠FBC−∠FCB=180−60∘−30∘=90∘，
∴BC=2BF=4.
∴OC=BC=4，
即⊙O半径为4.
【解析】(1)先利用垂径定理得到AD=CD，再根据圆周角定理得到∠ABD=∠CBD=12∠ABC=55∘，所以∠CAD=∠CBD=55∘，然后利用BD为直径得到BAD=90∘，则利用互余可计算∠BAE的度数；
(Ⅱ)连接OC，如图②，利用垂径定理得到AE=CE，则BD垂直平分AC，所以DA=DC，于是可判断△ACD是等边三角形得到∠ADC=∠CAD=60∘，根据圆周角定理得到∠FBC=∠ADC=60∘，∠CBD=∠CAD=60∘，接着证明△BOC是等边三角形得到BC=OC，∠BCO=60∘，然后根据切线的性质得到∠FCO=90∘，所以∠FCB=30∘，则∠F=90∘，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出BC即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理．
22.【答案】解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：
在Rt△ABT中，
BT=AB⋅sin∠BAT=5×sin16∘≈1.4(米)，AT=AB⋅cs∠BAT=5×cs16∘≈4.8(米)，
∵∠ATC=∠C=∠CKA=90∘，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK=AT=4.8米，AK=CT=BC−BT=4−1.4=2.6(米)，
在Rt△AKD中，
∵∠ADK=45∘，
∴DK=AK=2.6米，
∴CD=CK−DK=4.8−2.6=2.2(米)，
∴阴影CD的长约为2.2米．
【解析】过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，在Rt△ABT中，BT=AB⋅sin∠BAT=1.4(米)，AT=AB⋅cs∠BAT≈4.8(米)，可得CK=AT=4.8米，AK=CT=BC−BT=4−1.4=2.6(米)，而∠ADK=45∘，知DK=AK=2.6米，故CD=CK−DK=4.8−2.6=2.2米．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
23.【答案】
【解析】解：(Ⅰ)①张强从宿舍出发跑步去体育场过程中的速度为1.2÷10=0.12(km/min)，则张强离开宿舍1min时离开宿舍的距离为0.12×1=0.12(km)；
当x=30时，y=1.2；当x=55时，y=0.6.
故答案为：0.12，1.2，0.6.
②张强从文具店回到宿舍的平均速度为0.6÷(80−60)=0.03(km/min).
故答案为：0.03.
③当40≤x≤50时，设y关于时间x的函数解析式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0).
将坐标(40,1.2)和(50,0.6)分别代入y=kx+b，
得40k+b=1.250k+b=0.6，
解得k=−0.06b=3.6，
∴y=−0.6x+3.6；
当50综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y=−0.6x+3.6(40≤x≤50)0.6(50(Ⅱ)40+15=55(min)，即当x=55时李明从体育场出发匀速步行直接回宿舍；
李明从体育场到宿舍所用的时间为1.2÷0.08=15(min)，
55+15=70(min)，即当x=70时李明从体育场到达宿舍，
∴李明从体育场回宿舍的过程中离宿舍的距离y关于时间x的函数图象如图所示：
当60≤x≤80时，设张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y=k1x+b1(k1、b1为常数，且k1≠0).
将坐标(60,0.6)和(80,0)分别代入y=k1x+b1，
得60k1+b1=0.680k1+b1=0，
解得k1=−0.03b1=2.4，
∴y=−0.03x+2.4；
当55≤x≤70时，设李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y=k2x+b2(k2、b2为常数，且k2≠0).
将坐标(55,1.2)和(70,0)分别代入y=k2x+b2，
得55k2+b2=1.270k2+b2=0，
解得k2=−0.08b2=5.6，
∴y=−0.08x+5.6.
当李明在回宿舍的途中遇到张强时，得y=−0.03x+2.4y=−0.08x+5.6，解得x=64y=0.48，
∴他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是0.48km.
(Ⅰ)①根据“速度=路程÷时间”求出张强从宿舍出发跑步去体育场过程中的速度，再根据“路程=速度×时间”求出他离开宿舍1min时离开宿舍的距离；根据函数图象，x=30和x=55分别对应的y的值即为所求；
②根据“速度=路程÷时间”作答即可；
③当40≤x≤50时，利用待定系数法求出y关于时间x的函数解析式；当50(Ⅱ)根据题意，求出李明何时从体育场出发匀速步行直接回宿舍；根据“时间=路程÷速度”求出李明何时从体育场到达宿舍；据此作出李明从体育场回宿舍的过程中离宿舍的距离y关于时间x的函数图象，利用待定系数法分别求出当60≤x≤80时张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式和当55≤x≤70时李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式，求出两函数图象交点的纵坐标即可．
本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程三者之间的数量关系并灵活运用是本题的关键．
24.【答案】解：(Ⅰ)在Rt△ABO中，点A(0,2)，∠ABO=30∘，
∴OA=2，OB=OAtan∠ABO=2 3，
过点E作作EM⊥OB于点M，如图，
根据题意，由折叠可知：△BCD≌△ECD，
∴EC=BC=1，∠CEB=∠CBA=30∘，
∴∠ECD=∠BCD=60∘，
∴∠ECO=180∘−∠ECD−∠BCD=60∘，
∴在Rt△ECM中，CM=12CE=12，
∴EM= CE2−CM2= 32.
∴OM=OB−BC−CM=2 3−1−12=2 3−32，
∴点E的坐标为(2 3−32, 32)；
(Ⅱ)∵EC=BC=t，
∴OC=2 3−t，
在Rt△FCO中，
∵∠FCO=60∘，
∴∠OFC=30∘，
∴FC=2⋅CO=4 3−2t.
∴EF=EC−FC=t−(4 3−2t)=3t−4 3.
当点E与点A重合时，如图，
∵∠CEB=∠CBA=30∘，∠OAB=60∘，
∴此时∠CAO=30∘，
∴OC=12CA=12CE=12CB=12t，
∴2 3−t=12t，
∴t=4 33.
∴折叠后重合部分为四边形，t的取值范围为4 33(Ⅲ)①当0由题意：△CDE≌△CDB，
∴折叠后重合部分的面积=12CD⋅DB=12×12t× 32t= 38t2，
∴当t=4 33时，折叠后重合部分面积最大，最大值为2 33；
②当4 33过点E作EH⊥OA于点H，如图，
由(2)知：EF=3t−4 3，
∴EH=12EF=3t−4 32.
∵OF= 3OC= 3(2 3−t)，
∴AF=OA−OF= 3t−4，
∴S△AEF=12AF⋅EH=12( 3t−4)×3t−4 32=3 34t2−6t+4 3.
∴折叠后重合部分面积=S△CDE−S△AEF
= 38t2−(3 34t2−6t+4 3)
=−5 38t2+6t−4 3，
=−5 38(t−8 35)2+4 35.
∵−5 38<0，
∴当t=8 35时，折叠后重合部分面积有最大值为4 35.
∵2 33<4 35，
∴折叠后重合部分面积的最大值为4 35.
【解析】(Ⅰ)利用点的坐标得出线段OA的长度，利用含30∘角的直角三角形的性质求得AB，OB，过点E作作EM⊥OB于点M，通过计算得到先算EM，OM的长度解答即可；
(Ⅱ)利用含30∘角的直角三角形的性质解答即可得出结论；通过计算当点E与点A重合时的t值即可求得t的取值范围；
(Ⅲ)利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当0本题主要考查了直角三角形的性质，平面直角坐标系，点的坐标的特征，折叠的性质，含30∘角的直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的应用，配方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
25.【答案】(Ⅰ)解：∵点P是直线l：y=−2x−2上的点，其横坐标为−2，
∴y=−2×(−2)−2=2.
∴P(−2,2)，
①当直线m//x轴时，
∵直线m经过点P交抛物线y=x2于A，B两点，
∴点A，B的纵坐标为2.
则2=x2，
解得：x=± 2，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为(− 2,2)，点B的坐标为( 2,2)；
②当PA=AB时，
分别过点P，A，B作x轴的垂线，垂直分别为点Q，E，F，
则BF//AE//PQ，
则QE=EF.
设点A(m,m2)、B(p,p2)，
∴m=−2+p2，
整理得：p=2m+2.
同理，m2=2+p22，有p2=2m2−2
∴2m2−2=(2m+2)2，
即m2+4m+3=0，
解得：m=−1或−3(舍去)，
则m=−1，p=2m+2=0.
∴点A的坐标为(−1,1)，点B的坐标为(0,0)；
(Ⅱ)证明：如图，分别过点P，A，B作x轴的垂线，垂直分别为点Q，E，F，
则BF//AE//PQ，
由PA=AB，得QE=EF.
设点P(a,−2a−2)，
点A(m,m2)，点B(p,p2)
有m=a+p2，
∴p=2m−a.
同理，m2=−2a−2+p22，
∴p2=2m2+2a+2，
∴2m2+2a+2=(2m−a)2，
整理得关于m的一元二次方程2m2−4am+a2−2a−2=0，
其中Δ=16a2−8(a2−2a−2)=8a2+16a+16=8(a+1)2+8>0，
∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数解，
即对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都存在点A，使PA=AB成立．
【解析】(Ⅰ)①当直线m//x轴时，得到点A，B的纵坐标为2.即可求解；
②当PA=AB时，得到QE=EF.即可求解；
(Ⅱ)由PA=AB，得QE=EF，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．张强离开宿舍的时间/min
1
10
30
55
张强离宿舍的距离/km
______
1.2
______
______