广东省江门市福泉奥林匹克学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市福泉奥林匹克学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟；满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，12B．C．5，12，13D．
3．下列算式中，计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，平行四边形ABCD中，∠ADC 的平分线交BC于E，若AD=8，BE=2，则AB=（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．某文艺汇演中，10位评委对节目A的评分为，去掉其中一个最高分和一个最低分得到一组新数据，这两组数据一定相同的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
6．已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的边长是（ ）厘米
A．8B．5C．10D．4.8
7．实数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（ ）
A．1B．C．D．
8．如图，Rt的直角边OA=2，AB=1，OA在数轴上，在OB上截取BC=BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，四边形是矩形，相交于O，垂直平分，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
10．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝8，则折痕GH的长度为（ ）
A．4B．
C．D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．若是正比例函数，则（1）常数m= ；（2）y 随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
13．疫情防控期间，某校门口安装了红外线体温自动侦测感应系统，感应系统的工作原理是：当人体进入体温感应系统的感应范围时感应器启动，体温在正常控制范围时，感应门自动打开，体温超过正常范围，感应器报警，感应门关闭。如图，自动感应门的正上方A处装着一个红外线体温感应器，离地AB=2.5米，一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），感应器启动，则AD= 米．
14．若x，y都是实数，且，求 ．
15．如图，在矩形中，，点在的延长线上，点在直线上，连接，若，则的最大值为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）
16．（1）计算：；
（2）已知，，求的值．
17．如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
18．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成如图所示的统计图．

（1）本次调查的人数是 ；
（2）这组数据的众数为 元，中位数为 元；
（3）求这组数据的平均数．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的整数部分是___________，的小数部分是___________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分．求
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
20．如图，在中，对角线、相交于点，点为中点，于点，点为上一点，连接，，且．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若矩形的面积为，，，求的面积．
21．(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．
①判断，的关系，并说明理由．
②连接．若，，请直接写出的长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
23．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点．
(1)①直接写出点的坐标；
②求证：
(2)如图2，若，在上找一点，使四边形是平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图，连接交于F，连接FM，下列两个结论：①的长为定值：②平分，其中只有一个正确，选择并证明．
1．C
【分析】根据最简二次根式的定义，可得答案．
【详解】A、被开方数含分母，故选项A不符合题意；
B、被开方数是小数，故选项B不符合题意；
C、被开方数不含开的尽的因数，被开方数不含分母，故C符合题意；
D、被开方数含开得尽的因数，故D错误不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，被开方数不含开的尽的因数或因式，被开方数不含分母．
2．C
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、62+82≠122，故不能组成直角三角形，错误；
B、，故不能组成直角三角形，错误；
C、52+122=132，故能组成直角三角形，正确；
D、，故不能组成直角三角形，错误．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．D
【分析】根据二次根式的加减、乘除运算法则逐项解答判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式2，故B不符合题意．
C、原式3，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减、乘除运算法则等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
4．D
【分析】根据平行四边形的性质得到，AD=BC，AB=CD，再结合角平分线的定义可证得CD=EC，然后根据线段之间的关系即可得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=8，
∴，AD=BC=8，AB=CD，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CD=CE，
∴AB=CE，
∵BE=2，
∴EC=BC－BE=8－2=6，
∴AB=6．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边等知识，熟练应用各性质、定义是解题的关键．
5．B
【分析】根据各数据指标的定义和计算方法去比较判断．
【详解】A、去掉的两个数的平均分与剩下的8个数的平均分不一定相等，所以原来的平均分与剩下的8个数的平均分也不一定相等；
B、因为中位数是一组数据排序后排在最中间的那个数（或中间两个数的平均数），去掉一个最高分和一个最低分相当于从排好的数据中首尾各去掉一个数据，这样排在最中间的那个数（或中间两个数）没有什么变化，所以前后的中位数也没有变化；
C、如果原来的众数是最高分或最低分，那么去掉一个最高分和一个最低分后，最高分和最低分的出现次数都减小1，数组的众数就有可能发生改变；
D、由A知，数组的平均数可能发生改变，那么反映数据偏离平均数程度的方差也有可能发生改变．
故选B．
【点睛】本题考查数据指标变化，熟练掌握数据指标的特征和计算方法是解题关键．
6．B
【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，根据菱形的性质，得出菱形的两条对角线互相平分且垂直，即对角线的长分别是，运用勾股定理列式，即，进行作答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴菱形的两条对角线互相平分且垂直，
则，
∴对角线的长分别是，
∴，
∴菱形的边长分别是，
故选：B
7．A
【分析】本题考查了运用数轴化简二次根式以及绝对值，根据越在数轴的右边的数越大，先得出，即，然后化简，即可作答．
【详解】解：由数轴得出，
∴，
则，
故选：A．
8．A
【分析】根据勾股定理求出OB，求出BC=AB=1，求出OC=OP=，再根据线段的中点定义求出OD即可．
【详解】解：在Rt中，∠OAB=90°，AB=1，OA=2，
由勾股定理得：OB=
∵BC=AB，AB=1，
∴BC=1，
∴OC=OB-BC=，
即OP=，
∵OP的中点是D，
∴OD=OP==
即点D表示的数是
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数和数轴等知识点，能求出OP的长是解本题的关键．
9．C
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出．此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
垂直平分，
，
，
；
故选：C．
10．D
【分析】连接EC，作GJ⊥CD于J，EF交GH于点Q，证明四边形BCJG是矩形，求出∠CEF＝∠HGJ，然后证明△EFC≌△GJH（ASA），可得GH＝EC，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接EC，作GJ⊥CD于J，EF交GH于点Q，
∵∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴四边形BCJG是矩形，
∴GJ∥BC，GJ＝BC，
由题意得：EF⊥BC，BC＝CD＝EF，
∴EF⊥GJ，GJ＝EF，
∵E，C关于GH对称，
∴EC⊥GH，
∴∠EQH＋∠CEF＝∠GQF＋∠HGJ＝90°，
∵∠EQH＝∠GQF，
∴∠CEF＝∠HGJ，
在△EFC和△GJH中，，
∴△EFC≌△GJH（ASA），
∴GH＝EC，
∵EC＝，
∴GH＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
11．x≥1
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
12． 减小
【分析】（1）根据正比例函数定义得到m=0且m-2≠0，易得m的值；
（2）根据正比例函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）当m=0且m-2≠0时，y是x的正比例函数，
解得m=0；
（2）由（1）得，y=-2x，
∵-2＜0，
∴y随x的增大而减小；
故答案为：（1）0；（2）减小．
【点睛】本题考查了正比例函数性质和定义，熟记正比例函数的一般形式即可解题，属于基础题．
13．
【分析】添加辅助线，利用矩形的性质求出各边长，然后在构造的直角三角形中应用勾股定理解答.
【详解】过点作于点，则四边形是矩形，
∴，，
，
，
∵在中，，
∴
故填：1.5.
【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形、直角三角形的性质是关键.
14．5
【分析】本题考查了二次根式的性质以及求一个数的算术平方根，先根据二次根式的非负性得出，代入，得出，最后代入，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：5．
15．##
【分析】本题考查动点最值-点圆模型，涉及矩形性质、圆周角定理推论、圆外一定点与圆周上一动点距离最值、勾股定理等知识，根据题意，先确定动点轨迹，再由动点最值-点圆模型的解法转化为求线段长，最后勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-点圆模型的解法是解决问题的关键．
【详解】解：在矩形中，，，
，即，
，
点在以中点为圆心、长为半径的圆上运动，如图所示：
由动点最值点圆模型（圆外一定点与圆周上一动点距离最值问题）可知，的最大值为连接并延长交于的线段长，
在中，，则，
，
故答案为：．
16．（1）（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式、平方差公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算二次根式的乘法以及完全平方公式，再合并同类项，即可作答．
（2）运用平方差公式展开，再代入，，进行计算，即可作答．
【详解】解：（1）
．
（2）∵，，
∴
．
17．见详解
【分析】由平行四边形的性质得，，则，由推导出，即可根据“”证明，得，，则，所以四边形是平行四边形．此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形
18．（1）30；（2）10，10；（3）这组数据的平均数为12元．
【分析】（1）由各小组的频数之和可得出本次调查的人数；
（2）由众数和中位数的定义即可得出结果；
（3）由加权平均数公式即可得出结果．
【详解】解：（1）本次调查的人数是6+11+8+5=30；
故答案为：30．
（2）这组数据中出现次数最多的是元，所以这组数据的众数为10元，
这组数据是按从小到大的顺序排列的，第个数据分别是，所以这组数据的中位数为元；
故答案为：10，10．
（3）这组数据的平均数为（元）
答：这组数据的平均数为12元.
【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义，掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)3，
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据算术平方根的性质可确定的整数部分；先确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值；
（3）由得，从而得，，将x、y的值代入原式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∵，
∴的整数部分为4，
∴的小数部分为，
故答案为：3，；
（2）解：∵，a是的整数部分，
∴，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．
（2）利用矩形性质，得到是等腰直角三角形，得出,根据矩形的面积为，求得的长，过作于，则是等腰直角三角形，运用勾股定理求得的长即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由（1）可知，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴
∵矩形的面积为63，
∴
∴
∴
如图，过D作于M，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
21．(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；②
【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出即可求解；
（2）①证明即可得到；进而得到，②在四边形中，根据（1）求得的结论即可求出的长．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
即；
（2）①∵四边形和四边形为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，，；
②
解析：在四边形中，，由（1）知
∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
图2
【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键．
22．（1）见详解；
（2）；
（3）．
【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形；
（2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，
由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形的周长；
（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
在 中，．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．
23．(1)①②见解析
(2)
(3)平分正确，证明见解析
【分析】（1）①由正方形的性质求得点C的坐标；②在上取，连接，只要证明即可．
（2）作于E，只要证明即可求得N点坐标．知道平行四边形的三点坐标，再根据平移的性质即可求得P点坐标．
（3）在延长线上取，过作于，因为，所以只要证明即可解决问题．
【详解】（1）①四边形是正方形，，
．
②证明：如图，在上取，连接，
，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）如图，作于E
由可知，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
点，
四边形是平行四边形，，，
由平移的性质可得．
（3）结论：平分成立．
证明：如图，在延长线上取，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
过作于，则，
由（2）可知，
，，
，即平分．
【点睛】本题考查了四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形、平行四边形的性质、正方形的性质．解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，记住一些基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想到解题方法．