2023-2024学年安徽省黄山市屯溪一中高二（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年安徽省黄山市屯溪一中高二（下）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=3x2+bx+c(b,c∈R)，若limΔx→0f(b+△x)−f(b)△x=14，则b=( )
A. −1B. −2C. 1D. 2
2.(x+y−z)6的展开式中xy2z3的系数是( )
A. 60B. −60C. 120D. −120
3.用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有( )
A. 96种B. 24种C. 48种D. 12种
4.已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)>0的解集为( )
A. (0,12)∪(2,+∞)B. (−∞,0)∪(12,2)
C. (−∞,0)∪(12,+∞)D. (−∞,12)∪(2,+∞)
5.同济大学为弘扬我国古代的“六艺文化”，计划在社会实践活动中每天开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程中的一门，不重复开设，连续开设六天，则课程“礼”与“乐”相邻，但均与“射”不相邻的不同排法共有( )
A. 72种B. 144种C. 240种D. 252种
6.如图，用M，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统，当M正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知M，A1，A2正常工作的概率依次是12，34，34，已知在系统正常工作的前提下，则只有M和A1正常工作的概率是( )
A. 59B. 34C. 15D. 19
7.已知函数f(x)=x2ex，若关于x的方程[f(x)]2−mf(x)+1=0有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A. (4e2+e24,+∞)B. (4e2−e24,+∞)C. (2e+e2,+∞)D. (2e−e2,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共23分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值可能是( )
A. 14B. 712C. 512D. 34
9.A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( )
A. 若A、B两人站在一起有24种方法
B. 若A、B不相邻共有72种方法
C. 若A在B左边有48种排法
D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法
10.
11.设函数f(x)=exlnx，则下列说法正确的是( )
A. f(x)定义域是(0,+∞)B. x∈(0,1)时，f(x)图象位于x轴下方
C. f(x)有且仅有两个极值点D. f(x)存在单调递增区间
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若3C2n3=5An3，则正整数n=______.
13.安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为______.
14.若过点P(1,m)(m∈R)有3条直线与函数f(x)=xex的图象相切，则m的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球．
(1)若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？
(2)若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？
(3)取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取4球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？
16.(本小题15分)
已知(3x2+3x2)n展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992.
(1)求n；
(2)求展开式中x6的项；
(3)求展开式系数最大项．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−ax+3，a∈R.
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围.
18.(本小题17分)
甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮，每轮比赛从队伍中选出一人参与，参与比赛的选手从曲库中随机抽取一首进行猜歌名.若每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同.甲首次参与猜歌名，猜对的概率为23；甲在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为34；甲在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为12.乙首次参与猜歌名，猜对的概率为12；乙在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为23；乙在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为12.甲、乙互不影响.
(1)求在两轮比赛中，甲只参与一轮比赛的概率；
(2)记“梦想队”一共猜对了X首歌名，求X的分布列及期望.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=12x2，g(x)=alnx.
(1)若曲线y=f(x)−g(x)在x=1处的切线与直线x+3y=0垂直，求实数a的值；
(2)设h(x)=f(x)+g(x)，若对任意两个不等的正数x1，x2，都有h(x1)−h(x2)x1−x2>4恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若[1,e]上存在一点x0，使得f′(x0)+1f′(x0)0；
当120或x0，x→+∞时，f(x)→0，f(x)的图象如图所示：
因为方程[f(x)]2−mf(x)+1=0有四个不同的实数根，
设t=f(x)，等价于t2−mt+1=0有两个不等实数根，且00−−m2>0h(4e2)0(4e2)2−m(4e2)+14e2+e24，
故选：A.
首先利用导数求出函数f(x)的单调性和极值，并画出函数的图象，令t=f(x)，将题意转化为t2−mt+1=0有两个不相等的根，且01.75，
解得p>52或p0恒成立，
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，
∵g(1)=−1，g(2)=ln2−12>0，
∴存在x0∈(1,2)，使得g(x0)=0，
∴当x∈(0,1)，(1,x0)时，f′(x)0，
故f(x)在(0,1)，(1,x0)单调递减，在(x0,+∞)单调递增，
当x→0时，f(x)→0，
∴当x∈(0,1)时，f(x)的图象位于x轴下方，
∴当x=x0 时，函数f(x)取得极小值，无极大值，故有一个极值点，
综上可判断，BD正确．
故选：BD.
先求出函数的定义域，再根据导数和函数单调性和极值的关系，即可判断．
本题主要考查了导数和函数的单调性极值的关系，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
12.【答案】8
【解析】解：因为3C2n3=5An3，
所以3×2n(2n−1)(2n−2)3×2×1=5n(n−1)(n−2)，
所以2n(2n−1)(n−1)=5n(n−1)(n−2)，
因为2n≥3，n≥3且n为整数，
解得n=8.
故答案为：8.
由已知结合排列数及组合数公式进行化简可求．
本题主要考查了排列数及组合式公式的应用，属于基础题．
13.【答案】625
【解析】解：5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2，2，1人或3，1，1人，
当分为3，1，1人时，有C53A33=60种实习方案，
当分为2，2，1人时，有 C52C32A22⋅A33=90种实习方案，
所以共有60+90=150种实习方案，
其中甲、乙到同一家企业实习的情况有C31A33+C32A33=36种，
故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36150=625.
故答案为：625.
5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2，2，1人或3，1，1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲，乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案．
本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查转化能力，属于基础题．
14.【答案】(−5e2,0)
【解析】解：设切点为(x0,y0)，则f′(x0)=(x0+1)ex0，
∴过点P的切线方程为y=(x0+1)ex0(x−x0)+x0ex0，
代入点P坐标化简为m=(−x02+x0+1)ex0，即这个方程有三个不等根即可，
令f(x)=(−x2+x+1)ex，求导得到f′(x)=−(x−1)(x+2)ex，
函数在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
又f(−2)=−5e2，当x→−∞时，f(x)→0，
∴要使方程m=(−x02+x0+1)ex0有三个不等实数根，则−5e20，f(x)是增函数，
对x∈(1a,+∞),f′(x)0时，f(x)在(0,1a)是增函数，在(1a,+∞)是减函数；
(3)要使得f(x)=lnx−ax+3≤0恒成立，则f(x)max≤0，
由(2)可知，f(x)的极大值f(1a)即为f(x)的最大值，
所以，实数a的取值范围为[e2,+∞).
【解析】(1)当a=1，求导，令f′(x)=0，求得可能的极值点，利用函数极值点的判断，可得x=1为极大值点，无极小值；
(2)求导，利用导数与函数单调性的关系，即可判断求得函数f(x)的单调区间；
(3)由题意可知，f(x)max≤0，由(2)可得f(x)的极大值f(1a)即为f(x)的最大值，因此，可得a的取值范围．
本题考查导数的综合应用，考查利用导数判断单调性、极值与最值，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)若甲只参与一轮比赛，此时有两种情况，
第一种情况是甲参加第一轮比赛，乙参加第二轮比赛，
第二种情况是甲参加第二轮比赛，乙参加第一轮比赛，
所以甲只参与一轮比赛的概率P=12×12+12×12=12；
(2)易知X的所有取值为0，1，2，
P(X=0)=12×12×13×12+12×12×12×12+2×12×12×13×12=316，
P(X=2)=12×12×23×34+12×12×12×23+2×12×12×23×12=38，
P(X=1)=1−P(X=0)−P(X=2)=716，
则X的分布列为：
故E(X)=0×316+1×716+2×38=1916.
【解析】(1)由题意，若甲只参与一轮比赛，此时甲参加第一轮比赛，乙参加第二轮比赛或甲参加第二轮比赛，乙参加第一轮比赛，代入概率公式中进行求解即可；
(2)得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中进行求解即可．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：(1)由y=f(x)−g(x)=12x2−alnx，得y′(x)=x−ax，
由题意曲线在x=1处的切线斜率为3，即1−a=3，
所以a=−2；
(2)h(x)=f(x)+g(x)=12x2+alnx，
对任意两个不等的正数x1，x2，不妨设x1>x2，都有h(x1)−h(x2)x1−x2>4恒成立，
则h(x1)−4x1−[h(x2)−4x2]x1−x2>0，即h(x1)−4x1>h(x2)−4x2恒成立．
令F(x)=h(x)−4x，可得F(x)在(0,+∞)上单调递增，
由F′(x)=h′(x)−4=x+ax−4≥0恒成立，可得a≥x(4−x)恒成立，
由x(4−x)=−(x−2)2+4可得其最大值为4，
则a≥4，即a的取值范围是[4,+∞)；
(3)不等式f′(x0)+1f(x0)