2024年广东省肇庆市封开县中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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（时间： 120分钟， 满分： 120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如果向东走米记为米，那么向西走米记为（ ）
A. 米B. 米C. 0米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的应用．熟练掌握相反意义的量，正负数的应用是解题的关键．
由题意知，向东走记为，则向西走记为，然后判断作答即可．
【详解】解：∵向东走米记为米，
∴向西走米记为米，
故选：B．
2. 下列四个航空公司的图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．
按照中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：将选项中的图像绕某一点旋转得到的图像如下，依次为：
可知属于中心对称图形的是D，
故选∶D．
3. 在，，0，2这四个数中，最小的一个数是（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数大小的比较， 有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴最小的是，
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则．
依据同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式和完全平方公式运算法则求解即可．
【详解】解：A．，故本选项错误，不合题意；
B．，故本选项错误，不合题意；
C．，故本选项正确，符合题意；
D．，故本选项错误，不合题意．
故选：C．
5. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的加减运算．根据题意，分母相同，分子直接运算再约分即可．
【详解】解：
故选：D．
6. 今年哈尔滨旅游火出圈了，截止元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客3047900人次，其中3047900这个数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．将3047900写成（，n为整数）的形式即可．
【详解】解：，
故选：C．
7. 把一副普通扑克牌中的13张红桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，则抽到牌面数字是3的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查简单的概率公式计算．根据题意，先求总共出现的情况数，再求符合条件的数即可．
【详解】解：从一副普通扑克牌中的13张红桃牌随机抽取1张一共有13种情况，抽到牌面数字是3的情况就1种
抽到牌面数字是3的概率为．
故选：A．
8. 已知点在第四象限，则x的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内符号特征，解一元一次不等式，根据第四象限的点的横坐标是正数可得不等式，求出解集，即可得出答案．
【详解】∵点在第四象限，
∴，
解得．
在数轴上表示为：
故选：A．
9. 如图，为的直径，点为圆上两点，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弦、弧、圆心角之间的关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，连接，由可得，进而得到，又由为的直径，可得，利用直角三角形两锐角互余即可求解，掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
故选：．
10. 如图， 已知抛物线 经过等边的三个顶点O， A， B， 点A在x轴上，点B 是抛物线的顶点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查二次函数的图象和性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，数形结合和熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.先求出点A的坐标是，则，过点B作于点H，根据等边三角形的性质和解直角三角形可以得到点B的坐标是，把点B的坐标代入函数解析式即可求出答案.
【详解】解：令,
解得或，
∴点A的坐标是，
∴，
过点B作于点H，
∵是等边三角形，
∴垂直平分，
∴，，
∴点B的坐标是，
∵点B在 抛物线 上，
∴
∴，
由图象得，，
∴
解得，
故选：D
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：a2﹣3a=_______．
【答案】a（a﹣3）
【解析】
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【详解】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为a（a﹣3）．
12 计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式乘法，解题的关键是掌握运算法则．
13. 已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A ）与电路的电阻R单位：Ω）是反比例函数关系，根据表格 则_________．
【答案】12
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．设该反比函数解析式为，根据当时， ，可得该反比函数解析式为 ，再把代入，即可求出电流．
【详解】解：设该反比函数解析式，由题意得：当时， ，
则，
解得：，
∴该反比函数解析式为，
当 时，，
故答案为：12．
14. 某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打_________折出售．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用．设打折，用含的式子表示出售价，再减去进价就是利润，列出方程求解即可．
【详解】解：设打折，根据题意得
解得
即打8折出售．
故答案为：８．
15. 如图，在边长为2的等边中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质与判定，设中点为O，分别与半圆交于E、F，连接，分别证明，都是等边三角形，进而得到，据此根据扇形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，设中点为O，分别与半圆交于E、F，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，，
∴都是等边三角形，
∴，
故答案为：．
三、解答题 （一） ：本大题共3小题， 第16题10分， 第17， 18题各7分， 共24分．
16. （1）计算：
（2）先化简，再求值： 其中．
【答案】（1）3；（2），0
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，整式的混合运算，乘法公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键；
（1）先计算立方根，绝对值，乘方运算，再合并即可；
（2）利用乘法公式先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】（1） 解：
（2）解：

；
当时，
原式
17. 为了响应国家低碳出行的号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车，李老师家距学校5千米，已知汽车的速度是自行车速度的4倍，若李老师要按原来的时间到校，则每天比原来提前15分钟出发，求李老师骑自行车的速度．
【答案】15千米/时
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
设张老师骑自行车的平均速度是每小时千米，每天比原来提前15分钟出发列方程求解即可；
【详解】解：设李老师骑自行车的速度是x千米/时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：李老师骑自行车的速度是15千米/时．
18. 为测量实验学校旗杆高度，数学兴趣小组进行了如下测验：某同学在与升旗台水平的地面移动，当旗杆顶部、观测者视力所在直线与水平线成时，停止移动．经测量，此时眼睛与旗杆BC距离为7.20米，升旗台台阶高为0.50米，眼睛到地面的距离为1.58米，请运用所学知识，计算学校旗杆的高度．（结果精确到0.1米， ）
【答案】13.6米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．在直角中，先求出，然后由求出,最后就可求得．
【详解】解： 由题意得， 是直角三角形
（米）
（米）
（米）．
答： 学校旗杆高度约13.6米．
四、解答题 （二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．

（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求与作法）；
（2）在（1）的条件下，求∠BDC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）72°
【解析】
【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出BD；
（2）利用等腰三角形的性质以及角平分线的性质分析得出答案．
【详解】（1）如图所示：BD即为所求；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°．
【点睛】此题主要考查角平分线的作图与角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质．
20. 为了弘扬爱国主义精神，实验中学在五四青年节，组织了唱红歌活动，八（3）班选定了三人合唱小组，排练时歌手，，的站位如图所示：
（1）如果点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______；
（2）在（1）的坐标系下，连接，，，求出的面积；
（3）在（1）的坐标系下，歌手保持不动，将歌手向上平移个单位后再向右平移个单位到，将歌手向上平移个单位到，请判断由，，三点构成的三角形是否为直角三角形？为什么？
【答案】（1）
（2）
（3）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系，点的平移，勾股定理及其逆定理，解题的关键是数形结合，能够利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形．
（1）根据题意建立直角坐标系即可求解；
（2）根据面积的和差即可求解；
（3）先根据平移的性质得到对应点的位置，再利用勾股定理的逆定理即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
可得点的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
如图，连接，，，
；
【小问3详解】
是直角三角形，
理由：如图所示：
，，，
，
是直角三角形．
21. 某校为了从甲、乙两位同学中选拔一人去参加亚运知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如下统计图：
（1）根据统计图，填写表格：
（2）如果你是校方领导，从平均数、中位数、众数、方差的角度看，你会选择哪位同学参加知识竞赛？请说明理由．
【答案】（1）91，85
（2）从平均分看，甲、乙的成绩相当；从中位数和众数看，甲的成绩比乙高；从方差看，甲成绩的方差比乙小，更稳定．因此我会选择甲同学参加知识竞赛
【解析】
【分析】（1）根据图中数据计算即可；
（2）根据甲、乙平均数、中位数、众数、方差进行分析即可；
【小问1详解】
解：根据甲成绩条形统计图，可得甲中位数：
根据乙折线统计图，可知乙的众数：85
【小问2详解】
从平均分看，甲、乙的成绩相当；从中位数和众数看，甲的成绩比乙高；从方差看，甲成绩的方差比乙小，更稳定．因此我会选择甲同学参加知识竞赛
【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差，掌握相关概念和计算方法是解题的关键．
五、解答题 （三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 综合与实践
素材：一张边长为4的正方形纸片
步骤1：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
步骤2：再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点在边上，过点作的垂线交射线于点．
（1）如图1，若点落在边上，直接写出的度数；
（2）如图2， 设，， 试求y关于x的函数表达式；
（3）如图3， 为的外接圆，若与边相切，求的长．
【答案】（1）；
（2）关于的函数表达式为；
（3）．
【解析】
【分析】（1）证明，推出，，得到是等边三角形，据此求解即可；
（2）过点作于点，同理证明，推出，在中，由勾股定理求解即可；
（3）设与边相切于点，连接并延长，交边于点，证明是的中位线，求得，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可．
【小问1详解】
解：，理由如下，
∵，四边形正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得，，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
由对称性可知：
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点作于点，如图，
同理四边形是矩形，

由折叠的性质知，，
同理，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，整理得，
∴关于的函数表达式为；
【小问3详解】
解：设与边相切于点，连接并延长，交边于点，如图，

设，，由（2）知，
∵与边相切于点，，
∴，即，
∴，
∵，
∴是的直径，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
在中，，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，垂径定理，切线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上．已知等边的边长为6，点D是x轴上一点，连接．
（1）点A坐标为 ；
（2）如图2，当点D在点B左侧时，将线段绕点A逆时针旋转角度得到线段，连接，．
①当时，恰好平分，若点D坐标为，求的长；
②如图3，当时，设点D坐标为，记的面积为S，求S关于x的函数表达式．
【答案】（1）
（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）等边三角形的性质结合勾股定理即可求解；
（2）①过点作于点，先证，再利用等边三角形性质、角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可求得答案；
②线段与线段的交点为G，在上截取一点N，使得，连接，．先证，再证四边形为平行四边形，从而求得，据此计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵等边的边长为6，且，
∴，，
∴，
∴点A坐标为；
小问2详解】
解：①过点作于点，如图，
由题意得点B坐标为，点C坐标为，点A坐标为，
又点D坐标为，
同，由旋转的性质知，，又，
∴，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，，
∵，
∴；
②如图所示，线段与线段的交点为G，在上截取一点N，使得，连接，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴，．
∴，，
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴，
∴，
又由四边形为平行四边形可得，点B和点E到的距离相等，都为，
∵点D坐标为，
∴，
∴，
∴的面积为，
即S与x的函数关系式为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，含的直角三角形和勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．
10
2.4
2
1.2
a
50
60
100
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
甲
90
①
93
乙
90
87.5
②