2024年天津市部分区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年天津市部分区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(−2)+7的结果等于( )
A. 9B. −9C. −5D. 5
2.估算 10的值在( )
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
3.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.2024年2月2日是第28个世界湿地日，近年来，我国不断强化湿地保护，并规划将11000000公顷湿地纳入国家公园体系，数据11000000用科学记数法表示应为( )
A. 0.11×108B. 1.1×107C. 11×106D. 110×105
6.tan60∘−2 3的值等于( )
A. 12B. 22C. − 3D. 32
7.化简4x+2+x−2的结果是( )
A. 1B. x2x2−4C. xx+2D. x2x+2
8.若点A(2,y1)，B(3,y2)，C(−1,y3)都在反比例函数y=2x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y3>y2>y1D. y1>y3>y2
9.若一元二次方程x2−5x−1=0的两个实数根是x1和x2，则( )
A. x1+x2=5B. x1+x2=−5C. x1+x2=−1D. x1+x2=1
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于P，Q两点，直线PQ分别交AB，AC于点D，E，连接CD，则下列结论一定正确的是( )
A. DE=12AE
B. DE=12BC
C. AB=2BC
D. AC=2CD
11.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E落在CB的延长线上，连接BD，BD=10，DE=6，CE=14，则AE的长为( )
A. 7
B. 7 2
C. 8
D. 10
12.已知等边三角形ABC的边长为3，D为BC边上的一点(点D不与点B，C重合)，过D点作AB边的垂线，交AB于点G，用x表示线段AG的长度，y表示Rt△GBD的面积，有下列结论：①32A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算a2⋅a6的结果等于______.
14.不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、7个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______.
15.计算( 3−1)2的结果等于______.
16.请写出一个经过点(0,1)，且y随x的增大而增大的一次函数的表达式______.
17.如图，E是正方形ABCD对角线上一点，过点E作DE的垂线，交BC于点F，以DE，EF为边作矩形DEFG，连接CG，CG=3 2.
(1)AE的长为______；
(2)若AB=9，则DE的长为______.
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点C为以AB为直径的半圆弧的中点.
(1)∠CAB的大小等于______(度)；
(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB为直径的半圆的圆心O，简要说明点O的位置是如何找到的(不要求证明)______.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解不等式组{2x−1⩾x−3①3x−5⩽x−1②.
请结合题意填空，完成本题的解答.
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______.
20.(本小题8分)
为激发学生对中华诗词的学习兴趣，某初中学校组织了“诗词好少年”比赛，现随机抽取了部分学生的成绩，根据统计的结果，绘制出如下统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次抽取的学生人数为______，图①中 m的值为______；
(2)求统计的这组学生成绩数据的平均数、众数和中位数.
21.(本小题10分)
已知AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，E为AC上一点，BE与CD交于点F.
(1)如图①，若E为AC的中点，连接OE，求∠ABE和∠OAE的大小；
(2)如图②，过点E作⊙O的切线，分别与BA，DC的延长线交于点G，H，若⊙O的半径为6，EH=8，求BF的长.
22.(本小题10分)
为丰富群众文化生活，某公园修建了露天舞台，在综合与实践活动中，要利用测角仪测量背景屏幕最高点C离地面高度.如图，已知舞台台阶AB=5m，∠BAD=24∘，某学习小组在舞台边缘B处测屏幕最高点C的仰角∠CBF=45∘，在距离B点2m的E处测得屏幕最高点C的仰角∠CEF=60∘，已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且A，G，D三点在同一直线上，B，E，F三点在同一直线上.参考数据：sin24∘取0.4， 3取1.7.
(1)求BG的长(结果保留整数)；
(2)求最高点C离地面的高度CD的长(结果保留整数).
23.(本小题10分)
九河下梢，芳华天津.小明利用假期来到美丽的天津，已知他入住的酒店、文创馆、某老字号糕点店依次在同一条直线上，糕点店离酒店1.5km，文创馆离酒店2.5km.小明从酒店骑共享单车10min到文创馆，在那里逛了20min后返回，匀速步行了15min到糕点店买糕点，在糕点店停留了10min后，散步30min返回酒店.给出的图象反映了这个过程中小明离开酒店的距离y km与小明离开酒店的时间xmin之间的对应关系.
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
②填空：小明从糕点店返回酒店的速度为______km/min；
③当10≤x≤45时，请直接写出小明离酒店的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)当小明离酒店2km时，请直接写出他离开酒店的时间.
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90∘，点A(5,0)，点B在第一象限，点P在边OA(点P不与点O，A重合)，过点P作PQ⊥OA，交△OAB的直角边于点Q，将线段QP绕点Q逆时针旋转90∘得到线段QM，点P的对应点为M，连接PM.
(1)如图①，若点M落在AB上，点B的坐标是______，点 M的坐标是______；
(2)设△PQM与△OAB重合部分面积为S，OP=t.
①如图②，若重合部分为四边形PQEF，与边AB交于点E，F，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当1≤t≤4时，求S的取值范围.(请直接写出结果即可)
25.(本小题10分)
抛物线y=−x2+bx+c(b,c为常数，c>0)顶点为P，与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，直线l过点C且平行于x轴，M为第一象限内直线l上一动点，N为线段BC上一动点.
(1)若b=2，c=3.
①求点P和点A，B的坐标；
②当点M为直线l与抛物线的交点时，求MN的最小值；
(2)若B(c,0)，BN=CM，且ON+BM的最小值等于4 3时，求b，c的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：(−2)+7=5.
故选：D.
根据有理数的加法法则进行解题即可．
本题考查有理数的加法，掌握运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵ 9< 10< 16，
∴3< 10<4，
即 10在3和4之间．
故选：C.
根据二次根式的性质得出 9< 10< 16，即可求出答案．
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是确定出 10的范围，题目比较典型，难度不大．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】
解：从正面看有两列，左列底层一个小正方形，右列三个小正方形．
故选D.
4.【答案】A
【解析】解：B、C、D的汉字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
A选项的汉字中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5.【答案】B
【解析】解：11000000=1.1×107.
故选：B.
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：原式= 3−2 3
=− 3.
故选：C.
计算出结果判断即可．
本题考查实数的运算，正确记忆运算法则是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：原式=4x+2+(x−2)(x+2)x+2
=4+x2−4x+2
=x2x+2，
故选：D.
利用分式的加法法则进行计算即可．
本题考查分式的加法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8.【答案】A
【解析】解：∵k=2>0，
∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，
根据A，B，C点横坐标，可知点A，B在第一象限，C在第三象限，
∴y3故选：A.
根据k>0，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：一元二次方程x2−5x−1=0的两个实数根是x1和x2，
∴x1+x2=−−51=5，
故选：A.
利用根与系数关系求解．
本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握根与系数的关系定理．
10.【答案】B
【解析】解：由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确，
∴DA=DC，AE=EC，
∴∠A=∠DCA，
∵∠ACB=90∘，
∴∠A+∠B=90∘，∠DCB+∠DCA=90∘，
∴∠B=∠DCB，
∴DB=DC，
∴AD=DB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
故A、C、D不符合题意，B符合题意；
故选：B.
根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可．
本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】B
【解析】解：由题知，
∵△ADE由△ABC绕点A顺时针旋转得到，
∴△ADE≌△ABC，
∴AE=AC，∠AED=∠C，
∴∠AEC=∠C，
∴∠AED=∠AEC.
又∵BD=10，DE=6，CE=14，
∴CB=DE=6，
∴BE=14−6=8.
则BD2=BE2+DE2，
∴△BDE是直角三角形，且∠DEB=90∘，
∴∠AEB=45∘，
∴∠C=∠AEC=45∘，
则△AEC是等腰直角三角形，
∴AE=EC 2=7 2.
故选：B.
根据旋转的性质得出△ADE与△ABC全等，利用全等三角形的性质及等边对等角可出∠AEC=45∘，进而得出△AEC是等腰直角三角形，据此可解决问题．
本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质及巧用勾股定理逆定理是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：①过点C作CE⊥AB于E，如下图所示：

∵△ABC为等边三角形，且边长为3，
∴AB=3，AE=12AB=32，∠B=60∘，
∵D为BC边上的一点(点D不与点B，C重合)，DG⊥AB于G，
∴AE∴32故结论①正确；
②∵AB=3，AG=x，
∴GB=AB−AG=3−x，
又∵∠B=60∘，DG⊥AB于G，
∴∠GDB=30∘，
∴DB=2GB=2(3−x)，
故结论②不正确；
③在Rt△GBD中，GB=3−x，DB=2(3−x)，
由勾股定理得：DG= DB2−GB2= 3(3−x)，
∴y=12GB⋅DG=12(3−x)× 3(3−x)= 32(3−x)2，
故结论③正确．
综上所述：正确的结论由①③，共2个．
故选：C.
①过点C作CE⊥AB于E，根据等边三角形的性质得AE=3/2，AE②根据AB=3，AG=x得GB=3−x，证∠GDB=30∘，则DB=2GB=2(3−x)，据此可对结论②进行判断；
③根据GB=3−x，DB=2(3−x)，由勾股定理得DG= 3(3−x)，然后根据三角形的面积求出y即可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质，以及三角形的面积公式是解决问题的关键．
13.【答案】a8
【解析】解：原式=a2+6
=a8，
故答案为：a8.
根据同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，进行计算即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则．
14.【答案】29
【解析】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、7个绿球，这些球除颜色外无其他差别，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是29.
故答案为：29.
用红球的个数除以球的总个数即可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15.【答案】4−2 3
【解析】解：原式=3−2 3+1
=4−2 3.
故答案为4−2 3.
利用完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16.【答案】y=x+1(答案不唯一)
【解析】解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵函数经过点(0,1)，
∴b=1，
∵一次函数的函数值y随自变量x增大而增大，
∴k>0，
∴符合要求的一次函数的表达式可以是y=x+1，
故答案为：y=x+1(答案不唯一).
设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，再把(0,1)代入求出b的值，根据y随x的增大而增大确定出k的取值范围，进而可得出结论．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
17.【答案】3 2 3 5
【解析】解：(1)过点E作EM⊥DC点M，EN⊥BC于点 N，
∴∠ENF=∠EMD=90∘.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠ACB=∠BCD=90∘，
∴EN=EM，∠NEM=90∘.
∴EF⊥DE，
∴∠FED=90∘.
∴∠NEF=∠MED，
∴△NEF≌△MED(ASA).
∴EF=DE，
矩形DEFG是正方形．
∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDG=90∘.
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90∘，
∴∠CDG=∠ADE.
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG.
∵CG=3 2.
∴AE=3 2；
故答案为：3 2；
(2)如图，连接EG，
由(1)可知AE=CG，∠DAE=∠DCG=45∘.
∵∠ACD=45∘，
∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=90∘.
∴CE⊥CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC=9 2.
∵CG=3 2，所以CE=6 2，
∴EG= CE2+CG2=3 10，
∴DE=3 5.
故答案为：3 5.
(1)过点E作EM⊥DC点M，EN⊥BC于点 N，通过证明△NEF≌△MED(ASA)，可判断矩形DEFG是正方形．再利用正方形的性质证明△ADE≌△CDG(SAS)，即可得出结论；
(2)连接EG，利用正方形的性质可证CE⊥CG，再利用勾股定理即可得到相关结果．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确记忆相关内容是解题关键．
18.【答案】45 取圆上两个格点M，N，再作MN的垂直平分线EF与AB的交点即为圆心O
【解析】解：(1)连接BC，如图1，
∵点C为以AB为直径的半圆弧的中点，
∴CA=CB，∠ACB=90∘
∴∠CAB=45∘，
故答案为：45；
(2)取圆上两个格点M，N，再作MN的垂直平分线EF与AB的交点即为圆心O，依据垂径定理可知，O即为圆心，
如图2：
理由：∵EM=MF=FN=NE= 1+42= 17，
∴四边形EMFN是菱形，
∴EF垂直平分MN，
EF与直径AB的交点O为圆心．
故答案为：取圆上两个格点M，N，再作MN的垂直平分线EF与AB的交点即为圆心O.
(1)连接BC，证明△ABC是等腰直角三角形即可得到∠CAB=45∘；
(2)取圆上两个格点M，N，再作MN的垂直平分线EF与AB的交点即为圆心O.
本题考查作图-复杂作图，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】x≥−2x≤2−2≤x≤2
【解析】解：(1)解不等式①，得x≥−2；
(2)解不等式②，得x≤2；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为−2≤x≤2，
故答案为：x≥−2，x≤2，−2≤x≤2.
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】50 28
【解析】解：(1)抽取的学生人数=7÷14%=50(人)，m%=1450×100%=28%，
∴m=28.
故答案为：50，28；
(2)∵x−=60×7+70×12+80×11+90×14+100×650=80，
∴这组数据的平均数为80.
∵这组数据中，90出现了14次，出现的次数最多，
∴这组数据是众数是90，
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间位置的两个数都是80，80+802=80，
∴这组数据的中位数为80.
(1)用成绩为60的人数以及百分比求出总人数，再根据百分比的定义求解即可；
(2)根据平均数，众数，中位数的定义求解即可．
本题考查的是条形统计图和扇形图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到信息是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴∠AOC=90∘，
∵E为AC的中点，
∴∠AOE=∠COE=12∠AOB=45∘，
∴∠ABE=12∠AOE=22.5∘.
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=180∘−∠AOE2=67.5∘.
(2)连接OE，如图，
∵GH为⊙O的切线，
∴OE⊥GH，
∴∠OEH=90∘，
∴OH= OE2+EH2= 62+82=10.
∵AB⊥CD，
∴∠BOF=90∘，
∴∠B+∠OFB=90∘，
∵OE=OB，
∴∠B=∠OEB，
∴∠OEB+∠OFB=90∘.
∵∠OEB+∠FEH=90∘，
∴∠FEH=∠OFB.
∵∠OFB=∠EFH，
∴∠FEH=∠EFH，
∴HF=EH=8，
∴OF=OH−HF=2，
∴BF= OB2+OF2= 62+22=2 10.
【解析】(1)利用垂直的定义，圆周角定理和三角形的内角和定理解答即可；
(2)连接OE，利用圆的切线的性质，勾股定理求得线段OH的长度，利用同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质和对顶角的性质得到∠FEH=∠EFH，则HF=EH=8，再利用勾股定理解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22.【答案】解：(1)在Rt△ABG中，
∵AB=5m，∠BAD=24∘，
∴BG=AB⋅sin∠BAD=5×sin24∘≈2(m)，
答：BG的长约为2m；
(2)在Rt△BCF中，
∵∠CBF=45∘，
∴BF=CF，
在Rt△CEF中，
∵∠CEF=60∘，
∴EF=CFtan60∘= 33CF，
∵BF−EF=BE=2m，
∴CF− 33CF=2m，
∴CF≈5(m)，
由题意，知BFDG是矩形，
∴FD=BG=2m，
∴CD=CF+DF=5+2=7(m)，
答：最高点C离地面的高度CD的长约为7m.
【解析】(1)在Rt△ABG中，利用三角函数即可求出BG的长；
(2)用CF表示BF，EF，从而可用CF表示BE，关键BE=2m列方程求出CF，再根据CD=CF+DF=CF+BG求出CD的长．
本题考查解直角三角形-仰角俯角问题．理解题意，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：(1)①由题图可知，
当0≤x≤10时，y与x成正比例函数关系，设y=kx，
将点(10,2.5)代入得2.5=10k，
解得：k=0.25，
∴y=0.25x(0≤x≤10)，
当x=7时，y=1.75；
当10≤x≤30时，y=2.5，
∴当x=25时，y=2.5；
当55≤x≤85时，y与x成一次函数关系，设y=mx+n，
将点(55,1.5)，(85,0)代入得1.5=55m+n0=85m+n，
解得：m=−0.05n=4.25，
∴y=−0.05x+4.25(55≤x≤85)，
∴当x=60时，y=−0.05×60+4.25=1.25.
故答案为：1.75，2.5，1.25.
②由题图可得小明从糕点店返回酒店的速度为1.5−085−55=0.05(km/min).
故答案为：0.05.
③由题图可知，
当10≤x≤30时，y=2.5；
当30将点(30,2.5)，(45,1.5)代入得2.5=30a+b1.5=45a+b，
解得：a=−115b=4.5，
∴y=−115x+4.5(30综上，y=2.5(10≤x≤30)−115x+4.5(30(2)由(1)可知y=0.25x(0≤x≤10)，y=−115x+4.5(30当0≤x≤10时，0.25x=2，解得：x=8；
当30∴当小明离酒店2km时，他离开酒店的时间为8min或37.5min.
(1)①结合所给图象，利用待定系数法求出对应时段的函数解析式，即可求解；
②根据题图，利用速度=路程÷时间求解即可；
③结合所给图象，利用待定系数法求出对应时段的函数解析式即可．
(2)由题图可知，当y=2时，x可能在0∼10，也可能在30∼45，于是分情况列出方程求解即可．
本题主要考查函数与图象、用待定系数求一次函数的解析式、一次函数的应用，根据所给图象，正确提取出解题所需信息是解题关键．
24.【答案】(52,52)(103,53)
【解析】解：过点B作BG⊥OA于点G，过点M作MN⊥OA于点N，如图，
∵△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90∘，
∴BG=OG=GA=12OA.
∵点A(5,0)，
∴OA=5，
∴BG=OG=52.
∴B(52,52).
设OP=x，则PQ=QM=x，
∵PQ⊥OA，QM⊥PQ，
∴△PQM为等腰直角三角形，
∴PM= 2x.
∵QM//PO，OP=QM，
∴四边形OPMQ为平行四边形，
∴PM//OB，
∴∠MPA=∠BOA=45∘，
∴△PMA为等腰直角三角形，
∴AP= 2PM=2x，
∴OA=OP+PA=3x=5，
∴x=53.
∵PQ⊥OA，QM⊥PQ，MN⊥OA，
∴四边形PQMN为矩形，
∵PQ=MQ，
∴四边形PQMN为正方形，
∴PN=PQ=MN=53，
∴ON=103.
∴M(103,53).
故答案为：(52,52)；(103,53)；
(2)①当53∵OP=t，
∴PA=5−t.
由(1)知：四边形OQMP为平行四边形，△PQM为等腰直角三角形，
∴PQ=QM=t，PM= 2PQ= 2t.
∵△PFA为等腰直角三角形，
∴PF=FA= 22PA= 22(5−t)，∠PFA=90∘，
∴∠MFE=90∘，
∴△EFM为等腰直角三角形，
∴EF=FM=PM−PF= 2t− 22(5−t)=3 22t−5 22，
∴S=S△PQM−S△MEF
=12PQ⋅QM−12EF⋅FM
=12t2−12(3 22t−5 22)2
=−74t2+152t−254.
∴用含t的式子表示S=−74t2+152t−254，t的取值范围为53②当1≤t≤53时，△PQM与△OAB重合部分面积为△PQM的面积，
∴S=12t2，
当t=1时，S=12，当t=53时，S=2518；
当53∴当t=157时，S的最大值为2514；
当52≤t≤4时，如图，
△PQM与△OAB重合部分面积为△PQL的面积，
由题意：△PQA，△PQL为等腰直角三角形，PA=5−t，
∴PQ=5−t，
∴PL= 22PQ= 22(5−t)，
∴S=12PL⋅QL=12×[ 22(5−t)]2=14(5−t)2，
当t=52时，S=2516，当t=4时，S=14.
综上，当1≤t≤4时，S的取值范围14≤S≤2514.
(1)过点B作BG⊥OA于点G，过点M作MN⊥OA于点N，利用等腰直角三角形的性质得到BG=OG=52，则点B坐标可求；设OP=x，则PQ=QM=x，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质求得线段MN，ON的长度即可得出结论；
(2)①当53②利用分类讨论的思想方法求得当1≤t≤4时，S与t的函数解析式，并求出对应的极值，综合解答过程即可得出结论．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，点的坐标的意义，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度，和用线段的长度表示点的坐标是解题的关键．
25.【答案】解：(1)若b=2，c=3，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3，
①由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=1，
当x=1时，y=−x2+2x+3=4，即点P(1,4)；
令y=−x2+2x+3=0，则x=−1或3，
即点A、B的坐标分别为：(−1,0)、(3,0)；
②如下图，根据函数的对称性点M(2,3)，
当NM⊥BC时，MN的值最小，
由点B、C(0,3)的坐标知，∠OCB=45∘=∠MCN，
则MN= 22CM= 2；
(2)过点C作CT⊥BC且CT=OB=c，连接MT、BT、BM，
由点B、C的坐标知，∠OCB=∠OCB=45∘=∠TCM，
∵BN=CM，CT=OB=c，
∴△BON≌△CTM(SAS)，
则ON=TM，
故ON+BM=TM+BM≤TB，
故当B、T、M三点共线时，ON+BM最小，
此时TB2=BC2+CT2=2c2+c2=3c2=(4 3)2，
解得：c=−4(舍去)或4，
则点B、C的坐标分别为：(4,0)、(0,4)，
由题意得：c=4−16+4b+c=0，
解得：b=3c=4，
即b=3，c=4.
【解析】(1)①由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=1，当x=1时，y=−x2+2x+3=4，即点P(1,4)；令y=−x2+2x+3=0，则x=−1或3，即可求解；
②当NM⊥BC时，MN的值最小，即可求解；
(2)证明△BON≌△CTM(SAS)，得到ON+BM=TM+BM≤TB，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、解直角三角形、最值问题，综合性强，难度较大．离开酒店的时间/min
5
7
25
50
60
离开酒店的距离/km
1.25
______
______
1.5
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