2024年中考第三次模拟考试题：数学（徐州卷）（解析版）

这是一份2024年中考第三次模拟考试题：数学（徐州卷）（解析版），共28页。试卷主要包含了本试卷共6页，一枚质地均匀的正方体骰子，因式分解等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分140分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
第Ⅰ卷
选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．一包零食的质量标识为“克”，则下列质量合格的是（ ）
A．66克B．67克C．71克D．74克
【答案】C
【分析】本题考查的是正负数，熟练掌握其定义是解题的关键．
根据正负数的定义求解即可．
【详解】解：∵一包零食的质量标识为“克”，
而(克)，(克)，
∴一包零食的质量合格范围为：克，
∴克在其合规范围内，
故选：C．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：A．，故本选项符合题意；
B．，故本选项不合题意；
C．，故本选项不合题意；
D．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
故选：A．
3．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，以及二次根式的被开方数为非负数，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，以及二次根式有意义的条件，
根据分式有意义的条件，以及二次根式的被开方数为非负数解答即可
【详解】解：分式有意义
且，
解得且，
故选：A
4．在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查简单几何体的三视图，通过观察立体图形，根据左边看到的图形为左视图，即可求解．
【详解】解：该立体图形的左视图是 ，
故选：D．
5．一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字1的是（ ）
A．中位数是4，众数是4B．平均数是3，中位数是3
C．平均数是4，方差是2D．平均数是3，众数是2
【答案】C
【分析】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字．根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【详解】解：当中位数是4，众数是4时，记录的5个数字有可能为：1，2，4，4，5，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是3时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，3，4，6，故B选项不合题意；
当平均数是4，方差是2时，5个数之和为20，假设1出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：4，4，5，6，此时方差，
因此假设不成立，即一定没有出现数字1，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．
6．如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：连接，则：
∴，
∵正方形内接于，
∴，
∴，
∴；
故选C．
7．在物理活动课上，某小组探究电压一定时，电流与电阻之间的函数关系，通过实验得到如下表所示的数据：
根据表中数据，下列描述正确的是（ ）
A．在一定范围内，随的增大而增大B．与之间的函数关系式为
C．当时，D．当时，
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的应用；根据表格数据得出解析式，进而根据反比例函数的性质即可求解．
【详解】解：根据表格数据：
∴与之间的函数关系式为，在一定范围内，随的增大而减小，故A选项错误，不符合题意；B选项正确，符合题意；
当时，，故C选项不正确，不符合题意；
当当时，，故D选项不正确，不符合题意；
故选：B．
8．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，作于点，连接，则线段长度的最小值为( )
A．3B．C．D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的基本性质，圆周角定理以及勾股定理连接，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理，由为直径得到，接着由得到点在以为直径的上，于是当点、、共线时，最小，如图，在中利用勾股定理计算出，从而得到的最小值
【详解】，，，
，
，
点在以为直径的上，
连接，
，
在中，
，，
，
由于，是定值，
点在线段上时，最小，如图2，
，即线段长度的最小值为，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法分解因式求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根，掌握平方根的求法是解题的关键．
根据平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：根据平方根的定义得的平方根为：，
故答案为：．
11．分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，计算即可得出答案．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
原分式方程的解为，
故答案为：．
12．中央广播电视总台2024年春节联欢晚会以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演，充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月 10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次．将142亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】将142亿用科学记数法表示为．
故答案为：．
13．关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，可知，即可求出实数的值，熟知“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】根据，得到，结合，得到，，根据侧面积公式计算即可，被看出来圆锥侧面积计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
15．如图，在矩形中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点．随机向矩形内抛掷一粒小米（落在边界上需重新抛掷），则小米正好落在阴影部分的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了几何概率，先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积，最后根据几何概率的求法解答即可．
【详解】解：∵以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，
∴，
在矩形中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积：，
∵矩形的面积为2，
∴将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为，
故答案为：．
16．如图，在中，于点D．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键，由正方形的面积公式可得结合勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，
，
三个正方形的面积分别为，
，
在及中，由勾股定理可得：
，，
，
，
即最小的正方形面积为7，
故答案为：7．
17．在反比例函的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为则 ．

【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出．
求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值．
【详解】当时，的纵坐标为12，
当时，的纵坐标为6，
当时，的纵坐标为4，
当时，的纵坐标为3，
当时，的纵坐标为，
…
则；
；
；
；
…
；
，
∴．
故答案为：．
18．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
【答案】/
【分析】作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
，，
，
，
，
，
即（定长），
点是定点，是定长，
点在半径为1的上，
，
的最大值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．先化简，再求值：，其中是方程的根．
【答案】；4
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，先对分式通分，并利用完全平方公式运算并化简，利用式子相乘法解一元二次方程得出m的值，最后代入化简后的分式求值即可．
【详解】解：
，
即，
解得：，，
∵m是的一个根，且
∴，
∴原式．
20．（1）计算：．
（2）解不等式组，并写出满足条件的正整数解．
【答案】（1）；（2），不等式组的正整数解为1，2
【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，解题的关键是∶
（1）利用零指数幂、负整数指数幂的意义，算术平方根的定义，乘方法则计算即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后求出公共部分，进而求出正整数解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为，
则不等式组的正整数解为1，2．
21．某动物园清明节期间举办了“喜迎两会”的活动，吸引了众多市民前来参观，小明和小亮两名同学分别到该园游玩．如图是该动物园出、入口示意图．
(1)小明从A入口进入动物园的概率是 ；
(2)参观结束后，小明和小亮都从C出口走出展馆的概率是多少？（列表或画树状图）
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）由概率公式求解即可；
（2）用树状图法得出9种等可能的结果，小明和小亮都从C出口走出展馆的只有一种，再结合概率公式求解即可．
【详解】（1）解：依题意，共有2个入口，
∴小明从A入口进入动物园的概率是；
（2）解：画树状图如下
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮从同一出口走出的结果有1种，
∴小明和小亮都从C出口走出展馆的概率是．
22．寒假期间，某校举行学生参加家务劳动视频评比，成绩记为分（），分为四个分数段：，，，．学校从人的参赛视频中随机抽取了部分视频统计成绩，并绘制了统计图表，部分信息如下：

请根据以上信息，完成下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)样本成绩的中位数落在第______分数段中；
(3)若分以上（含分）成绩的学生被评为“劳动能手”，根据统计成绩，试估计全校被评为“劳动能手”的学生人数．
【答案】(1)补图见解析；
(2)；
(3)人．
【分析】（）根据的学生人数及其百分比求出随机抽取的学生人数，即可得到和学生人数，进而可补全频数分布直方图；
（）根据中位数的定义即可求解；
（）用乘以80分以上（含80分）成绩的学生占比即可求解；
本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，看到统计图是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，随机抽取的学生为人，
∴的学生为人，
∴的学生为人，
∴补全频数分布直方图如图：

（2）解：∵随机抽取的学生为人，
∴按照从低到高的顺序排列，中位数为第位和第位成绩的平均数，
∴中位数落在第分数段中，
故答案为：；
（3）解：，
答：估计全校被评为“劳动能手”的学生人数为人．
23．如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定，等角对等边的知识：
（）首先判定该四边形为平行四边形，然后由，即可证明四边形是矩形；
（）由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，由此即可求得的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C的仰角，从点E处看点B的仰角，且米．
(1)求点C到墙壁的距离；
(2)求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：）
【答案】(1)点C到墙壁的距离为米
(2)匾额悬挂的高度是4米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定；
（1）过C作于F， 直接解求出的长即可得到答案；
（2）过C作于H，则四边形是矩形，可得．解得到米；求出，解直角三角形得到，再解，得到，则，可得，米，．
【详解】（1）解：如图所示，过C作于F，
在中，米，
∴米；
答：点C到墙壁的距离为米；
（2）解：过C作于H，
∴，
则四边形是矩形，
∴．
在中，米，，
∴米
在中，，
∴，
∴ ，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
答：匾额悬挂的高度是4米．
25．如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)在（1）的条件下，，，求⊙O的半径．
【答案】(1)画图见解析
(2)证明见解析
(3)⊙O的半径为．
【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解；
（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证．
（3）由（2）得：，，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可.
【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示．
.
（2）∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点在以为直径的圆上，
∴，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵在和中，
∴．
∴．
（3）由（2）得：，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴⊙O的半径为．
26．阅读材料：
例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：

(1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
(2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标）
(3)求出代数式+的最小值．
【答案】(1)或；
(2)；
(3)最小值为10．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题．
（1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；
（2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和；
（3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．
【详解】（1）∵原式化为的形式，
∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点或的距离之和，
故答案为或；
（2）∵原式化为的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和，
故答案为：．
（3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，

∴的最小值，只需求的最小值，而点、B间的直线段距离最短，
∴的最小值为线段的长度，
∵
∴，，
∴ ，
∴代数式的最小值为10．
27．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．
(1)若是圆的“奇妙四边形”，则是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知的半径为R，四边形是的“奇妙四边形”．求证：；
(3)如图2，四边形是“奇妙四边形”，P为圆内一点，，，，且．当的长度最小时，求的值．
【答案】(1)③
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“奇妙四边形”的定义和正方形的判定定理解得即可；
（2）过点B作直径，分别连接，，，，证明，．可得，可得，再利用勾股定理可得答案；
（3）设的长度为a，，在中，利用勾股定理列出方程，利用即可求得的最小值，求得必值，再利用相似三角形是性质即可求得结论．
【详解】（1）解：若平行四边形是“奇妙四边形”，则四边形是正方形．
理由∶
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∵四边形是“奇妙四边形”，
∴，
∴矩形是正方形，
故答案为∶③；
（2）证明∶过点B作直径，分别连接，，，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵四边形是“奇妙四边形”，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（3）解：连接交于E，设的长度为a，，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
整理得，
∴
∴，
又，
∴，
∴a有最小值2，
即的长度最小值为2，
∴，
解得∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
28．在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点．
(1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标；
(2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积；
(3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）将、代入得，，可求，则，当时，，进而可求；
（2）如图1，作于，记与的交点为，设，则，，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解为，则，待定系数法求直线的解析式为，进而可得，则，根据，计算求解即可；
（3）如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，由，可知点即为所求，由勾股定理得，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，设，由，可求，（舍去），则，待定系数法求直线的解析式为，联立得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：将、代入得，，
解得，，
∴，
当时，，即；
（2）解：如图1，作于，记与的交点为，

设，则，，
∴，，，，
∵，∴，
∴，即，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∴，
∴，
∴的面积为；
（3）解：如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，
∵，，
∴，
∴点即为所求，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
解得，，（舍去），
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立得，，
解得，舍去或，
∴．