2024年河北省石家庄市十八县部分学校中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

这是一份2024年河北省石家庄市十八县部分学校中考数学模拟试卷（5月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数与−13互为相反数的是( )
A. A
B. B
C. C
D. D
2.把弯曲的公路改直，能够缩短行程，这样做的道理是( )
A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，射线最短D. 两点之间，直线最短
3.由5个大小相同的小正方体组成的几何体如图所示，若添加一个相同的小正方体，使组成的新几何体的主视图和左视图完全一样，则添加的小正方体应放在哪个位置上( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
4.下列运算中，正确的是( )
A. 4a3−a2=3aB. ( 2)0= 2C. a3÷a2=1D. (ab2)2=a2b4
5.若一次函数y=(k+3)x−1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是( )
A. 2B. 32C. −12D. −4
6.如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，海岛B在它北偏东40°方向上.则∠AOB的度数是( )
A. 60°
B. 80°
C. 100°
D. 120°
7.一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
8.如图，直线a/​/b，将含有30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若∠1=25°，那么∠2的大小为( )
A. 60°B. 55°C. 45°D. 35°
9.如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT=α，则河宽PT的长为( )
A. msinα
B. mcsα
C. mtanα
D. mtanα
10.如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=−x2的图象，则阴影部分的面积是( )
A. π
B. 2π
C. 4π
D. 都不对
11.如图，点A为反比例函数y=kx(k<0,x<0)的图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，连接BC，AD//BC交y轴于点D，若S四边形ABCD=0.5，则k的值为( )
A. 1B. 0.5C. −0.5D. −1
12.如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C=45°，则DG的长为( )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 2
13.如图，∠MON=60°，以点O为圆心，2cm长为半径画弧，交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，2cm为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，AB，则OC长为( )
A. 1cm
B. 3cm
C. 2cm
D. 2 3cm
14.如图，已知E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，连接EP、EQ交BC于点F、D，若BF=5，DF=3，CD=4，则△ABC的面积为( )
A. 18B. 24C. 30D. 36
15.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是( )
A. 图象的顶点在第一象限
B. 有最小值−8
C. 当t>−9时，二次函数的图象与y=t有2个交点
D. 当00
16.我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形OABCD在平面直角坐标系中的位置如图1所示，A在x轴负半轴上，固定边AO，将正五边形向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图2所示，此时∠CDO的度数为( )
A. 108°B. 120°C. 135°D. 150°
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.比较大小：2 5______3 2．
18.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t s，那么△PBQ的面积S的最大值为______mm2．
19.如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A绣球花)、B祥云)两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为______元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用n个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的n值______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
在小学，我们学习过交换律、结合律以及乘法分配律，利用这些运算律可以使一些数学问题简化.例如：(14+16−12)×12=14×12+16×12−12×12=3+2−6=−1，请利用运算律解决下列问题：
(1)计算：(−65)×(−23)+(−65)×(+173)；
(2)如图，点C是线段AB上任意一点，点E是AC的中点，点F是CB的中点，若AB=m，计算线段EF的长度．
21.(本小题9分)
图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是______；(用含a、b的式子表示)
(2)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系；
(3)根据(2)问中的等量关系，解决如下问题：若m+n=8，mn=12，求m−n的值．
22.(本小题10分)
“书香润沈城，阅读向未来”，沈阳市第十五届全民读书季启动之际.某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查.问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为______名；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是______度；
(4)根据抽样调查结果，请你估计该校1800名学生中，有多少名学生最喜爱C“科普类”图书．
23.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知直线l：y=k−1x+3与y轴交于点P，矩形ABCD的顶点坐标分别为A−2,1，B−2,−2，C3,−2．
(1)若点D在直线l上，求k的值；
(2)若直线l将矩形面积分成相等的两部分，求直线l的函数表达式；
(3)若直线l与矩形ABCD有交点(含边界)，直接写出k的取值范围．
24.(本小题11分)
如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图(1)所示的以AB为直径的半圆O，MN为台面截线，半圆O与MN相切于点P，连接OP与CD相交于点E.水面截线CD=6 3cm，MN/​/CD，AB=12cm．

(1)如图(1)求水深EP；
(2)将图(1)中的老碗先沿台面MN向左作无滑动的滚动到如图(2)的位置，使得A、C重合，求此时最高点B和最低点P之间的距离BP的长；
(3)将碗从(2)中的位置开始向右边滚动到图(3)所示时停止，若此时∠BOP=75°，求滚动过程中圆心O运动的路径长．
25.(本小题12分)
【发现问题】：小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为0.4m的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜．
【提出问题】：小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？
【分析问题】：小强以斜坡底端O为坐标原点，地面水平线为x轴，取单位长度为1m，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点A的坐标为(−1,3.36)，第一次弹起的运行路线最高点坐标为(−0.5,3.61)，第二次弹起的最大高度为1.21m.小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜．
【解决问题】：
(1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；
(2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离；
(3)小强将木板立在距斜坡底端O多远的范围内，才能确保自己获胜？
26.(本小题12分)
(1)【问题发现】
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以BD为一边作正方形BDEF，点E与点A重合，易知△ABF∽△CBE，则线段AF与CE的数量关系是______；
(2)【拓展研究】
在(1)的条件下，将正方形BDEF绕点B旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF.请猜想线段AF和CE的数量关系，并证明你的结论；
(3)【结论运用】
在(1)(2)的条件下，若△ABC的面积为8时，当正方形BDEF旋转到C、E、F三点共线时，请直接写出线段AF的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵−13的相反数是13，
∴表示的数与−13互为相反数的是点D．
故选：D．
根据相反数的定义和数轴的定义即可得出答案．
本题主要考查了相反数和数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
2.【答案】A
【解析】解：把弯曲的公路改直，能够缩短行程，这样做的道理是：两点之间，线段最短．
故选：A．
依据线段的性质即可得出结论．
本题主要考查了线段的性质．解题的关键是能灵活应用线段的性质．
3.【答案】B
【解析】解：在②的位置上再摆放一个小正方体，新组合体的主视图与左视图相同，如下图：
故选：B．
根据简单组合体的三视图的画法画出它的主视图、左视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、4a3与a2不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、( 2)0=1，故该项不正确，不符合题意；
C、a3÷a2=a，故该项不正确，不符合题意；
D、(ab2)2=a2b4，故该项正确，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方、零指数幂法则以及合并同类项的方法进行解题即可．
本题考查同底数幂的除法、合并同类项，幂的乘方与积的乘方、零指数幂、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=(k+3)x−1的函数值y随着x的增大而减小，
∴k+3<0，
解得k<−3．
所以k的值可以是−4，
故选：D．
根据比例系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可．
本题考查了一次函数的性质，在一次函数y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
6.【答案】B
【解析】解：由题意得，∠AOB=180°−(60°+40°)=80°．
故选：B．
用平角减去两个角的和即可求解．
本题考查了方向角，根据题目的已知条件找出相应的角是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：原数据2，4，4，4，6的平均数为15×(2+4+4+4+6)=4，中位数为4，众数为4，
方差为15×[(−4)2+(4−4)2×3+(5−4)2]=0.4；
新数据3，4，4，5的平均数为14×(3+4+5+4)=4，中位数为4，众数为4，
方差为14×[23−4)2+(4−4)2×2+(5−4)2]=0.5；
故选：D．
根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵图中是含有30°角的直角三角尺，∠1=25°，
∴∠4=60°−∠1=35°，
∵a/​/b，
∴∠3=∠4=35°，
∴∠2=180°−90°−∠3=55°，
故选：B．
根据含有30°角的直角三角尺，得到∠4的值，再利用平行线的性质得到∠3的值，然后即可计算出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得：
PT⊥PQ，
∴∠APQ=90°，
在Rt△APQ中，PQ=m米，∠PQT=α，
∴PT=PQ⋅tanα=mtanα(米)，
∴河宽PT的长度是mtanα米，
故选：C．
根据垂直定义可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=−x2的图象，
∴两函数图象关于x轴对称，
∴阴影部分面积即是半圆面积，
∴阴影部分的面积S=12π×22=2π．
故选：B．
不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积．
此题主要考查了二次函数的对称性，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵AB⊥x轴于点B，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
过点作AM⊥y轴，
∴S矩形ABOM=S平行四边形ABCD=丨k丨=0.5，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=−0.5．
故选：C．
根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是解答本题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：如图，连接AO、BO、AB，
∵∠C=45°，
∴∠AOB=2∠C=90°，
∵⊙O的半径为2，
∴AO=BO=2，
∴AB=2 2，
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE=12AB= 2．
故选：D．
先根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得AB=2 2，再根据三角形的中位线定理可得DE= 2．
此题主要考查了三角形的中位线定理，以及勾股定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13.【答案】D
【解析】解：由作法得OA=OB=AC=BC=2cm，
∴四边形AOBC为菱形，
∴OD=CD，AB⊥OC，
∵∠MON=60°，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
在Rt△AOD中，∵∠AOD=30°，
∴AD=12OA=1cm，
∴OD= 3AD= 3cm，
∴OC=2OD=2 3cm．
故选：D．
利用基本作图得OA=OB=AC=BC=2cm，则可判断四边形AOBC为菱形，利用菱形的性质得到OD=CD，AB⊥OC，∠AOC=∠BOC=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OD，从而得到OC的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．
14.【答案】B
【解析】解：连接AF，AD，
∵E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，
∴EP⊥AB，EQ⊥AC，
∴AF=BF，AD=DC，
∵BF=5，CD=4，
∴AF=5，AD=4，
∵DF=3，
∴DF2+AD2=AF2，
∴∠ADF=90°，
∵BC=BF+DF+DC=5+3+4=12，
∴S△ABC=12×BC×AD=12×12×4=24．
故选：B．
解：连接AF，AD，由题意得出AF=BF，AD=DC，可证得∠ADF=90°，根据三角形的面积公式可得出答案．
本题考查了三角形的外接圆和外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积．
15.【答案】C
【解析】解：由题意，设二次函数为y=ax2+bx+c，结合表格数据可得，
c=−59a+3b+c=−825a+5b+c=0，
∴a=1b=−4c=−5．
∴二次函数为y=x2−4x−5=(x−2)2−9．
∴顶点为(2,−9)在第四象限，故A错误，不合题意．
又当x=2时，y取最小值为−9，
∴B错误，不合题意．
又令y=x2−4x−5=t，
∴x2−4x−5−t=0，其Δ=16+4(5+t)>0时，方程有两个不等的实数根，
即t>−9时，方程有两个不等的实数根．
∴当t>−9时，二次函数的图象与y=t有2个交点，故C正确，符合题意．
令y=x2−4x−5=0，
∴x=5或x=−1．
又抛物线开口向上，
∴当y>0时，x<−1或x>5，故D错误，不合题意．
故选：C．
依据题意，设二次函数为y=ax2+bx+c，结合表格数据可得，c=−59a+3b+c=−825a+5b+c=0，从而可得二次函数为y=x2−4x−5=(x−2)2−9，再结合二次函数的性质即可逐个判断得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
16.【答案】B
【解析】解：∵正五边形OABCD，
∴OA=AB=BC=CD=DO，
如图2，在Rt△AOC中，OA=12AC，
∴∠OCA=30°，
连接OB，则OB=12AC=BC=CD=OD，
∴四边形OBCD是菱形，
∴∠OCD=∠OCB=30°，
∴∠ODC=180°−30°×2=120°．
故选：B．
根据正多边形的性质，直角三角形的性质以及菱形的判定和性质进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，菱形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质，菱形的判定和性质以及正多边形的性质是正确解答的关键．
17.【答案】>
【解析】解：2 5= 22×5= 20，3 2= 32×2= 18，
∴2 5>3 2，
故答案为：>．
把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较的应用，注意：当m≥0时，m a= m2a．
18.【答案】36
【解析】解：根据题意有：AP=2t mm，BQ=4t mm，
∵AB=12mm，BC=24mm，
∴BP=(12−2t)mm，
∴S=12BP×BQ=12(12−2t)×4t=24t−4t2，
∵BQ=4t>0，BP=12−2t，
∴0故S关于t的函数解析式为S=24t−4t2(0∵S=24t−4t=−4(t−3)2+36，
∵−4<0，
∴当t=3时，△PBQ的面积S有最大值36mm2．
故答案为：36．
根据题意得到AP=2t mm，BQ=4tmm，则BP=(12−2t)mm，有三角形的面积公式可得S=12BP×BQ=12(12−2t)×4t=24t−4t2(0本题主要考查动点在线段上运动的规律，二次函数图象与性质等知识，理解动点运动中时间与△PBQ的面积关系是解题的关键．
19.【答案】22 6
【解析】解：设A种图案成本为了x元，B种图案成本为了y元，根据题意，得
2x+4y=64x+3y=42，
解得：x=12y=10，
∴x+y=12+10=22(元)，
即造型3的成本为22元；
根据题意得：4+6×3+n≤2(2+6+n)64+42×6+22n≤500，
解得：6≤n≤8411，
∵n为整数，
∴n=6，7，8，
故答案为：22，6(答案不唯一，6，7，8均可)．
设A种图案成本为了x元，B种图案成本为了y元，根据造型1的成本64元，造型2的成本42元，列方程组2x+4y=64x+3y=42，出x、y的值，则由造型3的成本为(x+y)元；再根据图案B的个数不多于图案A个数的2倍，且整体设计费用不超过500元，列不等式组4+6×3+n≤2(2+6+n)64+42×6+22n≤500，求得6≤n≤8411，然后由n为整数，得出n的值即可．
本题考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，理解题意，列出方程组与不等式组是解题的关键．
20.【答案】解：(1)(−65)×(−23)+(−65)×(+173)
=(−65)×(−23+173)
=(−65)×5
=−6；
(2)∵点E是AC的中点，点F是CB的中点，
∴EC=12AC，CF=12BC
∴EF=EC+FC=12AC+12BC=12(AC+BC)=12AB=m2．
【解析】(1)根据有理数的乘法运算律求解即可；
(2)根据线段中点的概念求解即可．
此题考查了有理数的乘法运算律，有关线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21.【答案】a−b
【解析】解：(1)由拼图可知，阴影部分是边长为a−b的正方形，
故答案为：a−b；
(2)图2整体是边长为a+b的正方形，因此面积为(a+b)2，图2各个部分的面积和为(a−b)2+4ab，
所以有(a+b)2=(a−b)2+4ab，
答：(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系为(a+b)2=(a−b)2+4ab；
(3)∵m+n=8，mn=12，
∴(m−n)2=(m+n)2−4mn
=64−48
=16，
∴m−n=±4．
(1)根据拼图可直接得出答案；
(2)用代数式表示图形中各个部分的面积，根据各个部分面积之间的关系得出结论；
(3)利用(m−n)2=(m+n)2−4mn进行计算即可．
本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
22.【答案】解：(1)100；
(2)补全条形统计图如下：
(3)36；
(4)1800×40100×100%=720(名)，
答：估计该校1800名学生中，大约有720名学生最喜爱C“科普类”图书．
【解析】解：(1)此次被调查的学生人数为：20÷20%=100(名)，
故答案为：100；
(2)D类的人数为：100−10−20−40−5=25(名)，
补全条形统计图如下：
(3)在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是：360°×10100=36°，
故答案为：36；
(4)见答案．
(1)用B的人数除以对应百分比可得样本容量；
(2)用样本容量减去其它四类的人数可得D类的人数，进而补全条形统计图；
(3)用360°乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
(4)用总人数乘样本中C类所占百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】解：(1)由题意可知：点D(3,1)，
将点D(3,1)代入直线l：y=(k−1)x+3中，1=3k−3+3，
解得：k=13．
(2)∵矩形是中心对称图形，直线l将矩形分成面积相等的两部分．
∴直线l一定经过矩形的对称中心；
∵矩形顶点A(−2,1)，C(3,−2)，
∴其对称中心的坐标为(12,−12)，
代入直线l：y=(k−1)x+3中，解得k=−6，
∴直线l的函数表达式为y=−7x+3．
(3)如图：

∵A(−2,1)，D(3,1)，
直线l：y=(k−1)x+3经过A(−2,1)时，1=−2(k−1)+3，
解得k=2，
当直线l：y=(k−1)x+3经过经过D(3,1)时，1=3(k−1)+3，
解得k=13，
由图象可知，k的取值范围是k≥2或k≤13．
【解析】(1)根据矩形的性质得到点D(3,1)，代入y=(k−1)x+3，即得求得k的值；
(2)当直线l经过矩形ABCD的对称中心时，直线l把矩形ABCD分成两部分的面积相等，由点A(−2,1)，C(3,−2)，得其对称中心的坐标为(12,−12)，用待定系数法即得k=−6，即可求得y=−7x+3；
(3)当直线l：y=(k−1)x+3经过A(−2,1)时，解得k=2，当直线l：y=(k−1)x+3经过D(3,1)时，解得k=13，即得当k≥2或k≤13时，直线l与矩形ABCD有交点．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．矩形中心对称性，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出直线l经过相关顶点时k的值，利用数形结合得到k的范围．
24.【答案】解：(1)连接OC，如图所示：

∵半圆O与MN相切于点P，
∴OP⊥MN，
∵MN/​/CD，
∴OP⊥CD，
12CD=3 3cm，
在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE= OC2−CE2= 62−(3 3)2=3(cm)，
OP−OE=6−3=3cm；
(2)如图，连接BP，过B点作BF/​/AD，与PO的延长线相交于点F，

∵AD/​/BF，
AE=∠OBF，
在△AOE和△BOF中，
∠OAE=∠OBFAO=BO∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
由(1)知OE=3cm，CE=3 3cm，
∴OE=OF=3cm，AE=BF=3 3cm，
∴PF=OP+OF=6+3=9cm，
在Rt△BFP中，由勾股定理可得BP= PF2+BF2= 92+(3 3)2=6 3(cm)，
(3)如图所示：

由(1)可知OE=3cm，OC=6cm，
∴在Rt△COE中，∠COE=60°，
∵∠BOP=75°，
∴∠AOC=180°−60°−75°=45°，
由题意可得，圆心O运动的路径长为弧AC的长度45180π×6=32π(cm)．
【解析】(1)连接OC，由垂径定理及勾股定理求解即可得到答案；
(2)连接BP，过B点作AD/​/BF，与PO的延长线相交于点F，利用三角形全等的判定与性质，结合勾股定理求解即可得到答案；
(3)根据题意可知，滚动过程中圆心O运动的路径长为弧AC的长度，求弧AC出弧对的圆心角代入公式求解即可得到答案．
本题考查圆的实际应用，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意知，乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为(−0.5,3.61)，过点A(−1,3.36)，
设乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为y1=a(x+0.5)2+3.61，
代入A(−1,3.36)得：3.36=a(−1+0.5)2+3.61，
解得a=−1，
∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为y1=−(x+0.5)2+3.61=−x2−x+3.36；
(2)令y1=0，则−(x+0.5)2+3.61=0，
解得x1=1.4x2=−2.4 (舍)，
∴OB=1.4m，
∴乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离为1.4m；
(3)∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为1.21m，
∴设乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为y2=−(x−h)2+1.21，
把B(1.4,0)代入解析式得：0=−(1.4−h)2+1.21，
解得h1=2.5h2=0.3 (舍)，
∴乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为y2=−(x−2.5)2+1.21；
当y2=0时，则−(x−2.5)2+1.21=0，
解得x1=3.6，x2=1.4(舍)；
当y2=0.4时，则−(x−2.5)2+1.21=0.4，
解得x1=3.4，x2=1.6(舍)．
∴当3.4≤x≤3.6m时，小强确保获胜．
【解析】(1)根据已知条件设出抛物线的顶点式解析式，再把A点坐标代入解析式求出a即可；
(2)令(1)中解析式的y=0，解方程求出x即可；
(3)用待定系数法求出乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线解析式，再令y=0和y=0.4，解方程求出OC的取值范围．
本题考查二次函数的应用，关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线解析式．
26.【答案】CE= 2AF
【解析】解：(1)∵四边形BDEF是正方形，
∴EF=BF，∠F=90°，
∴AB= EF2+BF2= 2BF= 2EF，
∵AB=AC，点E与点A重合，
∴CE= 2AF，
故答案为：CE= 2AF；
(2)CE= 2AF，理由如下：
在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC= AC2+AB2= 2AB，
∵四边形BDEF是正方形，
∴BE= 2BF，∠FBE=45°，
∴BCAB=BEBF= 2，∠CBE=∠ABF=45°−∠ABE，
∴△CBE∽△ABF，
∴CEAF=BCAB= 2，
∴CE= 2AF；
(3)在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，△ABC的面积为8，
∴12AB2=8，则AB=4(负值舍去)，
∴BC= 2AB=4 2，
由(1)知，EF=BF= 22AB=2 2，
设AF=x，则CE= 2x，
∵C、E、F三点共线，
∴有两种情况：
①如图1，
在Rt△CFB中，∠BFC=90°，CF=CE+EF= 2x+2 2，
由CF2+BF2=BC2得( 2x+2 2)2+(2 2)2=(4 2)2，
解得x=2 3−2(负值舍去)；
②如图②，
在Rt△CFB中，∠BFC=90°，CF=CE−EF= 2x−2 2，
由CF2+BF2=BC2得( 2x−2 2)2+(2 2)2=(4 2)2，
解得x=2 3+2(负值舍去)；
综上，满足条件的线段AF值为2 3−2或2 3+2．
(1)根据正方形的性质和勾股定理得到AB= 2EF即可求解；
(2)根据等腰直角三角形和正方形的性质证得BCAB=BEBF= 2，∠CBE=∠ABF=45°−∠ABE，进而可证得△CBE∽△ABF，利用相似三角形的性质可得结论；
(3)先利用等腰直角三角形的性质求得AB=4，BC= 2AB=4 2，进而EF=BF= 22AB=2 2，设AF=x，则CE= 2x，根据题意分两种情况，利用勾股定理求解即可．
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质，以及分类讨论和方程的思想的运用是解答的关键．x
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−3
0
3
5
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y
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16
−5
−8
0
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