河南省平顶山市汝州市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图，和的位置关系是（ ）
A. 对顶角B. 同位角C. 内错角D. 同旁内角
2. 下列各式运算正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 如图，一棵树生长在的山坡上，树干垂直于水平线，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
4. 已知，下列关于值的叙述何者正确？（ ）
A. 小于0
B. 介于0与1两数之间，两数中比较接近0
C. 介于0与1两数之间，两数中比较接近1
D. 大于1
5. 如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩：用一块三角尺的一边紧贴在起跳线上，一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B 两点确定一条直线
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
6. 如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）

A. B. C. D.
7. 设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（ ）
A. 若a//b，b//c，则a//cB. 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C. 若a⊥b，b⊥c，则a//cD. 若a//b，b⊥c，则a⊥c
8. 如图①，在矩形中，动点从出发，以恒定的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为．面积为，若与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（ ）
A. 36B. 54C. 72D. 81
9. 由，可得：，即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方差公式．下列应用这个立方差公式进行的变形不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 如图是一辆汽车从甲地到乙地，其速度随时间（分）的变化而变化的情况．下列说法：①汽车从甲地到乙地共用时20分钟；②汽车匀速行驶的路程和共；③汽车行驶过程中前10分钟与前12分钟的平均速度相同；④汽车在第分钟可能进加油站加油．其中正确的是（ ）

A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. ______．
12. 如图，已知，，以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E．则___________度．

13. 如图所示的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）所示的杯子中，那么一共需要_______个这样的杯子？（单位：cm）
14. 在夏至这一天，测得太阳光与地面的夹角y和北纬纬度x之间满足下列对应关系：
请写出变量y与x之间的关系式：________．（不写变量x的取值范围）
15. 如图（1）所示是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图（2），再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是______．
三、解答题（本题8个小题，共75分）
16. 计算
（1）
（2）（要求：利用整式乘法公式进行计算）
17. 如图，已知，请判断与的位置关系，并说明理由．

18. 心理学家艾宾浩斯研究了人类大脑对新事物遗忘的规律．他用无意义的音节作为记忆的材料，记录学习后的时间（单位：）和对应的记忆留存率，将实验数据绘制成一条曲线，即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．下图是根据艾宾浩斯遗忘曲线绘制的内记忆留存率与学习后的时间的关系，结合图象回答以下问题．
（1）图象表示是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）请说明点的实际意义；
（3）根据图中信息，对新事物的学习提出一条合理的建议．
19. 学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路：
（1）可以用“整体思想”把转化为：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种方法写出计算过程．
（2）可以用“数形结合”的方法，面出表示的图形，请你在给出的方框中画出图形，并作适当标注．然后根据面积关系直接写出的结果．
20. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角及扶手与靠背的夹角的度数．

21. 如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化”的示意图，下面表格中，是通过运算得到的几组与的对应值．根据图表信息解答下列问题：
（1）直接写出： ， ， ；
（2）当输入的值为时，求输出的值；
（3）当输出的值为12时，求输入的值．
22. 阅读与思考
请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务一：补全上面小丽的解答过程：① ；② ．
任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关．探索过程如下：
；
；
；
…
（1）请直接写出： ；
（2）请用代数式表示小丽发现的这一规律：
任务三：观察：，，，……的计算结果，类比任务二，用代数式表示你发现的规律：
23. 【感知】（1）如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求．按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案）
【探究】（2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，在备用图中画出图形，直接写出结论
①点在线段上；
②点在射线上．
【拓展】（4）我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题．已知：如图3，三角形，说明．
北纬纬度（x）度
北纬24度
北纬32度
北纬40度
北纬48度
…
夹角（y）度
89.5°
815°
73.5°
65.5°
…
输入
…
0
2
…
输出
…
2
18
…
在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下：
观察下列各式：，，，…
个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？
小丽的思考如下：
假设个位数字是5的两位数的十位数字为，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为①，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是②．