2024年四川省自贡市富顺县代寺学区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（每小题4分，共48分）
1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；
B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．
【详解】解：点a在2的右边，故a>2，故A选项错误；
点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；
b在a的右边，故b>a，故C选项错误；
由数轴得：2故选：D．
【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
3. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 3和5B. 2和5C. 2和3D. 3和2
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【详解】解：将数据重新排列为2，2，3，4，5，
所以这组数据的众数为2，中位数3，
故选C．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A. 8.23×10﹣6B. 8.23×10﹣7C. 8.23×106D. 8.23×107
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000823=8.23×10-7．
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5. 如图，，直线分别交，于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（ ）
A. 15°B. 25°C. 35°D. 45°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到∠DNM=∠BME=80°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND=45°，即可得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠DNM=∠BME=80°，
∵∠PND=45°，
∴∠PNM=∠DNM-∠DNP=35°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6. 如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；
【详解】解：∵AB为底面直径，
∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间，
∵两点之间线段最短，
故选： C．
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．
7. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ）
A. 1cmB. 2cmC. (－1)cmD. (2－1)cm
【答案】D
【解析】
【分析】先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可．
【详解】解：由题意，BD=cm，
由平移性质得=1cm，
∴点D，之间的距离为==（）cm，
故选：D．
【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
8. 如图，四边形内接于⊙，连接．若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠AOB，最后圆周角定理即可求出的度数．
【详解】解：连接OA，OB，OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BDC=100°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=100°，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题关键在于画出半径，构造圆心角．
9. 在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，连接BD交CF于点M，交y轴于点N，设AB交x轴于点P，
根据题意得：BD∥x轴，AB∥y轴，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，
∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y轴，
∴，
∴，
∵点A的坐标为（2，-3），
∴AP=3，OP=BN=2，
∴，BP=1，
∴点C的纵坐标为1+2=3，
∴点C的坐标为．
故选：A
【点睛】本题考查正多边形，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
10. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A. 前10分钟，甲比乙的速度慢B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数关系图逐项判断即可．
【详解】A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A项正确，故不符合题意；
B项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，故不符合题意；
C项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C项正确，故不符合题意；
D项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．
11. 如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，过点C作于D，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而利用等面积法求出，则可利用勾股定理求出；再证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，则点E的坐标为．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接，
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，即最小，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，
∴点E的坐标为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）

A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的底边为定值，
∴使得底边上的高最大时，面积最大，
点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，

∵，的半径为1，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 比较大小：_______3． （选填“>”、“<”或“=”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，注意：．根据实数的大小比较得出，即可求出答案．
【详解】解：
，
，
故答案为：．
14. 若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，熟知几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0是解题的关键．
15. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有4个白球，则袋中红球有________个．
【答案】6
【解析】
【分析】设袋中红球有x个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设袋中红球有x个，
由题意得：，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
∴袋中红球有6个，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了已知概率求数量，熟知红球的概率红球数量球的总数是解题的关键．
16. 化简：____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的乘法运算，将分子、分母进行因式分解后即可求解．
【详解】解：原式，
故答案为：
17. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则_______
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长度，过点B作于点D，根据面积法求出，再根据公式求出答案．
【详解】解：根据勾股定理得，，，
过点B作于点D，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求角度的正弦值，勾股定理求线段长度，正确掌握计算公式是解题的关键．
18. 如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留根号和π）．

【答案】
【解析】
【分析】连接，由翻折的性质及圆的性质可得是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求的阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接，设l交于点D，

由翻折的性质得：，，，
，
，
即是等边三角形，
，由勾股定理得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识，得到等边三角形是解题的关键．
三．解答题(共8个小题，共78分)
19. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；
【详解】解：原式
；
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
20. 如图，分别是的边上的点，已知，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得到，进而可知，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21. 某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要天；甲队每天的工作费用为元、乙队每天的工作费用为元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？
【答案】甲工程队， 30000元.
【解析】
【详解】分析：应求出甲乙工程队的工效．时间明显，应根据工作总量来列等量关系．关键描述语是：甲、乙两队合作完成工程需要20天．等量关系为：甲20天的工作量+乙20天的工作量=1，然后分情况分析后比较所需费用．
本题解析：设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要2x天，
根据题意得，
解得x=30
经检验，x=30是原方程的解，且x=30，2x=60都符合题意．
∴应付甲队30×1000=30000(元).
应付乙队30×2×550=33000(元).
∵30000<33000，所以公司应选择甲工程队．
答：公司应选择甲工程队，应付工程总费用30000元．
点睛：本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．
22. 某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
【答案】（1）调查学生人数200人，补图见解析
（2）愿意参加劳动社团的学生人数900人
（3）作图见解析，P（同一社团）
【解析】
【分析】（1）用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比，可得总人数，再用总人数乘以科普类所占的百分比，即可求解；
（2）用3600乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的百分比，即可求解；
（3）根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．再根据概率公式，即可求解．
【小问1详解】
解：调查学生人数：人，
科普类人数：人，
补全条形统计图，如图：
【小问2详解】
解：愿意参加劳动社团的学生人数：人；
【小问3详解】
解：根据题意，画出树状图，如下图：
共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．
∴恰好选中同一社团的概率为．
【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于两点，一次函数的图像与y轴交于点C．
（1）求一次函数解析式：
（2）根据函数的图像，直接写出不等式的解集；
（3）点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）根据，求出的面积，设 ，构建方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴，
把A、B的坐标代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：观察图象，不等式的解集为：或；
【小问3详解】
解：连接，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
∴或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
24. 阅读与思考
请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务．
任务
（1）填空：_______°，_______°．
（2）求和的长．
（3）已知该地春分正午时分的太阳高度角是，工人师傅想在图2中之间标出春分线的位置，请直接写出的长度．
（结果保留一位小数.参考数据：，，，，，，）
【答案】（1），
（2）的长约为，的长约为
（3）的长度约为
【解析】
【分析】本题主要考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
（1）根据题中太阳高度角的定义即可求解；
（2）设，则，由可得，是直角三角形，根据，，列方程即可求解；
（3）连接，由题意得：，是直角三角形，根据，即可求解．
【小问1详解】
解：由题中太阳高度角的定义可知：，，
故答案为：，；
【小问2详解】
，
，
，是直角三角形，
设，则，
，，
则，
解得：，
即，
；
【小问3详解】
如图，连接，由题意得：，
，
是直角三角形，
，
的长度是．

25. （1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．
①求证：；
②若，，求的半径．
【答案】（1）见详解
（2）① 见详解；② 5
【解析】
【分析】（1）作AB、AC垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；
（2）①证明即可证明，从而证得；
② 证明，根据得正切求得EC，再根据勾股定理求得AE．
【详解】（1）如下图所示
∵的外接圆的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，
∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；
（2）
①如下图所示，连接OC、OB
∵BD是的切线
∴
∵是对应的圆周角，是对应的圆心角
∴
∵点是的中点
∴
∴
∴
∴
②如下图所示，连接CE
∵与是对应的圆周角
∴
∵是的直径
∴
∴
又∵AC=6
∴
∵
∴
∴的半径为．
【点睛】本体考查圆、直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆和直角三角形的相关知识．
26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，连接，，，若，求点的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，，
【解析】
【分析】本题考查二次函数与几何综合，注意数形结合，以及分类讨论是解题关键．
（1）利用二次函数交点式即可确定函数解析式；
（2）连接，将的面积转化为即可；
（3）分类讨论：①为直角边；②为直角边，分别构造一线三垂直相似模型，设出点坐标，利用相似性质列式求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线的图象与轴交于，两点，
∴抛物线的解析式为=；
【小问2详解】
如图，连接，
设点的坐标为，
当的时，得,
则，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或（点在第四象限，故舍），
∴．
【小问3详解】
设点的坐标为，
如图，当直角边时，
过点作轴于点，
易得，
∴，即，
化简得，
解得，或（舍），
故；
②如图，当为直角边时，
过点作轴于点，
易得，
∴，即，
化简得，
解答，或（舍），
故，
综上，存在点，使三角形是以为直角边直角三角形．点的坐标为，．圭表是度量日影长度的一种天文仪器.古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动.如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天．

工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图，图中，点为夏至线所在的位置，点为冬至线所在的位置，，点，，，P在同一竖直平面内，点，，在同一直线上.据调查该地冬至正午时分的太阳高度角为，夏至正午时分的太阳高度角为.（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）
……