黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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命题人：王洪亮 审题人：王洪亮
考试用时：120分钟 总分：150分
一､单选题：
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本初等函数求导公式判断即可.
【详解】对于A项：常值函数求导，，所以A错；
对于B项：指数函数求导，，所以B错；
对于C项：幂函数求导，，所以C错；
对于D项：对数函数求导，，所以D正确.
故选：D.
2. 某班有5名男同学，4名女同学报名参加辩论赛，现从中选取4名同学组成一个辩论队，要求辩论队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的辩论队数量是（ ）
A. 120B. 126C. 210D. 420
【答案】A
【解析】
【分析】先求出符合要求的辩论队总数，再排除不符合条件的情况即可.
【详解】若总的辩论队数量是，则全是男生的辩论队数量是，
全是女生的辩论队数量是，
故满足的辩论队数量是，
故选：A．
3. 已知函数，则（ ）
A. －3B. －2C. 7D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】求导代入求解即可.
【详解】，令可得，解得.
故选：D
4. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全概率公式，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品，
由题可得：，
故.
故选：A.
5. 用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？（ ）
A. 240B. 480C. 120D. 200
【答案】A
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理与排列的知识即可得解.
【详解】根据题意，“英语角”、“语文学苑”和“理综世界” 两两相邻，有种方案，
而“数学天地”只和“理综世界”相邻，只要和“理综世界”的颜色不同即可，故有4种方案，
总共有种方法.
故选：A
6. 若对任意的，且，都有，则实数的最小值是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件得到，构造函数，利用导数与函数间的关系，求出的单调减区间，即可求出结果.
【详解】因为，由，得到，即，
令，则在区间上单调递减，
又，由，得到，
由，得到，即在区间上单调递减，所以，
故选：B.
7. 已知随机变量的分布列为
若，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由概率和为1可确定，即可确定，后由方差性质可得答案.
【详解】由，得，则，．因为，所以．
故选：
8. 已知函数，，若，，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意构造函数，得到，化为，借助导数求函数的单调性，从而确定函数的最小值即可.
【详解】因为，，使得，所以，
即，令，，
则，所以函数在上单调递增，所以，即，
所以，令，，则，令，可得，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以函数在处取得极小值即最小值，，所以的最小值为.
故选：C
【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：
积型：，①，构建；
②，构建；
商型：，①，构建；
②，构建；
和型：，①，构建；
②，构建.
二､多选题：
9. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）
A. 函数的最小值是
B. 在区间上单调
C. 是函数的极值点
D. 曲线在附近比在附近上升得更缓慢
【答案】BD
【解析】
【分析】由图形，根据导数在研究函数单调性的应用，结合极值点的概念即可判断ABC；根据导数的几何意义即可判断D.
【详解】对于A：由图可知，单调递减，单调递增，
所以，故A错误；
对于B：由图可知，单调递增，故B正确；
对于C：由图可知单调递增，单调递增，
所以不是函数的极值点，故C错误；
对于D：由导数的几何意义知，，且，
所以在处的切线的斜率小于处的切线的斜率，
即曲线在附近比在附近上升得更加缓慢，故D正确.
故选：BD
10. 某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A. 若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法
B. 若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有96种排法
C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法
D. 若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这6名同学共有480种排法
【答案】ACD
【解析】
【分析】捆绑法解决选项A，插空法解决选项BC，特殊优先法或间接法解决选项D.
【详解】选项A，将3名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，
则有（种），故A正确，
选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，
则有（种），故B不正确，
选项C，先排3名男生，3名女生插空，
则有（种），故C正确，
选项D，间接法，6人排列有（种）情况，
男生甲在排头或排尾，则有（种），
所以男生甲不在排头也不在排尾有（种），
故D正确，
故选：ACD.
11. 已知，则下列描述不正确的是（ ）
A. B. 除以5所得的余数是1
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B.
【详解】，
令，可得，再令，可得，
,故A错误．
由于，即展开式各项系数和系数和，
故，，故C错误．
由题意，，
显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确．
把函数两边同时对求导数，可得，
再令，可得，，可得，
故,故D错误．
故选：ACD．
12. 关于函数，下列判断正确的是（ ）
A. 是的极小值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数k，使得恒成立
D. 对任意两个正实数，且，若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，求定义域，求导，得到函数单调性，进而得到是的极小值点；B选项，令，求定义域，求导，得到函数单调递减，结合特殊点函数值及零点存在性定理得到结论；C选项，参变分离，构造函数，进行求解；D选项，设，即有，由得到，从而，构造函数，得到函数单调性和极值最值情况，证明出结论.
【详解】A选项，定义域为，
∴，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴是的极小值点，即A正确；
B选项，令，定义域为，
∴恒成立，
∴单调递减，
∵，，
由零点存在性定理可知，，使得，
∴有且只有一个零点，故B正确；
C选项，，即等价为，，
令，，则，，
令，，则，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，
故，可得在单调递减，则无最小值，
所以不恒成立，故C错误；
D选项，设，即有，
，即为，
化为，
故，所以，
则，
设（），可得，
令，则在上恒成立，
可得，
∴，故单调递增，可得，故成立，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
三､填空题：
13. 将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（每盒至少装1个小球），则不同的装法有______种.
【答案】36
【解析】
【分析】采用隔板法进行求解.
【详解】将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空中任取2个画上竖线，
这样就将10个小球分成了3组．如图所示的是其中一种分法.
将每组小球按顺序装入3个盒子中，则画竖线的方法数就等于题中所求的装法数，
故满足题意的装法共有（种）.
故答案为：36
14. 若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出给定函数的导数，根据已知由小于0在有解，求出a的范围.
【详解】函数，求导得，
函数在上存在单调递减区间，得，即在有解，
当时，，，因此，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
15. 从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,在选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】令事件，，求出，，即可求出选出4号球条件下，选出球的最大号码为6的概率．
【详解】令事件，，
依题意知，，
∴，故答案为.
【点睛】本题考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，掌握列举法，还要应用排列组合公式熟练，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题，属于中档题.
16. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由有两个不同的极值点，转变成直线与有两个不同的交点，数形结合即可求解.
【详解】函数定义域为，
因为有两个不同的极值点，
所以有两个不同的根，即有两个不同的根，
即直线与有两个不同的交点，
，令，，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
如图所示：
所以，所以.
解得：.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于将题意转化为直线与有两个不同的交点，对求导，得出其单调性和最值，画出的图象，数形结合即可求解.
四､解答题：
17. 用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？
（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】（1）先排个位数，方法数有种，然后排千位数，方法数有种，剩下百位和十位任意排，方法数有种，再按分步乘法计数原理即可求的种类数.（2）有三类，第一类是千位是中任意一个的、第二类是千位是，且百位是中的一个的、第三类是千位是，且百位是和十位是中的一个的.把这三种情况的种类数相加，即可求得结果.
【详解】(1) 个.
（2）个.
【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的首位不能为零，故第二考虑的是千位.本小题属于基础题.
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依据题意求出切点，结合导数的几何意义得到斜率，最后得到切线方程即可.
（2）利用导数得到函数的单调性，进而求出函数最小值即可.
【小问1详解】
易知，故切点为，设切线斜率为，
而，故，故切线方程为.
即曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
由题意得，而，
易知的定义域为，令，得，
令，得，故在上单调递减，在上单调递增，
则最小值为.
19. 已知在的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；
（2）求含的项的系数.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据二项式定理的通项公式即可解题.
（2）令通项公式中的指数为2即可解题.
【小问1详解】
根据二项式定理写出的通项公式为：
……①
二项式展开的第6项……②
②代入①有第6项为：……③
第6项为常数，且由③式可得：……④
因为展开式共有项，故二项式系数最大项为第项，此时的，
展开式第的二项式系数为，
故答案为：.
【小问2详解】
由第1小问可知，且通项公式为：……⑤
只需要令⑤式中的指数为2……⑥
含的项的系数，
故答案为：.
20. 不透明的袋子中装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，再放入1个红球和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列以及数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意结合古典概型以及互斥事件概率求法分析求解；
（2）由题意可知：随机变量的可能取值为1，2，3，进而求分布列和期望.
【小问1详解】
设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”，
设事件为“取出2个黑球”，则，
事件为“取出2个红球”，则，
事件为“取出1个红球1个黑球”，则，
因为事件B，C，D互斥，且，则，
所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为.
【小问2详解】
由题意可知：随机变量的可能取值为1，2，3，则有：
，，，
所以X的分布列为：
所以.
21. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）记函数的导函数为，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先确定定义域，求导得：，然后根据的a的正负进行分类讨论即可；
（2）由恒成立，参变分离得分析求最小值即可.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ， ，
①当时，对任意的 ， ，此时函数的减区间为，无增区间；
②当时，由 可得，由 可得，
此时函数的单调递增区间为，递减区间为；
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为.
【小问2详解】
若不等式恒成立，则有，
设函数，，，
令得，即，所以存在，使得成立，
所以①，且，即②，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
代入①②，可得，
要使得恒成立，则即可，
所以.
【点睛】方法点睛：（1）分类讨论思想，常规的单调性分析，通常通过求导解不等式即可，但要注意含参时对参数的讨论；
（2）恒成立问题，通常转化为函数最值问题；
（3）参变分离，含参数的恒成立问题，通常进行参变分离，求函数的最值即可.
22. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
（1）证明不是区间上的2阶无穷递降函数；
（2）计算：；
（3）记，；求证：.
【答案】（1）证明见详解；
（2）；
（3）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）根据k阶无穷递降函数的定义即可证明；
（2）记，取对数得，利用洛必达法则求出，然后可得的值；
（3）先证明是上的2阶无穷递降函数，可得，然后证明即可得证.
【小问1详解】
记，
因为，
所以在区间不恒成立，
所以，不是区间上的2阶无穷递降函数.
【小问2详解】
记，则，
因为，
所以，所以.
【小问3详解】
因，所以，
所以，
即对任意，均有，
所以，
因为，
所以
，
所以，时，.
【点睛】思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点：
（1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点；
（2）利用好定义所给的表达式及相关条件；
（3）含有参数时要注意分类讨论.
0
1
2
P
a
X
1
2
3
P