2024年中考第三次模拟考试题：数学（安徽卷）（解析版）

这是一份2024年中考第三次模拟考试题：数学（安徽卷）（解析版），共26页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．在−12024、−1、0、12024这四个数中，最大的数是（ ）
A．−12024B．−1C．0D．12024
【答案】D
【分析】本题考查有理数比较大小，根据负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵−1<−12024<0<12024，
∴最大的数是12024；
故选D．
2．如图为某几何体的三种视图，这个几何体可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查由三视图判断几何体，掌握立体图形和平面图形的关系是解题的关键．分别根据三个视图的意义观察求解．
【详解】解：根据几何体的三视图，只有A选项符合题意；
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A． x3·x2=x6B．3xy−xy=3C．（x+1）2=x2+1D．（−x3）2=x6
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项等知识，根据运算法则逐一计算判断即可，熟练掌握幂的运算法则和完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：∵x3·x2=x5，
∴A不合题意．
∵3xy−xy=2xy，
∴B不合题意．
∵（x+1）2=x2+2x+1，
∴C不合题意．
∵−x32=x6，
∴D符合题意．
故选：D．
4．不等式组−x+3<2xx+22≤4−x的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：−x+3<2x①x+22≤4−x②，
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：1在数轴上表示如图所示：
，
故选：B．
5．若实数x，y，m满足x+y+m=6，3x−y+m=4，则代数式1−2xy的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．联立方程组，解得x=5−m2y=7−m2，设w=1−2xy，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：x+y+m=63x−y+m=4
解得x=5−m2y=7−m2，
设w=1−2xy，
w=1−2xy=1−2×5−m2×7−m2=−12m2+6m−332，
∵−12<0，
∴w有最大值，最大值为4×−12×−332−364×−12=32，
∴代数式1−2xy的值可以是1，
故选：A．
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BF、OC、OD，则∠BFE−∠COD=（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【答案】D
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边对等角，先根据正六边形的性质得到AB=AF，∠BAF=∠AFE=120°，∠COD=360°6=60°，再由等边对等角得到∠AFB=30°，则∠BFE=∠AFE−∠AFB=90°，由此可得∠BFE−∠COD=90°−60°=30°．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=AF，∠BAF=∠AFE=180°×6−26=120°，∠COD=360°6=60°，
∴∠AFB=∠ABF=120°−∠BAF2=30°，
∴∠BFE=∠AFE−∠AFB=90°，
∴∠BFE−∠COD=90°−60°=30°，
故选：D．
7．新考法与新定义结合，如果一个自然数正着读和倒着读都一样，如121，32123等，则称该数为“回文数”．从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．16
【答案】B
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．先画树状图得出所有等可能结果数，从中找到“回文数”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图，
由图可知，所有可能组成的数有共有24种，其中恰好是“回文数”的共有8种，
∴从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是824=13，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点C作CE⊥BC交BD的延长线于点E，连接AE．若AB=AC=5，BC=6，则CE的长为（ ）
A．43B．83C．973D．573
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构建相似三角形是解题关键．过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AF于点N，首先根据勾股定理解得AF=4，再证明△CDM∽△CAF，由相似三角形的性质可解得DM，CM的值，然后证明△BDM∽△BEC，进而可获得答案．
【详解】解：如下图，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DM⊥BC于点M，
过点E作EN⊥AF于点N，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BF=CF=12BC=3，
∴AF=AB2−BF2=52−32=4，
∵AF⊥BC，DM⊥BC，
∴∠CMD=∠CFA=90°，
又∵∠DCM=∠ACF，
∴△CDM∽△CAF，
∴CDCA=DMAF=CMCF，
∵D是AC的中点，
∴CD=12AC，
∴DMAF=CMCF=12，
∴DM=12AF=2，CM=12CF=32，
∴BM=BC−CM=92，
∵CE⊥BC，DM⊥BC，
∴∠AMD=∠ACE=90°，
又∵∠MBD=∠CBE，
∴△BDM∽△BEC，
∴MDCE=BMBC，即2CE=926，
∴CE=83．
故选：B．
9．已知反比例函数y=kxk≠0在第二象限内的图像与一次函数y=ax+b的图像如图所示，则函数y=ax2−bx−k+1的图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则a<0，b>0，反比例函数y=kxk≠0的图象经过第二、四象限，则k<0，从而函数y=ax2−bx−k+1的图象开口向下，对称轴为直线x=−−b2a<0，−k+1>0，从而排除A、D，C，故可得解．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则a<0，b>0，反比例函数y=kxk≠0的图象经过第二、四象限，则k<0，
∴函数y=ax2−bx−k+1的图象开口向下，对称轴为直线x=−−b2a=b2a<0，−k+1>0．
∴综上，可得B正确．
故选：B．
10．如图，正方形ABCD边长为4，点E,F分别在边BC,CD上，且满足BE=CF,AE,BF交于P点，M,N分别是CD,BC的中点，则12PM+PN的最小值为（ ）

A．17B．25C．5D．455
【答案】C
【分析】由BE=CF,∠ABE=∠BCF,AB=BC可得△ABE≌△BCF，从而由角的关系可知AE⊥BF，故点P在以AB为直径的半圆O上移动，如图2，连OM,OP，在OM上截取OQ=1，连QP，△QOP∽△POM得12MP=QP，从而得QP+NP的最小值为线段QN的长度，如图3，作NG⊥OM，垂足为G，求出QN=QG2+GN2=5，则12PM+PN的最小值为QN=5．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,
又BE=CF,
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF,
又∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠FBE+∠BEA=90°,
∴∠BPE=∠BPA=90°,即AE⊥BF，
∴点P在以AB为直径的半圆O上移动，
如图，连OM,OP，在OM上截取OQ=1，连QP，

∵正方形ABCD边长为4，
∴OP=2,OM=4,
∵OQ=1,
∴OQ:OP=OP:OM=1:2
又∠QOP=∠POM,，
∴△QOP∽△POM.
∴QP:MP=1:2,
∴12MP=QP
∴12PM+PN=QP+NP，
而QP+NP的最小值为线段QN的长度，
如图，作NG⊥OM，垂足为G，则四边形OBNG是正方形，

∴OB=BN=NG=GO=2,
∴QG=1,
∴QN=QG2+GN2=5，
∴12PM+PN的最小值为QN=5．
故选：C
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是证明12PM+PN=QP+NP，而QP+NP的最小值为线段QN的长度，由勾股定理求出QN=5．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．因式分解：−a3+4a2−4a= ．
【答案】−aa−22
【分析】本题考查了分解因式，根据先提公因式再利用公式的步骤分解即可．先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】解：−a3+4a2−4a
=−aa2−4a+4
=−aa−22，
故答案为：−aa−22．
12．据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉上了一道除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142 亿人次，较去年增长29%, …．”将数据142亿用科学记数法表示为： ．
【答案】1.42×1010
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：142亿=1.42×1010，
故答案为：1.42×1010
13．如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，AC和BE都是⊙O的切线，点A和点B是切点，BE交OC于点E，OC交⊙O于点D，AD=CD．若OA=3，则CE的长为 .
【答案】6−23/−23+6
【分析】根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可求出∠C=30°=∠BOE，再根据直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值求出OC，OE即可．
【详解】解：如图，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠ADC=∠C+∠CAD，
∵AC是⊙O的切线，点A是切点，
∴∠OAC=90°，
即3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°=∠C=∠BOD，
在Rt△AOC中，OA=3，∠C=30°，
∴OC=2OA=6，
在Rt△BOE中，OB=3，∠BOE=30°，
∴OE=OBcs30°=23，
∴CE=OC−OE=6−23．
故答案为：6−23．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角形，掌握切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角是正确解答的关键．
14．如图，在矩形AOBC中，OB=6，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=kx(k>0)的图像与边AC交于点E，连接EF．
（1）tan∠EFC= ；
（2）将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，此时k的值为 ．
【答案】 2 274/634/6.75
【分析】（1）首先根据矩形的性质可得∠C=90°，AC=OB=6，BC=OA=3，结合题意确定点E、F的坐标，进而可得CE=18−k3，CF=18−k6，然后根据tan∠EFC=CECF求解即可；
（2）过点E作EH⊥OB于H，根据折叠的性质可得EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，证明△EHG∽△GBF，由相似三角形的性质可解得BG=32，在Rt△FBG中，由勾股定理可得FG2−BF2=BG2，代入并解得k的值即可．
【详解】解：（1）∵四边形AOBC为矩形，OB=6，OA=3，
∴∠C=∠OAC=∠OBC=90°，AC=OB=6，BC=OA=3，
∵F为BC边上的一点，过点F的反比例函数y=kx(k>0)的图像与边AC交于点E，
∴F6,k6，Ek3,3，
∴AE=k3，BF=k6，
∴CE=AC−AE=6−k3=18−k3，CF=BC−BF=3−k6=18−k6，
∴tan∠EFC=CECF=18−k318−k6=2；
（2）由（1）可知，CE=18−k3，CF=18−k6，CECF=2，
如下图，过点E作EH⊥OB于H，
∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴EHBG=EGFG=CECF=2，
∴3BG=2，
∴BG=32，
在Rt△FBG中，FG2−BF2=BG2，
∴18−k62−k62=322，
∴k=274．
故答案为：2；274．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的应用、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、折叠的性质、锐角三角函数等知识，用含有k的代数式表示出CE、CF是解题的关键．
三、解答题
15．计算：3−2−2024−π0+2sin60°+−13−1．
【答案】−2
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据实数的性质，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及特殊角的三角函数值化简，再根据实数的运算数序计算即可．熟练掌握实数的性质，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
【详解】解：3−2−2024−π0+2sin60°+−13−1
=2−3−1+2×32−3
=2−3−1+3−3
=−2．
16．我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？
【答案】甲有63只羊，乙有45只羊
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案．
【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
根据题意，可得x+9=2(y−9)x−9=y+9，
解得x=63y=45．
答：甲有63只羊，乙有45只羊．
17．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)在所给网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2:1，并写出点A1的坐标；
(2)作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
【答案】(1)(6,−6)
(2)见解析
【分析】本题考查作图−旋转变换、位似变换、点的坐标，熟练掌握旋转的性质、位似的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质作图，根据图形直接写出点的坐标即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．点A1的坐标为(6,−6)．
（2）解：如图，△A2B2C即为所求．
18．如图，第1个图案中“◎”的个数为1×2，“●”的个数为2×32；
第2个图案中“◎”的个数为2×3，“●”的个数为3×42；
第3个图案中“◎”的个数为3×4，“●”时的个数为4×52；
……
(1)在第n个图案中，“◎”的个数为_____，“●”的个数为_______．（用含n的式子表示）
(2)根据图案中“●”和“◎”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得第n个图案中“●”的个数是“◎”的个数的23．
【答案】(1)n(n+1)；(n+1)(n+2)2
(2)6
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“●”和“〇”个数变化的规律是解题的关键．
（1）根据所给图形，发现“●”和“〇”个数变化的规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【详解】（1）由题知，
第1个图案中“〇”的个数为1×2，“●”的个数为2×32；
第2个图案中“〇”的个数为2×3，“●”的个数为3×42；
第3个图案中“〇”的个数为3×4，“●”的个数为4×52；
…，
所以第n个图案中“〇”的个数为n(n+1)，“●”的个数为(n+1)(n+2)2；
故答案为：n(n+1)，(n+1)(n+2)2．
（2）由题知，
(n+1)(n+2)2=23n(n+1)，
解得n=−1或6，
因为n为正整数，
所以n=6．
故正整数n的值为6．
19．数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔AB的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走210m到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比i=1:3，，且点B，C，E在同一水平线上．．
(1)求点D到水平线BE的距离；
(2)求砖塔AB的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)点D到水平线BE的距离为2m
(2)6+43πm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
（1）作DG⊥BE于G，则∠DGC=90°，根据斜坡CF的坡比i=1:3，CD=210m，结合勾股定理求出GD的长即可得解；
（2）作DH⊥AB于H，则四边形DGBH为矩形，设AB=y m，则BC=AB=y m，则BG=(6+y)m，AH=(y−2)m，根据tan∠ADH=AHDH，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，作DG⊥BE于G，则∠DGC=90°，
∵斜坡CF的坡比i=1:3，
∴ GDCG=13，
设GD=x m，则CG=3x m，
由题意得：CD=210m，CD2=GD2+CG2，
∴ x2+3x2=210，
解得：x=2，
∴GD=2m，
∴点D到水平线BE的距离为2m；
（2）解：如图2，作DH⊥AB于H，
则∠DGB=∠DHB=∠HBG=90°，
∴四边形DGBH为矩形，
∴DH=BG，BH=GD，
设AB=ym，则BC=AB=ym，
∴BG=BC+CG=(6+y)m，AH=AB−BH=(y−2)m，
∴ tan∠ADH=AHDH，
∴ y−26+y=33，
解得：y=6+43，
∴ AB=6+43m，
∴砖塔AB的高度为6+43m．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点E，交AC于点F，且DF=DC．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若OF=10，BC=6，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)210
【分析】（1）连接OC，只要证明∠OCA+∠DCF=90°，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）作OG⊥AC于G，证明△AGO∽△OGF，求得OA=310，OC=310，在Rt△OCD中，利用勾股定理求得DF=DC=410，据此求解即可．
【详解】（1）解：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC，
∵∠AFO=∠DFC，
∴∠DCF=∠AFO，
∵OD⊥AB，
∴∠A+∠AFO=90°，
∴∠OCA+∠DCF=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：作OG⊥AC于G，则AG=CG，

∵OA=OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG∥BC，OG=12BC=3，
∴FG=OF2−OG2=1，
∵∠AGO=∠OGF=90°，∠A=∠FOG=90°−∠OFG，
∴△AGO∽△OGF，
∴OAOG=OFFG，
∴OA3=101，
∴OA=310，OC=310，
设DF=DC=x，
在Rt△OCD中，3102+x2=x+102，
解得x=410，
∴DO=x+410=510，
∴DE=DO−OE=510−310=210．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
21．某校在11月9日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，相应等级赋分为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
(1)根据以上信息可以求出：a=___________，b=___________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
(3)该校七、八年级共有1600人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】(1)9，10，图见详解
(2)七年级更好，理由见详解
(3)960人
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；先求出七年级C等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可；
（2）根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可；
（3）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以1600即可作出估计．
【详解】（1）解： ∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，
∴a=9，
∵八年级A等级人数最多，
∴b=10，
故答案为：9，10；
七年级成绩C等级人数为：25−6−12−5=2（人)，
七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：
（2）解：七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．
（3）解：6+12+(44%+4%)×2550×1600=960（人)，
答：估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有960人．
22．问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD是边AB上的高，点E为AC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC于点F．
猜想与证明：
（1）如图1，当点E为边AC的中点时，试判断点F是否为边BC的中点；
（2）如图2，连接EF，试判断△DEF与△ABC是否相似；
问题解决：
（3）如图3，当CE=CF时，试求线段CF的长．
【答案】（1）点F是边BC的中点，理由见解析；（2）相似，理由见解析；（3）247．
【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）由勾股定理求出AB=10，由面积求出CD=245，再由勾股定理求出BD=325，证明△CDE∽△BDF，得出CEBF=CDBD，求出BF=4，CF=BC−BF=4，故可得点F是BC的中点；
（2）由（1）知△CDE∽△BDF得DEDF=34，又CACB=34，可得DEDF=CACB，即DECA=DFCB，且∠EDF=∠ACB=90°，从而可证ΔEDF∽ΔACB；
（3）由（1）得CEBF=CDBD=34，求出BF=43CE，且CF=CE，由CF+BF=8，代入BF=43CE，从而可求出CF的长．
【详解】解：（1）点F是边BC的中点，理由：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴ AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵CD是边AB上的高，
∴ SΔABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴ CD=AC⋅BCAB=6×810=245，
在Rt△BCD中，BD=BC2−CD2=82−(245)2=325，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
又∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵DE⊥DF，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDF+∠BDF=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
∴△CED∽△BFD，
∴ CEBF=CDBD，
∵E点是AC的中点，
∴ CE=12AC=12×6=3，
∴ 3BF=245325=34，
解得，BF=4，
∴CF=BC−BF=8−4=4，
∴BF=CF，即点F是BC边的中点；
（2）由（1）知△CED∽△BFD，
∴ DEDF=CDBD=245325=34，
又CACB=68=34，
∴ DEDF=CACB，
∴ DECA=DFCB，
又∠EDF=∠ACB=90°，
∴△DEF∽△ABC；
（3）由（1）知△CED∽△BFD，
∴ CEBF=CDBD=34，
∴ BF=43CE；
又CE=CF，CF+BF=BC，
∴ CF+43CF=8，
解得，CF=247，
即线段CF的长为247．
23．已知抛物线y=a(x+2)(x−4)(a为常数，且a<0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，经过点B的直线y=12x+b与抛物线的另一交点为点D，与y轴的交点为点E．
(1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若DE=BE，试确定a的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接AC，BC，点P为抛物线在第一象限内的点，连接BP交AC于点Q，当S△APQ−S△BCQ取最大值时，试求点P的坐标．
【答案】(1)y=−12x2+x+4
(2)a=−13
(3)1,97
【分析】（1）令y=0，则a(x+2)(x−4)=0，求出A(4,0)，B(−2,0)，将B(−2,0)代入一次函数求出b=1，从而得出点D的坐标，再将D的坐标代入二次函数即可得解；
（2）由（1）得：B(−2,0)，y=12x+1，设点D的坐标为(m,n)，由DE=BE得出点D的横坐标为2，代入一次函数解析式得出点D的坐标，再将D的坐标代入二次函数即可得解；
（3）由（1）知：y=−12x2+x+4，A(4,0)，B(−2,0)，得出AB=6，求出点C的坐标得出OC=4，根据S△APQ−S△BCQ=(S△APQ+S△ABQ)−(S△BCQ+S△ABQ)=S△ABP−S△ABC，得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：在y=a(x+2)(x−4)中，令y=0，则a(x+2)(x−4)=0，
解得：x1=−2，x2=4，
∴A(4,0)，B(−2,0)，
将B(−2,0)代入y=12x+b得：12×(−2)+b=0，
解得：b=1，
∴ y=12x+1，
∵点D的横坐标为3，
∴当x=3时，y=12×3+1=52，
∴ D3,52，
将D3,52代入抛物线解析式得：a(3+2)×(3−4)=52，
解得：a=−12，
∴ y=−12(x+2)(x−4)=−12x2+x+4；
（2）解：由（1）得：B(−2,0)，y=12x+1，
设点D的坐标为(m,n)，
∵BE=DE，
∴E为BD的中点，
∵E在y轴上，
∴ −2+m2=0，
∴m=2，
在y=12x+1中，当x=2时，y=12×2+1=2，
∴D(2,2)，
将D(2,2)代入抛物线解析式得：a(2+2)×(2−4)=2，
解得：a=−14；
（3）解：由（1）知：y=−12x2+x+4，A(4,0)，B(−2,0)，
∴AB=4−(−2)=6，
在y=−12x2+x+4中，当x=0时，y=4，
∴C(0,4)，
∴OC=4，
设P(p,−12p2+p+4)(0∴S△APQ−S△BCQ
=(S△APQ+S△ABQ)−(S△BCQ+S△ABQ)
=S△ABP−S△ABC
=12AB⋅yP−12AB⋅OC
=12×6×−12p2+p+4−12×6×4
=−32p2+3p+12−12
=−32p2+3p
=−32p2−2p
=−32p−12+32，
∵ −32<0，
∴当p=1时，S△APQ−S△BCQ的值最大，此时P1,92．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合—面积问题，待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
8.76
a
9
1.06
八年级
8.76
8
b
1.38