2024泉州四校联盟高二下学期5月期中考试数学含解析

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考试时间：120分钟，满分150分，命卷人：康湫婉 审核人：谢辉阳
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1.曲线在处的切线与直线平行，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.二项式的展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. D.
3.元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆､赏花灯､猜灯谜.小明爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小明随机抽取2个灯谜，事件为“取到的2个为同一类灯谜”，事件为“取到的2个为事物谜”，则（ ）
A. B. C. D.
4.中国古代中的“礼､乐､射､御､书､数”合称“六艺”.为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A.48种 B.36种 C.24种 D.20种
5.设随机变量，若，则（ ）
A. B. C.2 D.1
6.若，则的值为（ ）
A.45 B.55 C.120 D.165
7.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9.已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，则下列结论正确的是（ ）
A.展开式中二项式系数最大项为第1012项
B.展开式中所有项的系数和为1
C.
D.
11.已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.函数的图像与直线只有一个公共点
D.对任意的
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.设是等差数列的前项和，若，则__________.
13.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲､乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有__________种.（用数字作答）
14.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于个外卖店（外卖店的编号分别为，其中，约定：每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单.设事件表示“第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则__________，与的关系式为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项.
（1）求数列的公比；
（2）若，数列的前项和为且，求的最小值.
16.（15分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球.
（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
（2）抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；
（3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
17.（15分）已知函数（为常数）
（1）讨论函数的单调性；
（2）不等式在上有解，求实数的取值范围.
18.（17分）某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品､特级､优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
（1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
（2）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，表示抽取的珍品的箱数，求的分布列及均值.
19.（17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
南星中学、泉港二中、晋江陈埭民族中学、福师大泉州附中四校联盟
2023-2024学年度下学期期中考高二年段数学学科试卷参考答案
1.C
【详解】解：由得，
因为曲线在处的切线与直线平行
所以，解得.故选：C.
2.B
【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项为，令，解得，所以，
所以二项式的展开式中含项的系数为.故选：B.
3.B
【详解】由题意可得，，
所以，故选：B.
4.A
【详解】依题意，“礼”在第一次，固定，“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与另外3艺进行排列，所以“六艺”讲座不同的次序共有种，故选：A
5.A
【详解】
即，所以，故选A.
6.【答案】D
【详解】因为，则，解得，
故
.故选：.
7.D
【详解】，
则是偶函数，图象关于轴对称，排除C，
当且，排除A，
当时，，则，
，则有两个不同的零点，
即当时，函数至少有三个单调区间，排除故选：D.
8.D
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，
则，
又因为函数也是偶函数，所以，得，
因为为减函数，为增函数，所以为减函数，
令，得，所以时，在上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集为.故选：D
9.【答案】BD
【详解】对于，由分布列的性质可得，解得，故错误；
对于，故B正确；
对于，故C错误；
对于D，，故D正确.故选：BD.
10.【答案】BCD
【详解】对于，由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为，易知应为第1013项，即A错误
对于，令，可得，
即展开式中所有项的系数和为1，可得正确；
对于，令，可得，令，可得，所以，即C正确；
对于，将等式两边同时求导可得，，
再令，可得，即D正确.
故选：BCD
11.ACD
【详解】对于，因为函数在处取得极值，
所以，解得，故A正确.
即
对于，因为真数，所以所以，欲证，只需证
因为，定义域为
所以，令，解得
所以当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以，即，所以，即，故B错误
对于，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，
即证只有一个根，即只有一个根，
由上述可得在递减，在递增，
所以，故C正确
对于，由上述得恒成立，
即恒成立，
所以当时，，即
因为
所以
且
所以，即证，故D正确
故选：ACD.
12.10
【详解】因为为等差数列，所以，
所以.故答案为：10.
13.450
【详解】若6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人，
若每组人数分别为，共有种，
若每组人数分别为，共有种，
综上所有不同的安排方法共有.故答案为：450
14.；
【详解】根据题意，事件表示“第3次取单恰好是从1号店取单”，
因此
同理
.
故答案为：.
15.（满分13分）【详解】（1）设等差数列的公差为，由是等比数列的连续三项，
得
即，化简得.
.
设数列的公比的公比为，则.
（2）若，则，
.
由，得，
故的最小值为1011.
16.（满分15分）
【详解】（1）记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，
则，
故
（或直接用也给5分）
（2）设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”
（3）在（2）的条件下
.
（公式2分，计算1分）
17.（满分15分）
【详解】（1）的定义域为，
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，解得，
若，则，所以在上单调递增，
若，则，所以在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）在上有解在上有解，
在上有解，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
且
所以，
所以，
故实数的取值范围是.
18.（满分17分）
【详解】（1）设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件，
则，
现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为，则，
所以恰好有2箱是一级品的概率为.
（2）设方案二中每千克橙子的价格为元，
则，
因为，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一.
（3）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数服从超几何分布，其中，.
的分布列为：
.
19.（满分17分）【详解】（1）设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
，
，
所以
.
即.
（3），则
，设.
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增，
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.-2
1
3
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
等级
珍品
特级
优级
一级
价格/（元）
36
30
24
18
0
1
2
3